PDF Задачник-практикум По Математике - Enu

МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩ ЕНИЯ РСФСР

М осковский государственны й заочный педагогический институт

ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ

Пособие для студентов-заочников факультетов подготовки учителей начальных классов пединститутов

Под редакцией проф. Н. Я. В и л е и к и и а

М ОСКВА «П РО С В Е Щ Е Н И Е » 1977

Н . я. ВИ ЛЕНКИ Н, Н. Н. ЛАВРОВА, В. Б. РО Ж ДЕС ТВЕН С К А Я , Л . П. СТОЙЛОВА

Р е д а к т о р М Г З П И П а в л о в и ч О, А.

Рекомендовано к печати Главным управлением высших и средних педагогических учебных заведе­

ний Министерства просвещения РСФСР.

G0602 — 563

3 --- заказное 10 3(03) — 77

(6) Московский государственный заочный педагогический институт (МГЗПИ), 1977 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В н а с т о я щ е е в р е м я ф а к у л ь т е т ы п о д г о т о в к и у ч и т е л е й н а ч а л ь ­ н ы х к л а с с о в п е р е ш л и н а н о в у ю п р о г р а м м у п о м а т е м а т и к е . Э т о в ы ­ з в а н о к о р е н н ы м и з м е н е н и е м п р о г р а м м ш к о л ь н о г о к у р с а . К в а л и ­ ф и ц и р о в а н н о е п р е п о д а в а н и е м а т е м а т и к и в н а ч а л ь н ы х к л а с с а х с т а л о н е в о з м о ж н ы м б е з з н а н и я о с н о в т е о р и и м н о ж е с т в , б и н а р н ы х с о о т в е т ­ с т в и й , а л г е б р а и ч е с к и х о п е р а ц и й , э л е м е н т о в м а т е м а т и ч е с к о й л о г и к и и т . д .

О т с у т с т в и е у ч е б н и к о в и з а д а ч н и к о в , н а п и с а н н ы х в с о о т в е т с т в и и с н о в о й п р о г р а м м о й , в з н а ч и т е л ь н о й м е р е о с л о ж н я е т п р о ц е с с п р е ­ п о д а в а н и я . Э т о о с о б е н н о с и л ь н о о щ у щ а е т с я в у с л о в и я х р а б о т ы н а з а о ч н ы х о т д е л е н и я х . П р е д л а г а е м о е п о с о б и е я в л я е т с я з а д а ч н и ­ к о м - п р а к т и к у м о м п о к у р с у м а т е м а т и к и д л я с т у д е н т о в ф а к у л ь т е т о в п о д г о т о в к и у ч и т е л е й н а ч а л ь н ы х к л а с с о в . О н о н а п и с а н о в с о о т ­ в е т с т в и и с д е й с т в у ю щ е й п р о г р а м м о й э т о г о к у р с а и с о с т о и т и з с л е ­ д у ю щ и х г л а в :

1. М н о ж е с т в а и о п е р а ц и и н а д н и м и . 2 . Э л е м е н т ы м а т е м а т и ч е с к о й л о г и к и . 3 . В ы р а ж е н и я , у р а в н е н и я , н е р а в е н с т в а . 4 . С о о т в е т с т в и я и о т н о ш е н и я . К о м б и н а т о р и к а . 5 . О т о б р а ж е н и я и ф у н к ц и и .

6. А л г е б р а и ч е с к и е о п е р а ц и и и с т р у к т у р ы . 7 . Ч и с л а .

8. Э л е м е н т ы а н а л и т и ч е с к о й г е о м е т р и и . 9 . Г е о м е т р и ч е с к и е п р е о б р а з о в а н и я .

В д а н н о м п о с о б и и о п у щ е н т о л ь к о р а з д е л « Э л е м е н т ы м а т е м а т и ­ ч е с к о г о а н а л и з а » , п о с к о л ь к у и м е е т с я м н о г о з а д а ч н и к о в , и з к о т о р ы х п р е п о д а в а т е л ь в с е г д а м о ж е т в ы б р а т ь з а д а ч и . В о т д е л ь н ы х м е с т а х а в т о р ы д о п у с к а л и п е р е с т а н о в к у т е м п р о г р а м м ы , р у к о в о д с т в у я с ь о п ы т о м , н а к о п л е н н ы м в х о д е п р е п о д а в а н и я н а ф а к у л ь т е т е п о д г о ­ т о в к и у ч и т е л е й н а ч а л ь н ы х к л а с с о в М Г З П И .

Г л а в ы к н и г и р а з б и т ы н а п а р а г р а ф ы . К а ж д ы й п а р а г р а ф н а ч и ­ н а е т с я с и з л о ж е н и я т е о р е т и ч е с к о г о м а т е р и а л а и р е ш е н и я т и п о в ы х з а д а ч , п о с л е ч е г о и д у т з а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я ( и с ­ к л ю ч е н и е п р е д с т а в л я е т л и ш ь г л а в а о г е о м е т р и ч е с к и х п р е о б р а з о в а ­ н и я х , г д е в е с ь т е о р е т и ч е с к и й м а т е р и а л п р и в о д и т с я в н а ч а л е г л а в ы ).

К н и г а с о д е р ж и т б о л ь ш о е к о л и ч е с т в о з а д а ч и у п р а ж н е н и й . С о д ­ н о й с т о р о н ы , э т о о б ъ я с н я е т с я ж е л а н и е м п р е д о с т а в и т ь п р е п о д а в а ­ т е л ю с в о б о д у в ы б о р а м а т е р и а л а д л я п р а к т и ч е с к и х з а н я т и й , а с

3

д р у г о й — с д е л а т ь к н и г у п о л е з н о й и п р и и з у ч е н и и н е к о т о р ы х д и с ­ ц и п л и н н а ф и з и к о -м а т е м а т и ч е с к и х ф а к у л ь т е т а х п е д а г о г и ч е с к и х и н с т и т у т о в , и п р и п р о в е д е н и и ф а к у л ь т а т и в н ы х - к у р с о в в с р е д н е й ш к о л е . Н а и б о л е е т р у д н ы е з а д а ч и о т м е ч е н ы з н а к о м * . Н е к о т о р ы е з а д а ч и з а и м с т в о в а н ы и з с л е д у ю щ и х к н и г : Н и к и т и н В . В . С б о р н и к л о г и ч е с к и х у п р а ж н е н и й . М ., « П р о с в е щ е н и е » , 1 9 7 0 ; Б о л т я н с к и й В . Г ., Я г л о м И . М . П р е о б р а з о в а н и я , в е к т о р ы . М ., « П р о с в е щ е н и е » , 1 9 6 4 ; М а к а р ы ч е в Ю . Н ., Н е ш к о в К . И ., П ы ш к а л о А . М . М а т е м а т и к а в н а ч а л ь н ы х к л а с с а х . П о д р е д . А . И . М а р к у ш е в и ч а . Ч . 3 . М ., « П е д а ­ г о г и к а » , 1 9 7 1 .

Р а б о т а а в т о р о в н а д к н и г о й р а с п р е д е л я л а с ь с л е д у ю щ и м о б р а з о м : п е р в о н а ч а л ь н ы е в а р и а н т ы г л а в I , I V , V б ы л и н а п и с а н ы Л . П . С т о й ­ л о в о й ; V I , V I I , V I I I — В . Б . Р о ж д е с т в е н с к о й ; I I , I I I — Н . Н . Л а ­ в р о в о й ; I X — Н . Я - В и л е н к и н ы м . П о с л е э т о г о в с е г л а в ы б ы л и п е ­ р е р а б о т а н ы Н . Я - В и л е н к и н ы м , к о т о р о м у п р и н а д л е ж и т с о с т а в л е н и е м н о г и х з а д а ч , а т а к ж е и з л о ж е н и е т е о р е т и ч е с к о г о м а т е р и а л а и о б щ а я р е д а к ц и я к н и г и .

Г л а в а I

§ 1. М НОЖ ЕСТВА И Э Л ЕМ ЕН ТЫ . ПУСТОЕ М НОЖЕСТВО

П о н я т и е м н о ж е с т в а н е о п р е д е л я е т с я , а л и ш ь п о я с н я е т с я н а п р и м е р а х . М о ж н о г о в о р и т ь о м н о ж е с т в е с т у д е н т о в , о б у ч а ю щ и х с я в д а н н о м и н с т и т у т е , о м н о ж е с т в е в с е х д е р е в ь е в н а З е м л е , о м н о ж е с т в е

в с е х т р е у г о л ь н и к о в н а п л о с к о с т и и т . д .

П р е д м е т ы и л и п о н я т и я , и з к о т о р ы х с о с т о и т м н о ж е с т в о , н а з ы ­ в а ю т с я

элементами

. Е с л и м н о ж е с т в о /1 с о с т о и т и з э л е м е н т о в

а, Ь, с,

т о з а п и с ы в а ю т э т о т а к :

А = { а

,

b

, с } . Е с л и

х

я в л я е т с я э л е м е н т о м м н о ж е с т в а

А

, т о з а п и с ы в а ю т

х

(:

А;

е с л и

х

п е я в л я е т с я э л е м е н т о м

А ,

т о з а п и с ы в а ю т

х І А .

Характеристическим свойством

, о п р е д е л я ю щ и м м н о ж е с т в о , н а з ы в а ю т т а к о е с в о й с т в о , к о т о р ы м о б л а д а ю т в с е э л е м е н т ы д а н н о г о м н о ж е с т в а и н е о б л а д а е т н и о д н и н е п р и н а д л е ж а щ и й е м у э л е м е н т . М н о ж е с т в о , о п р е д е л я е м о е д а н н ы м с в о й с т в о м , о б о з н а ч а ю т т а к :

А —

{ х | . . . } , г д е п о с л е ч е р т ы п р и в о д и т с я з а п и с ь с о о т в е т с т в у ю щ е г о с в о й с т в а э л е м е н т о в .

М н о ж е с т в о , с о с т о я щ е е и з ч и с е л , н а з ы в а ю т

числовым.

П р и м е р а ­ м и ч и с л о в ы х м н о ж е с т в м о г у т с л у ж и т ь :

а ) м н о ж е с т в о N н а т у р а л ь н ы х ч и с е л ; б ) м н о ж е с т в о Z ц е л ы х ч и с е л ;

в ) м н о ж е с т в о Q р а ц и о н а л ь н ы х ч и с е л ; г) м н о ж е с т в о R д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л .

М н о ж е с т в о п о л о ж и т е л ь н ы х д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л о б о з н а ч а ю т R + : R + = { х |

х

€ R ,

x

> 0 } . А н а л о г и ч н ы й с м ы с л и м е ю т о б о з н а ­ ч е н и я : R _ , Q + , Q _ .

М н о ж е с т в о , н е с о д е р ж а щ е е н и о д н о г о э л е м е н т а , н а з ы в а ю т

п ус­

тым и

о б о з н а ч а ю т 0 .

П р и м е р . У к а ж е м э л е м е н т ы м н о ж е с т в :

А = {х\ х

6 N ,

х

< 6} ,

В

=

{х\ х

£ Z , — 4 <

х <

3 } ,

С

=

{х\ х

6 R , 2л:2 = 1 0 ) .

Р е ш е н и е . Д л я э л е м е н т о в м н о ж е с т в

А , В

и

С

у к а з а н ы х а ­ р а к т е р и с т и ч е с к и е с в о й с т в а . Т а к , э л е м е н т а м и м н о ж е с т в а

А

я в л я ­ ю т с я н а т у р а л ь н ы е ч и с л а , м е н ь ш и е 6, т . е .

А

= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } . Э л е ­ м е н т ы м н о ж е с т в а

В

— ч и с л а ц е л ы е ; о н и н е м е н ь ш е ч и с л а — 4 , н о м е н ь ш е ч и с л а 3 , с л е д о в а т е л ь н о , ч и с л о — 4 в х о д и т в м н о ж е с т в о

В ,

а ч и с л о 3 е м у н е п р и н а д л е ж и т . С л е д о в а т е л ь н о ,

В =

{ — 4 , — 3 , — 2 ,

— I,

0 , 1, 2 } . Э л е м е н т а м и м н о ж е с т в а

С

я в л я ю т с я д е й с т в и т е л ь н ы е МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

5

к о р н и у р а в н е н и я 2л:3 = 1 0 . Р е ш и в э т о у р а в н е н и е , п о л у ч а е м , ч т о С = {—V5, V5}.

^ 1 . 1 . К а к н а з ы в а ю т м н о ж е с т в о к о р о в , п а с у щ и х с я в м е с т е ? 1 .2 . К а к м о ж н о н а з в а т ь м н о ж е с т в о а р т и с т о в , р а б о т а ю щ и х в о д н о м т е а т р е ?

1 .3 . К а к н а з ы в а ю т : а ) м н о ж е с т в о в с е х п и о н е р о в ш к о л ы ; б ) м н о ­ ж е с т в о в с е х п и о н е р о в к л а с с а ?

1 .4 . П р и в е д и т е п р и м е р ы м н о ж е с т в , с о с т а в л е н н ы х и з о б ъ е к т о в с л е д у ю щ и х в и д о в : а ) н е о д у ш е в л е н н ы х п р е д м е т о в ; б ) ж и в о т н ы х ; в ) р а с т е н и и ; г) а б с т р а к т н ы х п о н я т и й ; д ) ц е л ы х ч и с е л ; е ) г е о м е т р и ­ ч е с к и х ф и г у р ; ж ) г е о м е т р и ч е с к и х в е л и ч и н .

ч ^' 1 .5 . Н а з о в и т е э л е м е н т ы , п р и н а д л е ж а щ и е м н о ж е с т в у : а ) с т у ­ д е н т о в в а ш е й г р у п п ы ; б ) п р е д м е т о в , и з у ч а е м ы х н а п е д а г о г и ч е с к о м ф а к у л ь т е т е ; в ) в с е х ч а с т е й с в е т а ; г) р е с п у б л и к , в х о д я щ и х в С С С Р . 1 .6 .

А

— м н о ж е с т в о м н о г о у г о л ь н и к о в 1. П р и н а д л е ж и т л и э т о м у м н о ж е с т в у : а ) в о с ь м и у г о л ь н и к ; б ) п а р а л л е л о г р а м м ; в ) о т р е з о к ; г) п а р а л л е л е п и п е д ; д ) к р у г ; е ) п о л у к р у г ?

1 .7 . К а к и е и з з а п и с е й в е р н ы :

а ) 2 7 0 6 N ; б ) 1 6 N ; в ) 0 <= N ; г) — 7 0 £ N ; д ) 1 — 6 N ; е ) 14

І

N ; ж ) — 7 £ N ; з ) —

-

6 N ;

3 4

и ) 1 8 € Z ; к ) 0 € Z ; л ) — 2 7 £ Z ; м ) 2 2 - £ Z ;

8

н ) 2 2 -

i

N ; о ) — 1 4 ,2 g Z ; п ) — 1 4 ,2 6 Z ?

8

1 .8 . О б о з н а ч и м ч е р е з

Е

м н о ж е с т в о е в р о п е й с к и х г о с у д а р с т в , а ч е р е з

А

— м н о ж е с т в о а з и а т с к и х г о с у д а р с т в . К а к и е и з с л е д у ю щ и х з а п и с е й в е р н ы : а ) Ф р а н ц и я £

Е;

б ) И с п а н и я

Е;

в ) М о н г о л и я <£Л;

г) И н д и я €

А \

д ) И р а н £

Е\

е ) В о л г а €

Е\

ж ) Г и м а л а и g

А;

з ) Н и г е р и я

І А \

и ) Я п о н и я £

Е\

к ) А л ь п ы g £ ; л ) Ш в е ц и я $ Л ; м ) Б а й к а л 6 Л ?

1 .9 . П у с т ь С — м н о ж е с т в о с у щ е с т в и т е л ь н ы х , Я

—

м н о ж е с т в о п р и л а г а т е л ь н ы х ,

Г

— м н о ж е с т в о г л а г о л о в , Я — м н о ж е с т в о н а р е ­ ч и й . У к а ж и т е с р е д и с л е д у ю щ и х з а п и с е й в е р н ы е 2:

а ) « с т о л »

i Г

; б ) « ч е л о в е к » d С ; в ) « с т о я т ь » 6 Г ; г ) « м е с т и » С Я ; д ) « з е л е н ы й » $ Я ; е) « б ы с т р о » 6 Я ; ж ) « т еч ь » £ С ; з ) « т еч ь » 6 Г ; и ) « с т е к л о » g С ;

к ) « с т е к л о » $ Г ; л ) « с т е к л я н н ы й » £ Я .

1 .1 0 . О б о з н а ч и м ч е р е з Я м н о ж е с т в о п р о с т ы х ч и с е л , ч е р е з

¥ — м н о ж е с т в о ч е т н ы х ц е л ы х ч и с е л и ч е р е з Я — м н о ж е с т в о н е ­ ч е т н ы х ц е л ы х ч и с е л . У к а ж и т е , к а к и м и з э т и х м н о ж е с т в п р и н а д л е ­ ж а т ч и с л а 7 , 11, 12, 1 8 , 1 1 5 , 2 1 7 , 3 2 1 , 6 1 2 , 3 1 8 , 2 3 3 . З а п и ш и т е о т в е т с п о м о щ ь ю с и м в о л а € .

1 И меется в виду множество всех многоугольников.

2 З десь н далее мы пишем кавычки, если рассматривается не предмет, обозначаемый данным словом, а само слово.

1 . 1 1 . Д а н о м н о ж е с т в о

В =

{10, 12ү , 1 7 ,3 , — 7 , 1 3 6 } . К а к и е н а т у р а л ь н ы е ч и с л а п р и н а д л е ж а т э т о м у м н о ж е с т в у ? Н а з о в и т е т р и ч и с л а , н е п р и н а д л е ж а щ и е э т о м у м н о ж е с т в у . .С д е л а й т е в е р н ы е з а ­ п и с и .

1 . 1 2 . М н о ж е с т в о 5 с о с т о и т и з ч и с е л — 2 , — 3 , — 4 , — 5 . З а п и ш и ­ т е э т о м н о ж е с т в о . Н а з о в и т е ч и с л а , п р о т и в о п о л о ж н ы е д а н н ы м . З а ­

п и ш и т е м н о ж е с т в о п о л у ч е н н ы х ч и с е л .

1 . 1 3 . П е р е ч и с л и т е э л е м е н т ы с л е д у ю щ и х м н о ж е с т в :

А

— м н о ж е ­ с т в о н е ч е т н ы х ч и с е л н а о т р е з к е [1 ; 1 5 ];

В

— м н о ж е с т в о н а т у р а л ь ­ н ы х ч и с е л , м е н ь ш и х 8; С — м н о ж е с т в о н а т у р а л ь н ы х ч и с е л , б о л ь ­ ш и х 1 0 , н о м е н ь ш и х 12;

D

— 'м н о ж е с т в о д в у з н а ч н ы х ч и с е л , д е л я ­ щ и х с я н а 10;

Е

— м н о ж е с т в о н а т у р а л ь н ы х д е л и т е л е й ч и с л а 18;

Ғ

— м н о ж е с т в о ч и с е л , а б с о л ю т н а я в е л и ч и н а к о т о р ы х р а в н а 2/ 3.

1 . 1 4 . П е р е ч и с л и т е э л е м е н т ы с л е д у ю щ и х м н о ж е с т в и з а п и ш и т е э т и м н о ж е с т в а : а ) м н о ж е с т в о р а з л и ч н ы х б у к в в с л о в е « г о л о в о л о м к а » ; б ) м н о ж е с т в о р а з л и ч н ы х ц и ф р ч и с л а 1 3 4 4 3 3 1 5 4 .

1 . 1 5 . П р о ч т и т е с л е д у ю щ и е з а п и с и и п е р е ч и с л и т е э л е м е н т ы к а ж ­ д о г о и з м н о ж е с т в :

А

=

{а \а

— с т у д е н т в а ш е й г р у п п ы , ч ь я ф а м и л и я н а ч и н а е т с я с б у к в ы

J l}\ В = {Ь\Ь

— м е с я ц г о д а , в н а з в а н и е к о т о ­ р о г о в х о д я т ч е т ы р е и т о л ь к о ч е т ы р е р а з л и ч н ы е б у к в ы } ;

С = {с\с

— е в р о п е й с к о е г о с у д а р с т в о , н а з в а н и е к о т о р о г о н а ч и н а е т с я с б у к в ы

Ш }\

D = {d\d

— ч и с л о , м е н ь ш е е 10 и д е л я щ е е с я н а 3 } ;

Е

= { * 1 * € N , — 1 < х < 5 } ;

F, —

{ х |х (: Z , — 6

х

^ 4 } ;

К

=

{х \х k

N ,

х

< 7 } ;

L

= { х |5 х =

х

— 7 } ;

— ъ

=

{у

|2 ( 5 у н - 1 0 ) = 1 0 у + 2 0 } ;

N =

{ х |5 х — 7 = 3

(х

— 7 ) } ;

Q

= { х |х

(х

+ 12) = 0};

R = {х\х. $

N ,

х 1

= 4 } ;

5 =

{х \х

£ Z ,

х*

= 4 } ;

Т

=

{х\х

£ Z , х3 = 2 } ;

U

=

{х \х

£ R , X3 = 2 } ;

V = { х \ х

(: N , х2 < 9 } ;

W = {х \х £

N , ^{X 2} < 9 } .

1 .1 6 . И з о б р а з и т е н а ч и с л о в о й п р я м о й с л е д у ю щ и е м н о ж е с т в а : а ) { х |х £ N ,

х

3 } ;

б )

{х \х

6 Z ,

—

2 <

х

< 2 } ; в ) { х |х . ( : R , х > 3 ,2 } ; г )

\х\х

€ R ,

х <

— 7 } ; д ) { х |х 6 R , — 2 , 7 < х < 0 } ; е ) { х | х 6 R , 3 , 4 < х < 8};

ж ) { х | х £ R , — 4 ү ^ х ^ — 2 } .

7

а )

- - - -

в)

- - - -

у т я т *

- - - х

0 1 2 3 4 ~Б,3 2

щ //////////////^

--- =^х

gj

---

&Ш ЛШ ь

---

—2 О 3, 4

В ) ___________ у ///////Ш /У У У -Ш /Л -^ у Ж ) --- & /////Ш 6 т--- ^ д -

' 8 5,7 12

^ g ///////////////////,

-

х „-j

_ _ _ _ _ _ _

////////////&

_ _ _ _ _

^.х

J - 5 ' - 4 * О

Рис. 1

1 . 1 7 . У к а ж и т е х а р а к т е р и с т и ч е с к и е с в о й с т в а э л е м е н т о в с л е д у ­ ю щ и х м н о ж е с т в :

а ) { а , е , п , о , у , э , ы , ю , я } ;

б ) { 1 1 1 , 222, 3 3 3 , 444, 5 5 5 , 666, 7 7 7 , 888,

9 9 9 } ;

в ) { А з е р б а й д ж а н , А р м е н и я , Б е л о р у с с и я , Г р у з и я , К а з а х с т а н , К и р г и з и я , Л а т в и я , Л и т в а , М о л д а в и я , Р С Ф С Р , Т а д ж и к и с т а н , Т у р к ­ м е н и с т а н , У к р а и н а , У з б е к и с т а н , Э с т о н и я } ;

г) { М о с к в а , К и е в , М и н с к , Т б и л и с и , Е р е в а н , Б а к у , Т а ш к е н т , Р и г а , А ш х а б а д , Д у ш а н б е , В и л ь н ю с , Т а л л и н , А л м а - А т а , Ф р у н з е , К и ш и н е в } ;

д ) { с у щ е с т в и т е л ь н ы е , г л а г о л ы , п р и л а г а т е л ь н ы е , н а р е ч и я , п р е д ­ л о г и , с о ю з ы , ч и с л и т е л ь н ы е , м е ж д о м е т и я } .

1 .1 8 . У к а ж и т е и з а п и ш и т е с п о м о щ ь ю н е р а в е н с т в х а р а к т е р и с ­ т и ч е с к о е с в о й с т в о э л е м е н т о в м н о ж е с т в а , и з о б р а ж е н н о г о н а ч и с л о ­ в о й п р я м о й ( р и с . I ) 1.

1 .1 9 . К а к и м о б щ и м с в о й с т в о м о б л а д а е т ф о р м а с л е д у ю щ и х б у к в р у с с к о г о а л ф а в и т а :

а ) В Е Ж З К Н О С Ф Х Э Ю ? б ) А Д Ж М Н О П Т Ф Х Ш ? в ) Ж Н О Ф Х ?

1 .2 0 . П о с т р о й т е Z l

А ОВ.

Г д е н а х о д и т с я т о ч к а Р , о б л а д а ю щ а я с в о й с т в о м :

Л О Р = В О Р

?

1 .2 1 . О т м е т ь т е т о ч к у

О

и п о с т р о й т е м н о ж е с т в о т о ч е к

Р ,

т а к и х , ч т о : а ) | О Р | = 5

см;

б )

\ОР\

^ 5

см;

в)

\О Р \

^ 5

см.

1.22. Из каких элементов состоят следующие множества:

а ) м н о ж е с т в о т р е х з н а ч н ы х ч и с е л , с о с т а в л е н н ы х и з ц и ф р 1 и 3 ; б ) м н о ж е с т в о т р е х з н а ч н ы х ч и с е л , с о с т а в л е н н ы х и з ц и ф р 1 , 3 , 5 , п р и ч е м н и к а к и е д в е ц и ф р ы н е в с т р е ч а ю т с я д в а ж д ы ; в ) м н о ж е с т в о т р е х з н а ч н ы х ч и с е л , с о с т а в л е н н ы х и з ц и ф р 1, 3 , 5 , п р и ч е м л ю б ы е д в е с о с е д н и е ц и ф р ы р а з л и ч н ы ; г) м н о ж е с т в о т р е х з н а ч н ы х ч и с е л , с у м м а ц и ф р к о т о р ы х р а в н а 5?

1 Зачерненны й к р уж ок показы вает, что число, которое он ~ и зобр аж ает, принадлеж ит рассматриваемому множеству; не зачерненны й — не п р инадле­

ж ит множеству.

1 .2 3 . К а к и е и з с л е д у ю щ и х м н о ж е с т в п у с т ы : а ) м н о ж е с т в о л ю д е й н а В е н е р е ; б ) м н о ж е с т в о г о р о д о в в С С С Р с н а с е л е н и е м б о л е е

1 м л н .; в ) м н о ж е с т в о е в р о п е й с к и х г о с у д а р с т в , н а з в а н и е к о т о р ы х н а ч и н а е т с я с б у к в ы Я ; г) м н о ж е с т в о п а р а л л е л о г р а м м о в с н е р а в н ы ­ м и п р о т и в о п о л о ж н ы м и с т о р о н а м и ; д ) м н о ж е с т в о к в а д р а т о в б е з ц е н т р а с и м м е т р и и ; е ) м н о ж е с т в о н а т у р а л ь н ы х ч и с е л , м е н ь ш и х 1; ж ) м н о ж е с т в о д в у з н а ч н ы х ч и с е л , м е н ь ш и х 9 ; з ) м н о ж е с т в о н а т у ­ р а л ь н ы х ч и с е л , м е н ь ш и х 2.

1 .2 4 . О б р а з о в а н ы м н о ж е с т в а с т у д е н т о в в а ш е й г р у п п ы , ч ь и ф а м и л и и н а ч и н а ю т с я с б у к в ы Л , с б у к в ы

Б ,

. . . , с б у к в ы

Я

• К а к и е и з э т и х м н о ж е с т в п у с т ы ?

1 .2 5 . Д о к а ж и т е , ч т о с л е д у ю щ и е м н о ж е с т в а я в л я ю т с я п у с т ы м и : а )

{х\х

£ N ,

х

< 0 } ;

б )

{х \х $

N , 8 <

х

< 9 } ; в )

{х \х

€ N , х = ^ } .

1 .2 6 . Н а й д и т е м н о ж е с т в о к о р н е й к а ж д о г о и з у р а в н е н и й . К а ­ к и е п з э т и х м н о ж е с т в п у с т ы :

а ) _ 4 х + 5 = 4

(х

— 7 ) , х

£

R ;

•"б)

2х

-|- 3 = 3 , х 6 R ; в ) 2

(х

— 5 ) = З х , х <Е R + ; г ) х2 — 4 = 0 , х £ Z ;

д ) х2 -}- 1 6 = 0 , х € R ;

е ) ( 2 х -j- 7 ) ( х - 2 ) = 0 , х £ R + ?

1 .2 7 * . У к а ж и т е э л е м е н т ы с л е д у ю щ и х м н о ж е с т в : а ) {<7,

Ь

, с } ; б ) { а } ; в) { { а } } ; г) 0 ; д ) {0 };

е ) { { а ,

Ь},

{б '}}; ж ) { { я , /;,

с), а}\

з ) { { а } ,

а,

0 } .

§ 2. ПОДМ НОЖ ЕСТВА. Р А В Н Ы Е М НО Ж ЕС ТВА

Е с л и к а ж д ы й э л е м е н т м н о ж е с т в а

В

я в л я е т с я в т о ж е в р е м я э л е м е н т о м м н о ж е с т в а Л , т о г о в о р я т , ч т о

В

— п о д м н о ж е с т в о

А ,

н п и ш у т б с /1 . П р и э т о м с ч и т а ю т , ч т о 0 c z Л ,

А а А .

Э т и п о д ­ м н о ж е с т в а н а з ы в а ю т

несобственными подмножествами А .

О с т а л ь ­ н ы е п о д м н о ж е с т в а м н о ж е с т в а

А

н а з ы в а ю т

собственными подмноже­

ствами

. Д л я к а ж д о г о м н о ж е с т в а , с о с т о я щ е г о и з

п

э л е м е н т о в , м о ж н о о б р а з о в а т ь 2" п о д м н о ж е с т в .

Е с л и р а с с м а т р и в а ю т л и ш ь п о д м н о ж е с т в а н е к о т о р о г о м н о ж е с т в а

U,

т о

U

н а з ы в а ю т

универсальным множеством.

Е с л и д в а м н о ж е с т в а /1 и В с о с т о я т и з о д н и х и т е х ж е э л е м е н т о в , т о и х н а з ы в а ю т

равными

и п и ш у т

А

=

В.

П р и м е р 1. П у с т ь Л — м н о ж е с т в о д в у з н а ч н ы х н а т у р а л ь ­ н ы х ч и с е л ,

В

— м н о ж е с т в о ч е т н ы х д в у з н а ч н ы х ч и с е л . Л е г к о в и ­ д е т ь , ч т о к а ж д о е ч е т н о е д в у з н а ч н о е ч и с л о с о д е р ж и т с я в м н о ж е с т в е Л . С л е д о в а т е л ь н о ,

В а А .

9

П р и м е р 2 . П у с т ь

Л —

{ 3 , 1, 2 } , а

В

= { х\ х 6 N , х < 4 } . Э л е м е н т а м и м н о ж е с т в а

В

я в л я ю т с я в с е н а т у р а л ь н ы е ч и с л а , м е н ь ­ ш и е 4 , т . е .

В —

{ 1 , 2 , 3 } . М н о ж е с т в а

А

и

В

с о с т о я т и з о д н и х и т е х ж е э л е м е н т о в , з н а ч и т , /1 =

В.

1 .2 8 . Д а н ы м н о ж е с т в а

А — {а, Ь, с, ci, с, f, g, k ) , В

= { я ,

с,

/г } ,

С

=

{Ь, сI

,

g,

/г, / } ,

D

= ( я ,

с}, Е

=

{с,

/ , /г, g , а } . У к а ж и т е , к а к и е и з н и х я в л я ю т с я п о д м н о ж е с т в а м и м н о ж е с т в а

А .

Я в л я е т с я л и

D

п о д м н о ж е с т в о м

С

? П о д м н о ж е с т в о м к а к о г о м н о ж е с т в а я в л я ­ е т с я В ?

1 .2 9 . Д а н о м н о ж е с т в о

С —

{ 2 1 3 , 4 5 , 3 2 4 , 7 3 2 , 1 3 6 } . С о с т а в ь т е п о д м н о ж е с т в о м н о ж е с т в а С , с о с т о я щ е е и з ч и с е л , к о т о р ы е : а ) д е ­ л я т с я н а 3 ; б ) д е л я т с я н а 9; в ) н е д е л я т с я н а 4; г) н е д е л я т с я н а 5;

д ) н е д е л я т с я н а 3 .

1 .3 0 . О б р а з у й т е в с е п о д м н о ж е с т в а м н о ж е с т в а /1 = { 1 , 2 , 3 , 4 } . 1 . 3 1 . Д а н ы п а р ы м н о ж е с т в : а )

А

— м н о ж е с т в о г о р о д о в С С С Р ,

В

— м н о ж е с т в о г о р о д о в , н а х о д я щ и х с я в А з и и ; б )

А

— м н о ж е с т в о г о р о д о в С С С Р ,

В

— М о с к в а , Л е н и н г р а д , К и е в , О м с к ; в )

А

— м н о ­ ж е с т в о г о р о д о в Ф р а н ц и и ,

В

— м н о ж е с т в о г о р о д о в , н а х о д я щ и х с я в Е в р о п е ; г)

А —

{ П у ш к и н , Л е р м о н т о в , Н е к р а с о в , Б л о к , Е с е н и н , М а я к о в с к и й } ,

В

— м н о ж е с т в о р у с с к и х п о э т о в X I X и X X в в .;

д )

А - -

{ « с т о л » , « д е р е в о » , « с т а л ь н о й » , « в я з а т ь » } ,

В

— м н о ж е с т в о в с е х п р и л а г а т е л ь н ы х ; е )

А

= { « с т о л » , « д е р е в о » , « к о н ь » , « ж е л е з о » ,

« м ы с л ь » , « ч и с л о » } ,

В

— м н о ж е с т в о в с е х с у щ е с т в и т е л ь н ы х ; ж )

А

— м н о ж е с т в о в с е х с у щ е с т в и т е л ь н ы х с р е д н е г о р о д а ,

В —

{ « о к н о » ,

« п о л е » , « с о л н ц е » , « с ч а с т ь е » , « м а р е в о » } . У к а ж и т е , д л я к а к и х п а р о д н о и з м н о ж е с т в я в л я е т с я п о д м н о ж е с т в о м д р у г о г о .

1 .3 2 . В м н о ж е с т в е / п л о с к и х ч е т ы р е х у г о л ь н и к о в з а д а н ы п о д ­ м н о ж е с т в а :

А

— п а р а л л е л о г р а м м о в ,

В —

р о м б о в ,

С

— т р а п е ц и й ,

D

— п р я м о у г о л ь н и к о в ,

Е

— • к в а д р а т о в . К а к и м и х а р а к т е р и с т и ч е ­ с к и м и с в о й с т в а м и м о ж н о з а д а т ь э т и п о д м н о ж е с т в а ?

1 .3 3 . Д а н ы м н о ж е с т в а :

А

— в с е х т р а п е ц и й ,

В

— в с е х п р я м о ­ у г о л ь н и к о в , С — в с е х ч е т ы р е х у г о л ь н и к о в ,

D

— в с е х к в а д р а т о в ,

Е

— в с е х п а р а л л е л о г р а м м о в ,

К

— в с е х м н о г о у г о л ь н и к о в . В ы п и ­ ш и т е б у к в ы , о б о з н а ч а ю щ и е э т и м н о ж е с т в а , в т а к о м п о р я д к е , ч т о б ы к а ж д а я п о с л е д у ю щ а я о б о з н а ч а л а п о д м н о ж е с т в о п р е д ы д у щ е г о .

1 .3 4 . П у с т ь р а з н ы е с т р о ч н ы е б у к в ы о б о з н а ч а ю т р а з н ы е п р е д ­ м е т ы . Д л я к а к и х и з с л е д у ю щ и х п а р м н о ж е с т в и м е е т м е с т о о т н о ш е н и е

А а В

и л и

В а Л:

а )

А — {а, Ь, с, d ) , В —

{

а , с, d}\

б )

А —

{ я , /; } ,

В —

{ а , с ,

d

};

в ) А = 0 ,

В

⁼ 0 ;

г) /1 = 0 ,

В = {а, Ь,

с } ; д * )

А

= 0 ,

В —

{0 };

е * )

А

= { { « } ,

а,

0 } ,

В =

{ а } ;

ж * ) /1 = { { « , /; } , {

с

,

d ) , с, d ) , В

= { { а ,

Ь),

с } ?

1 .3 5 . К а к и е и з с л е д у ю щ и х п а р м н о ж е с т в с в я з а н ы м е ж д у с о б о й о т н о ш е н и е м в к л ю ч е н и я :

10

а )

А

= {х\х £ N , * > 2 } , S = { у |у 6 N , у > 2 } ; б )

А =

{ х |х 6 R , х > 0 } , Б = ( у | у 6 N ,

у >

0 } ; в )

А = {х \х

6 N , л - > 4 } ,

В

= { * |* € N , л - > 5 } ; г)

А

— м н о ж е с т в о м н о г о у г о л ь н и к о в с п е р и м е т р о м 4 ,

В

— м н о ­ ж е с т в о к в а д р а т о в с п л о щ а д ь ю 1?

\ 1 .3 6 :і:. В е р н о л и , ч т о

а ) {1, 2} с { {1, 2, 3 } , {1, 3 } , 1, 2};

б ) {1, 2} 6 { {1, 2, 3 } , {1, 3 } , 1, 2};

в ) { 1 , 3 } € { { 1 , 2 , 3 } , { 1 , 3 } , 1, 2 } ; г) {1, 3 } с { {1, 2, 3 } , {1, 3 } , 1, 2}?

1 .3 7 . Р а в н ы л и с л е д у ю іц и е м н о ж е с т в а : а )

А

= { 2 , 4 , 6} и

В

= {6, 4 , 2 } ; б )

А =

{ 1 , 2 , 3 } и В = { I , I I , I I I ) ; в )

А =

{ 2 , _ 3 } } и _ В = { 2 , 3 , 1 };

г) А = { / 2 5 6 , У 81, У 16,

у

Г) и В = {1"-, 2г, Зг, 4“-}?

1 .3 8 . Д а н ы м н о ж е с т в а :

А

— м н о ж е с т в о н а т у р а л ь н ы х ч и с е л ;

В

— м н о ж е с т в о ч е т н ы х н а т у р а л ь н ы х ч и с е л ;

С

— м н о ж е с т в о н е ч е т ­ н ы х ч и с е л ;

D

— м н о ж е с т в о ч и с е л , к р а т н ы х 2 и 3 о д н о в р е м е н н о ;

Е

— м н о ж е с т в о ч и с е л , д е с я т и ч н а я з а п и с ь к о т о р ы х о к а н ч и в а е т с я н у л е м ;

Ғ

— м н о ж е с т в о ч и с е л , к р а т н ы х 6;

Қ

— м н о ж е с т в о ч и с е л , к р а т н ы х 3 ;

М

— м н о ж е с т в о ч и с е л , к р а т н ы х 2 и 5 о д н о в р е м е н н о . У к а ж и т е , к а к и е п з д а н н ы х м н о ж е с т в я в л я ю т с я п о д м н о ж е с т в а м и д р у г и х д а н н ы х м н о ж е с т в . Е с т ь л и с р е д и д а н н ы х м н о ж е с т в р а в н ы е ? 1 .3 9 . С р е д и с л е д у ю щ и х п а р м н о ж е с т в н а й д и т е п а р ы р а в н ы х м н о ж е с т в : а )

X —

{ 3 , 5 , 7 , 9 } ,

Ү

— м н о ж е с т в о н е ч е т н ы х ч и с е л , б о л ь ш и х 2 и м е н ь ш и х 10; б )

X =

{ 4 , 6, 8} ,

Ү

— м н о ж е с т в о ч е т н ы х ч и с е л , б о л ь ш и х 1 и м е н ь ш и х 9; в)

X

— м н о ж е с т в о п л о с к и х ч е т ы ­ р е х у г о л ь н и к о в ,

Ү

— м н о ж е с т в о п л о с к и х ф и г у р , о г р а н и ч е н н ы х з а м к ­ н у т о й л о м а н о й и з ч е т ы р е х о т р е з к о в ; г) X — м н о ж е с т в о д в у з н а ч н ы х ч и с е л , к р а т н ы х 9 ,

У

— м н о ж е с т в о д в у з н а ч н ы х ч и с е л , с у м м а ц и ф р к о т о р ы х к р а т н а 9; д )

X

— м н о ж е с т в о с у м м д в у х н е ч е т н ы х н а т у р а л ь ­ н ы х ч и с е л ,

Ү

— м н о ж е с т в о ч е т н ы х н а т у р а л ь н ы х ч и с е л ; е)

X

— м н о ж е с т в о т о ч е к п л о с к о с т и , р а в н о у д а л е н н ы х о т т о ч е к /VI и /С ,

Ү

— м н о ж е с т в о т о ч е к прямой, проходящей ч е р е з с е р е д и н у о т р е з к а

М К

и п е р п е н д и к у л я р н о й э т о м у о т р е з к у ; ж )

X

— м н о ж е с т в о т о ч е к , л е ж а щ и х н а о к р у ж н о с т и с ц е н т р о м

О

и р а д и у с о м 5 ,

Ү

— м н о ж е с т в о т о ч е к , р а с с т о я н и е к о т о р ы х о т т о ч к и О р а в н о 5; з )

X

— м н о ж е с т в о т о ч е к , л е ж а щ и х в н у т р и о к р у ж н о с т и с ц е н т р о м

О

и р а д и у с о м 5 ,

Ү

— м н о ж е с т в о т о ч е к , р а с с т о я н и е к о т о р ы х о т т о ч к и

О

б о л ь ш е , ч е м 5 .

§ 3. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Переселением

м н о ж е с т в /1 и

В

н а з ы в а е т с я м н о ж е с т в о

А

П

В,

с о д е р ж а щ е е т е и т о л ь к о т е э л е м е н т ы , к о т о р ы е о д н о в р е м е н н о в х о д я т в о б а м н о ж е с т в а

А

н

В.

11

Рис. 2

А

Л

В =

{а '| ^х

(с А

и

х € В } .

Е с л и м н о ж е с т в а

А

и

В

и з о б р а з и т ь г р а ­ ф и ч е с к и , н а р и с о в а в д л я к а ж д о г о и з н и х з а м к н у т у ю л и н и ю и п р е д с т а в и в с е б е , ч т о э л е м е н т ы м н о ж е с т в и з о б р а ж е н ы т о ч к а м и , н а х о д я щ и м и с я в н у т р и э т и х л и н и й (т о ч к и н а р и с у н к е п о к а з ы в а т ь п е о б я з а т е л ь н о ) , т о т о г д а м н о ж е с т в о

А

П

В

б у д е т п р е д с т а в ­ л е н о з а ш т р и х о в а н н о й о б л а с т ь ю (р и с . 2) . Э т о т с п о с о б и з о б р а ж е н и я

м н о ж е с т в н о с и т н а з в а н и е

диаграмм Эйлера

—

Вениа.

В с л у ч а е , к о г д а м н о ж е с т в а

А

и

В

п е и м е ю т о б щ и х э л е м е н т о в , и х п е р е с е ч е н и е п у с т о , /1 f)

В —

0

.

О п е р а ц и я п е р е с е ч е н и я м н о ­ ж е с т в о б л а д а е т с л е д у ю щ и м и свойствами:

1 .

А

Г)

В = В

П

А;

2.

(А П В) П С = А

П

(В

П

С)-,

3 . Е с л и

А

с г

В,

т о

А

П

В = А;

4 .

А

П 0 = 0 ;

5 .

А

П

U — A (U

— у н и в е р с а л ь н о е м н о ж е с т в о );

6.

А

П

А = А.

П р и м е р 1. Н а й д е м п е р е с е ч е н и е м н о ж е с т в

А = {а, Ь, с, d, с,

/ } и

В

=

[b, d, е, g, Һ).

Р е

hi

е н п е . О б о и м м н о ж е с т в а м п р и н а д л е ж а т э л е м е н т ы

b, d, е.

П о э т о м у

А

П

В — {b, d, е}.

П р и м е р 2 . Н а й д е м п е р е с е ч е н и е м н о ж е с т в

А

и

В,

е с л и

А = -V

о³ < л* < 4 j-;

В

-

(.V

Р е ш е н и е . И з о б р а з и м м н о ж е с т в а

А

и

В

н а ч и с л о в о й п р я - м о й ( р и с . 3 ) . М н о ж е с т в о /1 и з о б р а ж а е т с я о т р е з к о м с к о н ц а м и - - - - ^

о

3

7 1

и — , а м н о ж е с т в о

В

— о т р е з к о м с к о н ц а м и — — и 2 . П е р е с е ч е н и е

4 4

1 7

А

П

В

— ч а с т ь о с и , г д е е с т ь о б е ш т р и х о в к и , т . е . о т р е з о к [ - - - ; — ] .

4 4

И н а ч е г о в о р я ,

Л П В = {л: | - 1 < * < { } •

1 .4 0 . Н а й д и т е п о п а р н ы е п е р е с е ч е н и я с л е д у ю щ и х м н о ж е с т в :

1 2

Рис. 3

М

= { 3 6 , 2 9 , 1 5 , 68, 2 7 } ;

Р =

{ 4 , 1 5 , 2 7 , 4 7 , 3 6 , 9 0 } ;

Q

= { 9 0 , 4 , 4 7 } .

Н а й д и т е М f|

Р

П

Q-

12

1.41. И з в е с т н о , ч т о

А

— м н о ж е с т в о в с е х н а т у р а л ь н ы х д е л и т е ­ л е й ч и с л а 1 8 ,

В

— м н о ж е с т в о в с е х н а т у р а л ь н ы х д е л и т е л е й ч и с л а 2 4 . Н а з о в и т е э л е м е н т ы м н о ж е с т в а

A f] В и

п р о и л л ю с т р и р у й т е р е ­ ш е н и е э т о й з а д а ч и п р и п о м о щ и д и а г р а м м ы Э й л е р а — В е н н а .

1.42. Р — м н о ж е с т в о д в у з н а ч н ы х н а т у р а л ь н ы х ч и с е л , 5 — м н о ж е с т в о в с е х н е ч е т н ы х н а т у р а л ь н ы х ч и с е л . К а к и е ч и с л а в х о д я т в м н о ж е с т в о К = Р

[\

S? В е р н о л и , ч т о : а ) 2 1 <с/ ( ; б ) 3 2 (Е / С ; в ) 7

І К \

г) 1 7

І К

?

1.43. Н а й д и т е п е р е с е ч е н и е м н о ж е с т в а р а з л и ч н ы х б у к в , в х о д я ­ щ и х в с л о в о « м а т е м а т и к а » , и м н о ж е с т в а р а з л и ч н ы х б у к в , в х о д я щ и х в с л о в о « г р а м м а т и к а » .

1.44. П е р е ч и с л и т е и з а п и ш и т е н а т у р а л ь н ы е ч и с л а , п р и н а д л е ­ ж а щ и е п е р е с е ч е н и ю

А

П

В,

е с л и м н о ж е с т в у

А

п р и н а д л е ж а т д е й с т в и т е л ь н ы е ч и с л а , б о л ь ш и е , ч е м — 3 , 7 , н о ' м е н ь ш и е 1 0 ,

а м н о ж е с т в у

В

— д е й с т в и т е л ь н ы е ч и с л а , б о л ь ш и е 0 , н о м е н ь ­ ш и е 1 2 ,3 .

1.45. Н а й д и т е п е р е с е ч е н и е ч и с л о в о г о о т р е з к а [1 ; 5 ] с ч и с л о в ы м о т р е з к о м [3 ; 7 ] .

1.46. И з о б р а з и т е с п о м о щ ь ю д и а г р а м м Э й л е р а — В е н н а с л е д у ю щ и е с л у ч а и : а ) м н о ж е с т в а

А

и

В

с о в п а д а ю т ; б ) м н о ж е с т в а

А

и

В

н е п е р е с е к а ю т с я ; в ) м н о ж е с т в о

А

— с о б с т в е н н о е п о д м н о ж е с т в о м н о ­ ж е с т в а

В

; г) м н о ж е с т в о

В

— с о б с т в е н н о е п о д м н о ж е с т в о м н о ж е ­ с т в а

А.

К а к о й с л у ч а й п р о п у щ е н ? П о с т р о й т е с о о т в е т с т в у ю щ и е д и а г р а м м ы Э й л е р а — В е н н а .

1.47.

М

— м н о ж е с т в о с п о р т с м е н о в в н е к о т о р о й ш к о л е ,

Р

— м н о ж е с т в о м а л ь ч и к о в в э т о й ш к о л е . И з о б р а з и т е э т и м н о ж е с т в а п р и п о м о щ и д и а г р а м м ы Э й л е р а — В е н н а . У к а ж и т е х а р а к т е р и с т и ч е с к о е с в о й с т в о э л е м е н т о в м н о ж е с т в а

М

П

Р-

1 .4 8 . В м н о ж е с т в е ч е т ы р е х у г о л ь н и к о в и а п л о с к о с т и в ы д е л е н ы с л е д у ю щ и е п о д м н о ж е с т в а :

А

— ч е т ы р е х у г о л ь н и к и , д и а г о н а л и к о ­ т о р ы х в з а и м н о п е р п е н д и к у л я р н ы ;

В

— ч е т ы р е х у г о л ь н и к и , д л и н ы д и а г о н а л е й к о т о р ы х р а в н ы ;

С

— ч е т ы р е х у г о л ь н и к и , д и а г о н а л и к о т о р ы х в т о ч к е п е р е с е ч е н и я д е л я т с я п о п о л а м .

К а к и е ф и г у р ы п р и н а д л е ж а т м н о ж е с т в а м : a )

A

f)

G',

б )

В

П

С;

в) А

П

В;

г)

А

П

В

П

С?

1.49. Н а ч е р т и т е т р и п е р е с е к а ю щ и х с я к р у г а . В н у т р е н н ю ю ч а с т ь о д н о г о к р у г а о б о з н а ч ь т е

А ,

в т о р о г о —

В,

т р е т ь е г о —

С.

П о к а ж и ­ т е с л е д у ю щ и е м н о ж е с т в а :

А

П

В, (А

Г)

В)

П

С, В ( \ С

,

А

Г)

(В

f |

С).

П р о в е р ь т е , ч т о

(А

Г)

В)

П

С — А

П

(В

П

С).

1 .5 0 . П р о в е р ь т е э т о ж е р а в е н с т в о д л я м н о ж е с т в

А =

{ 1 , 2 , 3 , 4 } ,

В

- { 3 , 4 , 5 , 6} , С = {2, 4 , 6} . _ _ _ _ _ _

1 .5 1 . Т р и м н о ж е с т в а Р , N и

Q

и з о б р а - р — ^ 3

— —— , N

ж е н ы т р е м я п р я м о у г о л ь н и к а м и , и м е ю щ и - - - - - -

м н о б щ и е ч а с т и ( р и с . 4 ) . О т м е т ь т е ш т р и ­

х о в к о й о б л а с т и , и з о б р а ж а ю щ и е с л е д у ю щ и е . . . .. . . ■■■■

м н о ж е с т в а ( д л я к а ж д о г о с л у ч а я с д е л а й т е

Q

- - - - о т д е л ь н ы й ч е р т е ж ) : а )

N

f) Q; б )

Р

П

N;

Р ис. 4

13