Проф. X. А. А Р У С Т А М О В
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
С РЕШЕНИЯМИ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для высших учебных заведений
ИЗДАНИЕ ДЕВЯТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
М о с к в а « М А Ш И Н О С Т Р О Е Н И Е » 1 9 7 8
515 А 86
УДК 515 (076.1)
> Ьіібдуц
ИН&.
Арустамов X. А.
А86 Сборник задач по начертательной геометрии. И зд. 9-е, стереотип. Учебное пособие для студентов вузов. М., «Маши
ностроение», 1978. 445 с. с ил.
В каждой главе сборника даны краткие сведения по начертательной геометрии, решенные типовые примеры, знакомящие студентов с методикой решения задач и графическим оформлением эпюров, задачи для самостоятельного решения студентами, а в некоторых главах приведены вопросы для самопро
верки.
Книга допущена Министерством высшего и среднего специального образо
вания СССР в качестве учебного пособия для студентов вузов.
30105-°37 - 037-78 515
038(01)-78
ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот сборник предназначен для студентов, изучающих курс начертательной геометрии по программе, утвержденной Министерством высшего и среднего спе
циального образования СССР для высших учебных заведений.
В сборнике, кроме задач для самостоятельного решения и типовых примеров, знакомящих студентов с методикой решений задач и графическим оформлением эпюров, в каждой главе помещено краткое изложение теории, а в некоторых главах (I, II, IV и XIX) приведены вопросы для самопроверки.
На основании личного многолетнего наблюдения занятий студентов автор настоятельно рекомендует всем, начинающим изучать начертательную геометрию, следующий порядок работы:
1) изучить теорию соответствующего раздела по учебным пособиям, рекомен
дованным Министерством высшего и среднего специального образования СССР;
2) прочитать краткое изложение теории, приведенное в прорабатываемой главе сборника, и ответить на вопросы для самопроверки;
3) л и ч н о полностью проделать все построения по примерам, решенным в данной главе, придерживаясь текста сборника;
4) приступить к систематическому решению задач — по указанию преподава
т е л я или по личному выбору.
Сборник задач могут использовать также лица, изучающие начертательную геометрию самостоятельно или обучающиеся в заочных институтах.
Наличие в сборнике значительного числа задач облегчает подбор материала для упражнений, контрольных, домашних и экзаменационных заданий, в чем особенно нуждаются начинающие педагоги.
Р А З Д Е Л П Е Р В Ы Й
Г л а в а I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ВОПРОСЫ Д Л Я САМОПРОВЕРКИ
Изобразить две плоскости, принимаемые в ортогональном проектировании за плоскости проекций, написать на них названия и обозначения плоскостей, пол, четвертей пространства (фиг. 1, 2) и полностью формулировать ответы на сле
дующие вопросы.
1. Что называется осью проекций?
2. Какими полами плоскостей проекций ограничены четверти пространства:
первая, вторая, третья и четвертая?
3. Что служит границей между указанными четвертями пространства: между первой и второй, между третьей и четвертой, между первой и четвертой, между второй и третьей?
4. Перечислить четверти пространства, расположенные н а д горизонтальной плоскостью проекций, п о д горизонтальной плоскостью проекций, п е р е д верти
кальной (фронтальной) плоскостью проекций, з а вертикальной плоскостью проекций.
5. Какое положение занимает относительно плоскостей проекций произвольная точка, находящаяся в первой четверти пространства, во второй, в третьей, в четвертой четвертях пространства?
6. Где лежит точка, если она находится между первой и четвертой четвертями пространства, между второй и третьей, между первой и второй, между третьей и четвертой четвертями пространства?
7. Где лежит точка, находящаяся на границе всех четырех четвертей прост
ранства?
8. Что называется прямоугольной проекцией пространственной точки на про
извольную плоскость?
9. Что называется горизонтальной проекцией точки, вертикальной проекцией точки?
10. На каких полах плоскостей проекций лежат проекции произвольной точки, находящейся в первой четверти пространства, во второй, в третьей, в четвертой?
11. Где находятся проекции точки, лежащей на передней поле горизонтальной плоскости проекций, на задней поле горизонтальной плоскости проекций, на верхней поле вертикальной плоскости проекций, па нижней иоле вертикальной плоскости проекций, на оси проекций?
12. Что характерно для всех точек горизонтальной плоскости проекций, вертикальной плоскости проекций?
13. Где может находиться точка, если ее горизонтальная проекция лежит на передней поле горизонтальной плоскости проекций, на задней поле горизон
тальной плоскости проекций; ее вертикальная проекция лежит на верхней поле вертикальной плоскости проекций, на нижней поле вертикальной плоскости проекций?
14. Что такое эпюр точки и как перейти от пространственного чертежа к эпюру?
5
15. Какие полы плоскостей проекций после их совмещения находятся н а д осью проекций, п о д осью проекций?
16. Где находится точка, если ее горизонтальная проекция на эпюре распо
ложена н а д осью проекций, п о д осью проекций; ее вертикальная проекция расположена н а д осыо проекций, п о д осью проекций?
Г л а в а I I
ТОЧКА
Точки пространства обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В, С, D и т. д.
Проекции этих точек обозначают соответственно малыми буквами: a, b ,c ,d n т. д.
При этом обозначение вертикальной (фронтальной) проекции точки, в отличие ог обозначения ее горизонтальной проекции, всегда снабжают знаком ' («прим»).
Например, горизонтальную проекцию точки Д обозначают через а, вертикальную же ее проекцию — через а'.
Обе проекции одной и той же точки — горизонтальная и вертикальная — лежат на общем перпендикуляре к оси проекций.
Если в пространстве то на эпюре1
1) точка находится в первой чет- горизонтальная проекция точки лежит
верти, под осью проекций, а вертикальная ее
проекция — над осыо проекций;
2) точка находится во второй чет- обе проекции точки — горизонтальная и
верти, вертикальная — лежат над осью проек
ций;
1 Наоборот, если на эпюре горизонтальная проекция точки лежит иод осью проекций, а вертикальная ее проекция — над осыо проекций, то в пространстве точка находится в первой четверти.
Если на эпюре обе проекции точки — горизонтальная и вертикальная — лежат над осью проекций, то в пространстве точка находится во второй четверти и т. д.
Указанные условия (между пространством и эпюром) сохраняют в каждом случае свою закономерность и для обратной зависимости, (между эпюром и пространством).
3) точка находится в третьей чет
верти,
4) точка находится в четвертой чет
верти,
горизонтальная проекция точки лежит над осью проекций, а вертикальная ее проекция — под осыо проекций;
обе проекции точки — горизонтальная и вертикальная - лежат под осыо проек
ций.
Любая точка горизонтальной плоскости проекций имеет свою вертикальную проекцию на оси проекций.
Любая точка вертикальной плоскости проекций имеет свою горизонтальную проекцию на оси проекций.
Если обе проекции точки совпадают и лежат на оси проекций, то точка находится на оси проекций.
Расстояние у — от горизонтальной проекции точки до оси проекций — равно расстоянию от самой точки до вертикальной плоскости проекций.
Расстояние г — от вертикальной проекции точки до оси проекций — равно расстоянию от. самой точки до горизонтальной плоскости проекций.
Координата z положительна для точек, расположенных н а д горизонтальной плоскостью проекций, и отрицательна для точек, расположенных п о д горизон
тальной плоскостью проекций.
Координата у положительна для точек, расположенных п е р е д вертикальной плоскостью проекций, и отрицательна дчя точек, расположенных за вертикальной плоскостью проекций.
ВОПРОСЫ Д Л Я САМОПРОВЕРКИ Полностью формулировать ответы на следующие вопросы:
1. Как принято обозначать точки пространства?
2. Как обозначают проекции пространственной точки и по какому признаку их различают между собой?
3. Как расположены на эпюре проекции одной и той же пространственной точки относительно оси проекций?
4. Имеет ли смысл эпюр, когда перпендикуляры, опущенные из проекций точки на ось проекций, взаимно смещены?
5. Как понимать выражение: «дана пространственная точка»?
6. Где на эпюре лежат проекции произвольной точки, находящейся в первой четверти пространства, во второй,, в третьей, в четвертой четверти пространства?
7. При каком задании точки в пространстве возможно совпадение вне оси проекций ее горизонтальной и вертикальной проекций?
8. Как восстановить положение пространственной точки по ее проекциям?
9. Где на -эпюре лежат проекции точки, находящейся на передней поле горизонтальной плоскости проекций, на задней поле горизонтальной плоскости проекций, на верхней иоле вертикальной плоскости проекций, на нижней поле вертикальной плоскости проекций?
10. Как обозначают расстояние от точки в пространстве до горизонтальной плоскости проекций, до вертикальной плоскости проекций?
11. Чем измеряется на эпюре расстояние от точки в пространстве до гори
зонтальной плоскости проекций, до вертикальной плоскости проекций?
12. В каких четвертях пространства координата z точки положительна, отри
цательна?
13. В каких четвертях пространства координата у точки положительна, отри
цательна?
14. Какие знаки имеются у координат у, z точки, находящейся в первой четверти пространства, во второй, в третьей, в четвертой четверти пространства?
15. Какую координату определяет на эпюре горизонтальная проекция точки, вертикальная проекция точки?
16. Как откладывать на эпюре отрезок, определяющий координату г, если она положительна, отрицательна; отрезок, определяющий координату у, если она положительна, отрицательна?
7
ПРИМЕРЫ Пример 1
П о ст р о и т ь эп ю р п рои звольной точки А , н аход ящ ейся во вт о р о й чет
ве р ти п р о стр ан ства и удаленной о т го р и зо н та ль н о й плоскости проекций н а 32 м м , а о т вертикальной п лоскости проекций н а 18 м м (фиг. 3).
- Р е ш е н и е . Задаем на оси проекций произвольную точку ах и через нее проводим перпендикулярно оси проекций прямую. Обе проекции (а, а!) искомой точки А будут лежать на этом перпендикуляре и находиться над осью проекций.
Для того чтобы выдержать заданные расстояния от точки до плоскостей проекций, необходимо, чтобы расстояние от горизонтальной проекции точки до оси проекций равнялось 18 мм (расстояние от точки до вертикальной плоскости проекций), а расстояние от вертикальной проекции точки до оси проекций — 32 мм (расстояние от точки до горизонтальной плоскости проекций). Теперь остается отложить в в е р х на перпендикуляре от точки ах отрезок длиной 18 мм и получить гори
зонтальную проекцию (а) точки, а затем отложить в в е р х отрезок длиной 32 мм и получить вертикальную проекцию (а') точки.
<ра‘ Фиг. 3 9 а Фиг. 4 <j><*
I I
I
I I
I 1 I а
X--- о-;
I
!
!I I I
I I
! Л ---^ --- о
X ---б£*--- о 'а ! * * ! , Фиг. 5 6 а' 6 а '
Пример 2
П о ст р о и т ь эп ю р п р о и звольн ой точки А ( — 24, —13) (фиг. 4).
Р е ш е н и е . Так как координаты точки (а, а’) отрицательны, она находится за вертикальной плоскостью проекций и п о д горизонтальной плоскостью проек
ций, т. е. в третьей четверти пространства. Задаем на оси проекций произвольную точку ах. Проведя через нее перпендикулярно оси проекций прямую, откладываем на ней в в е р х отрезок аха длиной 24 мм [у) и в н и з отрезок аха’ длиной 13 мм (г). Полученные проекции точки действительно соответствуют расположению точки в третьей четверти.
Пример 3
Д а н а г о р и зо н та л ь н ая проекция (а) точки А , находящ ейся в тр еть ей ч етверти п ространства. П о стр о и ть ее вертикальную проекцию (а') согласно условию (фиг. 5)
z = у + 15 м м .
Р е ш е н и е . Вертикальная проекция искомой точки должна лежать п о д осью проекций на прямой, проходящей через заданную горизонтальную проекцию точки перпендикулярно оси проекций. Расстоянием от горизонтальной проекции точки до оси проекций измеряется расстояние от точки А до вертикальной плоскости проекций (у). Следовательно, чтобы получить вертикальную проекцию (а') точки, достаточно провести через горизонтальную проекцию (а) точки перпендикуляр к оси проекций и отложить на нем от точки ах в н и з отрезок о,а' длиной аха + 15 мм.
<?а II II I
a ' 9 6 '
I *
II b $ a
I b 'i Фиг. 6
a i Фиг. 7
L I /
Фиг. 8 Пример 4
Д ан а точ ка А (12, 20). П о ст р о и т ь эпю р точ ки В, си м м етричной точке А относительно: г о р и зо н та л ь н о й п лоскости проекций (фиг. 6), вертикальной плоскости проекций (фиг. 7), оси проекций (фиг. 8).
Р е ш е н и е . Точка (а, а') задана в первой четверти.
1. Точка, симметричная ей относительно горизонтальной плоскости проекций, находится в четвертой четверти, т. е. В (12, —20). Построив эпюр точки (а, а'), откладываем на общем перпендикуляре
в н и з отрезки ахЬ длиной 12 мм (у) и ахЬ' длиной 20 мм (z).
2. Точка, симметричная ей относи
тельно вертикальной плоскости проекций, находится во второй четверти, т. е. В ( —12, 20). Построив, как и прежде, эпюр точки (а, а'), откладываем на общем пер
пендикуляре в в е р х отрезки ахЬ длиной 12 мм (у) и ахЬ' длиной 20 мм (z).
3. Точка, симметричная ей относи-
^ тельно оси проекций, находится в третьей четверти, т. е. В ( —12, —20). Построив, как и прежде, эпюр точки (а, а'), откладываем на общем перпендикуляре: в в е р х отре
зок ахЬ длиной 12 мм (у) и в н и з отрезок ахЪ' длиной 20 мм (z).
Пример 5
Д а н ы то ч к а А и го р и зо н та л ь н ая проекция точ ки В. В какой четверти н аход и тся то ч ка В, если р асстоян и е м еж ду их в ер ти к ал ьн ы м и проекц и ям и
>W р а в н о 25 м м (фиг. 9)?
Р е ш е н и е . Необходимо прежде всего найти вертикальную проекцию (bО точки В. Так как расстояние между вертикальными проекциями точек должно быть равно 25 мм, то точка Ь' должна лежать где-то на бкружностн радиуса 25 мм, описанной из точки а'. Вместе с тем точка £>' должна лежать и на перпен
дикуляре, опущенном на ось проекций из точки Ь. Таким образом, точку Ь' получаем на пересечении этого • перпендикуляра с окружностью. Этими точками являются Һ' и Ь\. Точка В может находиться в первой иди в четвертой четверти пространства.
В частном случае может получиться одно решение (когда?) или вообще не получиться ни одного решения (когда?).
9
ЗАДАЧИ
1. П о ст р о и т ь проекции точки А, находящ ейся в первой четверти п ро
стр ан ства, во вто р о й , в третьей, в четвертой четверти п ростран ства, и дать ее эп ю р (фиг. 10—13).
2. П о ст р о и т ь проекции точки А при условии г = 0 (фиг. 10 и 12), при условии у = 0 (фиг. 11 и 13) и д а ть их эпю р.
3. П о ст р о и т ь эп ю р п рои звольной точки А по за д а н н ы м к о о р д и н ат ам : у 15 25 25 - 2 5 - 2 0 - 3 0 35 0 - 3 0 0
z 25 - 4 0 - 2 5 - 1 5 35 30 0 —30 0 30
4. П о с т р о и т ь эпю р точки А, находящ ейся в указанной четверти, если д а н а од н а из ее проекций и зави си м о сть между коор д и н атам и (у = z + и) (фиг. 14 —17).
5. П о с т р о и т ь эп ю р точки А , находящ ейся в указанной четверти, если д а н а од н а из ее проекций и отнош ение расстояний о т это й точ ки до плоскостей проекций ( — = т ] (фиг. 18 —21).
Іч п-15 Шч п=20 о a X---о X---О
о а Фиг. 14
О а' Фиг. 15
Лч п=Ю
Фиг. 16
о а'
Шч п-2 5 Шч. т-1,5
о а' Фиг. 17
1ч т -2 Фиг. 18
о а Фиг. 19
о о
Лч. т=1 Фиг. 20
оа
Шч m = j Фиг. 21
“ 1--- I
? а I I I
Ob
Фиг. 22
6 . П о стр о и ть эпю р точ ки В, си м м етричной точ ке А ( —25, 30), отн оси тельно го р и зо н та л ь н о й плоскости проекций, вер ти кал ьн о й плоскости п р о екций, оси проекций.
7. Д ан ы то ч ка А и в е р ти к ал ьн ая проекция точ ки В. В какой четверти наход и тся то ч к а В, если расстоян и е м еж ду их го р и зо н та л ь н ы м и проекц и ям и рав н о 25 м м (фиг. 22)?
Г л а в а I I I
ПРЯМАЯ
Если в пространстве
1) прямая параллельна горизонталь
ной плоскости проекций,
то на эпюре1
вертикальная проекция прямой парал
лельна оси проекций, а горизонтальная ее проекция образует с осью проекций произвольный угол;
1 См. сноску на стр. 6.
II
2) прямая параллельна вертикаль- горизонтальная проекция прямой парад
ной плоскости проекций, лельна оси проекций, а вертикальная ее проекция образует с осью проекций произвольный угол;
3) прямая параллельна оси проекций, обе проекции прямой — горизонтальная и вертикальная — параллельны оси про
екций;
4) прямая расположена в плоскости, обе проекции прямой — горизонтальная перпендикулярной к оси проекций (про- и вертикальная - лежат на общем пер- фильная прямая), пендикуляре к оси проекций;
5) прямая перпендикулярна горизон- горизонтальная проекция прямой — тальной плоскости проекций (горизон- точка, а вертикальная ее проекция — тально-прөектирующая прямая), прямая, перпендикулярная к оси проек
ций;
6) прямая перпендикулярна верти- вертикальная проекция прямой — точка, кальной плоскости проекций (вертикаль- а горизонтальная ее проекция — прямая, но-проектирующая прямая), перпендикулярная к оси проекций.
ЗАДАЧИ
8. П о с т р о и т ь проекции п р ям о й А В и д а ть ее эпю р, если он а:
1) п ар а л л ел ь н а го р и зо н та ль н о й п лоскости проекций (фиг. 23);
2) п ар а л л ел ьн а вертикальной п лоскости проекций (фиг. 24);
3) п ар а л л ел ь н а оси проекций (фиг. 25);
4) п ерпендикулярна го р и зо н та ль н о й плоскости проекций (фиг. 26);
5) п ерпендикулярна верти кальн ой плоскости проекций (фиг. 27).
9. П р о ч и т а т ь эпю р о трезка А В (заполнить пропущ енное):
1) О т р е зо к А В н аходится в (?) четверти п ростран ства и ко н ц о м А уп и рается в (?) полу (?) плоскости проекций (фиг. 28).
2) О т р е зо к А В н аходится в (?) четверти п ростран ства и ко н ц о м А уп и рается в (?) (фиг. 29).
3) О тр е зо к А В находится в (?) четверти п ространства, располож ен п а р а л л ел ь н о (?) плоскости проекций и кон ц ом А упирается в (?) плоскость проекций (фиг. 30),
4) О т р е зо к А В н аходится в (?) четверти п ространства, р асп олож ен п ерпендикулярно (?) плоскости проекций и концом В упирается в (?) п олу (?) п л оск ости проекций (фиг. 31).
5) О тр е зо к А В н аходится в (?) четверти и концом А уп и рается в (?) п олу (?) п лоскости проекций (фиг. 32).
Фиг. 30
a 'l b ' Фиг. 31
13
Фиг. 33
l b '
Фиг. 35 Фиг. 36
6) О тр е зо к А В леж ит на (?) поле (?) плоскости проекций (фиг. 33).
7) О тр е зо к А В н аходится в (?) четверти, располож ен п ар а л л ел ьн о (?) п л о ск о сти проекций и кон ц ом А упирается в (?) полу (?) п л оск ости п р оек ц и й (фиг. 34).
8) О т р е зо к А В н аходится в (?) четверти, располож ен перпендикулярно (?) п л о ск о сти проекций и ко н ц о м А упирается в (?) полу (?) плоскости п р оек ц и й (фиг. 35).
9) О т р е зо к А В н аходится в (?) четверти и располож ен п ар а л л ел ьн о (?) (фиг. 36).
10) О тр е зо к А В леж ит на (?) поле (?) плоскости проекций (фиг. 37).
И ) О тр е зо к А В н аходится в (?) четверти и упирается к о н ц о м А в (?) п о л у (?) п лоскости проекций и кон ц ом В — в (?) полу (?) п л оск ости п роек
ций (фиг. 38).
12) О тр езо к А В леж и т на (?) п оле (?) плоскости проекций и р а с п о л о ж ен п ар ал л ел ьн о (?) (фиг. 39).
13) О тр езо к А В л еж и т на (?) поле (?) плоскости проекций и расп олож ен п ар а л л ел ьн о (?) (фиг. 40).
10. П о стр о и ть эп ю р о трезка А В , если он:
1) общ его полож ения, н аход ится во в т о р о й четверти и упирается к о н ц о м А в верти кальн ую плоскость проекций;
2) наход и тся в первой четверти, располож ен п араллельн о вер ти кал ьн о й плоскости проекций и упирается кон ц ом А в плоскость проекций;
Фиг. 34
Фиг. 37
Ь'
1
a ' І . л
[
Фиг. 39 • Фиг. 40
3) леж ит п р о и зв о л ь н о н а передней п о л е го р и зо н т а л ь н о й п лоскости проекций;
4) наход и тся в четвертой четверти, р асп олож ен перпендикулярно го р и зо н та л ь н о й пл оскости проекций, и его кон ец А. оди н аково у дален от плоскостей проекций;
5) наход и тся в тр еть ей четверти, р асп олож ен п а р а л л ел ь н о го р и зо н т а л ь ной п лоскости проекций и его конец А упирается в плоскость проекций;
6) н аход и тся в п лоскости би ссектора первой четверти и п ар ал л ел ен оси проекций;
7) н аход и тся в ч етвертой четверти, р асп олож ен п ар а л л ел ьн о в е р ти к а л ь ной п л о скости проекций и его к о н ец А о ди н аково у дален от плоскостей проекций;
8) общ его полож ения, н аход и тся в третьей четверти, упирается к о н ц о м А в го р и зо н та л ь н у ю п лоскость п роекций и его кон ец В оди н аково уд ал ен о т п лоскостей проекций;
9) леж и т н а верхней п оле вер ти к ал ьн о й п л о скости проекций И п а р а л лелен оси проекций;
10) н ах о д и тся во вт о р о й четверти, упирается к о н ц о м А в ось проекций и его конец В один аково у д ал ен о т п лоскостей проекций;
11) н аход и тся в третьей четверти, р асп олож ен перпендикулярно ве р ти кал ьн о й п лоскости проекций и упирается к о н ц о м В в плоскость проекций.
15
Г л а в а I V
ПРОЕКТИРОВАНИЕ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ
Изобразить три плоскости, принимаемые в ортогональном проектировании за плоскости проекций, написать на них названия и обозначения плоскостей, осей проекций, пол плоскостей проекций, октантов пространства (фиг. 41).
ВОПРОСЫ Д Л Я САМОПРОВЕРКИ Полностью формулировать ответы на следующие вопросы.
1. По какой оси пересекаются плоскости проекций: горизонтальная и верти
кальная, горизонтальная и профильная, вертикальная и профильная?
2. Какими координатными плоскостями являются плоскости проекций: гори
зонтальная, вертикальная, профильная?
3. Какими полами плоскостей проекций ограничены первый октант, второй и т. д. — др восьмого?
4. Что служит границей между указанными октантами: первым и четвертым, вторым и третьим, пятым и восьмым, шестым и седьмым; первым и вторым, третьим и четвертым, пятым и шестым, седьмым и восьмым; первым и пятым, вторым и шестым, третьим и седьмым, четвертым и восьмым?
5. Перечислить октанты, расположенные н а д горизонтальной плоскостью проекций, п о д горизонтальной плоскостью проекций, п е р е д вертикальной плоскостью проекций, за вертикальной плоскостью проекций; с л е в а от про
фильной плоскости проекций, с п р а в а от профильной плоскости проекций.
6. Какое положение занимает относительно плоскостей проекций произволь
ная точка, находящаяся в первом октанте, во втором и т. д., в восьмом?
7. Каким октантам принадлежит точка, лежащая на положительной оси ОХ, OY, OZ; отрицательной оси OX, OY, OZ1
8. На каких полах плоскостей проекций лежат проекции произвольной точки, находящейся в первом октанте, во втором и т. д., в восьмом?
9. Где находятся проекции произвольной точки, лежащей на плоскости: Н (или на Н и Н2, Я 3); К (или на V u V г, V 3); W(или на W u W2, Ғ 3); ± О Х ; +ОУ;
± O Z ?
10. Что- характерно для всех точек горизонтальной плоскости проекций, вертикальной плоскости проекций, профильной плоскости проекций?
11. Где может находиться точка в пространстве, если ее горизонтальная проекция лежит на Н (или на Я ь Н 2, Н 3); ее вертикальная проекция лежит на V (или на Vx, V?, Уз); ее профильная проекция лежит на W (или на W lt W 2, И^з)?
12. Какие полы плоскостей проекций после их совмещения будут находиться н а д осью ОХ, п о д осью ОХ; с п р а в а от оси OZ, с л е в а от оси OZ?
13. Начертить в совмещенном положении полы плоскостей проекций, ограни
чивающих первый октант, второй и т. д., восьмой?
14. При каком задании точки в пространстве ее горизонтальная проекция на эпюре будет находиться н а д осыо ОХ, п о д осью ОХ; с л е в а от оси OZ, с п р а в а от оси OZ1
15. При каком задании точки в пространстве ее вертикальная проекция на эпюре будет находиться н а д осью ОХ, п о д осью ОХ; с л е в а от оси OZ, с п р а в а от оси OZ?
16. При каком задании точки в пространстве ее профильная проекция на эпюре будет находиться н а д осью ОХ, п о д осью О Х; с л е в а от оси OZ, с п р а в а от оси OZ?
17. При каком задании точки, не лежащей на оси проекций, возможно совпадение ее вертикальной и горизонтальной проекций, ее вертикальной и про
фильной проекций, всех ее трех проекций?
Прежде чем ответить на дальнейшие вопросы (18—28), следует построить на пространственном чертеже в первом октанте проекции точки А йа три плоскости проекций и указать координаты самой точки и ее проекций (фиг. 42).
18. Какие координаты определяют горизонтальную проекцию точки, верти
кальную проекцию точки, профильную проекцию точки?
19. Какие проекции точки расположены, после совмещения плоскостей проек
ций, на общем перпендикуляре к оси OX, OZ4
20. Каков порядок нахождения по двум заданным проекциям точки ее третьей проекции? Как, например,, по горизонтальной и вертикальной проекциям точки найти ее профильную проекцию и т.д.?
21. Чем измеряется на эпюре расстояние от точки в пространстве до про
фильной плоскости проекций?
22. Что означает равенство нулю двух каких-либо координат точки (например, х = 0 ; z — 0)?
23. Что означает равенство нулю какой-либо координаты точки (например, У — °)?
24. В каких октантах координата х точки положительна, отрицательна?
25. В каких октантах координата у точки положительна, отрицательна?
26. В каких октантах координата z точки положительна, отрицательна?
27. Какие знаки имеют координаты х, у, z точки, находящейся в первом октанте, во втором и т. д., в восьмом?
28. Как откладывать на эпюре: отрезок, определяющий координату х, если она положительна, отрицательна; отрезок, определяющий координату у, при опре
делении профильной проекции точки, если эта координата положительна, отри
цательна?
П РИ М ЕРЫ Пример 6
П о ст р о и т ь эп ю р точ ки А (15, —24, 15) (фиг. 43).
Р е ш е н и е . Откладываем на положительной оси О Х отрезок Оах длиной 15 мм (х) и, проведя через точку ах прямую перпендикулярно этой оси, откладываем на ней в в е р х отрезки аха длиной 24 мм (у) и аха' длиной 15 мм (z). Для опре
деления профильной проекции (а") точки проводим через точку а' перпендикулярно оси OZ прямую и откладываем на ней в л е в о отрезок ам" длиной 24 мм (у).
17
Пример 7
Д ан а точ ка А ( —15, — 24, —15). П о стр о ить эп ю р точ ки В, сим м етрич
н о й точке А , отн осительно плоскостей проекций: го р и зо н та л ь н о й (фиг. 44).
в ер ти к ал ьн о й (фиг. 45) и п роф ильной (фиг. 46).
Р е ш е н и е . Точка А находится в п р а в о от профильной плоскости проекций, за вертикальной плоскостью проекций и п о д горизонтальной плоскостью проек
ций, т. е. в седьмом октанте. Строим ее эпюр. Откладываем на отрицательной оси О Х отрезок Оах длиной 15 мм (х) и, проведя через точку ах прямую перпендикулярно оси ОХ, откладываем на ней отрезки в в е р х аха длиной 24 мм (>■) и в н и з аха' длиной 15 мм (г). Затем проводим через точку а' прямую перпендикулярно оси OZ и откладываем в л е в о отрезок а.а" длиной 24 мм (у).
1. Точка В, симметричная данной точке относительно горизонтальной плоскости проекций, находится в шестом октанте, т. е. В ( -1 5 , —24, 15). Откладываем на общем перпендикуляре в в е р х отрезки ахЬ длиной 24 мм (у) и ахЪ' длиной 15 мм (г) и затем находим профильную проекцию (Ь") точки В.
2. Точка В, симметричная данной точке относительно вертикальной плоскости проекций, находится в восьмом октанте, т. е. В (-1 5 , 24, —15). Построив, как
Ь"о— - -
Ь^а 1 ______ ± ь> >0
'
1 1 1 1 1 0
а"о-
? 1 1 1
Фиг. 45
Фиг. 46 2 Z
Фиг. 48 Z
и выше, эпюр точки А, откладываем на общем перпендикуляре в н и з отрезки ахЬ длиной 24 мм (у) и ахЬ' длиной 15 мм (z). Затем,. проведя через точку V перпендикулярно оси 0 Z прямую, откладываем на ней в п р а в о отрезок azb"
длиной 24 мм (у).
3. Точка В, симметричная дайной точке относительно профильной плоскости проекций, находится в третьем октанте, т. е. В (15, —24, —15). Построив, как н выше, эпюр точки А, откладываем на положительной оси ОХ отрезок ОЬх длиной 15 мм (.х) и, проведя через точку Ьх прямую перпендикулярно оси ОХ, откладываем на ней отрезки в в е р х bxb длиной 24 мм (у) и в н и з bxb' длиной 15 мм (z). Затем находим профильную проекцию (t>") точки В.
Пример 8
Д а н а точ ка А (15, 24, - 1 5 ) . П о ст р о и т ь эп ю р точ ки В, сим м етричной точке А , отн осительно оси проекций О Х (фнг.-47), О У (фиг. 48), 0 Z (фиг. 49).
19
Р е ш е н и е . Точка А находится в л е в о от профильной плоскости проекций п е р е д вертикальной плоскостью проекций и п о д горизонтальной плоскостью проекций, т. е. в четвертом октанте. Строим ее эпюр. Откладываем на положи
тельной оси О Х отрезок Оах длиной 15 мм (х) и, проведя через точку ах прямую перпендикулярно оси ОХ, откладываем на ней в н и з отрезки аха длиной 24 мм (у) и аха' длиной 15 мм (z). Затем находим профильную проекцию (я") точки А.
1. Точка В, симметричная данной точке относительно оси ОХ, находится во втором октанте, т. е. В (15, —24, 15). Откладываем на общем перпендикуляре в в е р х отрезки ахЬ длиной 24 мм (у) и ахЬ' длиной 15 мм (z). Затем находим профильную проекцию (b") точки В.
2. Точка В, симметричная данной точке относительно оси OY, находится в пятом октанте, т. е. В ( — 15, 24, 15). Построив, как и выше, эпюр точки А, откладываем на отрицательной оси ОХ отрезок 0ЬХ длиной 15 мм (х) и, проведя через точку Ьх прямую перпендикулярно оси ОХ, откладываем на ней отрезки в н и з ЪХЬ длиной 24 мм (у) и в в е р х ЬХ1У длиной 15 мм (z). Затем находим профильную проекцию (Ь") точки В.
3. Точка В, симметричная данной точке относительно оси OZ, находится в седьмом октанте, т. е. В ( —15, —24, —15). Построив, как и выше, эпюр точки А, откладываем на отрицательной оси О Х отрезок ОЬх длиной 15 м м (х) и, проведя через точку Ьх прямую перпендикулярно оси ОХ, откладываем на ней отрезки в в е р х ЪХЪ длиной 24 мм (у) и в н и з bxb' длиной 15 мм (z). Затем находим профильную проекцию (i>") тучки В.
Пример 9
Д а н а го р и зо н та л ь н ая проекция (а) точ ки А , н аход ящ ейся в тр еть ей ч е т в ер ти .'П о с тр о и ть две ее другие проекции, зная условие: z = х + 12 м м (фиг. 50).
Р е ш е н и е . Вертикальная проекция (я') точки должна лежать п о д осью О Х и на перпендикуляре к ней, проходящем через горизонтальную проекцию точки.
Координата х определяет расстояние от горизонтальной проекции (я) точки до оси OZ.
Координата z определяет расстояние от вертикальной проекции (я1) точки до оси ОХ. Поэтому проводим через точку а прямую перпендикулярно оси ОХ до пересечения с ней в точке ах. От точки ах откладываем на этом перпендикуляре
в н и з отрезок аха’, равный аау + 12 мм.
Конец этого отрезка дает нам вертикаль
ную проекцию (я') точки.
у Затем по двум проекциям (я и я') точки А находим ее профильную проек
цию (я").
Пример 10
П о ст р о и т ь ось 0 2 и г о р и зо н т а л ь ную проекцию точ ки А , н аход ящ ей ся в о в т о р о й четверти п р остран ства, зн а я проекции а и а" и отнош ение ее коор- д и н а т — = 3 (фиг. 51).
Р е ш е н и е . Заданные проекции точ
ки А должны лежать с л е в а от оси OZ.
Так как расстояние от вертикальной про
екции (я') точки до оси OZ есть х, а рас
стояние от профильной проекции (я'') точ
ки до оси OZ есть у, то отрезок между
Фиг. 52
проекциями точки, т. е. а'а", равен разности (х — у). Пользуясь заданным условием 3 - 1
х ч X — у
— = 3, составляем производную пропорцию ---—
У _ . .. У 1 ■ 2, откуда —2 = У4
Теперь остается разделить отрезок а'а" пополам и провести ось OZ перпен
дикулярно оси О Х на расстоянии с п р а в а от профильной проекции (а") точки. Затем находим горизонтальную проекцию (а) точки А.
Пример 11
П о ст р о и т ь ось О Х и п роф и льн ую проекцию точ ки А , находящ ейся в четвертой четверти п ростран ства, зн а я проекции я и а ' и отнош ение ее к о о р д и н ат - j = - j (фиг. 52).
Р е ш е н и е . Заданные проекции точки А должны лежать п о д осью ОХ.
Так как расстояние от горизонтальной проекции точки до оси ОХ есть у, а рас
стояние от вертикальной проекции точки до оси ОХ есть z, то отрезок между проекциями точки, т. е. а'а, равен разности (z — у). Пользуясь заданным условием Л1 = Л , составляем производную пропорцию, куда войдет разность z — у, для чего
z 3
V 1 z 3 z —у 3 — 1 - z —у
перепишем условие — = — в виде — = - у , откуда — ---— ---2 или —- у.
■ Теперь остается разделить отрезок а'а пополам и провести ось О Х н а д точкой а на расстоянии Затем находим профильную проекцию (а") точки А.
ЗАДАЧИ
11. П о ст р о и т ь проекции точки А , находящ ейся в п ервом октанте, во в т о р о м и т .д ., в в о сьм о м , и д а т ь ее эп ю р (фиг. 5 3 - 6 0 ) .
12. П о ст р о и т ь проекции точ ки А : п ри условии, что z ^ — O (фиг. 53, 55, 58, 60); п ри условии, что уА — 0 (фиг. 54, 56, 57, 59);. п р и условии, что
*4 = 0 (фиг. 54, 56, 57, 59), и д а т ь ее эш ор.
21
13. П о ст р о и т ь эп ю р точки А п о зад ан н ы м коор д и н атам .
X 20 15 15 20 - 1 5 - 2 0 - 2 0 - 1 5 25 - 2 5
У 15 - 2 5 - 2 5 20 25 - 1 5 - 1 5 25 - 2 5 25
Z 25 35 - 2 0 - 3 0 20 25 - 2 5 - 3 5 25 - 2 5
X 15 - 1 5 20 - 1 5 0 0 0 0 0 - 2 0
У - 2 5 25 0 0 - 2 0 25 - 2 0 - 2 0 0 0
Z 0 0 - 3 0 30 30 - 3 5 20 0 20 0
. Z
Фиг. 53
Фиг. 55
Фиг. 57 У
14. Н ай ти н ед остаю щ и е проекции точки А , если известны : одна из ее проекций, соотнош ение м еж д у к о о р д и н атам и точ ки (или другие данные) и четверть, в к о то р о й о н а н аходится (фиг. 6 1 —66).
15. Н анести нед остаю щ ую ось проекций и опред ели ть проекцию точки А , если д а н о соотнош ение м еж ду ее к о о р д и н атам и (фиг. 67 — 72).
16. П о ст р о и т ь т р е т ь ю проекцию — п р ям о й А В , тр еу го л ь н и к а A B C (фиг. 7 3 - 7 8 ) .
17. П о ст р о и т ь проекции тр еугольн и ка А Б С , если д ан ы к оорд и н аты его верш ин А (20, 0, 0), В (0, 30, 0) и С (0, 0, 25).
18. Пост ро и ть проекции тр еугольн и ка A B C , если д ан ы к о о р д и н аты его верш ин А (20, 30, 0), В (20, 0, 30) и С (0, 20, 30).
19. Д ан а то ч ка А (20, 30, 20). П о ст р о и т ь эп ю р точ ки В, сим м етричной точке А , отн оси тел ьн о го р и зо н та л ь н о й п лоскости проекций, вертикальной п лоскости проекций, проф и льн ой п лоскости проекций (дать тр и эпю ра).
23
оа
ФіІГ. 61
І Ч
У *2 /
Фиг. 62
оа
Е ч Х=У + 15
Фиг. 64
Ү
Фиг. 65 Фиг. 66
а о—
1ч
Фиг. 67
а п - о
А
У
±
2
а '
?
6а
Фиг. 68
І Ч
* - 2
а 'о—
1ч Z - X + I O
—оGT
Фиг. 69
О"
CH
IT Х - ±
Лч у -
2
о а"
—оа
Фиг. 70
Фиг. 72
а ' 9
6 а
Шч Z-=JL Y 3
Фиг. 71
Фиг. 74
20. Д ан а точ ка А (20, 30, 20). П о стр о и ть эп ю р точки В, сим м етри ч н ой точке А, отн оси тельн о осей O X , ОҮ, 0 7 , (дать тр и эпю ра).
21. П о ст р о и т ь проекции куба с основанием A B C D на верти к альн ой п л оскости проекций, если д а н а д и а го н ал ь А С его основания, и ук азать проекции к аж дой грани, к аж дого р еб ра (фиг. 79).
22. П о стр о ить проекции прави льн ой треу го л ьн о й п р ям о й п р и зм ы вы со
т о й 50 м м , если д а н а сто р о н а А В ее основания, леж ащ его н а го р и зо н т а л ь н о й плоскости проекций, у к азать проекции к аж д о й грани, каж дого р еб р а (фиг. 80).
23. П о стр о и ть проекции п р ям о й п рави льн ой тр еу го л ь н о й п ирам иды вы сотой 60 м м , если д а н а сто р о н а А В ее основания, л еж ащ его на верти к альной плоскости проекций, и ук азать проекции к аж дой грани, каж дого р еб ра (фиг. 81).
24. П о стр о ить проекции п р ям о го к ругового ц и л и н д р а с основанием на вертикальной п лоскости проекций и с ц ен тром С (30, 0, 30), если д ан а его вы сота 60 м м , а рад иус основания равен 20 м м .
25. П о стр о ить геом етрическое м есто прям ы х п р остран ства, проходящ их через точку S (30, 30, 50) и о бразую щ и х с го р и зо н та л ь н о й плоскостью проекций угол, рав н ы й 70°.
26. П о стр о ить геом етрическое м ест о точек п ростран ства, удаленны х о т точки С (30, 30, 35) на 20 м м .
Г л а в а V
ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ТОЧКИ
Если в пространстве ! то па эпюре1
точка лежит на прямой, проекции точки лежат на одноименных проекциях прямой.
П р и м е ч а н и е . В случае профильной прямой обратная теорема справедлива только- в системе Н, V, IV. Необходимо, имея две проекции, проверить, лежит ли профильная проекция точки на профильной проекции прямой.
Вывод
Если в пространстве то па эпюре1
прямая проходит через точку, проекции прямой проходят через одно
именные проекции точки.
ПРИМ ЕРЫ Пример 12
Л е ж а т ли точки А, В, С, D на п рям ой M N (фиг. 82)?
І ’ е h iе н и е. Проекции (а, а') точки А лежат на одноименных проекциях прямой
(пт, т'п'), следовательно, точка А лежит на прямой MN.
Проекции (b, Ь') точки В лежат на разноименных проекциях прямой (тп, т’п'), следовательно, точка В на прямой M N не лежит.
Не лежат на прямой M N также и точки С и D (почему?) Пример 13
Л еж и т л и точ ка С н а проф ильной п р ям о й А В (фиг. 83)?
1 См. сноску на стр. 6.
27
