ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ, ЗАДАННЫХ СЛЕДАМИ
Пример 99 Пример 99
Н а й т и прям ую пересечения п лоскостей Р и Q (фиг. 378).
Р е ш е н и е . См. решение предыдущего примера.
В ы в о д . Две плоскости общего положения, вертикальные следы которых пересекаются, а горизонтальные следы между собой параллельны, пересекаются по г о р и з о н т а л и .
Пример 100
Н а й т и прям ую пересечения плоскостей Р и Q (фиг. 379).
Р е ш е н и е . Плоскости Р и Q пересекаются по прямой - горизонтали, кото
рая перпендикулярна вертикальной плоскости проекций (почему?).
Вертикальная проекция искомой прямой совпадает с точкой v' (почему?);
горизонтальная ее проекция проходит через точку v и перпендикулярна оси проекций. Прямая проходит через первую и вторую четверти.
В ы в о д . Две вертикально-проектирующие плоскости пересекаются по прямой, перпендикулярной к вертикальной плоскости проекций.
Пример 101
Н ай ти прям ую пересечения п лоскостей Р и Q (фиг. 380).
Р е ш е н и е . Плоскости Р и Q пересекаются по прямой — фронта ли, проходя
щей через точку-след (/г, Һ'), находящуюся на пересечении горизонтальных следов плоскостей. Проводим проекции искомой прямой: горизонтальную — через точку Һ, параллельно оси проекций, которая совпадает с горизонтальным следом (Qh) плоскости Q (почему?), и вертикальную — через точку /;', параллельно вертикаль
ному следу (Р„) плоскости Р. Прямая проходит через первую и четвертую чет
верти (почему?).
В ы в о д . Плоскость общего положения пересекается с плоскостью, параллель
ной плоскости К, по ф р о н т а л и.
Пример 102
Н ай ти п рям ую пересечения плоскостей Р и Q (фиг. 381).
Р е ш е н и е . См. решение предыдущего примера.
В ы в о д . Две плоскости общего положения, горизонтальные следы которых пересекаются, а вертикальные следы между собой параллельны, пересекаются по фронтали.
Пример 103
Н ай ти прям ую пересечения п лоскостей Р и О (фиг. 382).
Р е ш е н и е . Горизонтально-проектирующие плоскости Р и Q пересекаются по прямой — фронтали, которая перпендикулярна горизонтальной плоскости проек
ций. Горизонтальная проекция искомой прямой совпадает с точкой Һ (почему?), а вертикальная ее проекция проходит через точку Һ' и перпендикулярна оси проекций. Прямая проходит через первую и четвертую четверти (почему?).
<?*
Фиг. 382 0
125
В ы в о д . Две горизонтально-проектирующие плоскости пересекаются по пря
мой, перпендикулярной к горизонтальной плоскости проекций.
Пример 104
Н ай ти п р ям у ю пересечения плоскостей Р и Q (фиг. 383, 384).
Р е ш е н и е . Плоскости I' и Q пересекаются по прямой M N , параллельной оси проекций (почему?).
П е р в ы й с п о с о б . Профильная проекция (т"п") искомой прямой совпадает с профильным следом этой прямой, который, как известно, находится на пересе
чении профильных следов (Р„ и (?„.) плоскостей. Находим профильные следы заданных плоскостей. Их пересечением является профильная проекция (т"п") искомой прямой. Затем по профильной проекции прямой находим ег горизонталь
ную (тп) и вертикальную (т'п') проекции, которые должны быть параллельны оси проекций (почему?).
В т о р о й с п о с о б . Так как искомая прямая M N лежит в плоскости Q, то ее вертикальная проекция (т'п') совпадает с вертикальным следом (Qt.) этой
\\
\
р V \\
с
\ m " n " Qw
Qv т ' п '
i \ t \
1 \ 0 ! \
т n
Ph
/ ' / \
✓ \ R
// /
Y
Фиг.
126
о
\ Qh
т п
Фиг. 385
плоскости (почему?). Имея вертикальную проекцию (т'п) прямой, можем найти ее горизонтальную проекцию (тп), не пользуясь профильной плоскостью проекций.
Для этого задаем произвольную точку к ’ на прямой т'п' и находим горизонталь
ную проекцию (к) точки, зная, что точка (к, к') лежит и на плоскости Р. Найдя точку к, проводим через нее горизонтальную проекцию (тп) искомой прямой - параллельно оси проекций.
Пример 105
Н ай ти прям ую пересечения плоскостей Р и О (фиг. 385).
Р е ш е н и е .
Первый способ. См. решение предыдущего примера.
Второй способ. Так как искомая прямая лежит в плоскости Q, то ее гори
зонтальная проекция (тп) совпадает с горизонтальным следом ((?,,) этой плоскости (почему?). Имея горизонтальную проекцию (тп) прямой, можем найти ее верти
кальную проекцию (т'п'), не пользуясь профильной плоскостью проекций. Для этого задаем на прямой пт точку к и находим вертикальную проекцию (к') точки, зная, что точка (к, к’) лежит и на плоскости Р. Найдя точку к', проводим через нее вертикальную проекцию (т'п') искомой прямой — параллельно оси проекций.
Пример 106
Н ай ти прям ую пересечения плоскостей Р и Q (фиг. 386).
Р е ш е н и е . Плоскости Р и Q пересекаются по прямой M N , параллельной оси проекций (почему?). Находим ее профильную проекцию (т"п”) на пересечении профильных следов плоскостей, а затем по профильной проекции прямой опре
деляем ее горизонтальную (тп) и вертикальную (т'п') проекции, которые парал
лельны оси проекций.
Пример 107
Н ай ти прям ую пересечения п лоскостей Р и Q (фиг. 387).
Р е ш е н и е . Плоскости Р и Q пересекаются по прямой общего положения, проходящей через точку-след (һ, Һ’) пересечения горизонтальных следов плоскостей.
Точка-след (г, v') пересечения вертикальных следов плоскостей н е д о с т у п н а , так как эти следы плоскостей, по заданию, в пределах чертежа не пересекаются.
Вместо точки (v, v') необходимо найти другую — произвольную точку прямой пересечения, общую для заданных плоскостей. Для этого поступаем следующим образом. Вводим вспомогательную плоскость R, например, параллельную плоско
сти Н, которая, как известно, пересекает каждую из данных плоскостей по гори- 127
зонтали. На их пересечении получаем вспомогательную точку (к, к'), общую для данных плоскостей. Найдя эту вторую точку (к, к’) прямой, проводим ее проекции:
горизонтальную — через точки Һ и к и вертикальную — через точки Һ' и к'.
Через какие четверти проходит прямая пересечения?
П р и м е ч а н и е . В случае необходимости можно, пользуясь указанным выше способом, найти и д в е произвольные точки прямой пересечения, вводя п о с л е д о в а т е л ь н о две плоскости; п р о щ е всего ввести их параллельно плоскости Н или параллельно плоскости V.
Пример 108
Н ай ти прям ую пересечения плоскостей Р и Q (фиг. 388).
128
Р е ш е н и е. Плоскости Р и Q пересекаются по прямой, пересекающей ось проекций в точках (Һ, Һ') и (і>, и'), совпадающих с точкой (га, т') и находящихся на пересечении горизонтальных и вертикальных следов плоскостей. Известно, что точки-следы (/г, /г') и (v, t/), как совпавшие, не определяют прямую и что н е о б х о д и м о найти еще одну точку этой прямой, общую для заданных плоскостей.
Точка (а, а') по заданию лежит на плоскости Р. Проверяем прежде всего, не лежит ли точка (я, «') и на плоскости Q. Проверку выполняем хотя бы при помощи горизонтали. Точка (а, а') действительно лежит и на плоскости Q, т. е.
является общей точкой для данных плоскостей. Проводим проекции искомой прямой: вертикальную — через точки т' и а' и горизонтальную — через точки т н а. Прямая проходит через первую и третью четверти (почему?).
Пример 109
Н ай ти п р ям у ю пересечения плоскостей Р и Q (фиг. 389).
Р е ш е н и е . Плоскости Р и Q пересекаются по прямой, проходящей через точку (/, Г), с которой совпадают точки (һ, Һ') и (и, и') пересечений одноименных следов плоскостей. Точка (а, а') лежит, по условию, на плоскости Р; на плоскости Q эта точка н е л е ж и т , в чем можно убедиться, например, при помощи фронтали.
5 Арустамов X. А. 129
Фиг. 390
V
Следовательно, для определения прямой необходимо найти еще одну ее точку.
Вводим вспомогательную плоскость R, параллельную вертикальной плоскости проекций и проходящую через точку (а, а'); горизонтальный ее след (Rh) проходит через точку а - ‘параллельно оси проекций. Плоскость R пересекает плоскость /J по прямой (тп, т'п'), параллельной оси проекций, проходящей через точку (а, а'), а плоскость Q — по фронтали, проходящей через точку (Іц, /іі). На пересечении прямой М N и фронтали получаем точку (к,, к'), через которую также должна пройти,прямая пересечения. Проводим проекции искомой прямой: горизонталь
ную — через точки / и к и вертикальную - через точки І и к'.
Пример 110
Н а й т и линию пересечения плоскостей Р и О. не пользуясь проф и льн ой п л о ск о ст ью проекций (фиг. 390).
Р е ш е н и е . Плоскости Р и Q пересекаются по прямой M N , параллельной оси проекций (почему?).
Зная направление искомой прямой, необходимо найти еще одну ее точку, для чего вводим вспомогательную вертнкально-проектирующую плоскость R, проходя
щую через точку (а, а'). Вспомогательная плоскость R пересекает плоскость Р по прямой (а/, а'/'), а плоскость Q — по вертикально-проектирующей прямой, проходящей через точку (v, v'). На их пересечении получаем точку (к, к'). Прово
дим проекции (пт, т'п') искомой прямой, параллельно оси проекций, через одно
именные проекции найденной точки (к, к'). Как и следовало ожидать, вертикальная проекция (т'п') искомой прямой совпадает с вертикальным следом (О) плоскости О (почему?).
П р и м е р 111
Н ай ти линию пересечения п лоскостей Р и О, не пользуясь п роф ильной п лоскостью проекций (фиг. 391).
Р е ш е н и е . Плоскости Р и Q пересекаются по прямой A1N, параллельной оси проекций (почему?).
Зная направление искомой прямой, необходимо найти еще одну ее точку, для чего вводим произвольную і оризонталыю-проектирующую плоскость R. Плоскость R пересекает плоскость Q по прямой (hv, li'v'), а плоскость Р — но горизонтально- проекіирующей прямой, проходящей через точку (һ,, li[). На их пересечении получаем точку (к, к'). Проводим проекции (тп, т'п') искомой прямой — параллельно оси проекций — через одноименные проекции найденной точки (к, к’).
130
Пример 112
Н а й т и линию пересечения плоскостей Р и Q, не п ользуясь п р о ф и л ь н ой п л оск остью п роекций (фиг. 392).
Р е ш е н и е . Плоскости Р и Q пересекаются по прямой M N, параллельной оси проекций (почему?). Зная направление искомой прямо», необходимо найти еще одну ее точку, для чего вводим вспомогательную вертикально-проектирующую плоскость Я, которая пересекает плоскость Р по прямой (ho, h'v'), а плоскость Q — по прямой (hivu /i'lf'i). На их пересечении получаем точку (/с^ к'). Проводим проекции (тп, т'п'), искомой прямой — параллельно оси проекций — через одно- именные проекции найденной точки (к, к').
5* 131
ЗАДАЧИ
217.
Найти линию
пересечения п лоскостей Ри
Q:1) не
в в о д я всп о м о гател ь н о й п лоскости (фиг.393-413);
Фиг. 398 Фиг. 395
Рь
Фиг. 396
2) не вводя вспомогательной плоскости и не пользуясь профильной п л о ск о стью проекций (фиг. 4 1 0 - 4 1 3 ) ;
3) в в о д я вс п ом огательн ую плоскость (фиг. 4 1 4 -4 2 1 ).
Фиг. 416
Фиг. 419
Oh
гиг
Фиг. 417
P v
Qh О/с' Фиг. 420
Qh
PhQv
P v
Qh
Ph Py
о к
Фиг, 418 Фиг. 421
o k Фиг. 422
б к
Фиг. 423