ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

o k Фиг. 422

б к

Фиг. 423

218. Найти горизонтальные следы двух пересекающихся плоскостей Р и

Q, если известны их вертикальные следы и точка К,

принадлежащая линии их пересечения (фиг.

422, 423).

Г л а в а X IV

Пример 114

Найти точку пересечения прямой

АВ с плоскостью Р (фиг. 425).

Р е ш е н и е. Обозначаем искомую точку через М (т, ;?/). Плоскость Р, параллельная вертикальной плоскости проекций, горизонтально-проектирующая.

Поэтому горизонтальную проекцию (ш) искомой точки находим на пересечении прямых Рһ и аЪ. Так как заданная прямая (аЪ, а'Ъ') — профильная, то, пользуясь профильной плоскостью проекций, по точке т находим точку т" на прямой а"Ь", затем по точке т" — точку т' на прямой а'Ь'.

Пример 115

Найти точку пересечения прямой

АВ с плоскостью Р (фиг. 426).

Р е ш е н и е . Обозначаем искомую точку через М (т, т'). Так как точка М лежит на вертикально-проектирующей плоскости, то ее вертикальная проекция (т') должна лежать г д е - т о на вертикальном следе (Р) плоскости. Вместе с тем, так как эта точка М лежит и на прямой АВ, ее вертикальная проекция (т') должна лежать также г д е - т о на вертикальной проекции (а'Ь') прямой. Отсюда — верти­

кальная проекция (in') искомой точки должна лежать на вертикальном следе (Р„) плоскости и на вертикальной проекции (а'Ь') прямой, т. е. на их пересечении.

Зная вертикальную проекцию (т') искомой точки, находим ее горизонтальную про­

екцию (т) на горизонтальной проекции (ab) прямой.

В ы в о д . Вертикальная проекция точ­

ки пересечения любой прямой с верти- калыю-проектирующей плоскостью нахо­

дится на пересечении вертикального следа плоскости с вертикальной проекцией пря­

мой. (Схематическая запись: т '->Р „ ха'Ь'.)

Пример 116

Н а й т и точку пересечения п р я м о й А В с п л о ск о стью Р (фиг. 427).

Р е ш е н и е . Обозначаем искомую точку через М (т , т!). Заданная пдоскость Р - вертикально-проектнрующая, Отсюда вертикальную проекцию' (тг) искомой точки находим на пересечении прямых Р„ и а'Ь'. Так как заданная прям ая- профильная, то, пользуясь профильной плоскостью проекций, по точке т' находим точку т" на прямой о!'Ъ", а затем по точке го" — точку т на прямой аЪ.

Пример 117

Н а й т и точку пересечения п р я м о й А В с п л о ск о стью Р (фиг. 428).

Р е ш е н и е . Обозначаем искомую точку через М (т, in'). Так как точка М лежит на профильно-проектирующей плоскости, то ее профильная проекция (т") должна лежать г д е - т о на профильном следе (Pw) плоскости. Вместб с тем, так как эта же точка лежит и на прямой АВ, то ее профильная проекция (т") должна лежать также г д е - т о на профильной проекции (а"Ъ") прямой. Отсюда — про­

фильная проекция (т") искомой точки должпа лежать па профильном следе (рк) плоскости и на профильной проекции (а"Ь") прямой, т. е. на их пересечении.

Найдя профильный след плоскости и профильную проекцгао прямой, получаем на их пересечении профильную проекцию (т") искомой точки. Зная профильную проекцию (т") искомой точки, находим две другие ее проекции на одноименных проекциях прямой.

В ы в о д . Профильпая проекция точки пересечепня л ю б о й прямой с про­

фильно-проектирующей плоскостью находится на пересечении профильного следа плоскости с профильной проекцией прямой. (Схематическая запись: т " Pw х а"Ъ")

П р и м е ч а н и е . Ниже показано, как можно решить эту же задачу) не пользуясь профильной плоскостью проекций.

Пример 118

Н а й т и точку пересечения п р я м о й А В с п лоскостью Р (фиг. 429).

139

Ү

Фиг. 429

Р е ш е н и е . Обозначаем искомую точку через М (т, in'). Заданная плоскость Р, проходящая через ось проекций,— профильно-проектирующая. Отсюда — про­

фильную проекцию (т") искомой точки находим на пересечении профильного следа (Р„,) плоскости и профильной проекции (а"Ь'') прямой.

Зная профильную проекцию (т") искомой точки, находим две другие ее проек­

ции иа одноименных проекциях прямой.

П р и м е ч а н и е . Данную задачу можно решить и без профильной плоскости проекций, но решение изложенным способом значительно п р о щ е .

Пример 119

Н ай ти точку пересечения п р я м о й А В с п л о ск о стью Р (фиг. 430).

Р е ш е н и е . Обозначаем искомую точку через М (ш, т'). Так как эта точка лежит на горизопталыю-нроектирующей прямой (ah, а'Ь), то ее горизонтальная проекция (т) должна совпадать с горизонтальной проекцией (ab) прямой. Зная горизонтальную проекцию (т) точки, находим ее вертикальную проекцию (т') из у с л о в и я , что точка (т, т') лежит и на заданной плоскости. Для этого пользуемся фроигалью (или горизонталью). Дальнейшее построение видно из чертежа.

Пример 120

Н ай ти точку пересечения п р ям о й А В с п л о ско стью Р (фиг. 431).

Р с ш е н и е . Обозначаем искомую точку через М (т, т'). Так как эта точка лежит на вертикально-проектирующей прямой, ее вертикальная проекция (т ) совпадает с вертикальной проекцией (а'Ь') прямой. Зная вертикальную проекцию (т') точки, находим ее горизонтальную проекцию (т) и з у с л о в и я , что точка (т, tri) лежит на заданной плоскости. Для этого пользуемся горизонталью (или фронталью). Дальнейшее построение видно из чертежа.

141

Пример 121

Н а й т и точку пересечения п р ям о й А В с п лоск остью Р (фиг. 432).

Р е ш е н и е . Обозначаем искомую точку через М (т, т'). Так как эта точка лежит на горизонтально-проектирующей прямой, то ее горизонтальная проекция (ш) совпадает с горизонтальной проекцией (ah) прямой. Зная горизонтальную проекцию (т) точки, находим ее вертикальную проекцию (in’), пользуясь условием, что эта точка лежит и на заданной плоскости. Для этого используем вспомога­

тельную прямую (и/с, п'к'). Дальнейшее построение видно из чертежа.

Пример 122

Н а й т и точку пересечения п р я м о й А В с п лоскостью Р (фиг. 433).

Р е ш е н и е . Обозначаем искомую точку через М (т, in'). Так как эта точка лежит на вертикально-проектирующей прямой, то ее вертикальная проекция (т') совпадает с вертикальной проекцией (а'Ь') прямой. Зная вертикальную проекцию (т') точки, находим ее горизонтальную проекцию (т), пользуясь условием, что эта точка лежит и на заданной плоскости. Для этого используем вспомогательную прямую (hv, h’v’). Хотя плоскость Р — профильно-проектирующая, задача решена без профильной плоскости проекций. В данном случае использовано не свойство точек плоскости, а свойство точек проектирующей прямой.

Н ай ти точку пересечения п р ям о й А В с п лоскостью Р (фиг. 434).

Р е ш е н и е . Обозначаем искомую точку через М (ш, т'). Заключаем прямую АВ в горизонтально-проектирующую плоскость К (можно и в вертикально- проектирующую), которая пересекает заданную плоскость по прямой (lw, h'v').

На пересечении вертикальных проекций (h'v' и а'Ь') прямых получаем вертикальную проекцию (т') искомой- точки. Затем по вертикальной проекции (in') точки находим ее горизонтальную проекцию (т) на горизонтальной проекции (ab) прямой.

Пример 124

Н ай ти точку пересечения п р ям о й А В с п л о ск о стью Р (фиг. 435).

Р е ш е н и е . Обозначаем искомую точку через М (т, tri). Заключаем прямую АВ в плоскость R, параллельную горизонтальной плоскости проекций, которая пересекает заданную плоскость Р по горизонтали. На пересечении горизонтальных проекций горизонтали и заданной прямой получаем горизонтальную проекцию (т) искомой точки. По горизонтальной проекции (т) точки находим ее вертикальную проекцию (т!) на прямой а'Ь'.

Прямую АВ можно заключить и в горизонтально-проектирующую плоскость, но это усложняет решение задачи. (Предлагаем учащимся убедиться в этом.)

Пример 125

Н ай ти точку пересечения п р ям о й А В с п л о ск о стью Р (фиг. 436).

Р е ш е н и е . Обозначаем искомую точку через М (т, т'). Заключаем прямую АВ в плоскость R, параллельную вертикальной плоскости проекций, которая пересекает заданную плоскость Р по фронтали. На пересечении вертикальных проекций - фронтали и заданной прямой — получаем вертикальную проекцию (ш') искомой точки. По вертикальной проекции (ш') точки находим ее горизонтальную проекцию (т) на горизонтальной проекции (ab) прямой.

Пример 123

143

Фиг. 437 Фиг. 436

Пример 126

Н а й т и точку пересечения п рям ой А В с плоскостью Р (фиг. 437).

Р е ш е н и е . Обозначаем искомую точку через М (т, Заключаем прямую А В в горизонтально-проектирующую плоскость R, которая пересекает заданную плоскость Р по прямой (hv, h'v').

На пересечении вертикальных проекций прямых — вспомогательной и задан­

ной — получаем вертикальную проекцию (т!) искомой точки. По вертикальной проекции (т) точки находим ее горизонтальную проекцию (т) на горизонтальной проекции (ab) прямой.

Пример 127

Н а й т и точку пересечения п рям ой А В с плоскостью Р (фиг. 438).

Р е ш е н и е . Обозначаем искомую точку через М (т, т'). Заключаем прямую А В в вертикально-проектирующую плоскость R, которая пересекает заданную плоскость по прямой (hv, h'v'). На пересечении горизонтальных проекций прямых — заданной и вспомогательной — получаем горизонтальную проекцию (т) искомой точки. Затем по горизонтальной проекции (т) точки находим ее вертикальную проекцию (т') на вертикальной проекции (а'Ь') прямой.

Пример 128

Н ай ти точку пересечения п р ям о й А В с п лоскостью Р (фиг. 439).

Р е ш е н и е . Обозначаем искомую точку через М (т, т1). Так как заданная прямая А В — профильная, то при решении этой задачи н е л ь з я и з б е ж а т ь профильной плоскости проекций, а потому решаем ее так, как было указано в примере 117, а именно: строим профильный след (Р„) плоскости и профильную проекцию (а"Ь") прямой. На их пересечении получаем профильную проекцию (т") искомой точки, а затем по профильной проекции (т") точки находим две ее другие проекции (т и т') на одноименных проекциях (ab и а'Ь') прямой.

Пример 129

Найти точку пересечения прямой

АВ

с плоскостью

Р

(фиг. 440).

Р е ш е н и е . Обозначаем искомую точку через М (т, rri). Заключаем прямую А В в профильную плоскость R, которая пересекает заданную плоскость Р по профильной прямой (hv, h'v'). Так как обе прямые — заданная и вспомогательная — профильные, находим профильную проекцию (т") искомой точки на пересечении профильных проекций (а"Ь" и h'v") этих прямых, а затем по профильной проекции (in') точки находим две ее другие проекции (т и rri) на одноименных проекциях (ab и а’Ь') прямой.

Пример 130

Найти точку пересечения прямой

M N

с плоскостью, заданной парал­

лельными прямыми

А В

и

CD

(фиг. 441).

Р е ш е н и е . Обозначаём искомую точку через К (к, к'). Так как заданная плоскость - горизонталыю-проектирующая (почему?), находим горизонтальную проекцию (к) точки на пересечении прямых тп и аЪ (почему?), или, что то же, прямых тп и ей. По горизонтальной проекции (/с) точки находим ее вертикальную проекцию (к') на вертикальной проекции (m'ri) прямой.

Пример 131

Найти точку пересечения прямой

M N

с плоскостью треугольника

A B C

(фиг. 442).

Р е ш е н и е . Обозначаем искомую точку через К (к, к'). Так как заданная плоскость - вертикально-проектирующая (почему?), находим вертикальную проек­

цию (к') точки на пересечении прямой m'ri с вертикальной проекцией (а'Ь'с') треугольника (почему?). По вертикальной проекции (к') точки находим ее горизонтальную проекцию (к) на горизонтальной проекции (тп) прямой (как?).

Пример 132

Найти точку пересечения прямой M N с плоскостью, заданной точкой

А

и прямой

В С

(фиг. 443).

145

Р е ш е н и е . Обозначим искомую точку через К (к, к 1). Так как эта точка должна лежать на вертикально-проектирующей прямой (тп, m'ri), то ее вертикаль-, ная проекция (к') должна совпадать с точкой m'ri (почему?). По вертикальной проекции (к') точки находим ее горизонтальную проекцию (к) на прямой тп, пользуясь условием, что точка (к, к') лежит и на заданной плоскости. Дальнейшее решение видно из чертежа.

146

Пример 133

- Найти линию пересечения плоскости

Р

с плоскостью треугольника

A B C

(фиг. 444).

Р е ш е н и е . Первый способ. Линия пересечения будет определена, если найдем две точки, принадлежащие заданным плоскостям. Находим точки (т, ш') и (п, и') пересечения сторон (ас, а'с') и (Ьс, Ь'с') треугольника с плоскостью Р. Прямая (тп, m'ri), проходящая через найденные точки (т, т') и (п, и'), является искомой.

Второй способ. Так как плоскость Р — вертикально-проектирующая, то верти­

кальная проекция (m'ri) линии пересечения совпадает с вертикальным следом (Pt, ) плоскости. Пользуясь условием, что искомая прямая (тп, m'ri) принадлежит к плоскости треугольника ABC, по вертикальной проекции (m’ri) линии пересечения находим ее горизонтальную проекцию (тп).

Пример 134

Найти линию пересечения плоскости-

Р

с плоскостью, заданной прямой

АВ

и точкой С (фиг. 445).

Р е ш е н и е . Первый способ. Линия пересечения будет определена, если найдем две точки, принадлежащие заданным плоскостям. Точку (с, с') нельзя принять за точку линии пересечения (почему?). Для того чтобы найти такие точки, проще всего перейти п р е д в а р и т е л ь н о от задания плоскости прямой’ и точкой к заданию ее двумя параллельными прямыми (ab, а'Ь') и (cd, c'd’), а затем найти точки (т, т!) и (и, и') пересечения этих прямых с плоскостью Р. Прямая (тп, m'ri), проходящая через найденные точки (ш, т') и (п, п'), является искомой.

Второй способ. Так как плоскость Р — горизонталыю-проектирующая, то го­

ризонтальная проекция (тп) линии пересечения совпадает с горизонтальным сле­

дом (Рй) плоскости. Теперь, пользуясь условием, что искомая прямая (тп, m'ri) принадлежит также другой плоскости, по горизонтальной проекции (тп) прямой находим ее вертикальную проекцию (m'ri).

147

Пример 135

Найти точку пересечения прямой

M N

с плоскостью, заданной парал­

лельными прямыми

А В

и

CD

(фиг. 446).

Р е ш е н и е . Так как заданная плоскость - общего положения (почему?), то прямую M N заключаем во вспомогательную плоскость R, например, параллельную горизонтальной плоскости проекций, и находим линию (e f, e 'f) пересечения плоскостей. Искомую точку (к, к ) получаем на пересечении прямых (тп, т'п') и (ef> e'f). (См. пример 133.)

Пример 136

Найти точку пересечения прямой

M N

с плоскостью треугольника

A B C

(фиг. 447).

Р е ш е н и е . Прямую M N заключаем во вспомогательную горизонтально- проектирующую плоскость R и находим линию (de, d'e') пересечения плоскостей.

Искомую точку (к, к') получаем на пересечении прямых (тп, т'п') и (de, d'e').

Пример 137

Найти линию пересечения плоскости

Р

с плоскостью, заданной парал­

лельными прямыми

А В

и

CD

(фиг. 448).

Р е ш е п и е. Эту задачу можно решить тремя способами.

Первый способ. Переходим п р е д в а р и т е л ь н о от задания плоскости не следами к заданию ее следами, а затем решаем задачу так, как было указано выше (см. примеры 95 — 112).

Второй способ. Находим точки пересечения прямых АВ и CD с плоскостью Р, которые н определяют линию пересечения.

Третий способ. Находим точки, определяющие линию пересечения, введя п о с л е д о в а т е л ь н о две вспомогательные плоскости.

Из этих трех способов п р о щ е всех третий. Вводим вспомогательную плоскость R, параллельную горизонтальной плоскости проекций, пересекающую плоскость Р по горизонтали (vt., v ' t и вторую плоскость — по горизонтали (ди, д'и'У, на их пересечении получаем точку (т, т'). Затем вводим в т о р у ю вспомогательную плоскость — S, например, параллельную вертикальной плоскости проекций, пересекающую плоскость Р по фронтали (rh, r'h'), и другую плоскость — по фронтали (ке, к'е'); на их пересечении получаем точку (и, п'). Прямая (тп, т’п’), проходящая через найденные точки (т, т1) и (п, и'), является искомой.

148

149

Пример 138

Н а й т и л и н и ю пересечения плоскостей, заданны х пересекаю щ и м и ся п р я ­ м ы м и Ғ Е и FG и п ар ал л ел ьн ы м и п р ям ы м и А В и CD (фиг. 449).

Р е ш е н и е . Находим точки (т, т') и (и, п'), общие для заданных плоскостей, для чего вводим вспомогательную плоскость R, параллельную горизонтальной плоскости проекций и пересекающую заданные плоскости по горизонталям (кр, к'р') и (It, l't')\ на их пересечении получаем точку (ш, т'). Затем вводим вторую вспомогательную плоскость — S, параллельную вертикальной плоскости проекций и пересекающую заданные плоскости по фронталям (qs, q's') и (ги, г'и'); на их пересечении получаем точку (и, п'). Прямая (тп, т'п'), проходящая через найденные точки (т, т') и (п, «'), является искомой.

ЗАДАЧИ

219. Н ай ти точку пересечения п рям ой А В с п лоскостью Р (фиг. 450 — 467).

220. Н ай ти точку пересечения п р ям о й А В с п лоскостью , зад а н н о й не следам и (фиг. 468 — 473).

150

Pv

a '

Ь'

t a b

Ph

a'b’

Фпг. 456

X -

Р Л

6 к

ь'

l a b

Фиг. 458

<?аЪ'

X -

b k

q Фиг. 459

152

а В

■О X

Фиг. 467

d '

Фиг. 469 Фиг. 470

221.

Н а й ти л инию пересечения п л оскости тр еу го л ьн и ка A B C

с

п л о ­ скостью Р и у к аза ть, через какие четверти п р о х о д и т и ск о м ая л и н и я (фиг. 474).

222.

Н ай ти линию пересечения п лоскости, зад а н н о й д в у м я п а р а л л е л ь ­ н ы м и п р я м ы м и КЬж M N , с п лоск остью , зад а н н о й д в у м я пересекаю щ и м и ся п р я м ы м и А В и А С , и указать, через какие четверти п р о х о д и т и ск о м ая л и н и я (фиг. 475).

Фиг. 474

156