ЗАДАЧНИК ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Д о п у щ ен о М инистерством высшего п ср едн ег о спец и ал ьн ого о бр азов ан и я СССР в качестве у я ебв ого п особия для студоитов стр оител ьны х специ ал ьностей вузов
И З Д А Н И Е 2-Е , П Е РЕ Р А Б О Т А Н Н О Е 11 ДО П О Л Н ЕН Н О Е
Ф
м о с к в а « В ы с ш а я ш к о л а * 1975
515 3 - 15
УДК 515(076)
ЗАСОВ В. Д. . ЗЕНГИН А. Р. . ИКОННИКОВА Г. С., К Р ЫЛ О В Н. Н.
Р е ц е н з е н т ! кафедра начертательной геометрии и график» МИСИ имени В. 'В. Куйбышева.
*
К А
Б И Б ^ г г ^ г с ...
Ц елиноградскогг ң срно*
строительного » стнтутз
- , 5 1 5 1 1
3-15 Задачник по начертательной геометрии. Учеб. посо
бие для строит, специальностей вузов. Изд. 2-е, перераб.
и доп. М., «Высш. школа», 1975.
238 с. с ил.
На обороте тит. л. авт.: Засов В. Д . , Зенгин А. Р ., Иконнико
ва Г. С . , Крылов Н. Н.
Задачник включает основные методы изображения пространственных образов на плоскости. Методические указания к решению задач составлены с учетом сов
ременного состояния теории изображен и П. Алгоритмы решения позиционных задач на понерхиостн основаны а с построении их. каркаса, а конструктивных — на идее пересечения множести.
При составлении задачника я агоры использовали опыт работы «.афедр начер
тательной геометрии ряда вузов: МАИ, М АДИ , Ml ШТа. МГМИ, ҚПИ, УДН и др.
30105— 023
001 (01) -— 75 136— 75 615
© Издательство «Высшая школа». 1975 г.
П Р Е Д И С Л О В И Е
Задачник охватывает следующие разделы курса начертательной геометрии: аффинное соответствие, комплексный чертеж в-ортогональ
ных проекциях, аксонометрические проекции, линейная-перспектива, проекции с числовыми отметками и построение теней. *
В настоящее издание по сравнению с первым внесены следу
ющие изменения и дополнения; существенно обновлены-введение и глава VI, где даны методические указания к решению задач на построе
ние геометрических образов, отвечающих определенным условиям, и алгоритмы решения позиционных задач на поверхности, основанные на построении их каркаса. Добавлен ■§ 7. «Способ дополнительного (косоугольного) проецирования» и увеличено число задач на родствен
ное соответствие. Изменено содержание задач по аксонометрии с уче
том ГОСТ 2. 317 —■ 69 и некоторых прикладных примеров. Построе
ние почти всех глав подчинено одному принципу: вначале приводятся задачи, отражаю щ ие особенности построения чертежа геометричес
кого образа при помощи данного'метода, затем следуют позиционные и метрические задачи.
Принятая последовательность соответствует широко распростра
ненной методике изложения курса начертательной геометрии [13, 15, 21, 25].
В большинстве разделов содержатся задачи прикладного харак
тера, ч а с т ь которых в з я т а из сборника [23J.
Задачник предназначен для студентов строительных специальностей вузов и факультетов, но может быть использован и студентами маши
ностроительных и механико-технологических институтов.
Задачи к главам I, II, III, V I (§ 25 — 27), V III и XI составлены В. Д. З а с о в ы м, задачи к главам V, V I (§ 28) и § 43 — А. Р. 3 е н г и н ы м, главы VI (§ 19 — 24,26), V II, X и часть III (§ 42, 44) написаны Н. Н. К р ы л о в ы м. Методические указания к реш е
нию конструктивных и комплексных задач (п. 1 введения и к главе V ! 11), , позиционных (§ 1, 8, 18) и метрических (§ 11) задач разработаны Г. С. И к о н н и к о в о й . Основы способов преобразования эпю ра (§ 4) изложены В. Д . 3 а с о в ы м. Введение (кроме п .1) и главы IV и IX написаны коллективно.
3
Авторы считают своим долгом выразить ..признательность, сотруд
никам каф едры 'Л Т И -имени Ленсовета/ руководимой доц. Г. М. Д е ш е в ы м, проф. А. П. Т и х о н о в и ч у , доцентам Ю. И. К о р о - е в у, Б. И. Ф о м и ч е в у, В. А. Ф и л и п и о в у и ст. преподава
телю Н. И. К о к о в и н у за ряд полезных советов, которые были учтены при подготовке задачника к изданию.
Все замечания и пожелания по данному сборнику авторы просят н ап равлять в адрес издательства.
ПРИ Н Я Т ЫЕ ' ОБОЗ НАЧЕНИЯ
1. Точки, р аспол ож енн ы е в п р остр ан ств е,— прописными буквам и латин
ского алфавита: А , В, С, D или цифрами 1, 2, 3, 4, .. .
2. Прямые и кривые линии в пространстве — строчными буквами латин- . ского алфавита: а, Ь, с, d ...
3. П лоскости —• строчными буквам и греческого алфавита: а , 6, ү, 5.
4. П оверхности — прописными буквам и греческого алфавита: Ф, Ө, А , 2 . 5. Способ задан ия указы вается в скобках рядом с буквенным обозн аче
нием геометрического обр аза. Н апример:
а ( А , В) — прямая задан а двум я точками А и В;
а (/} , В, С) — плоскость задан а тремя точками А , В я С]
А) — пл оск ость задан а прямой а и тонкой А; .
7(оП Ь) — пл оск ость зад а н а пересекаю щ им ися прямыми а и Ь\
Ь(! || т ) — плоскость за д а н а параллельны ми прямыми I и т : 6. Углы — строчными буквам и греческого алфавита: ф , Прямой угол обозн ач ается точкой внутри сектора -4.
7. Особые прямые н плоскости имеют постоянны е обозначения!
а) линии уровн я: гор изон тал ь —• Һ, ■ фронталь —• /;
б) следы плоскости обозн ачаю т той ж е буквой , что и плоскость, с до б а в л е
нием подстрочного индек са, соответствую щ его плоскости п р о ек ц и й ;' в) линия ук л он а — и,
касательная прямая — t,
нормаль — л, • .
оси вращения — I, ].
8. П оследовательность геометрических образов — надстрочным индексом:
точек — А А г , Да, ..., прямых — а 1, а - , а3,
плоскостей — > о 1, а 2, а 3, ... и т. Д.
. 9. Центр п р о ец и р о в а н и я — прописной буквой латин ск ого алфавита S . 10. Н аправлен ие пр оец ир овани я — строчной буквой латин ского алф ави
та s.
] ] . П лоскость проекций при образован и и ком плексного ч ертеж а — п р о
писной буквой греческого алфавита Ш гор изон тал ьная — Щ,
ф рон тальная —■ П 2,
" профильная —« Пз.
12. Н овая плоскость проекций при зам ене плоскостей проекций — б у к вой П с добавлен и ем подстрочного, ин дек са: П 4, П5) Пе , ....
33. П роекции точек, .прямых и плоскостей — соответствую щ ей буквой с добавлением подстрочного индек са, х а р ак тер и зую щ его плоскость проекций:
на плоскости Г(а — Л ь а х, а.\\
ч ч Пг — А 2, а 2.
Пз — А з, йэ> ag.
14. Оси проекций на комплексном чертеж е — ж12, уіз, Уяі,
б
15. П лоск ость проекций при образован и и м оночертеж а (в аксоном етри и, в п ер спективе и в п р оек ци ях с числовыми отметками) —? прописной буквой гр еческого алфавита с добавлен и ем значка «штрих» —• П '.
16. А к сон ом етр ически е оси — у ' , г ' , начало аксоном етри ческ их осей — О',
17. А к сон ом етр ически е и перспективны е проекции точек, прямы х и п л ос
костей — буквам и, соответствую щ им и натуре, с добавлени ем зн ачк а «штрих»:
А \ а ' , а.', *
18. Вторичны е проек ци и — с добавлением подстрочного индекса: А і , /4 2 * j А з ' , c i , а 2', а з ' , a-i ', «г*, &з'.
19. А ксон ом етрически е единицы по, о с я м — 1хг, / у ', /г '.
20. Т р еугол ь ни к с л е д о в —-Л " , У , Z ' . 21. П ок азател и искаж ени я: и, у,, w.
22. П ри веденны е пок азатели искаж ени я — U, V, №\
23. Главная точка картины в перспективе — Р, 24. Л ин ия горизонта — Һ.
2 5. О сн ование картины — о 1^ 2.
26. Д и стан ц и он н ая точка — D .
27. Проекции точек в п р оек ц и ях с числовыми отметками — той ж е буквой , что и натур а, с добавленим числа, хар ак тер и зую щ его расстоян и е точк и до п л о с кости проек ци и — А 1Ъ, В—20, С0.
28. М асш таб уклона плоскости — той ж е буквой , что и плоск ость, с д о б а в лением индекса i; и зобр аж ается дв ой н ой линией, тонкой и ж и р н ой, разделенн ой на интервалы .
29. О сновны е операции:
а) сов п аден и е д в у х геом етрических о б р а з о в = , наприм ер, a = b , A i = 8 ц б) взаи м ная пр ин адлеж н ость геом етрических образов z\ или £ , наприм ер, А € а, а 6 а, Р 5 Я;
в) п ер есеч ен и е двух- геом етрических образов f j , например, i f y a , a ft fi;
г) р езу л ь та т геометрической операц ии например, К = а П а *
В В Е Д Е Н И Е
Чертеж в условиях современного строительства и промышленного производства является основным и надежным средством информации, обеспечивающим связь между проектировщиком и строителем, конст
руктором и технологом.
Теоретической основой чертежа служит начертательная геометрия, предметом которой является изучение методов изображения прост
ранственных форм и решение позиционных, метрических и конструк
тивных задач. Напомним, что п о з и ц и о н н ы м и принято называть задачи на определение общих элементов различных геометрических образов (пересечение и взаимопринадлежность). Задачи, связанные с определением расстояний, углов, натуральных величин фигур, называ
ют м е т р и ч е с к и м и, а задачи на построение геометрических об
разов, отвечающих определенным условиям, — к о н с т р у к т и в н ы м и .
Рассмотрение перечисленных задач способствует развитию навыков пространственного мышления, необходимого в инженерной практике.
Не всегда бывает прост и очевиден алгоритм решения той или иной геометрической задачи. Известный математик и педагог Д. Пойа не без основания считает, что: «Решение задачи — крайне сложный про
цесс. Никакое описание или теория этого процесса не могут исчерпать многообразия его сторон, любое его описание или теория обязательно являются неполными, схематичными, чрезвычайно упрощенными» ([17], стр. 408).
Приложимо ли это высказывание Д . Пойа к решению задач по на
чертательной геометрии? И да, и нет.
Приложимо, если алгоритма решения не существует и его надо создать.
Н ет — если задача типовая, «тренировочная», и ее решение опи
сывается уж е известным способом, 'д ета л и , которого были предметом специальной лекции или составили содержание какого-то раздела учебника.
К числу последних следует отнести большинство позиционных и метрических задач начертательной геометрии. И х решение преследует основную цель -— закрепить основы теоретического курса.
7
Методы решения типовых позиционных и метрических задач, на точку, прямую и плоскость кратко излагаются в соответствующих главах задачника.
Значительное место в нем уделено рассмотрению позиционных з а дач на кривые поверхности, которые составляю т наиболее сложную и существенную часть курса начертательной геометрии.
При их решении авторы, следуя И. И. Котову, настойчиво реко
мендуют применять понятие каркаса поверхности. Достоинством «кар
касного метода» является возможность создания универсальных алго
ритмов решения позиционных задач на кривые поверхности [13].
Конструктивные задачи связаны с построением геометрических фигур, отвечающих определенным условиям, поэтому каж дая из них нуж дается в индивидуальном подходе, в умении самостоятельно справ
ляться с новыми вопросами, возникающими в процессе ее решения, Здесь н.ужны навыки эвристического мышления, которые и могут быть развиты при решении конструктивных задач. Именно здесь вы
ясняется, насколько человек, изучающий предмет, овладел знаниями и умением на пх основе мыслить творчески, создавать на этом фунда
менте план решения нетривиальных задач.
1. М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я К Р Е Ш Е Н И Ю - К О Н С Т Р У К Т И В Н Ы Х З А Д А Ч
Т ак как элементы конструктивных задач будут встречаться во мно
гих главах настоящего сборника, то с некоторыми общими рекоменда
циями, позволяющими наметить последовательность важнейших этапов их решения, целесообразно познакомиться заранее на примерах.
П р и м е р ' ! . Даны три скрещивающиеся прямые b, I и т. Постро
ить прямую а, параллельную прямой b и пересекающую прямые I и т (черт. 1).
И скомая прямая должна -отвечать трем условиям: 1) быть п ар ал лельна прямой Ь, 2) пересе
кать прямую 4 3) пересекать прямую ш.
Поставим вопрос так: что представляет собой множест
во прямых, параллельны х -прямой b и пересекающих
прямую I?
Поскольку через каждую точку прямой / можно про
вести прямую, параллельную прямой Ь, то искомым мно
жеством М j будет плоскость а, определяемая прямыми /
и с (с и Ь).
Ставя аналогично вопрос о множестве М 2 прямых, отве-
Ч с р т . 1 8
чающих первому и третьему условиям задачи, получим вторую плоскость р, которая определяется * прямыми т и d (d\\ Ь).
Пересечение двух • множеств (М = М t fj М г) — прям ая а = а П р будет отвечать всем трем условиям задачи. Эта прямая а и является искомой.
П р и м е р II. Через точку А провести прямую, составляющую с плоскостями проекций П і и П2 соответственно углы гр и ty.
Расчленим требование задачи на части, поставив перед собой сле
дующие вопросы:
I. Что представляет собой множество прямых, проходящих через точку А и образующих с плоскостью П t угол 9?
• 2. Что представляет собой множество прямых, проходящ их через точку А и образующих с плоскостью П2 угол Ф?
Множество прямых, удовлетворяющих первому условию, зап о л няет коническую поверхность вращения с вершиной в точке А и осью, перпендикулярной к плоскости n t. Образующие этого конуса составля
ют с плоскостью ПI угол ф .
Точно так ж е множество прямых, удовлетворяющих только второ
му условию, заполняет другую коническую поверхность с той ж е вер
шиной Л, но с осью, перпендикулярной к плоскости П 2. Образующие второго конуса составляю т с плоскостью П2 угол
Образующие двух конических поверхностей, по которым они пере
секаются, и будут представлять собой искомое решение.
Решение принято заверш ать исследованием, в процессе которого требуется выяснить, при каких условиях решение задачи существует, сколько решений имеет задача. Иногда это число зависит от величин заданных углов, длин заданных отрезков.
Так, в рассматриваемой задаче решение существует, если выполня
ется условие 0 < ф - f Ф 90
Искомых прямых будет четыре, если соблюдаются неравенства 0 < ф + Ф < 90°, В этом случае две конические поверхности пе
ресекаются по четырем образующим. П ри их касании, когда ф- f ф ~
= 90°, решением задачи будут две прямые.
Наконец, когда ф -|- 0 и обе конические поверхности вырож да
ются в плоскости, искомым решением будет единственная прямая, перпендикулярная к плоскости П 3.
П р и м е р Ц1. Построить сферу, описанную около данного тет
раэдра SА ВС.
Эта задача сводится к определению полож ения центра сферы — точки О, равноудаленной от четырех заданных. Искомая точка должна быть такой, чтобы выполнялось равенство четырех расстоя
ний
О А = О В « ОС = OS.
Расчленим и в этом случае требование задачи на ряд услови й:
1)” О А = ОВ, 2) О А =. О.С, 3) О А = OS.
Будем удовлетворять каждому условию порознь.
9
Если точка О удовлетворяет только первому условию, то она д о лж на принадлеж ать плоскости а, перпендикулярной к отрезку А В и про- ходящей через его середину. Каждому из остальных условий соответ
ствует аналогичная плоскость. Обозначим их J3 и ү. Пересечение трех плоскостей а, р и
у
даст искомый центр сферы, т. е.О ~ a
fj flf] 7-Рассмотренные примеры показывают, что часть конструктивных задач на построение геометрической фигуры, отвечающей ряду условий, удается решить методом «пересечения множеств», содержание которого в общем виде можно описать следующим образом.
Пусть искомое множество точек М (некоторая геометрическая фигура) должно отвечать ряду условий, ряду характеристических свойств,'которы м должны обладать элементы этого множества.
Тогда прежде всего необходимо расчленить поставленное требование задачи на-отдельные части, на отдельные условия.
Д алее, следует последовательно определить те множества М ..., М п, каждое из которых удовлетворяет соответствующему условию или отдельной группе условий и обладает требуемыми характери сти ческими свойствами.
Н аконец, остается определить те и только те элементы, которые принадлежат одновременно каждому из найденных множеств М\ , М а, ..., М п, т. е. определить их пересечение (подмножество, являю щ ееся общей частью п множеств),
Некоторые задачи не позволяют отнести их только к одному из указанны х выше видов, так как в них содержатся и элементы метрики, и требования взаимной принадлежности, и необходимость построения геометрических образов, отвечающих определенным условиям.
Т акие задачи включены во многие главы настоящего сборника.
Приступая к решению любой задачи по начертательной "геометрии, необходимо сосредоточить внимание на том, что является ц е л ь ю з а дачи. Что требуется? Что дано? В чем состоит условие? Возможно ли удовлетворить его?
Очевидно, это те вопросы, которые необходимо ставить перед собой, осмысливая содержание задачу*-/~
Начальный этап работы — понимание у с т а н о в к и задачи.
Второй этап связан с определением пути решения. Здесь устанав
ливается связь между данными и неизвестными. Его ц е л ь — составле
ние плана решения.
Последующий этап •— реализация плана при тщательном контро
ле за каждым шагом, приближающим к результату.
И, наконец, — а н а л и з полученного решения. При каких усл о
виях оно возможно? Единственно ли оно?
Из приведенных выше общих рекомендаций можно сделать вывод, что методика решения задачи есть нечто иное, как определение пос
ледовательности «важнейших шагов, в результате которых было найдено решение, мотивы и позиции, подсказывающие эти ша
ги» [16]. '
10
2. ОСНОВЫ РОДСТВЕННОГО СООТВЕТСТВИЯ
Черт, 4
П Л О С К О С Т И .
Это соответствие на
зывается аффинным,’ или родственным.. Очевид
но, ему присущи инва
рианты параллельного проецирования. П рям ая р в данном случае я в л я ется двойной и назы ва
ется осью родства.
Так как .вращение плоскости * возможно в двух направлениях, родственные фигуры могут располагаться по разные стороны (черт. 3) и по одну сторону (черт.
4) от оси родства.
Прямые, соединяю
щие родственные точ
ки, параллельны меж
ду собой.
Ч е р т . 3
Геометрические преобразования, с которыми связано решение мно
гих задач, основываются на свойствах аффинного (родственного) соответствия, краткое изложение сущности которого приводится ниже.
Спроецируем в неко
тором направлении s точки плоскости П на плоскость ГГ (черт.
2).
Тогда между точеч
ными полями обеих плос
костей устанавливается соответствие, обладаю щее свойствами п арал
лельного проецирова
ния.
Затем вращением од
ной из плоскостей вок
руг прямой р совместим ее с другой плоскостью.
После совмещения плоскостей П и П ' будет установлено соответст
вие двух плоских по
лей одной и той ж е
Родственное соответствие может быть установлено заданием оси родства и парой родственных точек.
Так, если даны ось родства р и пара родственных точек _ А и А ' (черт. 5), то, задав любую точку В, можно построить родственную ей точку В (. Д л я этого соединим точки А И В прямой I и продолжим ее - до пересечения с осью родства р. Т ак как точка L = L ' д в о й н а я ,т о
прямой / соответствует прямая Г, проходящ ая через точки V и А ' .
Теперь через точку В проведем прямую, параллельную направлению родства А А ' , и в пересечении с прямой I' найдем точку В*, Построе
ние точки С, родственной точке С \ дано- без пояснений. Н а этом ж е чертеже показаны родственные треугольники A B C и А ’В ’С‘.■ Т ак ая конфигурация часто применяется при решении задач. Отметйм, что со
ответствующие стороны родственных треугольников пересекаются на
оси родства. -
Аналогично можно показать, что родственное соответствие уста
навливается заданием: 1) двух пар родственных пересекающихся прямых; 2) парой родственных точек и парой родственных прямых;
3) тремя парами родственных точек.
• Все указанны е способы задания родства сводятся к рассмотренно
му выше первому способу, для чего следует найти ось родства как двойную прямую соответствия, а направление родства во всех случа
ях определено. .
Можно показать, что в родственном соответствии двух плоских полей существуют две перпендикулярные прямые, для которых род ственные им прямые такж е перпендикулярны.
Действительно, если родственное соответствие установлено одним из указанных способов (черт. 6), то следует найти ось родства р и в
12
середине отрезка А А ' восставить перпендикуляр к нему до пересече
ния с осью родства; затем из точки С, как из центра, описать о к р у ж ность; тогда перпендикулярные прямые М' А* Ш N А ' будут родствен
ны перпендикулярным пряным М А и N A . Н аправления таких прямых называются г л а в н ы м и н а п р а в л е н и я м и плоских полей.
Ф игура, родственная окружности,
назы вается эллипсом. Исполь- \ t
зу я инварианты родственного соответствия, можно показать, что: 1) эллипс обладает центром симметрии; 2) у' эллйпса имеются
\ А у
'Р Ч / А /
Д -
*
Ч ерт. 6 Ч ер т. 7
М
сопряженные диаметры, т. е. диаметры, каждый из которых делит по
полам хорды, параллельны е другому диаметру; 3) касательная к эллипсу в конце одного из диаметров параллельна сопряженному с ним диаметру.
Все эти свойства эллипса легко установить на черт. 7. Если же найти главные нап рав
ления в данном родст
ве, то определятся оси А ' В ' и C'D' эллипса как' отрезки, родственные двум взаимно п е р п е н
дикулярным -диаметрам А В и CD окруж ности.
И спользуя родство, решение многих задач, связанных с эллипсом, можно упростить.
Так, если нужно про
вести через -то ч ку М прямые, касательные к эллипсу, заданному соп
ряженными диаметрами А В и CD (черт. 8), то
13
построения эллипса можно избежать. Д л я этого на отрезке Л В, как на диаметре, строим окруж ность и прямую А В принимаем за ось род
ства р. Родство установлено. Точкам А, В, С и D соответствуют точки А \ В', С7 и D' . Далее, построим точку М*, родственную точке М, и через нее проведем прямые t\ и t2, касательные к окруж ности. Тогда родственные им прямые t t и /2 будут искомыми касательными к эллип
су в точках Т t и Т 2.
На этом примере видно, что все построение выполнено с помощью прямых и окружностей, без вычерчивания эллипса. Такое решение является простым и достаточно точным.
, - _ д і . -• . - Т-’ t ; *7: .-;■..
3. З А Д А Ч И Н А РОДСТВЕННОЕ СООТВЕТСТВИЕ
1. Родство задано осью р и парой родственных точек А и А ' (черт. 9). Построить точку В, родственную точке В'.
р .
А ' 0
°В
Ч ерт. 9
2. Построить отрезок А ' В ' , родственный отрезку А В, если задана ось р и конец А ' искомого отрезка (черт. 10).
3. Построить линию, родственную заданной, зная полож ение оси родства р и двух соответственных точек (черт. 11— 14).
Черт. 12 14
Ч ер т. ІЗ
4. Построить треугольник Л ' В ' С ' , , родственный треугольнику ЛВС, если родство задано двумя парами родственных прямых а и а b и Ь' (черт. Г5).
5. Построить четы рехугольник A BCD, родственный четы рехуголь
нику A ' B ' C ' D 1 у если родство задано двум я парами родственных п р я
мых а и а!, b и Ь', причем а Ц b .
6. Построііть кривую т ' , родственную кривой т, если родство з а дано тремя парами родственных точек А и А В и В', С и С (черт. 16).
15
7. Д аны четырехугольник A B C D и три вершины А \ В', С род
ственного ' четырехугольника A ' B ' C ' D ' . Н е пользуясь осыо родства, построить четвертую вершину D' (черт., 17).
.8. Родство задано одной парой родственных прямых а и а‘ и одной парой родственных точек А и А ' . Построить прямую Ь, родственную заданной прямой Ь[ (черт. 18). .
9. Родство задано двумя родственными треугольниками A B C и А ' В ' С 1 (черт. 19), Найти на двух произвольных данных прямых а и b пару родственных точек Т и Г . , и
В
16
10. Родство задано двумя парами родственных прямых а и а'у b u b ' . Н а каждой из трех пар данных прямых /і и / 2, и пи, th и IU найти пару родственных точек (черт. 20, 21).
11. В родстве, определя
емом осью р и направлением s, даны две пары родствен
ных прямых / и / ', Һ и Һ' (черт. 22). 'Построить родст
вен иые четырехугольники A BCD зі A ' B ' C ' D ' .
12. Даны ось и направле
ние родства. Найти родствен
ный данному отрезку А В отрезок А ’В* данного нап рав
ления.
13. При заданны х оси и направлении родства постро
ить отрезок А ' В ' данной длины, родственный задан
ному отрезку А В.
14. По совмещенному положению A BCD квадра
та A BCD построить его па
раллельную проекцию
A ' B ' C ' D зн ая положение оси р, следа плоскости квад
рата и проекцию вершины А ' (черт. 23).
Ч е р т . 2L
Ч е р т . 22
17
15. Даны ось родства и треугольник ЛВС. Построить прямоуголь
ный треугольник А ' В ' С ' , родственный данному так, чтобы один к а
тет его проходил через заданную точку.
16. Построить треугольник А ' В 1 С1, подобный равнобедренному треугольнику Аі Ві Сі и находящийся в родственном соответствии с треугольником Л В С (черт. '24).
Указ ание. З а ось родства принять одн у из сторон тр еугол ьн и к а A B C ,
17. При заданной оси родства установить родство так, чтобы дан ному параллелограмму A BCD соответствовал квадрат (черт. 25).
18. Д аны треугольник /1 ВС, ось и направление родства. Построить прямоугольный треугольник А 1 В ' С , родственный данному.
19. Построить эллипс, родственный заданной окружности, если дана ось родства р. Центр 0 эллипса задать произвольно (черт. 26).
Ч ерт. 24
В
С
р
Ч ер т. 25
Р
Черт. 26 18
І
20. Построить точки пересечения прямой I с эллипсом, заданным парой сопряженных диаметров А В и -CD (черт. 27).
2 J. В точке пересечения прямой / с эллипсом построить касательные к нему (см. задачу 20).
22. Даны оси эллипса. Построить сопряж енные диаметры эллипса, если один из них параллелен заданному направлению.
23, Известно, что данный параллелограм м A BCD родствен квадрату (черт. 28). Построить эллипс, родственный окруж ности, вписанной в квадрат. ■
КОШІЛВКСЯЬІЕ ЧЕРТЕЖИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ
ПРОЕКЦИЯХ -
ч а с т ь і - г ;
Г л а в а 1
Т О Ч К А , П Р Я М А Я И ПЛОСКОСТЬ Н А К О М П Л ЕК С Н О М Ч Е Р Т Е Ж Е
§ 1. О С Н О В Н Ы Е П О Л О Ж Е Н И Я
В качестве примеров рассмотрим две основны е задачи на взаи м ную п р ин ад
л еж н ость точки, прямой и плоскости, которым посвящ ен § 3 настоящ ей главы.
З адач а I. П остроить проекции произвольной прямой I плоск ости а, которая задан а «пересекающ имися прямыми т и п (черт. 29). •
В осп ол ь зуем ся основной аксиомой .при надлеж ности , утвер ж даю щ ей , что прям ая пр ин адл еж и т плоск ости, если две точки этой прямой п р и н адл еж ат той ж е пл оск ости. Н а заданны х прямых"*»! и п отмечаем произвольны е точки А £ гп и В £ п, которые и определяю т иском ую п р я м у ю -/(Һ, / 2), Одна из д в у х точек, А или В , мож ет быть несобственной, и тогда аксиома п р ин адлеж н ости ф ор м ул и р уется так: прям ая прин адлеж и т плоскости, если имеет с п л о ск о ст ь ю .о д н у о б щ ую точку.И пар аллельн а какой-либо прям ой, р асп ол ож ен н ой в этой пл оск ости ..
Н а черт. 30 пок азан ы проекции прямой /, прин адлеж ащ ей плоскости а ( т п я)- Эта прямая пересек ает прямую п в точк е А и параллельна прямой т. .
Черт. 29 20
Черт. 30
Задача II. П остроить проек ци и точки А (черт. 31), которая пр ин адлеж и т плоскости общ его пол ож ен и я а ( т || п). Е сли точка расп ол ож ен а з пл оск ости , то из тр ех координ ат, оп ределяю щ и х ее пол ож ен и е в пространстве, п р ои зв ол ь
но м ож но задавать только две. Эти две координаты (в общ ем сл учае любые две из трех)* позволяю т построить только одну проекцию точки, нап рим ер , А о
ф ронтальную . .
Қак найти ее гор изон тал ьную проекцию? Д л я этого восп ользуем ся в спо
могательной прям ой, которую проведем по плоскости а через точку Л. Заметим, что таких прямых м о ж н о 'п р о в ест и бесчислен ное м нож ество. Одна из них и
Ч ерт. 32
представлена на эпю ре. П р е ж д е всего через задан н ую ф ронтальную проекцию А 2 точки проведейа однои м ен ная проекция L вспомогательной п р ям ой .“Ее про
екция Һ построена с помощью точек В и С, в которых прямая I пересекает д а н ные прямые т и п. И ском ая гор и зон тал ьн ая проекция Л і точки А определена пересечением Һ и линии проек ци онн ой связи.
Если ж е плоскость а — п р оец ир ую щ ая, то не
обходим ость обращ ения к - вспом огательной прямой / . отпадает. В этом сл учае гор и зон тал ьная проекция А 1 точки А д о л ж н а быть р а сп ол ож ен а на одн ои м ен ном следе И] п л о ск о ст и ’ а (черт. 32).
С ледует иметь в виду,, что по гор изон тал ьной пр оек
ции В j точки В в рассм атриваем ом частном сл уч ае р а сп ол ож ен и я плоскости a(aj.T Ix) нельзя о д н о зн а ч но опр еделить п ол ож ен и е ф ронтальной проекции В 2. К аж дая точка гор изонтального- следа a i п л о ск о с
ти а м ож ет рассм атриваться как проекция го р и зо н тально проецирую щ ей прямой т, п р и н адл еж ащ ей плоскости а. Точно так ж е каж дой точке ф ронталь
ного следа [5а плоск ости ^ ( Р ± П 2) будет соответство
вать ф ронтально п р оец и р ую щ ая прям ая .п (черт. 33).
Отмеченной особен н ость ю п р оец и р ую щ и х пл ос
костей- пол ьзую тся при оп р едел ен и и точек их пере
сечения с прямой I (см. § 8).
2І
’ 'і ■■■# ,vy
§ 2. И З О Б Р А Ж Е Н И Е ТО ЧКИ,- П РЯМ ОП И ПЛОСКОСТИ
24, Проставить условные обозначения точек, прямых и плоскостей (черт. 34, 35) и дать пх определение.
Ч е р т . 35
25. Д остроить наглядные изображения геометрических образов и дать их комплексный чертеж (черт. 36—39).
23
26. Построить наглядны е изображения геометрических образов, данных на комплексном чертеже: 1) отрезки Прямых частного поло
ж е н и я (черт. 40); 2) плоскость уровня (черт. 41); 3) плоскость общего полож ения (черт. 42).
27. Определить в миллиметрах координаты точек, которыми з а д а - . ны геометрические образы (черт. 40—42). .
2 8 .'П остроить на комплексном чертеже геометрические образы по заданным координатам их точек:
1) точки А (80, 20, 40); 5(50, 0, 20); С£30, 20, 0);
2) прямые а(А, В): ^4(80, 30,- 40); В(20, 30, 40); . b{C, £>): 0(40,70,10); D(40,10,70);
c(E,F): Е(50, 0, 60); Ң 0 , 60, 20);
3) плоскости с/.(А,В,С): Л(60, 0, 50); 5(40, 40, 0); <7(0,30, 40);
' р(£), E,F): D(\ 0, .20, 0); £(40, 70, 0); F(Q0, 40, 0).
24
29. Д ать комплексный чертеж точки А, расположенной в первой четверти пространства на расстоянии 20 мм от плоскости П ь 30 мм от плоскости По и 50 мм от оси Оу.
30. Построить точку В, симметричную точке А относительно плос-, кости П і, и точку D, симметричную точке С относительно оси Ох
(черт. 43).
V
^*2
%
fiI
1С
Черт. 43 Ч ер т. Һ/|
31. Построить прямую Ь, симметричную прямой а относительно плоскости П2 (черт.-44), и прямую с, симметричную той ж е прямой относительно горизонтально проецирующей плоскости с (о1).
§ 3. ВЗАИМ НОЙ РА С П О Л О Ж Е Н И Е Т О Ч К И , П РЯ М О Й и.П Л О С К О С Т И
32. Определить недостающие проекции точек А {А 2) и В(Ві), при
надлежащих прямой / (черт. 45). Н а этой ж е прямой найти положение точки С, у которой Zc ~ 2 2 ^ .
33. На отрезке прямой А В опреде- Аг лить недостающую проекцию точки
Mi Mz ) (черт. 46). М0
В /
Ч е р т . 45 Ч е р т . 46
2 5
34. Н а прямой / общего положения определить точки А и В, у к о торых соответственно Шл = Q и У в — 0.
35. У казать точки на поверхности земли, в которых должны быть закреплены растяж ки перекладины А В (черт. 47).
\ / Ч ерт. 47
B j /
36. Разделить отрезок А В прямой общего положения точкой С в отношении 2 : 3 и отрезок D E профильной’ прямой точкой F в отно
шении 1 : 3 . . - '
37. Через точку А провести горизонтально проецирующую прямую а и горизонталь Һ под углом 45° к плоскости П 2.
38. Через точку В провести фронтально проецирующую прямую b и фровталь f под углом 60° к плоскости П і. '
39. Через точку С провести прямую Һ, являю щ уюся одновременно горизонталью и фронталыо.
40. Определить положение центра тяж ести трех одинаковых масс, сосредоточенных в точках А, В , С, (черт. 48). .
4 !. Построить недостающие проекции прямой /(/2) и точки D ( D ]), принадлеж ащ их плоскости a (ABC) (черт. 49).
42. Построить недостающие проекции прямой /(/2) и кривой т (/яО, расположенных в плоскости а (а || Һ)’ (черт. 50).
43. Достроить фронтальную проекцию плоского пятиугольника (черт. 51).
Ч ер т. 51
44,, Достроить: 1) в плоскости а(а || Ь) горизонтальную проекцию прям ой 'm(m2) (черт. 52); 2) в плоскости р(а п Ь) фронтальную проек
цию треугольника А В С ( А {ВхСi) (черт. 53).
Черт. 52 Черт. 53
27
45. Через точку А провести горизонтальную плоскость S(o2) и горизонтально проецирующую плоскость о(оі) под углом 30- к
плоскости П 2. '
46. Через прямую д провести горизонтально проецирующую плоскость с(а [[ Ь) и фронтально Проецирующую- плоскость (3(а f | с).
47. Построить плоскость а (ABC), точки которой равноудалены от плоскостей Ilf и П 2.
48. Построить плоскость а (а р b), точки которой удалены от плоскости П і на расстояние в два раза больше, чем от плоскости П 2.
49. Задавш ись прямой а общего положения и точкой Л, не л еж а
щей на этой прямой, провести через точ-~
- ң ку А горизонталь. Һ и фронталь }, пере
секающиеся с прямой а.
50. Построить произвольные гори
зонталь и фронталь в плоскости: I) об
щего положения; 2) фронтально проеци
рующей; 3) горизонтально проецирую щей.
5 1. В плоскости а(Л ВС) общего по
ложения построить точку, удаленную от плоскости Пі на 30 мм и от плоскос
ти П2 на 40 мм. В этой ж е плоскости построить множество точек, равноуда: ' ленных от плоскостей n t и П 2.
А; • 52. Материальные точки Л и В од
новременно начинают- свободно падать.
ЧеРт * 54 У казать положение точки В в мбмепт соприкосновения . точки Л с поверХ_
■ постью земли (черт. 54).
53. Н а горизонтальной и фронтальной плоскостях проекций опре
делить видимость точек: 1) А и В\ С и D (черт. 55); 2) С, D, ^ р (черт. 56).
я 8 п
'90z ~D2
Ъ £ 1
Ч е р т . 55 . - Ч е р т . 56
28
54. Определить видимость заданных точек М и N, считая плоскость а(АВС) -непрозрачной (черт. 57),
5 5 .‘Определить видимость прямых т и / в точках пересечения их одноименных проекций (черт. 58).
Черт. 57
56. Определить взаимное расположение прямых т и I (черт. 59).
57. Через точку С провести прямую т? параллельную прямой I (черт. 60, 61).
и * ^ 2 ,
Ч е р т . 60 ~
О Со
О С,
Ч е р т . Gt 29
58. Достроить эпюр, показав на нем изображение второго провода и обеих, параллельны х между собой, штанг троллейбуса (черт. 62).
59. Построить параллелограмм A BCD, диагональю которого я в л я ется отрезок А С (черт. 63).
т 0
Аг
п
Ч ер т. 62 Ч ерт.
60. Через точку С провести горизонтальную прямую Һ, п ар ал л ел ь
ную плоскостям: 1) а(а q b) (черт. 64); 2) $(а || Ь) (черт. 65).
30
Ч е р т . 64 Черт. 65
