С. В. БАХВАЛОВ, П. С. МОДЕНОВ, А. С. ПАРХОМЕНКО
СБОРНИК ЗАДАЧ
п о
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
И ЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущ ено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР в качестве учебного пособия
для государственных университетов и педагогических институтов
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦ ИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ Л И Т Е РА Т У РЫ
Сергей Владимирович Бахвалов, Петр Сергеевич Моденов, Алексей Серапионович Пархоменко Сборник задач по аналитической геометрии
М., 19G4 г., 4-10 стр. с нлл.
Редактор И . Е . Морозова
Техн. редактор С. /7. Ш кляр 1 Корректор О. А. Бутусова Сдано в набор 2S/XII 1963 г. Подписано к печати 6/111 1964 г. Бумага 8 4 к 108/,,.
Физ. печ. л. .13,75. Услоин. печ. л. 22.55. Уч.-изд. л. 25,97. Тираж 7 5 0 0 0*кз.
» .Т-00998. Цена книги 88 коп. Заказ Кг 1201.
Издательство «Наука».
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Главполнграфпрома Государственного комитета
Совета Министров СССР по печати.
Москва, Ж -54, Валовая, 28.
ОГЛАВЛЕНИЕ
П р е д и с л о в и е ... о . . . 7
ЧАСТЬ ПЕ Р В АЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМО!! И НА п л о с к о с т и Г л а в а I. Геометрия на п р я м о й ... 9
§ 1. Координаты точек и векторов на п р я м о й ...11
§ 2. Аффинные преобразования на п р я м о й ... 14
Г л а в а II. Координаты точек и векторов на плоскости . . . 16
§ 1. Прямоугольные и аффинные координаты ...21
§ 2. Расстояние между двумя т о ч к а м и ... 22
§ 3. Деление отрезка в данном о т н о ш е н и и ...23
§ 4. Площадь треугольника ...23
§ 5. Полярные координаты ...27
§ 6. Преобразование координат . . . ...23
§ 7. Координаты векторов на п л о с к о с т и ... 32
§ 8. Длины и углы векторов в общих декартовых коор динатах ... 34
Г л а в а III. Прямая л и н и я ... 33
§ 1. Составление уравнения прямой по различным ее за даниям ... 53
§ 2. Взаимное расположение двух прямых. Условие па раллельности ... ... ... 56
§ 3. Условие перпендикулярности двух п р я м ы х... 53
§ 4. Угол двух п р я м ы х ...СО § 5. Расположение точек относительно п р я м о й ... 61
§ 6. Взаимное расположение трех прямых; пучок прямых 63 § 7. Расстояние от точки до п р я м о й ...64
§ 8. Смешанные задачи на п р я м у ю ... 67
Г л а в а IV. Уравнения геометрических м е с т ... 73
Г л а в а V. О к р уж н ость ... 92
Г л а в а V I. Эллипс, гипербола и парабола, заданные кано ническими у р а в н е н и я м и ...100
§ 1. Э л л и п с ... ... 104
§ 2. Г и п ербол а... ПО § 3. П а р а б о л а ... 120
1
4 О Г Л А В Л Е Н И Е
Г л а в а V II. Линин второго порядка, заданные общими урав
нениями ... 126
§ 1. Центр, диаметры, асимптоты, касательные, оси л и нии второго порядка ... 140
§ 2. Определение вида линии второго порядка и ее распо ложения. Инварианты . . . ...143
§ 3. Составление уравнений линий второго порядка . . . 146
§ 4. Линин второго порядка относительно аффинной си стемы координат...150
Г л а в а VI I I . Ортогональные и аффинные преобразования 152 § 1. Поворот п л о с к о с т и ... 165
§ 2 . Аффинные преобразования...166
§ 3 . Аффинные преобразования линий второго поря дк а. . 170
Г л а в а I X. Элементы проективной геометрии...176
§ 1. Проективная прямая ... 189
§ 2. Проективная п л о с к о с т ь ...192
§ 3. Линин второго порядка в проективных координатах 202 § 4. Пучок линии второго порядка и тангенциальные ко ординаты ...210
Ч А С Т Ь В Т О Р А Я АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Г л а в а X. Векторная а л г е б р а ...216
§ 1. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на ч и с л о ... 223
§ 2. Р адиус-вектор... 224
§ 3. Задание вектора координатами ... 225
§ 4. Скалярное произведение...227
§ 5. Векторное произведение; смешанное произведение 230 Г л а в а XI. Координаты в п р о с т р а н с т в е ...232
§ 1. Расстояние между двумя точками; направляющие ко синусы вектора ... 236
§ 2. Деление отрезка в данном отнош ении...239
§ 3. Сферические и цилиндрические к оо р д и н а т ы ... 240
§ 4. Преобразование к о о р д и н а т ... 241
Г л а в а XI I . Плоскость и прямая... 245
§ 1. Составление уравнения плоскости по различным ее заданиям. Расположение точек относительно плоско сти. Условие параллельности п л о с к о с т е й ... 255
§ 2. Угол Двух плоскостей в пространстве; условие перпен дикулярности плоскостей . ... 258
§ 3. Взаимное расположение трех плоскостей; пучок пло скостей; связка плоскостей ... 259
§ 4. Расстояние от точки до плоскости ... 262
§ 5 . Различные способы задания прямой. Взаимное распо ложение прямых и п л о с к о с т е й ... 264
§ б. Угол между двумя прямыми; угол прямой и плоско
сти; условие перпендикулярности двух прямых;
условие перпендикулярности прямой и плоскости 269
§ 7. Расстояние от точки до прямой. Кратчайшее расстоя
ние между двумя прямыми . . ... 270
§ 8. Векторные уравнения прямой и плоскости ... 271
Г л а в а XI I I . Поверхности и линии в п р о с т р а н с т в е ... 274
Г л а в а XIV. Сфера. Цилиндры и конусы. Эллипсоиды. Гипер болоиды. Параболоиды ...284
§ 1. С ф е р а ...293
§ 2. Конусы и цилиндры второго порядка . \ ... 298
§ 3. Эллипсоиды; гиперболоиды; п а р а б о л о и д ы ... 300
Г л а в а X V . Общее уравнение поверхности второго порядка 312 § 1. Центр поверхности, диаметральная плоскость, каса тельная плоскость, прямолинейные образую щ ие, круговые сечения ... 333
§ 2. Определение вида поверхности и ее расположения 336 § 3. Различные задачи на поверхности второго порядка, решаемые при помощи и н в а р и а н т о в ...338
§ 4 . Составление уравнений поверхностей второго по рядка ... 341
§ 5. Плоские сечения поверхностей второго порядка . . . 343
§ 6. Смешанные задачи на поверхности второго порядка 347 Г л а в а X V I. Ортогональные и аффинные преобразования пространства ... 349
Г л а в а XVI I . Элементы проективной геометрии в про странстве ... 357
О т в е т ы ... ....... 368
О Г Л А В Л Е Н И Е 5
В третьем издании часть за д а ч зам енена новыми. В р я де случаев задачи даны в б о л ее у д о б н о й ф орм ули ровк е. И справ
лены зам еченны е опечатки втор ого и зд а н и я . З адач н и к дел и тся на д в е части: аналитическая геом етрия на плоскости (сю да ж е в качестве первой главы в ходи т и аналитическая геом етрия на прямой) и аналитическая геом етрия в пространстве. П ер е
х о д н о й главой от геом етрии на плоскости к геом етрии в пространстве является глава X (векторная ал гебр а), г д е в больш инстве параграфов помещены как за д а ч и из геом етрии на п л оск ости , так и задач и из геом етрии в пространстве.
Н аи более трудн ы е за д а ч и отмечены зв е з д о ч к о й . О тветы к некоторым задачам снабж ены указаниям и.
Чтобы не стесн ять преп одав ател я порядком располож ения материала в за д а ч н и к е, авторы стремились по возм ож ности избегать ссылок на п р еды дущ и е за д а ч и .
В больш инстве з а д а ч , о собен н о в начале книги, даю тся указан ия на т о , в какой си стем е к оорди н ат (прям оугольной или аффинной) с л е д у е т решать з а д а ч у . Э то сдел ан о для т о го , чтобы приучить с т у д е н т о в с сам ого ж е начала отличать аффинные за д а ч и от м етр и ч еск и х. О дн ак о, если п р еподаватель н а х о д и т нужным пользоваться лишь прям оугольной си
стем о й , эти ук азан ия на си стем у к оор ди н ат м ож но игнори
ровать.
При составлении сборника использованы с л ед у ю щ и е з а дачники и учебны е курсы:
А н д р е е в К . А ., С борник упраж нен ий по аналитиче
ск о й геом етрии , и зд а н и е 2 - е , М ., 1 9 0 4 . ПРЕДИСЛОВИЕ
8 П Р Е Д И С Л О В И Е
Б о б р о в н и к о в Н. П., О совместных инвариантах це
лых рациональных функций от двух переменных (кандидат
ская диссертация).
Б ю ш г е н с С. С., Аналитическая геометрия, ч. I и II, издание 4-е, Гостехиздат, 1946.
Б ю ш г е н с С. С., Дифференциальная геометрия, Гостех
издат, 1940.
Г ю н т е р Н. М. и К у з ь м и н Р. О., Сборник задач но высшей математике, т. I, издание 11-е, Гостехиздат, 1947.
Д у б н о в Я. С., Основы векторного исчисления, ч. I, издание 4-е, Гостехиздат, 1950.
Ц у б е р б и л л е р О. Н., Сборник задач и упражнений по аналитической геометрии, издание 26-е, Физматгиз, 1963.
Ш и ф ф В. И., Сборник упражнений и задач по анали
тической геометрии на плоскости и в пространстве, издание 3-е, СПб. — М., 1910.
Ч А С Т Ь П Е Р В А Я
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ КА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ
Г Л А В А I
ГЕОМЕТРИЯ НА ПРЯМОЙ
Д е к а р т о в о й о с ь ю к о о р д и н а т называется прямая, на которой фиксированы две различные точки: точка О ( н а ч а л о к о о р д и н а т ) и точка Е (е д и и и ч и а я т о ч к а). Положитель
ным направлением декартовой оси координат называется направ
ление луча, выходящего из точки О и содержащего точку Е . Про
тивоположное направление называется отрицательным направ
лением оси координат. Отрезок ОЕ называется масштабным или единичным отрезком (рис. I). К о
ординатой точки /VI называется « Г М число х, определяемое равенством --- --- £---!Z---
, о м г
Х ~ ±
0
] Г ’ причем перед дробью Рис j берется знак плюс, когда точкиА/ и Е лежат на декартовой оси по одну сторону от точки О, я знак минус, когда точки Af и Е расположены по разные стороны относительно точки О; х = 0, если точка М совпадает с точкой О.
Таким образом, абсолютная величина координаты х точки Д1 равна отношению отрезка ОЛ1 к масштабному отрезку ОЕ. Точку Af, имеющую координату х, мы будем обозначать так: Af (х) или (v).
Н а п р а в л е н н ы м о т р е з к о м или в е к т о р о м А1, Af, называется отрезок, концы которого взяты в определенном порядке.
Первая точка (Af,) называется н а ч а л о м в е к т о р а , вторая точка (A f,)— его к о н ц о м.
В екто р о б означаю т та кж е одной б уквой (а , Ь, с , . . . ) .
К о о р д и н а т о й в е к т о р а М {М„, лежащего на декартовой оси координат, называется число X, определяемое равенством X = £ , причем перед дробью берется знак плюс, если век-
ОЕ
торы AtfjAfj и О Е одинаково направлены, и знак минус, если эти векторы имеют противоположные направления. Таким образом, абсолютная величина координаты Л' вектора Af,Af, равна отноше
нию отрезка Af,Aft к масштабному отрезку О Е.
Координата X вектора Л1,Л/2 определяется по формуле
X = xt — xt, (1)
г д е * !— координата начала (Af,) вектора, хг— координата конца (AL).
10 Г Л . I . Г Е О М Е Т Р И Я НА П Р Я М О Й
Д л и н а в е к т о р а M ,Af2 или расстояние между двумя точ
ками Л1і( х ,) и /W2(Хп) определяется по формуле
d = \ x z- x t I- (2)
П р о с т ы м о т н о ш е н и е м (А Б С ) т р е х т о ч е к А, В , С, лежащих на одной прямой и взятых в определенном порядке ( А , В , С), называется число X, равное
х = ± ^ ,± С В '
причем перед дробью берется знак плюс, если точка С лежит между А и В , и знак минус— в противном случае. Таким обра
зом, абсолютная величина простого отношения (A B C ) равна от
ношению отрезка АС к отрезку С В .
Простое отношение трех точек А (*,), В ( х г), С (х3) определяется по формуле
Х = ^ — (3)
х»—хз
Еслн простое отношение (/1#С ) равно X (точки А и В раз
личны), то говорят также: «точка С делит отрезок А В в отноше
нии
Каково бы ни было число X ф — 1, всегда существует и притом только одна точка С, которая делит отрезок, ограниченный двумя различными точками /1 и В, в отношении X; еслн точки А и В имеют координаты, соответственно равные дгх и х2, то координата х делящей точки вычисляется по формуле
у — Xxt. ..
1 + Х ' ( )
Еслн точки А и В различны, а X — — 1, то не существует точки С, делящей отрезок А В в отношении X.
С л о ж н ы м, или а и г а р м о н и ч е с к и м, о т и о ш е и и е м ч е т ы р е х т о ч е к А, В , С, D , лежащих на одной прямой (точки А и D различны, точки В и С различны), называется число
a = ( A B C D ) = (A B C ):(A B D ).
Ангармоническое отношение (A B C D ) четырех точек А (*,), В (л'г), С (*»). D (x t), лежащих на декартовой оси координат, вы*
числяется по формуле
a = (A B C D ) = ' ^ ± (5)
Лг п A j A j А д
Если (A B C D ) = — I, то говорят, что точки С и D гармониче
ски разделяются точками /1 и В.
Говорят, что одна из декартовых систем координат получается п е р е н о с о м другой декартовой системы координат на той же прямой, если эти системы имеют одинаковые положительные на
правления оси и равные масштабные отрезки О Е — О 'Е '. Если х и х' — координаты одной и той же точки М в двух указанны х
[1-2] § 1. К О О Р Д И Н А Т Ы Т О Ч Е К И В Е К Т О Р О В Н А П Р Я М О Й 11 системах, то
х = х '+ а , (Q)
или
х’ = х — а, (7)
где а есть координата «нового начала» в «старой» системе (т. е.
в системе с началом координат О и единичной точкой Е ).
О б щ и м п р е о б р а з о в а н и е м д d к а р т о в о й с и с т е м ы к о о р д и н а т на прямой называется переход к новому началу координат О' и новой единичной точке Связь между координа
тами х и х' одной и той же точки Лі, лежащей на оси координат, определяется при этом линейным соотношением
х ' == ссх- f (3, (8)
где а Ф 0.
Если в соотношении (8) х и х’ считать координатами двух раз
личных (вообще говоря) точек /VI и ЛГ п одной и той же системе, то этим соотношением устанавливается преобразование множества всех точек прямой, в котором точке М (х) ставится в соответствие точка Л-Г ( с и : Р ) - Это преобразование называется аффинным. При аффинном преобразовании прямой сохраняется простое отношение трех любых точек. Преобразования мы будем иногда обозначать одной буквой: А , В , С, . . .
Если преобразование В ставит в соответствие точке М (.v) точку ЛГ (*'), а преобразование А точке М ' (х ') ставит в соответ
ствие точку М " (х"), то произведением А В преобразований А и В называется преобразование, которое точке /VI (*) ставит в соответ
ствие точку М " (х"). Преобразование А ~ \ которое точке А Г (х') ставит в соответствие точку /VI (х), называется преобразованием, обратным преобразованию А.
Пусть нам дано конечное или бесконечное множество пре
образований /1, В , С, . . . Множество 9Л называется г р у п п о й п р е о б р а з о в а н и й , еслн оно: 1) вместе с каждым преобразова
нием А содержит обратное преобразование А ~ 1 и 2) вместе с каж
дыми двумя преобразованиями А и В содержит и их произведе
ние А В .
Множество всех аффинных преобразований прямой образует г р у п п у аф ф и нн ы х преобразовании этой прямой.
§ 1. Координаты точек и векторов на прямой 1. П ост р о и т ь точки А (2), В ( — 3), С (4), D (}^ 2 ), F ( \ f 3 ), О ( — V~^)> принимая масштабный о т р е зо к равным 1 см .
2 . О п р едел и ть к о о р д и н а т у вектора А В в к аж дом из сл е
д у ю щ и х случаев:
1) А(2), В (5); 3) А ( - 5), В ( — 4);
2) А ( — 2), В (4); 4) А (2), В ( — 7).
П роверить результаты п ост р оен и ем .
3 . Определить расстояние d между точками А и В в каж
дом из следующих случаев:
1) А (1), В ( -7); 2 ) Л ( 3 ) , В ( - 2); 3) А ( -6), В ( -10).
Проверить результаты построением.
4. Найти простое отношение (A B C ) в каждом из следую щих случаев:
1) А (2), 5 ( 7 ) , С(5); 4) ,4(3), В (2), С(3);
2) Л ( - 3 ) , Я ( - 3 ) , С(6); 5) Л (1), В ( 1), С (1).
3) Л ( — 1), 3 ( 0 ) , С (3);
5 . Найти все шесть значений простого отношения, со
ставленного из трех точек /1(1), В (3), С( — 2).
6 . Дано: (АВС ) = 1 . Найти (А С В ), (В А С ), (В С А), (C 4 S ), (С В А ).
7 . Найти координату я точки Л/, делящей отрезок, ограниченный точками М х (3) и .41,(6), в отношении:
1) 1 = 3 ; 2) Х = 3) Х = — ~ ; 4) Я = 5) Я = 1.
8. Найти координату х середины отрезка Л,І1М 2 в каж
дом из следующих случаев:
1) yWt (3), М г (9); 2) ЛГЖ( — 5), іМж (2); 3) Af, ( — 6), М 2 (6).
9 . Доказать, что если точки О, £ и Ж имеют соответ
ственно координаты 0, 1 и х , то х = — (М Е О).
10. Доказать тождество X ABX CD + Х АсХ в в - f X ADX BC = 0, где Л, 5 , С, D — произвольно расположенные точки на д е картовой оси координат, Х л в — координата вектора А В и т. д . 11*. Даны ( А В Р ) ~ \ , (A B Q ) — р,. Найти (P Q A) и (P Q B).
12*. Даны (А В Р ) = I , (A B Q ) = ja, (A B R ) = v. Найти (PtfQ).
13*. Даны (Л Б Я )= ^ , (y45Q) — ji, — середина отрезка P Q . Найти (A B R ).
14. В точках с координатами 1, 2, 3, . . . , 10 соответ
ственно помещены массы 1, 2, 3, . . . , 10. Найти коорди
нату центра тяжести системы.
15. Найти ангармоническое отношение четырех точек А, В , С, D в каждом из следующих случаеві
1) Л (1), В ( - ~ 3), C ( l) , D ( 4);
2) Л (2), Я ( - 6 ) , С (0), £>(5);
1 2 Г Л . I . Г Е О М Е Т Р И Я НЛ П Р Я М О Й [ 3
28] § I. К О О Р Д И Н А Т Ы Т О Ч Е К И В Е К Т О Р О В НА П Р Я М О Й 13 3) А(4), В ( 0), .С ( - 3), D (4);
4) А(1), £ ( 1 ) , С ( 3), D (2);
5) А( - 5 ) , В ( -2), С{ — 2), D ( 6);
6) А( - 1 ) , Я (6), С ( - 4),
16: Дано (A B C D ) = со. Предполагая точки
попарно различными, найти все 24 значения ангармонического отношения из данных четырех точек, соответствующих всем перестановкам данных точек. Рассмотреть случаи: а) со =
= — tg * a ; б) со = — 1.
17. Даны точки А (1), В ( 2 ) , С (4) и (A B C D ) — — 1. Найти координату точки D .
18*. Доказать, что если пара точек С, D гармонически
И D 2 1 I 1
разделяет пару А, В, то ^— = -гг---Н т — •
л а в Л л с a a d
19*. Доказать, что еслн отрезок А В делится точкой О пополам, а точками С и D гармонически, то ОАг = ОС- OD.
20*. Дана гармоническая четверка точек А 1У Л2, А 3, Л4.
Доказать, что середина отрезка Л3/14 является внешней точкой по отношению к отрезку A XA Z.
21. Даны точки А ( — 1), 5 ( 3 ) и С (7). Найти новые ко
ординаты этих точек, еслн начало координат перенесено в точку О' (4).
22. Даны координаты 3 и 7 точки А в двух декартовых системах координат, полученных одна из другой переносом начала. Найти старую координату нового начала координат и новую координату старого начала координат.
23. В какую точку надо перенести начало координат, чтобы координата точки Л ( — 3) стала равной •— 6?
2 4 . Начало координат перенесено в единичную точку.
Какова будет новая координата старого начала?
25. Найти старую координату новой единичной точки, еслн начало координат перенесено в точку О' (4).
26. Записать преобразование декартовой системы коорди
нат, если за новое начало координат и новую единичную точку принимаются точки 0 ' ( — 2) и Е ' (4).
2 7 . Найти новые координаты точек А (3), В {— 2), С (7), 0 ( 0 ) и Л (1), если за новое начало координат и новую еди
ничную точку принимаются точки О' ( — 2) и Е ' (5).
2 8. Преобразование декартовой системы координат оп
ределяется соотношением х = — 2л; + 3 . Найти старые
1 4 Г Л . I . Г Е О М Е Т Р И Я НА П Р Я М О Й [29 координаты нового начала координат 0 ' и новой единичной точки Е '.
2 9 . В чем заключается преобразование декартовой си
стемы координат на прямой, если сумма новой координаты старого начала и старой координаты нового начала равна нулю.
3 0 . Записать преобразование декартовой системы коор
динат на прямой, при котором начало координат сохраняется, а за новую единичную точку берется точка Е' (а) (а Ф 0).
3 1 . Найти старые координаты нового начала координат и новой единичной точки, если преобразование декартовой системы координат выражается так: х ' = а х (а Ф 0).
3 2 . Преобразование декартовой системы координат на прямой задано соотношением х ' = а х - \- Ь [ а Ф 0). Найти ста
рые координаты нового начала координат и новой единич
ной точки, а также новые координаты старого начала коор
динат и старой единичной точки.
§ 2 . Аффинные преобразования на прямой
3 3. Образует ли группу множество преобразований оси координат, определяемое соотношением х — — х - \ - а , где а принимает все действительные значения. Каков геометриче
ский смысл преобразования х ’ = — лг + а?
3 4 . Образует ли группу множество преобразований пря
мой, определяемое соотношением: 1) х — х-}-а? 2) х ' — ах?
В чем геометрический смысл каждого из указанных преоб
разований (в каждом случае а принимает все действительные значения; во втором случае значение а = 0 исключается)?
3 5 . Найти преобразование, обратное преобразованию х = а х - \- Ь , а Ф 0.
3 6. Даны преобразования А и В, определяемые соответ
ственно соотношениями х — 2 х -\-'6 , х = — д;-(-8. Найти преобразования АВ , В А , А~*В , В ~ 'А , А~В.
3 7. Найти неподвижную точку асЭДжнного преобразова
ния х ' — а х -f- Ь.
3 8 . Как запишется аффинное преобразование х ' = а х-f- b t
если произвести преобразование декартовой системы коор
динат на прямой, принимая за новое начало координат и новую единичную точку: О* (а) и £"((3) (а =£[})?
3 9 . Аффинное преобразование, при котором хотя бы одна точка остается неподвижной, называется центроаффин»
ным. Образует ли группу множество всех центроаффинных преобразований прямой?
40. Образует ли группу множество аффинных преобразо
ваний х = а х + Ъ, если:
1) а принимает все действительные положительные зна
чения, b принимает все действительные значения?
2) а принимает все действительные отрицательные зна
чения, b принимает все действительные значения?
3) а и b принимают все рациональные значения (a =j= 0)?
41. Образует ли группу множество центроаффинных пре
образований х ' — 2 кх, где
1) k принимает все целые значения?
2) к принимает все целые положительные значения?
3) к Принимает все целые отрицательные значения?
4 2. Доказать, что необходимым и достаточным условием сохранения ориентации (направления) отрезка в аффинном преобразовании х ' * = а х -\-Ь , «=^=0, является условие а > 0 .
43. Найти аффинное преобразование, при котором точки А (2) и В (4) переходят в точки А ' ( — 2) и В' (3).
4 4 . Найти аффинное преобразование, при котором две различные точки А ( х \ ) и В ( х г) переходят в две различные точки А ' (х[) и В' (хг).
4 5. Найти все аффинные преобразования прямой, при которых:
1) сохраняются длина и направление вектора;
2) сохраняется длина произвольного отрезка.
45] § 2. А Ф Ф И Н НЫ Е П Р Е О Б Р А З О В А Н И Я НА П Р Я М О Й 15
Г Л А В А II
КООРДИНАТЫ ТОЧЕК И ВЕКТОРОВ НА ПЛОСКОСТИ О б щ е й д е к а р т о в о й , или а ф ф и н и о й, системой коор
динат на плоскости называется упорядоченная пара двух пересе
кающихся осей координат Ох и Оу, причем началом координат для каждой из осей служит их общая точка О (рис. 2). Эта точка О называется началом координат. Первая из осей координат на
вивается о с ь ю а б с ц и с с (или осью Ох), вторая— о с ь ю о р д и н а т (или осью Оу). Векторы 0 £ , = е , и О Е г = ег ( Е х и е д и -
н и ч н ы е т о ч к и соответ
ственно оси Ох и Оу) назы
ваются м а с ш т а б н ы м и в е к т о р а м и о с е й к о о р - д и н а т.
Проведем через произ
вольную точку Л1 прямые, параллельные осям коорди- М, нат Оу и их; пусть in t и A f,— точки пересечения указанных прямых соответ
ственно с осями Ох и Оу, х— координата точки М , на оси Од: с началом координат О и единичной точкой Е х, у— коор
дината точки М , на оси Оу с началом координат 0 и единичной точкой £ ,; тогда числа х и у называются к о о р д и н а т а м и т о ч к и А-І; число х называется а б с ц и с с о й т о ч к и Af, число у— о р д и н а т о й точки М. Чтобы указать, что точка Af имеет координаты х и у, пишут Af (*, у). Точка Е (1, 1) называется е д и и и ч н о н т о ч к о й плоскости.
Общая декартова система коордннат называется п р я м о у г о л ь н о » , если угол между осями координат прямой, а мас
штабные векторы осей имеют одинаковую длину. Если масштаб
ные векторы осей имеют одинаковую длину, а угол между осями не равен я: , то система называется к о с о у г о л ь н о й .
Необходимое и достаточное условие того, что три точки А (xv //,), В (х2, уг), С (х3, у г) лежат на одной прямой, может быть записано в одном из следующих видов:
Г 1*1 — Ух— ІҺ '
U*—х, Уі— Уі (1)
Г Л . I I . К О О Р Д И Н А Т Ы Т О Ч П К И В Е К Т О Р О В НА плоскости 17 или
*1 Ух 1
*2 Уг 1 х з У і 1
= 0. (2)
Простое отношение Я = (/1ВС) трех точек A (xv у,), £ (* .,, г/2), С (лгд, ;/,), лежащих на одной прямой (точки В и С различны), равно каждой из следующ их дробен:
IU— У1 (3)
(еслн л:2— лг3ф 0 и г/»—у 3 Ф0).
Координаты х и у точки С, делящей отрезок, ограниченный двумя различными точками А ( х и //,) и В (х2, у г), в отношении
X Ф — I, определяются соотношениями: ;
Xi + Ххг У х + Х п г
1+Я, 1 X (‘О
Координаты середины отрезка А В с концами A (xv /у,) и В (,ү;, у2) равны полусуммам соответствующих координат его концов:
*,+ *2
У = Ух + У: (5)
Формулы (1)— (5) верны в общей декартовой системе координат.
Координаты вектора А В определяются следующим образом:
проведем через его начало А и конец В прямые, параллельные
оси Оу, до встречи с осыо Ох в точках Л, и 5 , и прямые, п лельные оси Ох, до встречи с осыо Оу в точках А 2 и В ко паты X , Ү векторов А хВ г и А 2В 2 на осях Ох, Оу называются динатамн вектора А В относительно общей декартовой системы динат Оху (р*1(~ 3'
Еслн xv уу— координаты точки А и х2, у2— координаты точки В, то
X = x 2— xv Ү = У*— УІ. (б)
Еслн X , Ү — координаты вектора А В , то пишут:
J b = \x, У}.
Общее преобразование одной аффинной системы координат в другую определяется по формулам:
х ^ а ^ х ' -\-Ь^у' -\-cv у = а2х' + Ь2у ' + с2,
-—^ /
где (рис. 4) av а2— координаты вектора 0 'E V 6j( &г— координаты вектора О ' Е — координаты точки О' относительно системы 1 8 Г Л . I I . К О О Р Д И Н А Т Ы Т О Ч Е К II В Е К Т О Р О В НА плоскости
(7) координат Оху, х, у— координаты произвольной точки М плоскости относительно системы Оху и х', i f— координаты той же точки М относительно системы О'х’у '.
В случае параллельного переноса формулы имеют вид:
х = х' + с„
f/ = y ' + c2-
Формулы преобразования поворота одной прямоугольной си
стемы координат Оху в другую прямоугольную систему Ох'у' имеют вид:
х — х' cos а—у ' sin а,
у — х' sin а + у ' cos а, (8) где а — угол от положительного направления оси Ох до положи
тельного направления оси Ох'. Системы Оху и Ох'у' в этом случае называются системами одного класса. Если же новая си
стема координат Ох'у' получается из старой системы Оху поворо
том на угол а и последующей симметрией относительно Ох\ то
Г Л . И . К О О Р Д И Н А Т Ы Т О Ч Е К И В Е К Т О Р О В НА П Л О С К О С Т И 19 формулы преобразования будут;
х = х' cos а + у ' sin а, y = .r 's in a —tj’ cos а.
В этом случае системы Оху и Ох'у' называются системами разных классов.
Р а с с т о я н и е м е ж д у т о ч к а м и А (х1У //,) и В (х2, уг) на плоскости относительно прямоугольной системы координат опре
деляется по формуле
d = V i x . - x t f + i y . - y t f - (9) или
d = V X й + Y \ (10)
где X , У— координаты вектора АВ.
В случае общей декартовой системы координат расстоянно между точками А (*,, //,), В (х2, у 2), измеренное некоторой едини
цей е, определяется по формуле
d = V g n (*2—*і)Ч-2Яі2 (*2—*і)(Уг — Уі) + S?.2 (Уг — Уі? 0 0
или
d = V g u X * + 2trltX Y + gssY * t (12)
гДе 8п» Sit — квадраты длин векторов О Е и О Е,, измеренные еди
ницей е , а g ,, — произведение тех же длин на косинус угла (со) между О Е и О Ег, Цц{ удовлетворяют условиям: g n > 0, g n > 0, g ug22—g\2 > 0. Обратно, если эти условия выполнены, то суще*
ствуют векторы е х, е 2 такие, что
l * i l2 = g n , k 2l2 = ^22. I*i 11^1 cos &) = £,*, (13) где со— угол между векторами <?, и ег, | | и \е2 \— длины векто
ров г?, и е2.
В прямоугольной системе координат угол от вектора А В =»
= {vY, К} до вектора CD = }Х ', Ү' } определяется по формулам:
X X ' + Ү У ' , Х У—X ’Y
cosf = ---dd1— - 5 | п ф = — Ш Г ~ ’ <І4) где d и d '— длины векторов А В и CD.
Угол от единичного вектора оси Ох до вектора А В опреде
ляется по формулам:
X Y
coscp = -^- , sin Ф ~ • О5)
Д ля того чтобы два вектора |Х , и }Х ', Ү' | были перпен
дикулярны, необходимо и достаточно, чтобы
Х Х ’ + Ү Ү ' = 0 . (16)
20 Г Л . И . К О О Р Д И Н А Т Ы Т О Ч Е К И В Е К Т О Р О В НА плоскости В случае общей декартовой системы координат угол от вектора А В = \ Х ,' Ү\ до вектора CD = {X ', Ү ' { определяется по формулам:
Н и**' + g» (XY’+ Х Т ) +Ё2-.УУ'
COS ф: del' (17)
sin ф =
X Y \v --- - A" Y ' |' Sn g z t— S it
d d ' (18)
где gift имеют указанные выше значения.
Площадь S треугольника A B C с вершинами А (*!, Уі), В ( х 2, у2), С ( х „ у}),
заданными относительно прямоугольной системы координат, опре
деляется по формулам:
и ли
S = у mod
S — -у mod
*1— X i х г х з Х х Ух X2 Уг
x i Уз
Ух— lh
У г У» (19)
(20) Площадь ориентированного треугольника A B C вычисляется по формуле
1 1 0=1 "2
Ух Уг Уі
(21) причем а > 0, если треугольник A B C одинаково ориентирован с треугольником О Е хЕ г, и сг < 0 в противном случае.
В случае аффинной системы координат по формуле (19) опре
деляется отношение площади треугольника A B C к площади мас
штабного параллелограмма.
П о л я р н а я с и с т е м а к о о р д и н а т на плоскости опре
деляется точкой О (полюс), исходящим из нее лучом Ох (полярная ось), масштабным отрезком е и направлением отсчета углов (рис. 5).
П о л я р н ы м и к о о р д и н а т а м и точки Л1, не соипадающей с полюсом, н а зываются: расстояние q ( п о - X лярный радиус) от точки А1 до полюса О и угол <р (по
лярный угол) от полярной оси Ох до луча ОАІ.
Полярный угол ф имеет бесконечное множество значений;
главным значением полярного угла называется его значение, удо
влетворяющее условию 0 « = : ф < 2 л . Если ф0 — одно из значений полярного угла, то все значения полярного угла заключаются
