/10 = 3 см (радиус описанной окружности) и ОР — 1,8 см. Тогда
/ 9 \ 2 109 — К ) = — см и, следовательно, АС = 4,8 см.
А Р
- у
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ I. Окружности
111. Две окружности внешне касаются в точке Л, ВС — их общая внешняя каса
тельная. Доказать, что / В А С = 90э.
112. Две окружности пересекаются в точках А и В. Точки А и В лежат по раз- ные стороны от прямой /, которая пересекает окружности соответственно в точках С, D, Е и М . Д оказать, что сумма углов D B C и С А М равна 180°.
113. Две окружности пересекаются в точках А и В. Прямые Һ и L параллельны, причем Һ проходит через точку А и пересекает окружности в точках Е и К, a L про
ходит через точку В и пересекает окружности в точках М и Р. Д оказать, что четы
рехугольник Е Қ М Р — параллелограмм.
114. Из точки М проведены к окружности с центром в точке 0 касательные МЛ и MB. Прямая / касается окружности в точке С и пересекает М А и M B соответственно в точках D и Е. Д оказать, что: а) периметр треугольника M D E не зависит от выбо
ра точки С; б) угол DOE не зависит от выбора точки С.
115. Точки А, В, С и D делят окружность на части, отношение которых 1 : 3 : 5 : С. Найти углы между касательными к окружности, проведенными в точках А, В, С и D.
116. Две равные окружности внешне касаются друг друга и третьей окружности, радиус которой равен 8 см. О трезок, соединяющий точки касания двух равных ок
ружностей с третьей, равен 12 см. Найти радиусы равных окружностей.
117. Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного ш естиугольника,'а для другой—
вписанного квадрата. Найтн расстояние между центрами окружностей.
118. Две окружности радиусами г и R касаются внешним образом. Найти дли
ну их общей внешней касательной.
119. Две окружности радиусами г и R касаются внешним образом. П рям ая/, пересекает окружности в точках А, В, С и D так, что А В = ВС — CD. Найтн AD.
120. Две окружности, радиусы которых относятся как 1 : 3, касаются внешним образом, длина их общей внешней касательной 6 ^ 3 см. Найтн периметр фигуры, образованной внешними касательными н внешними дугами окружностей.
12]. Из внешней точки к окружности проведены секущ ая длиной 48 см и каса- 2
тельная, длина которой составляет — от внутреннего отрезка секущей. Найтн ра-
О
диус окружности, если известно, что секущая удалена от центра на расстояние 24 см.
122. Общая внешняя касательная двух внешне касающихся окружностей со
ставляет с линией центров угол а . Найти отношение радиусов.
123. Из точки А, расположенной вне круга с центром О, проведены секущие A B C и А М К (В н М — ближайшие к А точки окружности, лежащ ие на секущих).
Найтн ВС, если известно, что А С = a, САО — ос, ZL СОК = Р и секущая А М К проходит через центр окружности.
124. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены отрезки А С и A D, каждый из которых, являясь хордой одной окружности, касается другой окружности. Д оказать, что AC- . BD = A D2 • ВС.
125. ЛВ и CD — взаимно перпендикулярные пересекающиеся хорды окружно
сти радиуса R, Д оказать, что А С ~ B D2 = 4/?2.
2* 35
126. Д оказать, что сумма квадратов расстояний от точки М, взятой иа диаметре окружности, до концов любой из параллельных этому диаметру хорд есть для дан
ном окружности постоянная величина.
127. Две окружности внешне касаются в точке С, А В — их общая внешняя ка
сательная. Найти радиусы, если А С = 8 см, ВС = 6 см.
128. Окружности радиусами R и — касаются внешним образом. Из центра мень
шей окружности под углом 30° к линии центров проведен отрезок длиной 2R . Найти длины тех частей отрезка, которые лежат вне окружностей.
129. Окружности радиусами а и b имеют внутреннее касание (а < Ь), причем центр большей окружности лежит вне меньшей окружности. Хорда А В большей окружности касается меньшей окружности и образует с общей касательной к окруж ностям угол а. Найти А В .
II. Вписанные и описанные треугольники
130. В правильном треугольнике A B C иа сторонах А В и А С взяты точки М и К так, что A M : M B = 2 : 1 , А К : КС — 1 : 2 . Доказать, что отрезок Қ М равен радиусу окружности, описанной около треугольника A BC.
131. Около треугольника ABC ( А В — ВС) описана окружность. Биссектрисы углов А и С при продолжении пересекают окружность в точках К и Р, а друг друга в точке Е. Д оказать, что четырехугольник В К Е Р — ромб.
132. A D и С Е — биссектрисы треугольника ABC. О кружность, описанная око
ло треугольника BDE, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник ABC- Д оказать, что // А В С = С0°.
133. Д оказать, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного треую лы ш ка.
134. Прямая / касается окружности, описанной около треугольника ABC, в точке С. Д оказать, что квадрат высоты СН треугольника A B C равен произведению расстояний точек /1 и В от прямой /.
135. Найтн углы треугольника, если известно, что центры его вписан
ной и описанной окружностей симметричны относительно одной из сторон треуголь
ника.
136. Основание равнобедренного треугольника 2а, высота Һ. К окружности, вписанной в треугольник, проведена касательная, параллельная основанию- Найтн длину отрезка эт(>й касательной, заключенного между боковыми сторонами треуголь
ника.
137. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности де
лит гипотенузу на отрезки 24 и 36 см. Найти катеты.
138. В прямоугольном треугольнике один катет равен 48 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 3,92 см. Найти длину вписанной окружности.
139. В прямоугольном треугольнике с катетами 18 и 24 см найти расстояние меж
ду центрами вписанной и описанной окружностей.
140. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, в 1,5 ра
за меньше радиуса описанной окружности. Найти угол при основании.
141. Найти радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами а и b и углом у между ними.
142. В равнобедренном треугольнике основание равно Ь, угол прн основании а.
К окружности, вписанной в треугольник, проведена касательная, параллельная ос
нованию. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между боковыми сторонами треугольника.
143. В равнобедренном треугольнике отношение радиусов вписанной и описан
ной окружностей равно к. Найти углы треугольника.
144. Доказать, что для любого прямоугольного треугольника справедливо не- равенство 0,4 < — < 0,5, где
г
г — радиус вписанной окружности, a Һ — высота, опущенная на гипотенузу.145. Доказать, что окружность, описанная около треугольника, равна окруж ности, проходящей через две его вершины и ортоцентр.
146. В окружность вписан правильный треугольник A B C . На дуге ВС взята произвольная точка М и проведены хорды A M , В М и С М . Д оказать, что A M =
= В М + СМ.
147. Доказать, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки окруж ности до вершин вписанного в нее правильного треугольника есть величина постоян
ная, не зависящая от положения точки на окружности.
148. В окружность вписан равнобедренный треугольник A B C (А В = ВС).
На дуге А В взята произвольная точка К и соединена хордами с вершинами треуголь
ника. Д оказать, что А К • К С = А В2 — К В 2.
149. В остроугольном треугольнике со сторонами а, b и с из центра описанной окружности опущены перпендикуляры на стороны. Длины этих перпендикуляров
т п р тпр
равны соответственно т, п и р. Д оказать, ч т о ---\--- + — = --- .
а Ь ‘ с abc
150. Д оказать, что основания перпендикуляров, опущенных на стороны тре
угольника или на продолжения сторон нз произвольной точки описанной около тре
угольника окружности, лежат па одной прямой.
151. Д оказать, что если а и b — стороны треугольника, / — биссектриса угла между ними и а', Ь’ — отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону, то
I2
= ab — а' Ь' .152. Д оказать, что радиус описанной около треугольника окружности, прове
денный в одну пз вершин треугольника, перпендикулярен прямой, соединяющей ос
нования высот, проведенных из двух других вершин треугольника.
153. Около треугольника A B C описана окружность. Через точку В проведена касательная к окружности до пересечения с продолжением стороны СА за точку А в точке D. Найти периметр треугольника A B C, если А В -(- A D — AC, CD — 3, Z 5 / 1 C = C 0 \
154. В окружность радиуса R вписан правильный треугольник A B C . Хорда BD пересекает А С в точке Е так, что А Е : СЕ = 2 : 3 . Найти CD.
155. В трапеции A B C D биссектриса угла А пересекает основание ВС (или его продолжение) в точке Е. В треугольник А BE вписана окружность, касающаяся сто
роны А В в точке М и стороны B E в точке Р. Найтн угол B AD , если известно, что А В : М Р = 2.
156. Гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписан
ной окружности на отрезки, отношение которых равно к (к > 1). Найтн углы тре
угольника.
157. Найти угол при основании равнобедренного треугольника, если известно, что его ортоцентр леж ит на вписанной окружности.
37
I I I . Произвольное расположение окружности и треугольника
158. Отрезки A D, В М и СР — медианы треугольника ABC. О круж ность, опи
санная около треугольника DMC, проходит через центроид треугольника ABC.
Д оказать, что Z . A B M = Z. PCB, а / B AD = £ Р С А .
159. В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что ее диа
метр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки 15 и 20 см. Найти радиус полуокружности.
160. Окружность проходит через вершину А прямоугольного треугольника A B C , касается -катета ВС и имеет центр на гппотенузе А В . Найти ее радиус, если А В — с, ВС = а.
161. На катете ВС прямоугольного треугольника A B C как на диаметре построе
на окружность, пересекающая гипотенузу А В в точке D так, что A D : D B = 3 : 1 . Найти стороны треугольника ABC, если высота, проведенная к гипотенузе, равна 3 см.
162. Стороны треугольника равны а и Ь, угол между ними 120°. Найтн радиус окружности, проходящей через две вершины третьей стороны и центр вписанной в данный треугольник окружности.
163. Окружность проходит через вершины А и В треугольника A B C и касается стороны ВС в точке В. Сторона А С делится окружностью на части A M и М С так, что A M = М С + ВС. Найти ВС, если А С = 4 см.
164. На стороне А В треугольника A B C как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону ВС в точке D . Найтн АС, если известно, что CD = 2 см и А В = ВС = 6 см.
165. На стороне А В треугольника A B C как на диаметре построена окружность, пересекающая А С в точке D и ВС в точке Е. Найти А С и ВС, если известно, что А В = 3 см, A D : DC = 1 : 1 и BE : ЕС = 7 : 2.
166. Отрезок BD — высота треугольника ABC, a D E — медиана треуголь
ника BCD. В треугольник Z?DE вписана окружность, касающаяся стороны BE в точке К и стороны D E в точке М . Найти углы треугольника ABC, если А В =
= ВС — 8 см, Қ М = 2 см.
167. В треугольнике A B C проведены высота AD и окружность с центром в точ
ке А и радиусом A D . Найти длину дуги этой окружности, лежащей внутри треуголь
ника, если ВС = a, Z В = Р, /_ С = у.
168. Доказать, что радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолже
ний катетов прямоугольного треугольника, равен сумме длин гипотенузы и радиуса окружности, вписанной в треугольник.
169. Биссектрисы AD и СК треугольника A B C пересекаются в точке О, K D =
= 1 см. Найтн углы и две другие стороны треугольника KDO, если известно, что точка В лежит на окружности, описанной около треугольника KDO.
170. Окружность касается сторон Л С и ВС треугольника A B C и имеет центр на А В . Найтн раднус окружности, если А С = 48 см, ВС = 140 см, А В = 148 см.
171. В треугольнике A B C точка D — середина АС, точка Е — середина ВС, окружность, описанная около треугольника CDE, проходит через центроид треуголь
ника A B C . Найти длину медианы СК, если А В = с.
172. Найти зависимость между сторонами а, b и с треугольника ABC, если из
вестно, что вершина С, центроид М и середины сторон А С и ВС леж ат на одной окружности.
173. В равнобедренный треугольник A B C с углом В, равным 120°, вписана полу-
окружность радиуса (3 / 3 + У 21) см с центром на АС. К полуокружности про
ведена касательная, пересекающая боковые стороны А В и ВС в точках соответствен
но D и Е. Найти BD и B E, если D E = 2 У 7 см.
174. Б треугольнике A B C известны стороны: А В — ВС = 39 см, АС = 30 см.
Проведены высоты A D и B E . Найти радиус окружности, проходящей через точки D и Е и касающейся стороны ВС.
175. В треугольнике A B C проведены высоты CD и А Е . Около треугольника B D E описана окружность. Найт-и длину дуги этой окружности, лежащей внутри треугольника ABC, если А С = b, ЛВС = р.
IV. Окружность и четырехугольник
176. Д оказать, что если для трапеции существуют вписанная и описанная ок
ружности, то высота трапеции есть среднее геометрическое между ее основаниями.
177. Основания равнобедренной трапеции 21 и 9 см, высота 8 см. Найтн радиус описанной окружности.
178. Основания равнобедренной трапеции а и Ь, острый угол а . Найти радиус описанной окружности.
179. Две вершины квадрата лежат на окружности радиуса R, а две другие — на касательной к этой окружности. Найти сторону квадрата.
180- Острый угол А ромба AB C D равен а . Найти отношение радиуса окружно
сти, вписанной в ромб, к радиусу окружности, вписанной в треугольник ЛВС.
181. Около окружности описана равнобедренная трапеция. Найти ее углы, если известно, что отношение боковой стороны трапеции к ее меньшему ос
нованию равно к.
182. Около окружности описана трапеция с острыми углами а и р. Найти отно
шение периметра трапеции к длине окружности.
183. а) Д оказать теорему Птолемея: если противолежащие стороны четырех
угольника, вписанного в окружность, равны а и Ь, с и т, а диагонали d\ и d2, то ab -}- cm = (hd.,\ б) воспользовавшись теоремой Птолемея, доказать утверждение задачи 146.
184. Д оказать, что сумма произведений высот остроугольного треугольника на отрезки их от ортоцентра до вершины равна полусумме квадратов сторон.
185. На гипотенузе прямоугольного треугольника как на стороне построен квад
рат (вне треугольника). Центр квадрата соединен с вершиной прямого угла треуголь
ника. На какие отрезки разбивается гипотенуза, если катеты равны 21 и 28 см?
186. Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит каждую из двух других его сторон на отрезки 2 и 23 см. Найти радиус окружности.
187. В ромб A BCD со стороной 4 см и углом B A D , равным 60°, вписана окруж ность. К ней проведена касательная, пересекающая А В в точке М и AD в точке Р.
Найти M B и PD, если М Р = 2 см.
188. Отношение радиуса окружности, описанной около трапеции, к радиусу вписанной окружности равно к. Найти острый угол трапеции.
189. В окружность вписан четырехугольник A BCD, диагонали которого взаим- • но перпендикулярны и пересекаются в точке Е. П рямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к А В , пересекает CD в точке М . Найти Е М , если AD — 8 см, А В = 4 см и С CDB = а.
190. В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого взаим
но перпендикулярны и пересекаются в точке Е. П рямая, проходящая через точку Е 39
и середину стороны CD, пересекает А В в точке /•/. Найти НВ, если ED — 6 см, B E =
= 5 см и Z A D B = а .
191. В выпуклом четырехугольнике ABCD сторона А В равна — , сторона 25 ВС 64
25 1
равна 1 2 — , сторона CD равна G— . Известно, что угол D A B острый, угол A D C
64 4
3 63
тупой, причем sin Z D A B — — , cos £ A B C = — — • Окружность с центром в
5 65
точке О касается сторон ВС, CD и A D. Найти длину отрезка ОС.
V. Разные задачи
192. Из точки С к окружности проведены две касательные С А и СВ, образующие между собой угол 60°. В криволинейный треугольник, образованный этими каса
тельными и меньшей дугой А В , вписана окружность. Д оказать, что длина этой ду
ги равна длине вписанной окружности.
193. Прямоугольник со сторонами 36 и 48 см разделен диагональю на два тре
угольника. В каждый из этих треугольников вписана окружность. Н айти расстоя
ние между их центрами.
194- Две окружности радиусами 16 и 9 см касаются внешним образом. Вычис
лить радиус окружности, вписанной в криволинейный треугольник, заключенный между окружностями и их общей внешней касательной.
195. Хорда длиной 6 см разбивает окружность на два сегмента. В меньший из них вписан квадрат со стороной 2 см. Найти радиус окружности.
196. Два круга радиуса R расположены так, что расстояние между их центрами равно R . В пересечение кругов вписан квадрат. Найти сторону квадрата.
197. В круговой сектор с углом 2 а вписана окружность. Найти отношение р а
диусов вписанной окружности и сектора.
198. В сектор АОВ круга радиуса R с центральным углом а вписан правильный треугольник, одна из вершин которого лежит в середине дуги АВ, а две другие — па радиусах ОА и ОВ. Найти сторону треугольника.
199. Д уга окружности радиуса R стягивает центральный угол 2 а ( а < —).л Хорда этой дуги разбивает окружность на два сегмента. В меньший из них вписан квадрат. Найти сторону квадрата.
200. Д уга окружности радиуса R стягивает центральный угол 2 а (а < —).я Хорда этой дуги разбивает окружность на два сегмента. В меньший из них вписан правильный треугольник так, что одна его вершина совпадает с серединой дуги, а две другие вершины леж ат иа хорде сегмента. Найти сторону треугольника.
201. Дуга окружности радиуса R стягивает центральный угол 2 а (а < —).я Хорда этой дуги разбивает окружность на два сегмента. В больший из них вписан правильный треугольник так, что одна его вершина совпадает с серединой хорды, а две другие лежат на дуге. Найти сторону треугольника.
202. В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса а. О круж ность радиуса b касается боковых сторон треугольника и вписанной окружности.
Найти основание треугольника.
203. На отрезке А С длиной 12 см взята точка В так, что А В = 4 см. На А С и на А В как на диаметрах построены окружности. Найти радиус окружности, касаю
щейся двух данных и отрезка /1C.
204. Основание равнобедренного треугольника /?, угол при основании а . В тре
угольник вписана окружность. Вторая окружность касается первой и боковых сторон треугольника. Найти радиус второй окружности.
205. В окружности радиуса R с центром в точке О проведены радиусы О А и ОВ так, что / Л О В = а ^ < а < л | . Найтн радиус окружности, касающейся ду
ги А В сектора ОЛВ, хорды А В и биссектрисы угла ЛОВ.
206. Два равных круга радиуса а расположены так, что расстояние между их центрами равно а. Пересечение кругов разделено линией центров на два криволи
нейных треугольника, в один из которых вписана окружность. Найт.і длину отрезка, соединяющего точки касания вписанной окружности с двумя данными окружностями.
207. Из точки А к окружности с центром О и радиусом 2 см проведена касатель
ная А К - Отрезок О А пересекает окружность в точке М и образует с касательной угол 60°. Найти радиус окружности, вш еанпой в криволинейный треугольник М Қ А. 208. Из точки Л, удаленной от центра О окружности радиуса г на расстояние а (а > г), проведен луч, образующий угол 60’ с лучом АО и пересекающий окруж ность в двух точках К и Р {К лежит между /1 и Р). Найти радиус окружности, вписанной в криволинейный треугольник М Қ А , где М — точка пересечения окруж
ности и отрезка АО.
209. Основание равнобедренного треугольника Ь, угол при основании а. В тре
угольник вписана окружность. Вторая окружность касается первой, основания и боковой стороны треугольника. Найти радиус второй окружности.
210- Около равнобед енного треугольника с основанием b и углом а при осно
вании описана окружность. Вторая окружность касается первой окружности и Со
ковых сторон треугольника. Найтн радиус второй окружности.
211. В сегмент окружности радиуса R с центральным углом а (а < л) вписаны две равные окружности, касающиеся друг друга. Найти их радиусы.
212. Точки D, К и М леж ат соответственно на сторонах А В , ВС и А С тре
угольника ЛВС. Доказать, что окружности, описанные около треугольников ADA1, B D K и С К М, пересекаются в одной точке.
213. Из точки С к окружности радиуса 12 см с центром в точке О проведены две касательные А С и ВС. В треугольник ЛВС пписана окружность с центром Оі, ка
сающаяся сторон А С и ВС в точках К и / / . Найти Z.AOD, если расстояние от точки ОI до прямой К Н равно 3 см.
214. Из центра О окружности радиуса R проведены радиусы ОА и ОВ так, что / _АОВ = а (ос < л ). В меньший сегмент круга, отсекаемый хордой А В , вписан пра
вильный треугольник, одна из сторон которого перпендикулярна хорде А В . Найти сторону треугольника.
215. В окружности радиуса г проведены диаметр А В и хорда АС. В образовав
шийся криволинейный треугольник вписана окружность. Найти ее радиус, если /С Л В — а.
216. В окружности с центром О радиус ОМ и хорда К Р пересекаются в точке Л.
причем / . М А К = ос ( а < — J. В образовавшийся криволинейный треугольник
9
М А К вписана окружность. Найти ее радиус, если ОМ — г, 0/1 = а.
217. Из точки А окружности радиуса г проведены диаметр A D и две хорды А В и А С. Найти радиус окружности, касающейся хорд А В и А С и дуги ВС, если А В =
= Ь, / В А С — а и А В > АС.
218. На одной стороне угла а даны две точки, расстояния которых от другой стороны угла равны b и с (Ь < с ) . Найти радиус окружности, проходящей через эти две точки и касающейся другой стороны угла.
219. Угол А ОВ равен а. Окружность касается стороны АО в точке С и пересе
кает сторону ОВ в точках D и Е. Найтн D E и радиус окружности, если известно, что ОС — а и OD = b (Ь > а).