КОШІЛВКСЯЬІЕ ЧЕРТЕЖИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ
2. О пределение углов t
Черт. 190
б) У г о л м е ж д у д в у м я с к р е щ и в а ю щ и м и с я п р я м ы - м п. Мерой этого угла является угол между двумя передающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся. Следовательно, и в этом случае за
дача сводится к определению натуральной величины треугольника, что можно сделать любым из известных способов.
в) У г о л м е ж д у п р я м о й и п л о с к о с т ь ю . Углом прямой А В с плоскостью а (черт, 191) называется ост
рый угол ф , составленный этой прямой с.
ее проекцией на данную плоскость. Пост
роение проекции угла tp требует определе
ния двух точек К и L, первая из которых является'точкой пересечения данной ^пря- мой с плоскостью а, а вторая — основа
нием перпендикуляра, опущенного из произвольной точки прямой на ту же плоскость. Получив две пересекающиеся в точке Қ прямые, определяем натуральную величину угла между ними так, как это
было описано выше в п. а. Черт. 191
„Если задача требует определения только величины угла между прямой и плос
костью без изображения его проекций, то решение" можно значительно упро
стить, опустио построение точек /( if L.
Действительно, рассматривая прямоугольный треугольник А L/C (см.
черт. 191), замечаем, что «р = 90° — ф, где Ф — угол, составленный данной прямой А В и перпендикуляром к плоскости а. Построение проекций угла <J>
не требует определения ни точки К, ни точки L (черт. 192). По двум проекциям угла ^ находят его натуральную величину и дополняют угол до 90°. Угол, до
полняющий найденный до 90°, и будет искомым.
г) У г о л м е ж д у д в у м я п л о с к о с т я м и . Две плоскости а ир, пересекаясь, образуют четыре попарно равных двугранных угла (черт. 193).
Каждый из них измеряется линейным углом, который получается, ес
ли плоскости а и Р пересечь третьей плоскостью 7, перпендикулярной к линии их пересечения т. Нетрудно показать, что угол между двумя плоскостями ра
вен углу между перпендикулярами к этил! плоскостям. Действительно, плоскость
7, определяемая двумя перпендикулярами, опущенными из произвольной точ
ки пространства Кна грани аи р, будет перпендикулярна к ним и к ребру т двугранного угла. Прямые углы с ребром т составят линии, Л З п ВС, по’ко
торым плоскость у пересекает грани а и р. Следовательно, прямые А В и ВС пред
ставляют собой стороны линейного, угла, которым измеряется двугранный.
Но KN ± АВ и ҚМ JL ВС, а поэтом у (p ~< pl.
В том случае, когда двугранный угол задан так, как это показано па черт. 194, его натуральную величину целесообразно определять введением но
вых плоскостей проекции. Ребром двугранного угла в этом примере служит об
щая сторона двух треугольников — прямая АВ. Последовательно переходя от 70
Черт. 194
системы П2/П* к П 4/ГІіи к 115/П.і, проекцию АВ преобразуем в точку. Плоскость ПБ( перпендикулярная к АВ, будет параллельна сторонам линейного угла, которым измеряется двугранный у го л ф . .
§ 12. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
132. Через точку; А провести прямую а, пересекающую прямую уровня f под прямым углом (черт. 195).
133. Через точку А провести прямую уровня, перпендикулярную к прямой а (черт. 196).
А2ъ
Л?о -
Черт. 195 Черт. 196
134. Достроить проекции прямоугольного треугольная А Б С по заданной^гипотенузеЛВ, если известно, что вершина Сего принадлежит прямой уровня Һ (черт. 197).
135. Достроить проекции ромба A BCD, если дана его диагональ B D , принадлежащая прямой уровня, и горизонтальная проекция А{
вершины А ((черт, 198). .
Черт. 197 72
136. Построить следы плоскости, заданной линией и наибольшего уклона^ (ската) (черт. 199).
137." Через точки A ( A i ) t В(Ві) и C(Ct) ванны по ее гладким стенкам- текут струи, отводимые наружу в точке Қ ( Қ и К^) (черт. 200). Постро
ить пути струек до места их вывода. 1я 138Г'Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки >4 на проецирующую плоскость о : 1) плоскость a(oj) — горизонтально, проецирующая; 2) плоскость. о(с2) — фронтально проецирующая.
139. Из точки А опустить перпен
дикуляр на плоскость a: 1) а (Л f| /) (черт. .201); 2)а(а || Ь) (черт.. 202).
Черт. 201 Черт. 202
73;
140. Из точки А восставить перпендикуляр к плоскости a (a f] b).
141; Из центра тяжести треугольника Л В С восставить перпендику
ляр к-его плоскости (черт. 203). Определить видимость перпендикуля
ра, считая треугольник непрозрачным.
142. Изобразив произвольную плоскость а общего положения и точку А, не лежащую на ней, построить точку В, симметричную точке А
относительно плоскости а. : ■
143. Определить направление луча, выходящего из точки А и про
ходящего через точку В после отражения от данной плоскости а (а П Л)
•(черт. 204). *
144. В какую точку зеркала A BCD надо смотреть из точки Е
,
что-'бы увидеть в нем точку Р (черт. 205)? ; ;
145. Можно ли из точки Е увидеть в зеркале_ A BCD : точку F
(черт. 206)? ’ j .
' 146. Через точку А провести плоскость а, перпендикулярную к
проецирующей прямой. •
147. Через точку А провести плоскость Щперпендикулярную к
прямой уровня. ' ,
148. Через точку А провести плоскость а , перпендикулярную к /прямой общего положения а. . , ■ '
149. Через прямую а провести плоскость а, перпендикулярную
•к плоскости: 1) (3((32) (черт. 207); 2) |(/г f) b) (черт. 208).
Черт. 203 Черт. -204
•74
Q F,
Черт. 206
Черт. 208
7 5
150. Через точку А провести плоскость а, перпендикулярную к двум плоскостям 0 и 7 (черт. 209, 210).
151. В точке А прямой а восставить к ней перпендикуляр, пересе
кающий прямую Ъ (черт, 211).
152. Через точку А провести прямую а, перпендикулярную к прямой Ъ и пересекающую прямую с (черт. 212). .
153. Через точку А провести прямую а, перпендикулярную к пря
мой о и параллельную плоскости _ a(ct2) (черт. 213).
76
V
Черт. 210
154. Построить плечо силы р относительно точки А (черт. 2-14).
Указание. Искомое плечо ■ есть отрезок, которым измеряется расстояние от точки А до лип»н действия силы р.,
155. -Точка А, равномерно двигаясь в направленииs(si, s 2), встре
чает точку В, начинающую двигаться одновременно с точкой
А
равномерно, прямолинейно и с той же скоростью (черт. 215). Определить направление движения точки В.
156. Построить множество точек, равно
удаленных от двух произвольных точек А и В.
V
9 Д ,
Я Во
ОС.
ь в<
Черт. 216
77
157. Построить множество точек, равноудаленных от трех произ
вольных точек А , В и С.
158. Построить множество точек, равноудаленных от четырех дан
ных точек А, В , С и D (черт. 216).
159. В плоскости а (Л f] f) найти точки, равноудаленные от двух данных точек А и В (черт. 217)..
160. На прямой а найти точку /1, равноудаленную от двух данных точек В и С (черт. 218).
о Во
Ъв,
Черт. 2] 7 Черт. 218
'2 3
78
Черт. 219
yJ/
Черт. 220
161. В плоскостях проекций найти точки, равноудаленные от двух точек Л и В (черт. 219).
* 162. В плоскости а (а П найти точку, равноудаленную от трех данных точек А, В и С
(черт. 220).
163. На плоскостях проекций найти точки, равноудаленные от трех данных точек А , В и С (черт.
221).
А о- 2
Во '2 3
13
Черт. 221
-о А
§ .13. РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ОБРАЗАМИ' 164. Определить натуральную величину расстояния между двумя произвольными, точками А и В.
165. Определить длины растяжек А В , А С и AD, укрепляющих тру
бу (черт. 222).
166. Определить натуральную ’ вели
чину расстояния от точки А до плоскости общего положения а (а (] Ь).
167. Определить натуральную величи
ну расстояния от точки А до 'прямой общего положения а.
, 168. Определить натуральную величи
ну расстояния между двумя параллель
ными прямыми а и Ь \ 1) прямые парал
лельны плоскости EL; 2) прямые общего
положений. «
169. Определить натуральную величи
ну; расстояния от плоскости a(b fj с) до прямой а, ей параллельной (черт. 223).
» 170. Найти натуральную величину кратчайшего ■ расстояния между двумя скрещивающимися прямыми а и b (черт.
224).
Черт. 222
79 '
Черт. 223 Черт. 224
171. Определить натуральные величины 'кратчайший расстояний от прямой а до осей координат (черт. 225).
172. Нанти натуральную величину расстояния между двумя па
раллельными плоскостями
а(Л П
/)П
f 1) (черт. 226).173. Провести плоскость а, параллельную плоскости общего поло
жения р(Л П f) 11 отстоящую от нее на расстоянии 30 мм.
80
174, Провести плоскость а, параллельную плоскости |3(/f f] /), так, чтобы отрезок прямой л, заключенный между этими плоскостями, был равен 25 мм (черт. 227),
175. Шар с центром О катится по наклонному щиту Л BCD (черт. 228). Определить положение центра шара в момент; когда он коснется поверхности земли.
176. Построить проекции прямой а, отстоящей от плоскости а^сц.ои) на расстоянии 20 мм и от плоскости — на 30 мм (черт. 229).
Черт. 228
4—290 81
§ 14. НАТУРАЛЬНАЯ ВЕЛИЧИНА ПЛОСКИХ ФИГУР И УГЛОВ
177. Определить натуральную величину треугольника A B C (черт. 230, 231).
?Са
Черт. 231
178. Определить натуральную величину пятиугольника A B C D E {AiBiCiDiEi; А 2В 2С20 2Е ^ (черт. 2 32).
Черт. 232 82
179. Определить натуральные величины углов наклона прямоли
нейного отрезка Л В к плоскостям Пх и П 2: 1) отрезок А В общего поло
жения; 2) отрезок Л В параллелен П 2.
180. Определить натуральную величину угла между двумя дан
ными прямыми а и b (черт. 233—236).
Черт. 235 Черт. 236
181, Определить натуральные величины углов между линией дей
ствия вектора I и осями координат (черт. 237).
Черт. 237
182. Определить натуральные величины углов между прямой а и плоскостью офа); прямой d и плоскостью р.(о Л Ь) (черт. 238, 239).
Ч ер т. 238 Черт. 239
183. Определить натуральные величины углов между вектором п и плоскостями проекций П ь П2 и П3 (черт. 240).
184. Определить натуральные величины углов наклона плоскости общего положения a(/i f] /) к плоскостям проекций Піи П2 (черт. 241).
<*
\
х ,2
0
У13
yj 1
Черт. 240
185. Определить натуральную величину угла между- двумя данными плоскостями а и р (черт. 242—244).
ьі
Черт. 244
85
186, Данный двугранный угол A BCD. -разделить на две равные части (построить биссекторную плоскость) (черт. 245).
187.-Под каким углом к горизонтальной плоскости течет вода в водостоке, проложенном на плоском откосе по направлению : s (черт. 246)?
оси А В , отклоняясь от среднего положения на'угол 35° (черт. 247).
189. Определить величину угла менаду стержнем А В и растяжкой А С (черт. 248).
7
Черт. 245 Черт. 246
188. Показать крайние положения .маятника, если-он качается на
’2
Р Т
Д
Черт. 247 Черт. 248
86
190. Определить величину двугранного угла при. ребре А В, обра
зованного скатами кровли (черт. 249)..
191. Достроить проекции треугольника А Б С , принадлежащего плоскости a (a f| b), если дана горизонтальная проекция A стороны А В и известно, что угол В А С — <60 р, а высота, проведенная через вер
шину С, равна 35 мм (черт. 250).
192. В плоскости a (h fj /) построить окружность радиусом 20 мм с центром в точке О (черт. 251).*
193. Найти вершину D пря- . ^ мого угла треугольника ADB,
Г л а в а V МНОГОГРАННИКИ
§ 15. ИЗОБРАЖЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ
194, Построить изображение параллелепипеда. A B C D A lB 1C 1D%
заданного тремя ребрами А В, A D и А А 1 (черт. 253).
195. Достроить две проекции куба, стоя
щего на плоскости П ь если дано его ребро В В 1 и фронтальная проекция Л2Л | ребра А А \ которое принадлежит той же грани, что и ребро В В 1. Найти недостающие проекции точек М и N , принадлежащих граням куба, если точ
ка М видима, а N — невидима (черт. 2£4).
А І
Ц о м 20
---!>--- Во
О д 1 *
Черт, 254
. I96. Построить изображение в трех проекциях правильного тет
раэдра 5/1 ВС, заданного своим основанием ЛВС (черт. 255).
197. Построить про
екции правильной пяти
угольной пирамиды A B C D E высотой 75 м м , стоящей на плоскости (5(02), *еслп дано совме
щенное с плоскостью ГГ j положение ее основания (черт. 256).
198. Построить куб по ребру А В и направлению т 2 фронтальной проекции Л2С2 ребра А С (черт.
257).
88
199. Построить проекции правильной треугольной пирамиды S A B C , основание которой принадлежит плоскости а (а Г) Ь) и сторона его равна 35 мм (черт. 258).
200. Построить куб, ребро которого равно кратчайшему расстоя
нию между скрещивающимися под прямым углом прямыми a(ait и b Фи &а)»еслн известно, что прямая b проходит через точку R и два реб
ра куба принадлежат этим прямым (черт. 259). .
§ 16. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ 201. Построить проекции сечения параллелепипеда фронтально проецирующей плоскостью (3 (черт. 260).
202. Построить проекции сечения пирамиды горизонтально прое
цирующей плоскостью (черт. 261).
Черт. 263 , 90
203. Построить проекции линии пересечения многогранника плос
костью общего положения а(/ П Л) (черт. 262). • ;• ■ ■■
.■204; Построить сечение балки заданного профиля, если секущая плоскость проходит через'прямую А В и точку С ее поверхности
(черт. 263). ' • ■ ■ ■ ;
205. Построить недостающие линии пересечения скатов кровли (черт. 264).
206. Достроить изображение крыши, все скаты которой наклонены к горизонтальной плоскости под углом 30я, Число скатов равно числу сторон контура плана крыши (черт. 265). *
Черт. 265
91
207. Построить проекции и натуральную величину сечения: 1) пи
рамиды плоскостью fl((32) (черт. 266); 2) параллелепипеда плоскостью' а (а || Ь) (черт. 267); .3) куба плоскостью ү(Л, В, С) (черт.- 268).
208. Определить неискаженную форму сечения, по которому тавро
вая балка соприкасается с листом (черт. 269).
Черт. 268 92
Черт. 269
209. Определить натуральную величину нормального сечения наклонной призмы (черт. 270).
210. Задать плоскость, пересекающую данный куб по правильному шестиугольнику, и определить натуральную величину сечения (черт.
271).
Черт. 271
211. Призму рассечь плоскостью так, чтобы в сечении получился прямоугольник, равновеликий данному квадрату (черт. 272).
212. Найти точки пересечения.прямых а и 6 с поверхностью приз
мы (черт. 273). Определить видимые части данных прямых.
о 2.а9
1 вг с,
At
ч а,,
Черт. 273
9 3
...213. Определить видимые части прямой а, пересекающей данную пирамиду (черт. 274).
214. Найти точки пересечения,, прямой а с поверхностью октаэдра
(черт. 275). -Определить видимые части прямой.
Черт. 275
§ 17. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ
215. Построить проекции линии пересечения поверхностей пира
миды' и призмы (черт. 276). Определить видимые части этих много*
‘гранников.
Черт. 277
8 4
Черт. 278
произвольно расположенных в пространстве (черт. 279).
Определить видимые частЕі этих многогранников.
219. Построить проекции переезда ' с насыпями через железнодорожное полотно A BCD (черт. 280). Переезд имеет ширину т и угол подъема 15°. Уклоны всех насыпей равны.
216. Построить проекции линии пересечения поверх
ностен двух треугольных пирамид (черт. 277). Опре- . делить видимые части этих
пирамид.
217. Построить проекции
• линии пересечения поверх
ностей двух треугольных призм (черт. 278). Определить видимые части этих призм.
218. Построить проекции линии пересечения поверх
ностей призмы и пирамиды,
Черт. 279
95
Черт. 280
Г л а в а VI
К РИ ВЫ Е ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
§ J8. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
Рассмотрим основные позиционные задачи, решению которых пред
шествует построение к а р к а с а поверхности.
Напомним, ,что Каркасом поверхности называется множество ли
ний, заполняющих поверхности так, что через каждую точку поверх
ности проходит одна линия каркаса. Проекции линий каркаса могут быть построены, если задан о п р е д е л и т е л ь поверхности — совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже. Различают две части определителя — геометрическую и ал
горитмическую.
Геометрическая часть определителя представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т. п.), которые могут и не входить в состав поверхности.
Вторая часть — описательная (алгоритмическая) — содержит перечень операций, позволяющих реализовать переход от фигуры постоянных элементов к непрерывному каркасу.
96
Так, например, циклическая поверхность, каркас которой сос
тоит - из окружностей; может быть задана следующим образом (черт. 281):
геометрическая часть определи
т еля: 1) три направляющие I, т, п; 2) ось I пучка плоскостей;
алгоритмическая часть опре
делителя: 1) выделяем из пучка плоскостей - с осью І одну — плоскость а; 2) находим точки А , 13, С, ,в которых плоскость а пересекает соответственно направ
ляющие /, т, п\ 3) строим окру
жность, определяемую тремя найденными точками; 4) перехо
дим к следующей плоскости а1
того ж е пучка.и повторяем построения, описанные выше.
Проекции каркаса можно эффективно использовать при решении всех основных позиционных задач на поверхности [13]. Проиллюст
рируем это на ряде типовых задач*