-? ‘ М 1
! І | ; 3 * i | ! :
1-2
\ \ l
11 :
\-7
! L ■
1 -12
1 I — '-17
Рис. 76
Рис. 77
5 .5 3 . Н и ж е у к а з а н ы с о о т в е т с т в и я , з а д а н н ы е с в о и м и г р а ф и к а м и . О п р е д е л и т е , к а к и е и з э т и х с о о т в е т с т в и й я в л я ю т с я ф у н к ц и я м и . Д л я ф у н к ц и о н а л ь н ы х с о о т в е т с т в и й н а й д и т е о б л а с т ь о п р е д е л е н и я и м н о ж е с т в о з н а ч е н и й .
115
а) R = { ( 1 , 2 > , ( 3 , 4 ) , < 5 , 6 ) , <7, 8 ) , <9, 1 0 » ; б ) R - { < 1 , 2 ) , ( 1 , 3 > , ( 1 , 4 > , < 1 , 5 > } ;
a) R » « 1 , 2 > , < 2 , 4 ) , ( 3 , 6 ) , < 4 , 8 » ;
г) R
-
« 1 , 0 ) , < 0 , 1>, ( - 1 , 0 > , < 2 , - 1 » ; Д ) R = { < 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ), ( - 1 , 0 ) , ( 0 , - 1 » ; е ) R = { ( 1 , 4 > , <2, 4 ) , < 3 , 4 > , ( 5 , 4 ) } ; ж ) /? = « 1 , 1>, < 2 , 2 ) , < 3 , 3 > , < 4 , 4 ) } ;з ) / ? = { < « , » !> ,
(Ь, II),
<Ш , Я >, < « , » ! > ) .5 .5 4 . Н а м н о ж е с т в е X = { — 1 ,5 ; — 1; — 0 ,5 ; 0 ; 0 ,5 ; 1; 1 ,5 } з а д а н а ф у н к ц и я
у =
— 4л'. П о с т р о и т е е е г р а ф и к . К а к о м у м н о ж е с т в у п р и н а д л е ж а т з н а ч е н и я д а й н о й ф у н к ц и и ?5 .5 5 . Ф у н к ц и я з а д а н а у р а в н е н и е м
у
= - - - . О н а о п р е д е л е -5х — 3
н а н а м н о ж е с т в е
X =
{ — 2 ; — 1; 0 ; 1; 2 } . П о с т р о й т е г р а ф и к э т о й ф у н к ц и и .5 .5 6 . Н а м н о ж е с т в е X = { — 3, — 2 , — 1, 0 , 1, 2 , 3} з а д а н а ф у н к ц и я
у — х
2 + 1. З а п и ш и т е м н о ж е с т в о п а р , п р и н а д л е ж а щ и х г р а ф и к у э т о й ф у н к ц и и , и и з о б р а з и т е е г о в п р я м о у г о л ь н о й с и с т е м е к о о р д и н а т .5 .5 7 . С о о т в е т с т в и е м е ж д у м н о ж е с т в а м и X и
У
з а д а н о г р а ф и к о м ( р и с . 7 9 ) . Д о к а ж и т е , ч т о э т о с о о т в е т с т в и е — ф у н к ц и я . Н а й д и т е е е о б л а с т ь о п р е д е л е н и я и м н о ж е с т в о з н а ч е н и й .5 .5 8 . П о с т р о й т е г р а ф и к ф у н к ц и и
у —
—Зх2,
е с л и е е о б л а с т ь о п р е д е л е н и я е с т ь : а ) м н о ж е с т в о в с е х ц е л ы х ч и с е л ; б ) м н о ж е с т в о в с е х н е о т р и ц а т е л ь н ы х ч и с е л ; в ) м н о ж е с т в о в с е х д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л .5 .5 9 . П р и н а д л е ж а т л и т о ч к и /1 (0 , 1 ),
В
(1 , 0 ) , С (1 , 2 ) , /С (2 , 1 ),М
(3 , 3 ) ,Р
( 1 0 1 , 1 0 0 ) г р а ф и к у ф у н к ц и иу =
- 1- -, о б л а с т ь о т -1 —
х
п р а в л е н и я к о т о р о й е с т ь м н о ж е с т в о в с е х д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л . 5 .6 0 . Д о к а ж и т е , ч т о к р и в а я , и з о б р а ж е н н а я н а р и с у н к е 8 0 , я в л я е т с я г р а ф и к о м н е к о т о р о й ф у н к ц и и
у =
/(х),
и у к а ж и т е е е о б л а с т ь о п р е д е л е н и я и м н о ж е с т в о з н а ч е н и й .5 .6 1 . П о ч е м у к р и в а я , и з о б р а ж е н н а я н а р и с у н к е 8 1 , н е м о ж е т б ы т ь г р а ф и к о м ф у н к -
* цни у = f (х)?
Рис. 81 5 .6 2 . К а к и е п з к р и в ы х , и з о б р а ж е н н ы х П
н а р и с у н к е 8 2 , я в л я ю т с я г р а ф и к а м и ф у н к ц и и
у — f
( х ) , а к а к и е н е т ? Д л я ф у н к ц и и п о к а ж и т е н а ч е р т е ж е о б л а с т ь о п р е д е л е н и я и м н о ж е с т в о з н а ч е н и й .5 .6 3 . П о с т р о й т е г р а ф и к ф у н к ц и и
у = х ? ,
е с л и х — д е й с т в и т е л ь н о е ч и с л о и 1 < ^ х ^ 3 . З а п и ш и т е м н о ж е с т в о з н а ч е н и й э т о й ф у н к ц и и .5 .6 4 . П о с т р о й т е г р а ф и к ф у н к ц и и
у — —,
е с л и х — д е й с т в п -е с л их
— 1. З а п и ш и т е м н о - т е л ь н о е ч и с л о , н е р а в н о е п у л ю , и
ж е с т в о з н а ч е н и й э т о й ф у н к ц и и .
5 .6 5 . Н а м н о ж е с т в е R + п о л о ж и т е л ь н ы х д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л з а д а н а ф у н к ц и я у = — х 2 - f 4 . П о с т р о й т е е е г р а ф и к и у к а ж и т е м н о ж е с т в о з н а ч е н и й х , п р и к о т о р ы х
у
> 0 .5 .6 6 . Д а н а ф у н к ц и я
у
= — 0 , 4 * — 2 ,х
£ R . П о с т р о й т е е е г р а ф и к и у к а ж и т е т е з н а ч е н и я х , п р и к о т о р ы ху
> 0 ,у
< 0 ,у
< — 4 . 5 .6 7 . Н а м н о ж е с т в е в с е х д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л з а д а н а ф у н к ц и яу
= —(х
— 2 ) 2 - г 1. П о с т р о й т е е е г р а ф и к и у к а ж и т е , п р и к а к и х з н а ч е н и я х * з н а ч е н и я д а н н о й ф у н к ц и и : а ) п о л о ж и т е л ь н ы ; б ) о т р и ц а т е л ь н ы ; в) р а в н ы н у л ю .5 .6 8 . П о с т р о й т е г р а ф и к и с л е д у ю щ и х о т н о ш е н и й в м н о ж е с т в е д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л , у к а ж и т е с р е д и н и х г р а ф и к и ф у н к ц и й :
а )
R
= { < * , у > | у = х } ; б) R =
{ ( х , у > | у < х } ; в )R
= « х , у ) |у
= | х | };г)
R
= {<*, У>1 ІУІ = х } ’,Д)
R =
{<х ,
у>1У =
2 х + 3 } ; е )R
ж )
R
з )R
« х , у > | х 2 -|- у - = 2 5 } ;
{<Х,
у > | у — X2 };« X , у > | X = у - } .
5 .6 9 . М а ш а н а ш л а 6 г р и б о в , а К о л я н а
т
г р и б о в б о л ь ш е . Ч е м у р а в н о ч и с л ои
г р и б о в , с о б р а н н ы х в м е с т е ? З а п и ш и т е с о о т в е т с т в и е м е ж д уtn
ип.
Я в л я е т с я л и о н о ф у н к ц и о н а л ь н ы м ? К а к о в ы о б л а с т ь о п р е д е л е н и я и м н о ж е с т в о з н а ч е н и й э т о г о с о о т в е т с т в и я , е с л и К о л я с о б р а л н е б о л е е 15 г р и б о в ? И з о б р а з и т е э т о с о о т в е т с т в и е г р а ф о ми н а ч е р т и т е е г о г р а ф и к .
5 .7 0 . П е ш е х о д и в е л о с и п е д и с т в ы е х а л и н а в с т р е ч у д р у г д р у г у н з с е л
А
иВ.
П е ш е х о д п р о х о д и т з а ч а с 6км,
а в е л о с и п е д и с т з а т о ж е в р е м я п р о е з ж а е т н а хкм
б о л ь ш е . Ч е м у р а в н о р а с с т о я н и еу
м е ж д у с е л а м иА
иВ,
е с л и п е ш е х о д и в е л о с и п е д и с т в с т р е т и л и с ь ч е р е з 3ч
? З а п и ш и т е с о о т в е т с т в и е .м е ж д у х иу .
Я в л я е т с я л и о н о ф у н к ц и о н а л ь н ы м ? К а к о в ы о б л а с т ь о п р е д е л е н и я и м н о ж е с т в о з н а ч е н и й э т о г о с о о т в е т с т в и я , е с л и в е л о с и п е д и с т п р о е з ж а е т н е б о л е еЛ D
а) х
0Рис. 82
X
117
1 5
км
в ч а с ? Ч е м о т л и ч а е т с я э т о с о о т в е т с т в и е о т с о о т в е т с т в и я в з а д а ч е 5 .6 9 ? П о с т р о й т е г р а ф и к э т о г о с о о т в е т с т в и я .5.71. С у м м а в 4 5 к о п . с о с т а в л е н а и з т р е х к о п е е ч н ы х и п я т и к о п е е ч н ы х м о н е г . З н а я , ч т о ч и с л о т р е х к о п е е ч н ы х м о н е т р а в н о
п
, н а й д и т е ч и с л о п я т и к о п е е ч н ы х м о н е т (//г). Д о к а ж и т е , ч т о с о о т в е т с т в и е м е ж д у з н а ч е н и я м ит
ип
я в л я е т с я ф у н к ц и е й . Н а й д и т е е е о б л а с т ь о п р е д е л е н и я и м н о ж е с т в о з н а ч е н и й . П о с т р о й т е е е г р а ф и к .5 .7 2 . И з п у н к т о в
С
иD
в ы ш л и н а в с т р е ч у д р у г д р у г у д в а т у р и с т а . П р п в с т р е ч е о к а з а л о с ь , ч т о о д и н п р о ш е л 4км,
а д р у г о й н аа км
б о л ь ш е . Ч е м у р а в н о р а с с т о я н и еЬ
м е ж д у п у н к т а м иС
и D ? П о к а ж и т е , ч т о с о о т в е т с т в и е м е ж д у з н а ч е н и я м иа и Ь
ф у н к ц и о н а л ь н о , н а й д и т е о б л а с т ь о п р е д е л е н и я и м н о ж е с т в о з н а ч е н и й э т о й ф у н к ц и и . К а к и м б у д е т г р а ф и к э т о й ф у н к ц и и ?§ 5 . ОБРА ТН А Я Ф У Н К Ц И Я
Е с л и ф у н к ц и я
у — f (х)
з а д а е т в з а и м и о - о д н о з и а ч н о е о т о б р а ж е н и е м н о ж е с т в аА
н а м н о ж е с т в оВ
з н а ч е н и й э т о й ф у н к ц и и , т о с у щ е с т в у е т о б р а т н о е о т о б р а ж е н и е , с о п о с т а в л я ю щ е е к а ж д о м уу
6В
т а к о ех £ А ,
ч т оу — f (х).
П и ш у т :х
=f ^ y ) .
Э т о ф у н к ц и я ,обрат ная
ф у н к ц и иу
= / (я ). Е с л иу — f (х
) — ч и с л о в а я ф у н к ц и я ч и с л о в о г о а р г у м е н т а , т о о б р а т н у ю ф у н к ц и ю о б о з н а ч а ю ту — f~ x(x)
(а н ех —
/ - 1 ( у ) ) . Ч т о б ы п о л у ч и т ь э т у ф у н к ц и ю , н а д о п о м е н я т ь м е с т а м их
иу
и р е ш и т ь п о л у ч и в ш е е с я у р а в н е н и е о т н о с и т е л ь н оу .
П р и м е р . Д л я ф у н к ц и и
у
—2х
+ 5 н а й д е м о б р а т н у ю ф у н к ц и ю .Р е ш е н и е . П о м е н я е м в у р а в н е н и и
у — 2х
-j- 5 б у к в ых
иу
м е с т а м и . П о л у ч е н н о е у р а в н е н и ех — 2у
-(- 5 р е ш и м о т н о с и т е л ь н оу:
Т а к и м о б р а з о м , д л я ф у н к ц и и
у = 2х
+ 5 о б р а т н о й я в л я е т с я ф у н к ц и я5 .7 3 .
X
— м н о ж е с т в о о к р у ж н о с т е й н а п л о с к о с т и ,Y
— м н о ж е с т в о т о ч е к п л о с к о с т и . С о о т в е т с т в и е , п р п к о т о р о м к а ж д о й о к р у ж н о с т их
6X
с о п о с т а в л я е т с я т о ч к ау € Y
— е е ц е н т р , я в л я е т с я ф у н к ц и е й . Я в л я е т с я л и о б р а т н о е с о о т в е т с т в и е ф у н к ц и о н а л ь н ы м ?5 .7 4 .
К
— м н о ж е с т в о в с е х к р у г о в н а п л о с к о с т и , R + — м н о ж е с т в о в с е х п о л о ж и т е л ь н ы х д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л . В ы б е р е м е д и н и ц у и з м е р е н и я п л о щ а д е й и к а ж д о м у к р у г у и з м н о ж е с т в аҚ
п о с т а в и м в с о о т в е т с т в и е ч и с л о , р а в н о е п л о щ а д и э т о г о к р у г а . О п р е д е л я е т л иэ т о с о о т в е т с т в и е ф у н к ц и ю , з а д а н н у ю н а м н о ж е с т в е в с е х к р у г о в п л о с к о с т и ? Я в л я е т с я л и о б р а т н о е с о о т в е т с т в и е ф у н к ц и о н а л ь н ы м ? 5 .7 5 . П о с т а в ш г в с о о т в е т с т в и е к а ж д о м у у ч е н и к у к л а с с а д н е в н и к , к о т о р ы й е м у п р и н а д л е ж и т . О п р е д е л и т е у с л о в и я , п р п к о т о р ы х : а ) д а н н а я ф у н к ц и я б у д е т и м е т ь о б р а т н у ю ф у н к ц и ю ; б ) д а н н о е с о о т в е т с т в и е б у д е т ф у н к ц и е й .
5 .7 6 . П у с т ь R + — м н о ж е с т в о в с е х п о л о ж и т е л ь н ы х д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л . Ф у н к ц и я / к а ж д о м у ч и с л у
х
6 R .f с т а в и т в с о о т в е т с т в и е ч и с л о у— Ьх.
Н а й д и т е ф у н к ц и ю , о б р а т н у ю ф у н к ц и и / .5 .7 7 . О п р е д е л и м ф у н к ц и ю т а к и м о б р а з о м : п о с т а в и м в с о о т в е т с т в и е к а ж д о м у д е й с т в и т е л ь н о м у * ч и с л у
х
е г о к в а д р а т :х
—>х~.
С ф о р м у л и р у й т е о б р а т н о е с о о т в е т с т в и е . Б у д е т л и о н о ф у н к ц и о н а л ь н ы м ?
5 .7 8 . Ф у н к ц и я
у
=хя
о п р е д е л е н а ' н а м н о ж е с т в е в с е х д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л . Н а й д и т е о б р а т н у ю е й ф у н к ц и ю .5 .7 9 . П е р и м е т р п р я м о у г о л ь н и к а р а в е н 2 0
м,
а е г о п л о щ а д ь s иг2. Ч е м у р а в н а д л и н ах
о с н о в а н и я п р я м о у г о л ь н и к а ? Ф у н к ц и о н а л ь н о л и с о о т в е т с т в и е м е ж д у з н а ч е н и я м и
х
и s? Н а й д и т е о б р а т н о е с о о т в е т с т в и е м е ж д у з н а ч е н и я м иs
их.
Ф у н к ц и о н а л ь н о л и о н о ? 5 .8 0 . С о о т в е т с т в и е м е ж д у м н о ж е с т в а м и /1 = ( 1 , 2 , 3 } иВ —
— {
а
,Ь, с, cl)
з а д а н о п р и п о м о щ и г р а ф а ( р и с . 8 3 ) . Я в л я е т с я л и о н о ф у н к ц и е й ? П о с т р о й т е г р а ф с о о т в е т с т в и я , о б р а т н о г о д а н н о м у . Б у д е т л и о н о ф у н к ц и е й ?5 .8 1 . С о о т в е т с т в и е м е ж д у м н о ж е с т в а м и
Л
= ( 1 , 2 , 3 } иВ
== { 1 , 2 , 3 , 4 } з а д а н о г р а ф и к о м ( р и с . 8 4 ) . Я в л я е т с я л и э т о с о о т в е т с т в и е ф у н к ц и о н а л ь н ы м ? П о с т р о й т е г р а ф и к с о о т в е т с т в и я , о б р а т н о г о д а н н о м у . Б у д е т л и о н о ф у н к ц и о н а л ь н ы м ?
5 .8 2 . К р и в ы е
а)
ив),
и з о б р а ж е н н ы е н а р и с у н к е 8 2 к з а д а ч е 5 .6 2 , я в л я ю т с я г р а ф и к а м и н е к о т о р ы х ф у н к ц и й . И м е ю т с я л и д л я э т и х ф у н к ц и й о б р а т н ы е ?5 .8 3 . Н а й д и т е ф у н к ц и и , о б р а т н ы е ф у н к ц и я м : -
а )
у
= — - Л';о
б ) у = — т 2. х
- ь 7 ;в) У = х ~ (х >
° ) - 5 .8 4 , Н а ч е р т и т е г р а ф и к и с л е д у ю щ и еф у н к ц и й и о б р а т н ы х н м ф у н к ц и й :
В
а )
у
= 2х
-{- 6;б) У — — 5.v -{- 3;
в ) у = —2
х
— 8 ;Ах
— 8 ; Рис. 83д )
У
= 3 — е ) У = — х\ж ) е ) У =
у =
0 ,4 л : — 2 ,8 ;з ) у = 1 / 2 5 —
х~,
0 <х
< 5 ; и ) , у = —У
2 5 — А'", — 5 ^ .V ^ 5 .— —Н 1- - !- - - -
О
1 23 X
Рис. 84
119
§6. композиция Ф У Н К Ц И Й
П у с т ь / — ф у н к ц и я с о б л а с т ь ю о п р е д е л е н и я
X
и м н о ж е с т в о м з н а ч е н и йҮ ,
а ср — ф у н к ц и я с о б л а с т ь ю о п р е д е л е н и яY x ( Y x a Ү )
и м н о ж е с т в о м з н а ч е н и й Z . К а ж д о м ух € X
ф у н к ц и яf
с т а в и т в с о о т в е т с т в и е у (:Y .
Е с л и э т о т э л е м е н т п р и н а д л е ж и т о б л а с т и о п р е д е л е н и я ф у н к ц и и ф , т о е м у с о о т в е т с т в у е т э л е м е н тz € Z.
С о о т в е т с т в и ех - у z
н а з ы в а ю ткомпозицией
ф у н к ц и и / и ср и о б о з н а ч а ю т с и м в о л о м ср о / . Т а к и м о б р а з о м , (ср оf) (х) —
ср [ / (* ) ] .И з э т о г о о п р е д е л е н и я в ы т е к а е т , ч т о
композиция ф ункций [
и срсуществует в том и только том случае
,когда мноо/сество значений ф ункции f является подмнооюеством области определения ф ункц ии
ср.П р и м е р 1. Е с л и о б ъ е м ц и л и н д р а о б о з н а ч и т ь ч е р е з у , п л о щ а д ь о с н о в а н и я ч е р е з
х,
а в ы с о т уН
с ч и т а т ь п о с т о я н н о й , т о с о о т в е т с т в и е м е ж д у з н а ч е н и я м их
и у е с т ь ф у н к ц и я /: у =f(x) — Н
•х.
В с в о ю о ч е р е д ь , с о о т в е т с т в и е м е ж д у з н а ч е н и я м и п л о щ а д и о с н о в а н и я
х
и з н а ч е н и я м и е г о р а д и у с а т а к ж е я в л я е т с я ф у н к ц и е йх =
=
ср (г) = лг2.
С л е д о в а т е л ь н о , и м е е м , ч т о ф у н к ц и яу — j
[ср (г )] ==
Н •
л /'2 я в л я е т с я к о м п о з и ц и е й ф у н к ц и и / и ср.П р и м е р 2 . Н а м н о ж е с т в е д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л з а д а н ы д в е ф у н к ц и и :
f (х)
—х
2 и ср(х) = х
+ 2 . Н а й д е м к о м п о з и ц и и ср о /н / о ср д а н н ы х ф у н к ц и й .
Р е ш е и и е . Л е г к о в и д е т ь , ч т о м н о ж е с т в о з н а ч е н и й ф у н к ц и и
f (х)
=х
2 я в л я е т с я п о д м н о ж е с т в о м о б л а с т и о п р е д е л е н и я ф у н к ц и и ср (я ) =х
-{- 2 (R + d R ) . К о м п о з и ц и я ср оf
о з н а ч а е т , ч т о с н а ч а л а ф у н к ц и я / к а ж д о м у ч и с л ух
£ R с т а в и т в с о о т в е т с т в и е ч и с л ох 2,
а з а т е м ф у н к ц и я ср ч и с л у
х
2 п о с т а в и т в с о о т в е т с т в и е ч и с л ох
1 + 2 . С л е д о в а т е л ь н о , ср оf
п е р е в о д и тх
в х 2 + 2:X
1у х
2X х
2 + 2 .К о м п о з и ц и я / о ср т а к ж е с у щ е с т в у е т , т а к к а к м н о ж е с т в о з н а ч е н и й ф у н к ц и и ср е с т ь м н о ж е с т в о R , к о т о р о е с о в п а д а е т с о б л а с т ь ю о п р е д е л е н и я ф у н к ц и и / . К о м п о з и ц и я / э ср о з н а ч а е т , ч т о с н а ч а л а ф у н к ц и я ср к а ж д о м у ч и с л у
х
£ R с т а в и т в с о о т в е т с т в и е ч и с л ох
+ 2 ,а з а т е м ф у н к ц и я
f
э т о м у ч и с л у с т а в и т в с о о т в е т с т в и е ч и с л о(х
+ 2 ) 2.С л е д о в а т е л ь н о , к о м п о з и ц и я
f
о ср к а ж д о м ух
С R с т а в и т в с о о т в е т с т в и е ч и с л о(х
+ 2 ) 2:х
-S-х
-}- 2 —>- (.V -{- 2)".П р и м е р 3 . Н а м н о ж е с т в е R з а д а н ы д в е ф у н к ц и и :
f
(а:) —=
х
2 -1- 4 и ср (д-) = 1 / 2 —х.
Н а й д е м к о м п о з и ц и ю ф о / д а н н ы х ф у н к ц и й .Р е ш е н и е . М н о ж е с т в о /1 з н а ч е н и й ф у н к ц и и / т а к о в о :
А — {х\х
€ R ,х
> 4 } , а о б л а с т ь о п р е д е л е н и я ф у н к ц и и ср:В
==
{х\х
R ,х
< 2 } . Н е т р у д н о в и д е т ь , ч т о м н о ж е с т в оА
н е я в л я е т с я п о д м н о ж е с т в о м м н о ж е с т в аВ ,
с л е д о в а т е л ь н о , к о м п о з и ц и ю ф у н к ц и й / и ср о б р а з о в а т ь н е л ь з я . Н а п р и м е р , п р их
= 2 и м е е м :f
(2 ) == 2 2 + 4 = 8 , н о з н а ч е н и е в ы р а ж е н и я
У
2 — 8 н е с у щ е с т в у е т в м н о ж е с т в е д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л .5 .8 5 . Р а с с м о т р и т е ф о р м у л у д л я в ы ч и с л е н и я о б ъ е м а к о н у с а к а к к о м п о з и ц и ю д в у х ф у н к ц и й .
5 .8 6 . В е с к у б а в ы ч и с л я е т с я п о ф о р м у л е
Р
=qx'\
г д ех
— д л и н а с т о р о н ы , aq
— у д е л ь н ы й в е с м а т е р и а л а , и з к о т о р о г о с д е л а н к у б . Р а с с м о т р и т е з а в и с и м о с т ьР
=qx*
к а к к о м п о з и ц и ю д в у х ф у н к ц и й .5 .8 7 . П у с т ь R — м н о ж е с т в о д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л и / (,v) =
= х2 + 1» ф (х ) = х2. Н а й д и т е к о м п о з и ц и ю ф о / э т и х ф у н к ц и й . 5 .8 8 . Н а м н о ж е с т в е R з а д а н ы д в е ф у н к ц и и : / (х)
— х
+ 5 и Ф (А) — —■ • Н а й д и т е / о ф и ф о / .X ' _____
5 .8 9 . Ф у н к ц и и / (х) — х2 4* 5 , ф (х) — Y 1 — х р а с с м а т р и в а ю т с я н а м н о ж е с т в е R . С у щ е с т в у е т л и к о м п о з и ц и я ф о / д а н н ы х ф у н к ц и й ? а к о м п о з и ц и я ф о /?
5 .9 0 . П у с т ь / (х)
—
— , ф 5 (х) = х + 3 , х в R . Н а й д и т е в ы р а ж е н и е с п е р е м е н н о й х, с о о т в е т с т в у ю щ е е ф у н к ц и иу =
f [ ф ( * ) ] , и у к а ж и т е е г о о б л а с т ь о п р е д е л е н и я .5 .9 1 . Ф у н к ц и я / з а д а н а т а б л и ц е й а ) , а ф у н к ц и я ф — т а б л и ц е й б ) . З а п и ш и т е ф у н к ц и ю ф о / . С у щ е с т в у е т л и ф у н к ц и я / о ф ?
X — 3 — 2 — 1 0 1 2 3
( (X) 9 4 1 0 1 4 9
.V 0 1 •1 9 1G
Ф М — 3 — 2 1 6 13
а) б)
5 .9 2 . З а д а н ы д в а о т о б р а ж е н и я м н о ж е с т в а Z ц е л ы х ч и с е л в с е б я . О т о б р а ж е н и е
f
п е р е в о д и тх
в2х,
а о т о б р а ж е н и е ф п е р е в о д и тх
вх
+ 3 . К а к о й ( |ю р м у л о й з а д а е т с я о т о б р а ж е н и е / о ф ? Н а п и ш и т е ф о р м у л у д л я о т о б р а ж е н и я ф о /? С о в п а д а ю т л и о т о б р а ж е н и я / о ф и ф о /?5 .9 3 . О т о б р а ж е н и е / з а д а н о т а б л и ц е й в ) , а о т о б р а ж е н и е ф — т а б л и ц е й г ). З а п и ш и т е о т о б р а ж е н и е ф о / . О п р е д е л е н о л и о т о б р а
ж е н и е / о ф ?
5 .9 4 . О т о б р а ж е н и е / з а д а н о г р а ф о м н а р и с у н к е 8 5 а , а о т о б р а ж е н и е ф — г р а ф о м н а р и с у н к е 8 5
б.
П о с т р о й т е г р а ф о т о б р а ж е н и я ф о / .X 0 1 2 3 4
№ 3 4 5 6 7
X 3 ■1 5 6 7 8
ф (X) 9 16 25 36 4 9 64
о) г)
121
Р ис. 85
5 .9 5 . О т о б р а ж е н и е / з а д а н о т а б л и ц е й
д).
П о с т р о й т е г р а ф о б р а т н о г о о т о б р а ж е н и я С о с т а в ь т е т а б л и ц ы д л я о т о б р а ж е н и йf
о[ ~ г
и [ ~ 1 о / . С д е л а й т е в ы в о д .X 0 1 2 3 4
/ (-V) 3 4 5 6 7
0
)
5 . 9 6 * . Д л я ф у н к ц и й /
(х) — х
— 1,g
(х ) =Зх
ик (х
) ==х
2х
6 R, п р о в е р ь т е , ч т о / э(g
о Һ) = (/ оg)
o h .5 .9 7 . П е ш е х о д п р о х о д и т 12
км
з а 3ч.
С к о л ь к о к и л о м е т р о в о н п р о й д е т з а 5 ч? К а к с в я з а н а э т а з а д а ч а с п о н я т и я м и о б р а т н о й ф у н к ц и и и к о м п о з и ц и и ф у н к ц и й ?5 .9 8 . В ы р а з и т е о б ъ е м к у б а ч е р е з п л о щ а д ь е г о п о в е р х н о с т и . К а к с в я з а н а э т а з а д а ч а с п о н я т и я м и о б р а т н о й ф у н к ц и и и к о м п о з и ц и и ф у н к ц и й ?
Г л а в а VI
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ И СТРУКТУРЫ
§ 1. П О Н Я Т И Е А Л Г Е Б Р А И Ч Е С К О Й О П Е Р А Ц И И
Н а м н о ж е с т в е /VI з а д а н а
алгебраическая операция*,
е с л и з а д а н о с о о т в е т с т в и е , к о т о р о е л ю б о й п а р е э л е м е н т о в (а ,
/;) э т о г о м н о ж е с т в а с о п о с т а в л я е т е д и н с т в е н н ы й э л е м е н тс
£ /VI. П и ш у т :а х Ь
=с.
А л г е б р а и ч е с к у ю о п е р а ц и ю * н а м н о ж е с т в е
М
н а з ы в а ю тком
мутативной,
е с л и д л я л ю б ы ха, b €
/VI в ы п о л н я е т с я р а в е н с т в о :а
=•:Ь — Ь
*а.
А л г е б р а и ч е с к у ю о п е р а ц и ю * н а м н о ж е с т в е /VI н а з ы в а ю т
ассо
циативной,
е с л и д л я л ю б ы ха, Ь, с
€ /VI с п р а в е д л и в оа
*(Ь * с)
={а Ь)
*с.
А л г е б р а и ч е с к у ю о п е р а ц и ю * н а м н о ж е с т в е /VI н а з ы в а ю т
д и стрибутивной справа
о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и о , е с л и д л я л ю б ы ха, Ь, с
6 /VI с п р а в е д л и в о р а в е н с т в о :(а о b)
-1:с
=(а
*с)
о(Ь
*с),
идистрибутивной слева,
е с л ис
*(а
о /;) =(с
*а) о (с * Ь).
О п е р а ц и ю * , д и с т р и б у т и в н у ю с л е в а и с п р а в а о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и о , н а з ы в а ю т
дист рибут ивной.
Е с л и д л я л ю б о г о
а <с
/VI и м е е ме
*а
=а,
т ос
(ЕМ
н а з ы в а ю тлевым нейтральным элементом
д л я о п е р а ц и и * , а е с л и д л я в с е ха
(; /VIа * е — а,
т ос
н а з ы в а ю тправым нейтральным элементом.
Э л е м е н т , н е й т р а л ь н ы й с л е в а и с п р а в а , н а з ы в а ю т
нейтральным элементом
д л я о п е р а ц и и * . В /VI м о ж е т б ы т ь н е б о л е е о д н о г о н е й т р а л ь н о г о э л е м е н т а .Э л е м е н т
b
£ /VI н а з ы в а ю тправым симметричным
д л я э л е м е н т аа € М ,
е с л иа
*Ь
=е ,
илевым симметричным,
е с л иb * а — с.
Э л е м е н т , с и м м е т р и ч н ы й к а с л е в а и с п р а в а , н а з ы в а ю т
симметрич
ным а.
Д л я к а ж д о г о э л е м е н т аа
м о ж е т б ы т ь н е б о л е е о д н о г о с и м м е т р и ч н о г о э л е м е н т а .М н о ж е с т в о
А
с= /VI н а з ы в а ю тзамкнутым
о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и * , е с л и и за
€А
иb
£А
с л е д у е т , ч т оа
*Ь € А .
З а м к н у т о с т ь123
п о д м н о ж е с т в а
A cz М
о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и * р а в н о с и л ь н а т о м у , ч т о а *b
я в л я е т с яалгебраической операцией
вА .
П р и м е р 1. О п р е д е л и м , д л я к а к и х п а р ( * ,
В )
и с т и н н о в ы с к а з ы в а н и е «* я в л я е т с я а л г е б р а и ч е с к о й о п е р а ц и е й в м н о ж е с т в е Б » :а ) * — с л о ж е н и е ,
В
— м н о ж е с т в о ц е л ы х ч е т н ы х ч и с е л ; б ) * — у м н о ж е н и е ,В
— м н о ж е с т в о ц е л ы х ч и с е л в и д а 3 • /г + 2 . Р е hi е н и е . а ) В о з ь м е м 2 п р о и з в о л ь н ы х ц е л ы х ч е т н ы х ч и с л а :с —
2 /г,d —
2ri
и р а с с м о т р и м н х с у м м у :с
-f-d —
2k
4 - 2п
= 2 (/г 4 *п)
— ц е л о е ч е т н о е ч и с л о . И т а к , с у м м а э т и х ч и с е л о п р е д е л е н а и я в л я е т с я ц е л ы м ч е т н ы м ч и с л о м . С л е д о в а т е л ь н о , с л о ж е н и е я в л я е т с я а л г е б р а и ч е с к о й о п е р а ц и е й в м н о ж е с т в е ц е л ы х ч е т н ы х ч и с е л , а м н о ж е с т в о ч е т н ы х ч и с е л , с о о т в е т с т в е н н о , з а м к н у т о о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и с л о ж е н и я .
б ) В о з ь м е м
с
= 3/г + 2 £В , d
= 3/г 4* 2 бВ
и р а с с м о т р и м и х п р о и з в е д е н и е :с
•d =
(3/г 4 - 2 ) • (3/г 4 - 2 ) = 9/г •п
4 - 6/г + 6/г + 4 == 3 • ( 3
kn
4 - 2/1 4" 2k
4" 1 ) 4 " 1 •О б о з н а ч и в в ы р а ж е н и е в к р у г л ы х с к о б к а х ч е р е з
І,
п о л у ч а е м :с
•d
= 3 / + 1i В.
М ы в и д и м , ч т о п р о и з в е д е н и е ч и с е л
с
•d
н е я в л я е т с я э л е м е н т о м и с х о д н о г о м н о ж е с т в аВ.
С л е д о в а т е л ь н о , о п е р а ц и я у м н о ж е н и я н е я в л я е т с я а л г е б р а и ч е с к о й в м н о ж е с т в е ц е л ы х ч и с е л в и д а 3/г 2 , а м н о ж е с т в о ч и с е л в и д а (3/г 4 - 2 ) н е я в л я е т с я з а м к н у т ы м о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и у м н о ж е н и я .П р и м е р 2 . К а к и е и з с л е д у ю щ и х а л г е б р а и ч е с к и х о п е р а ц и й в м н о ж е с т в е н а т у р а л ь н ы х ч и с е л N я в л я ю т с я к о м м у т а т и в н ы м и :
а ) с л о ж е н и е
(х,
у )х
4 - у ;б ) о п е р а ц и я , з а д а в а е м а я ф о р м у л о й
(х,
у ) - > 2х
4 - З у ?Р е ш е н и е . Д л я п р о в е р к и к о м м у т а т и в н о с т и о п е р а ц и й н а д о п р о в е р и т ь с п р а в е д л и в о с т ь р а в е н с т в а
а * b = b * а:
а )
а
*Ь — а
+b\ b
*а
=b
Н-а.
Т а к к а к
а
-'гЬ = Ь
-{-а
, т оа * b — b
*а.
З н а ч и т , о п е р а ц и я с л о ж е н и я в N к о м м у т а т и в н а .б )
а
*Ь
= 2а
+ 3fr;Ь
*а =
2Ь
4 - 3а.
Т а к к а к п р и
а Ф b 2а
+ЗЬ Ф 2Ь
4 -За,
т о д а н н а я о п е р а ц и я н е к о м м у т а т и в н а .П р и м е р 3 . О п р е д е л и м , к а к и е и з д а н н ы х о п е р а ц и й а с с о ц и а т и в н ы в м н о ж е с т в е н а т у р а л ь н ы х ч и с е л N :
а ) < Л У ) - >
х • у)
б ) < * , у ) - >2х
+у .
Р е ш е н и е . Д л я д о к а з а т е л ь с т в а с в о й с т в а а с с о ц и а т и в н о с т и н а д о п р о в е р и т ь с п р а в е д л и в о с т ь р а в е н с т в а ( а * у ) * 2 =
х
* (у * г) д л я л ю б ы хх, у ,
г 6 N .а )
х
*у
- Vх
• у ;(а * у ) *
z = (х ■ у)
*z
=(х
•у)
• г;X
*(у
*z)
= х * (у • г ) =X • (у
• г ).Т а к к а к п р а в ы е ч а с т и р а в н ы п р и л ю б ы х
х, у, z
6 N , т о р а в н ы и л е в ы е ч а с т и . С л е д о в а т е л ь н о , о п е р а ц и я у м н о ж е н и я я в л я е т с я а с с о ц и а т и в н о й в N .б)
(х
*у)
* г =(2х
-]-у)
* г = 2 (2л: +у)
+г — 4х
- |- 2у
-}- г;X
* (у * г) = А' * (2 у -}- г) = 2 а4 -
(2 у4 -
г) = 2 а4 - 2 у 4 -
2.Т а к к а к п р и а
ф
0 4 а + 2 у -[- 2ф
2 а + 2 у + г , т о р а в е н с т в о (а * у ) * г = а * (у * г) н е в с е г д а я в л я е т с я с п р а в е д л и в ы м . С л е д о в а т е л ь н о , д а н н а я о п е р а ц и я а с с о ц и а т и в н о й н е я в л я е т с я .П р и м е р 4 . Я в л я е т с я л и у м н о ж е н и е в м н о ж е с т в е ц е л ы х ч и с е л Z д и с т р и б у т и в н ы м о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и в ы ч и т а н и я ?
Р е ш е и и е . У м н о ж е н и е я в л я е т с я д и с т р и б у т и в н о й о п е р а ц и е й о т н о с и т е л ь н о в ы ч и т а н и я , т а к к а к д л я л ю б ы х
а, Ь, с
£ Z в ы п о л н я ю т с я р а в е н с т в а :а • ф
—с) — ab
—ас, (Ь
— с ) •а = Ьа
—са.
6 .1 . В н и ж е с л е д у ю щ и х т а б л и ц а х д л я н е к о т о р ы х п а р ч и с е л у к а з а н р е з у л ь т а т а л г е б р а и ч е с к о й о п е р а ц и и ( а , Ь) —у с . С ф о р м у л и р у й т е д л я к а ж д о й т а б л и ц ы , к а к п о л у ч а е т с я
с,
и с х о д я н з з а д а н н ы ха
иЬ.
а Ь с
7 12 5
12 8 — 4
—12 — И 31
—7 2 9
а b с
7 3 10
—6 - 8 - 1 4
3 — 5 _ 2
— 7 3 — 4
а Ь с
8 2 6
— 5 — 1 — 4
— 7 2 — 9
4 11 — 7
а Ь с
3 4 49
1 — 5 16
— 7 10 9
—4 — 1 25
125
д) а Ь с
2 4 48
— 3 5 — 30
‘1 — 4 0
— 1 — 3 — 12
а Ь с
2 4 — 16
— 3 5 120
8 3 120
—4 — 6 48
ж ) а Ь с
8 3 55
4 7 — 33
- 3 1 8
- 6 — 1 35
з) а Ь с
7 1 36
21 17 16
— 55 - 5 0 25
6 — 4 100
И) а Ь с
17 13 1
25 15 5
36 96 12
150 105 15
К) а b с
— 6 2 144
—3 5 225
4 6 576
— 2 — 15 900
л ) а b с
21 12 84
52 16 208
80 35 560
1 18 18
м) 1 а Ь с
15 19 4
35 21 14
24 120 96
8 8 0
6 .2 . О т н о с и т е л ь н о к а к и х а л г е б р а и ч е с к и х о п е р а ц и й ( с л о ж е н и я , в ы ч и т а н и я , у м н о ж е н и я и д е л е н и я ) з а м к н у т ы с л е д у ю щ и е ч и с л о в ы е м н о ж е с т в а : а ) { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ; б ) { н а т у р а л ь н ы е ч и с л а } ; в ) { н е ч е т н ы е ц е л ы е ч и с л а } ; г ) { ч е т н ы е ц е л ы е ч и с л а } ; д ) { п о л о ж и т е л ь н ы е р а ц и о н а л ь н ы е ч и с л а } ; е ) { 0 } ; ж ) { 0 , 1 } ; з ) { 0 , 1 , 2 } ; и ) { 3
п
+ 1 } ,п
— ц е л о е ; к ) { 6п
+ 5 } ,п
— ц е л о е ?6 .3 . Д л я к а к и х п а р ( * ,
В )
и с т и н н о в ы с к а з ы в а н и е «* я в л я е т с я а л г е б р а и ч е с к о й о п е р а ц и е й в м н о ж е с т в еВ»:
а ) * — с л о ж е н и е ,В
— м н о ж е с т в о н а т у р а л ь н ы х ч и с е л ; б ) * — с л о ж е н и е ,В
— м н о ж е с т в о о т р и ц а т е л ь н ы х ч и с е л ; в) * — • д е л е н и е ,В
— м н о ж е с т в о п о л о ж и т е л ь н ы х ч и с е л ; г ) * — в ы ч и т а н и е ,В
— м н о ж е с т в о ц е л ы х ч и с е л ; д ) * — д е л е н и е ,В
— м н о ж е с т в о в с е х д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л ; е ) * — с л о ж е н и е ,В
— м н о ж е с т в о ц е л ы х ч и с е л в и д а 3/г + 1;ж ) * — у м н о ж е н и е ,
В
— м н о ж е с т в о ц е л ы х ч и с е л в и д а 3/г -f- 1;з ) * — о б р а з о в а н и е н а и б о л ь ш е г о о б щ е г о д е л и т е л я ,
В
— м н о ж е с т в о н а т у р а л ь н ы х ч и с е л ; и ) * — о б р а з о в а н и е с т е п е н и : ( / // , /?) —>■т", В
— м н о ж е с т в о н а т у р а л ь н ы х ч и с е л ; к ) * — с л о ж е н и е ,В
— м н о ж е с т в о ц е л ы х ч и с е л в и д а 3/г; л ) * — в ы ч и т а н и е ,В
— м н о ж е с т в о н е ч е т н ы х ч и с е л ; м ) * — у м н о ж е н и е ,В
— м н о ж е с т в о р а ц и о н а л ь н ы х ч и с е л ; и ) * — о б р а з о в а н и е н а и м е н ь ш е г о о б щ е г о к р а т н о г о ,В
— м н о ж е с т в о н а т у р а л ь н ы х ч и с е л ; о ) * — с л о ж е н и е ,В
— м н о ж е с т в о о т р и ц а т е л ь н ы х ц е л ы х ч и с е л ; п )* — д е л е н и е ,В
— м н о ж е с т в о о т р и ц а т е л ь н ы х ч и с е л ; р) * — у м н о ж е н и е ,В
— м н о ж е с т в о ц е л ы х ч и с е л , в и д а 4/г -|- 1.6 .4 . К а к и е н з с л е д у ю щ и х а л г е б р а и ч е с к и х о п е р а ц и й в м н о ж е с т в е ц е л ы х ч и с е л Z я в л я ю т с я к о м м у т а т и в н ы м и : а ) с л о ж е н и е ; б ) в ы ч и т а н и е ; в ) у м н о ж е н и е ; г) о п е р а ц и я , з а д а в а е м а я ф о р м у л о й ( а , у )
- у
2а — у ; д ) о п е р а ц и я , з а д а в а е м а я ф о р м у л о й ( а , у ) ~ Н A *-fyJ;е ) о п е р а ц и я , з а д а в а е м а я ф о р м у л о й (а, у ) -> • а2 — у 2?
6 .5 . О б л а д а е т л и с в о й с т в о м к о м м у т а т и в н о с т и : а ) о п е р а ц и я о б ъ е д и н е н и я м н о ж е с т в ; б ) о п е р а ц и я в ы ч и т а н и я м н о ж е с т в ?
6 .6 . К а к и е и з с л е д у ю щ и х а л г е б р а и ч е с к и х о п е р а ц и й в м н о ж е с т в е Q р а ц и о н а л ь н ы х ч и с е л я в л я ю т с я к о м м у т а т и в н ы м и : а ) с л о ж е н и е ; б ) у м н о ж е н и е ; в) в ы ч и т а н и е ; г ) о п е р а ц и я , з а д а в а е м а я ф о р м у л о й (а ', у )
—
у х - г 2 у ; д ) о п е р а ц и я , з а д а в а е м а я ф о р м у л о й ( а , у ) —>- ->■ a 2 -f- у 2; е ) о п е р а ц и я , з а д а в а е м а я ф о р м у л о й ( а , у ) - >\х
— у |?6 .7 . О б л а д а е т л и с в о й с т в о м к о м м у т а т и в н о с т и о п е р а ц и я п е р е с е ч е н и я м н о ж е с т в ?
6 .8 . Я в л я е т с я л и к о м м у т а т и в н о й о п е р а ц и я в о з в е д е н и я в с т е п е н ь в м н о ж е с т в е н а т у р а л ь н ы х ч и с е л ?
6 .9 . А л г е б р а и ч е с к а я о п е р а ц и я в м н о ж е с т в е н а т у р а л ь н ы х ч и с е л N с т а в и т в с о о т в е т с т в и е п а р е ч и с е л
(пг,
/г) и х н а и б о л ь ш и й о б щ и й д е л и т е л ь : (//г ,ti) D (т, п).
К о м м у т а т и в н а л и э т а о п е р а ц и я ?6 .1 0 . К о м м у т а т и в н а л и о п е р а ц и я
(jn,
/г ) - >К (т,
/? ), г д еК (т, п)
— н а и м е н ь ш е е о б щ е е к р а т н о ет
и /г?6 .1 1 . К а к и е н з с л е д у ю щ и х о п е р а ц и й в м н о ж е с т в е Z ц е л ы х ч и с е л а с с о ц и а т и в н ы : а ) с л о ж е н и е ; б ) в ы ч и т а н и е ; в ) у м н о ж е н и е ; г ) о п е р а ц и я ( а , у ) - * а + 2 у ; д ) о п е р а ц и я < х , у ) -> - а 2 - |- у 2; е ) о п е р а ц и я < а , у ) |а —
у
|?6 .1 2 . К а к и е и з с л е д у ю щ и х о п е р а ц и й в м н о ж е с т в е р а ц и о н а л ь н ы х ч и с е л Q а с с о ц и а т и в н ы : а ) с л о ж е н и е ; б ) в ы ч и т а н и е ; в ) у м н о ж е н и е ; г) о п е р а ц и я ( а , у ) - > 2 а — у ; д ) о п е р а ц и я ( а , у ) - > |а + у |;
е ) о п е р а ц и я (а, у ) а2 — у 2?
127
6 .1 3 . Я в л я ю т с я л и п е р е с е ч е н и е и о б ъ е д и н е н и е м н о ж е с т в а с с о ц и а т и в н ы м и о п е р а ц и я м и ?
6 .1 4 . Я в л я е т с я л и а с с о ц и а т и в н о й о п е р а ц и я в о з в е д е н и я в с т е п е н ь в м н о ж е с т в е н а т у р а л ь н ы х ч и с е л ? П р о в е р ь т е , в ы п о л н я е т с я л и , н а п р и м е р , р а в е н с т в о 2 * (1 * 3 ) = (2 * 1) * 3 , г д е
т
*п = т п.
6 .1 5 . К а к о е ч и с л о я в л я е т с я н е й т р а л ь н ы м о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и с л о ж е н и я ц е л ы х ч и с е л ? Е с т ь л и н е й т р а л ь н ы й э л е м е н т д л я с л о ж е н и я н а т у р а л ь н ы х ч и с е л ?
6 .1 6 . К а к о е ч и с л о я в л я е т с я н е й т р а л ь н ы м о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и у м н о ж е н и я ц е л ы х ч и с е л ?
6 .1 7 . Н а й д и т е н е й т р а л ь н ы й э л е м е н т д л я о п е р а ц и и (х, у ) —>
- V х + у - г
х у
в м н о ж е с т в е р а ц и о н а л ь н ы х ч и с е л .6 .1 8 . К а к о е м н о ж е с т в о я в л я е т с я н е й т р а л ь н ы м э л е м е н т о м о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и о б ъ е д и н е н и я м н о ж е с т в ? С у щ е с т в у е т л и н е й т р а л ь н ы й э л е м е н т д л я о п е р а ц и и п е р е с е ч е н и я м н о ж е с т в ( р а с с м а т р и в а ю т с я л и ш ь п о д м н о ж е с т в а у н и в е р с а л ь н о г о м н о ж е с т в а
U).
6 .1 9 . К а к о е ч и с л о с и м м е т р и ч н о ч и с л у 8 о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и с л о ж е н и я ц е л ы х ч и с е л ? а ч и с л у — 6?
6 .2 0 . К а к о е ч и с л о с и м м е т р и ч н о ч и с л у 8 о т н о с и т е л ь н о о п е - р а ц и и у м н о ж е н и я р а ц и о н а л ь н ы х ч и с е л ? а ч и с л у - - - ? Е с т ь л из ч и с л о , с и м м е т р и ч н о е н у л ю о т н о с и т е л ь н о э т о й о п е р а ц и и ?
6 . 2 1 * . Н а й д и т е ч и с л о , с и м м е т р и ч н о е ч и с л у х о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и ( х , у ) х -{- у х
■ у
в м н о ж е с т в е р а ц и о н а л ь н ы х ч и с е л . 6 . 2 2 * . К а к о е ч и с л о н е й т р а л ь н о с п р а в а о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и в ы ч и т а н и я в м н о ж е с т в е ц е л ы х ч и с е л ? Е с т ь л и ч и с л о , н е й т р а л ь н о е с л е в а о т н о с и т е л ь н о э т о й о п е р а ц и и ?6 . 2 3 * . К а к о е ч и с л о н е й т р а л ь н о с п р а в а о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и д е л е н и я в м н о ж е с т в е п о л о ж и т е л ь н ы х р а ц и о н а л ь н ы х ч и с е л ?
6 . 2 4 * . К а к о е ч и с л о н е й т р а л ь н о с п р а в а о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и в о з в е д е н и я в с т е п е н ь в м н о ж е с т в е н а т у р а л ь н ы х ч и с е л ?
6 .2 5 . Н а й д и т е м н о ж е с т в о , н е й т р а л ь н о е о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и
Л А В .
6 .2 6 . Н а й д и т е м н о ж е с т в о , с и м м е т р и ч н о е м н о ж е с т в у
Л
о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и иЛ
ЛВ.
6 .2 7 . Я в л я е т с я л и д е л е н и е в м н о ж е с т в е п о л о ж и т е л ь н ы х ч и с е л д и с т р и б у т и в н ы м о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и с л о ж е н и я ?
6 .2 8 . Я в л я е т с я л и о п е р а ц и я о б ъ е д и н е н и я м н о ж е с т в д и с т р и б у т и в н о й о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и п е р е с е ч е н и я м н о ж е с т в ? О т в е т п о
я с н и т е с п о м о щ ь ю д и а г р а м м Э й л е р а — В е н н а .
6 .2 9 . Я в л я е т с я л и о п е р а ц и я п е р е с е ч е н и я м н о ж е с т в д и с т р и б у т и в н о й о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и о б ъ е д и н е н и я м н о ж е с т в ? О т в е т п о я с н и т е с п о м о щ ь ю д и а г р а м м Э й л е р а — В е н н а .
6 .3 0 . Я в л я е т с я л и с л о ж е н и е ц е л ы х ч и с е л д и с т р и б у т и в н о й о п е р а ц и е й а ) о т н о с и т е л ь н о у м н о ж е н и я ? б ) о т н о с и т е л ь н о в ы ч и т а н и я ?
6 .3 1 . Д о к а ж и т е , ч т о о п е р а ц и я в о з в е д е н и я в с т е п е н ь в м н о ж е с т в е н а т у р а л ь н ы х ч и с е л д и с т р и б у т и в н а с п р а в а о т н о с и т е л ь н о у м н о ж е н и я .
6 .3 2 . Я в л я е т с я л и в ы ч и т а н и е ц е л ы х ч и с е л д и с т р и б у т и в н о й о п е р а ц и е й о т н о с и т е л ь н о у м н о ж е н и я ?
6 .3 3 . Я в л я е т с я л и о п е р а ц и я в ы ч и т а н и я м н о ж е с т в д и с т р и б у т и в н о й о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и и п е р е с е ч е н и я м н о ж е с т в ? О т в е т п о я с н и т е с п о м о щ ь ю д и а г р а м м Э й л е р а — В е н н а .
6 .3 4 . О б ъ я с н и т е , к а к и е с в о й с т в а д е й с т в и й и с п о л ь з о в а н ы п р и в ы ч и с л е н и и :
а ) 5 6 • 2 5 = 5 6 • 2 0 5 6 • 5;
б ) 5 6 • 2 5 = 5 6 • 5 • 5;
в ) 5 6 • 2 5 = 6 0 • 2 5 — 4 • 2 5 ;
г) 4 4 0 - 8 : 1 1 = ( 4 4 0 : 1 1 ) • 8 = 4 0 • 8;
д ) 6 6 7 9 — ( 4 2 0 9 + 1 6 7 8 ) - ( 6 6 7 9 — 4 2 0 9 ) — 1 6 7 8 ;
е ) 2 9 9 -|- 1 5 9 4 = ( 3 0 0 — 1) + ( 1 6 0 0 — 6 ) = ( 3 0 0 + 1 6 0 0 ) —
— (1 -(- 6 ) = 1 9 0 0 — 7;
ж ) 1 6 4 2 — 9 8 5 = 1 6 4 2 — ( 1 0 0 0 — 15) = ( 1 6 4 2 — 1 0 0 0 ) + + 1 5 = 6 4 2 -(- 15;
з ) 1 9 0 — 6 7 = 1 9 0 — (6 0 + 7 ) = 1 9 0 — 6 0 — 7 = 1 3 0 — 7;
и ) 2 5 • 6 5 1 • 4 = 2 5 • 4 • 6 5 1 = 6 5 1 • 1 0 0 ; к ) 3 2 0 • 7 : 1 6 = ( 3 2 0 : 1 6 ) • 7 = 2 0 • 8 ; л ) 7 3 • 3 5 = ( 7 0 + 3 ) • 3 5 = 7 0 • 3 5 -|- 3 • 3 5 ;
м ) 3 8 4 7 + ( 2 4 5 6 — 1 8 2 7 ) = ( 3 8 4 7 — 1 8 2 7 ) -(- 2 4 5 6 = 2 0 2 0 +
“t- 2 4 5 6 ;
н ) 1 7 4 8 — 7 5 0 = 1 7 4 8 — ( 7 4 8 + 2 ) = 1 7 4 8 — 7 4 8 — 2 - 1 0 0 — 2;
0 ) 2 8 • 1 4 = 2 8 • 2 • 7 .
§ 2 . Г Р У П П Ы , КОЛЬЦА, ПОЛЯ
Н е п у с т о е м н о ж е с т в о
G
н а з ы в а е т с ягруппой
о т н о с и т е л ь н о а л г е б р а и ч е с к о й о п е р а ц и и * , з а д а н н о й в н е м , е с л и :1) а л г е б р а и ч е с к а я о п е р а ц и я а с с о ц и а т и в н а , т . е .
а * (Ь
*с) =
— (а * Ь) * с\
2 ) с у щ е с т в у е т н е й т р а л ь н ы й э л е м е н т е б
G
(т . е . т а к о й , ч т о д л я л ю б о г оа
6G
в ы п о л н я е т с я р а в е н с т в оа с — с
*а — а)\
3 ) д л я к а ж д о г о э л е м е н т а
а
6G
с у щ е с т в у е т с и м м е т р и ч н ы й э л е м е н тb
€G
(т . е . т а к о й , ч т оа * Ь — Ь
*а — с).
У с л о в и я 2 ) и 3 ) р а в н о с и л ь н ы т о м у , ч т о в г р у п п е р а з р е ш и м ы у р а в н е н и я в и д а :
а * х
=Ь
иу * а — b
д л я л ю б ы ха
иb
и зG.
Е с л и д л я л ю б ы х э л е м е н т о в
а и Ь
и зG
и м е е ма * b = b * а,
т о г р у п п уG
н а з ы в а ю ткоммутативной.
А л г е б р а и ч е с к у ю о п е р а ц и ю н а к о м м у т а т и в н ы х г р у п п а х о б ы ч н о н а з ы в а ю т с л о ж е н и е м и о б о з н а ч а ю т з н а к о м « + » .Н е п у с т о е м н о ж е с т в о
Қ
с д в у м я а л г е б р а и ч е с к и м и о п е р а ц и я м и ( с л о ж е н и е м и у м н о ж е н и е м ) н а з ы в а е т с якольцом,
е с л и :1)
К
я в л я е т с я к о м м у т а т и в н о й г р у п п о й о т н о с и т е л ь н о с л о ж е н и я ; 2 ) у м н о ж е н и е д и с т р и б у т и в н о о т н о с и т е л ь н о с л о ж е н и я :(а
+Ь)
•с — ас
+Ьс\
с
•(а
+b) — са
+cb.
5 З а к а з 182 129
Е с л и у м н о ж е н и е а с с о ц и а т и в н о , т . е . е с л и
(а
•Ь)
■с
=а
•(Ь
•с)
д л я л ю б ы х э л е м е н т о ва, Ь, с v
и зҚ
, т о к о л ь ц оҚ
н а з ы в а е т с яассоциа
т ивным
, а е с л и у м н о ж е н и е к о м м у т а т и в н о , т . е . е с л иаЬ
- д л я в с е ха
,Ь
и з /С , т о к о л ь ц о /С н а з ы в а е т с якоммутативным.
К о м м у т а т и в н о е и а с с о ц и а т и в н о е к о л ь ц о
М ,
с о с т о я щ е е н е т о л ь к о и з о д н о г о н у л я , н а з ы в а е т с яполем
, е с л и д л я л ю б ы ха, Ь
6М , Ь ф
О, у р а в н е н и еЬх
=а
и м е е т е д и н с т в е н н о е р е ш е н и е Л' £ Л І.З а м е т и м , ч т о о п е р а ц и и с л о ж е н и я и у м н о ж е н и я к о м м у т а т и в н ы и а с с о ц и а т и в н ы д л я в с е х ч и с л о в ы х м н о ж е с т в . П о э т о м у , е с л и т р е б у е т с я в ы я с н и т ь , я в л я е т с я л и д а н н о е м н о ж е с т в о к о л ь ц о м (и л и п о л е м ) , э т и т р е б о в а н и я п р о в е р я т ь н е н а д о .
ГІ р и м е р 1. О б р а з у е т л и г р у п п у м н о ж е с т в о ц е л ы х ч и с е л Z о т н о с и т е л ь н о с л о ж е н и я ?
Р е ш е н и е . Т а к к а к с л о ж е н и е ц е л ы х ч и с е л я в л я е т с я а с с о ц и а т и в н о й а л г е б р а и ч е с к о й о п е р а ц и е й , т о о с т а е т с я п р о в е р и т ь с у щ е с т в о в а н и е н е й т р а л ь н о г о э л е м е н т а и с и м м е т р и ч н о г о э л е м е н т а .
В м н о ж е с т в е ц е л ы х ч и с е л Z с у щ е с т в у е т ч и с л о 0 т а к о е , ч т о д л я л ю б о г о
а
6 Zа
0 =а,
а т а к ж е д л я к а ж д о г о а ( Z с у щ е с т в у е т п р о т и в о п о л о ж н ы й э л е м е н т —а <с
Z т а к о й , ч т оа
+ (—а) —
0 . С л е д о в а т е л ь н о , м н о ж е с т в о Z о т н о с и т е л ь н о с л о ж е н и я я в л я е т с ягруппой.
П р и м е р 2 . О б р а з у е т л и к о л ь ц о ( п о л е ) о т н о с и т е л ь н о о п е р а ц и й с л о ж е н и я и у м н о ж е н и я м н о ж е с т в о Z ц е л ы х ч и с е л ?
Р е ш е и и е .
1) П р о в е р и м , ч т о с л о ж е н и е и у м н о ж е н и е я в л я ю т с я а л г е б р а и ч е с к и м и о п е р а ц и я м и в м н о ж е с т в е Z .
П у с т ь
а
иЬ
— д в а п р о и з в о л ь н ы х ц е л ы х ч и с л а :а €
Z ,Ь
6 Z . Т о г д а и х с у м м а(а
-ЬЬ)
и п р о и з в е д е н и е(а
•Ь)
о п р е д е л е н ы и я в л я ю т с я ц е л ы м и ч и с л а м и :а
-Ьb
£ Z ,а
•Ь €
Z . 2 ) П р о в е р и м т р е б о в а н и я к о л ь ц а :а )
(а
+Ь)
+с — а
+(Ь
+с)
— в ы п о л н я е т с я ; б )а b = Ь а
— в ы п о л н я е т с я ;в ) в ы ч и т а н и е в м н о ж е с т в е ц е л ы х ч и с е л в с е г д а в о з м о ж н о и о д н о з н а ч н о о п р е д е л е н о , т . е . у р а в н е н и е
а
+х
=b
п р и л ю б ы х a,b
€ Z и м е е т е д и н с т в е н н о е р е ш е н и ех = Ь
—а €
Z ;г)
(а
•Ь)
•с — а
•(Ь • с)
— в ы п о л н я е т с я ; д )(а
-ЬЬ)
•с = ас
+Ьс
— в ы п о л н я е т с я .С л е д о в а т е л ь н о , м н о ж е с т в о ц е л ы х ч и с е л Z я в л я е т с я к о л ь ц о м . 3 ) П р о в е р и м о б р а т и м о с т ь у м н о ж е н и я . Т а к к а к д е л е н и е в м н о ж е с т в е ц е л ы х ч и с е л н е в с е г д а в ы п о л н и м о (ч а с т н о е о т д е л е н и я н е в с е г д а е с т ь ц е л о е ч и с л о ) , т о м н о ж е с т в о Z п о л е м н е я в л я е т с я .
v
6.35. Образуют ли группу относительно сложения: а) множество натуральных чисел; б) множество четных целых чисел; в) множест
во рациональных чисел; г) множество иррациональных чисел.
6.36. Д ано множество В = {0, 1} с такой операцией сложения:
О -|- 0 = 0, 0 - J - 1 — 1 4 - 0 = 1, 1 -|- 1 = 0. Д окаж ите, что В — 6.37. Определите, кольцом или полем являю тся следующие числовые множества: а) множество всех целых чисел, кратных 5;
б) множество всех нечетных целых чисел; в) множество всех ра
циональных чисел; г) множество чисел вида a -J- b]/~2, где а, Ь — целые числа.
6.38. Множество Z5 состоит из чисел 0, 1, 2, 3, 4. Операции сложения и умножения определяются так: суммой чисел а и Ь называют остаток от деления а -|- /; иа 5, а произведением этих чисел — остаток от деления а • b иа 5. Д окаж ите, что сложение и умножение являю тся алгебраическими операциями в Z5. Составь
те таблицы сложения и умножения в Zf;. Коммутативны ли эти операции в Z5? Какой элемент нейтрален относительно сложения, а какой относительно умножения? Найдите элемент, противополож
ный 3. Найдите элемент, обратный 4. Ассоциативны ли сложение и умножение в Z5? Проверьте, что Z5 является полем.
6.39. Является ли совокупность подмножеств универсального множества кольцом относительно операций объединения и пере
сечения множеств? К акие пз аксиом кольца выполняются, а ка
кие нет?
6.40. Образует ли группу множество: а) всех четных чисел относительно сложения; б) всех целых чисел, кратных 7, отно
сительно сложения; в) всех целых чисел вида 5к + 1 относительно умножения; г) множество квадратов всех рациональных чисел относительно умножения?
6.41. Множество Z., состоит из чисел 0, 1, 2, 3. Операции сло
жения и умножения определяются так: суммой чисел a n b называют остаток от деления а -|- b на 4, а произведением этих чисел — оста
ток от деления а • Ь на 4. Составьте таблицы сложения и умноже
ния для Z4. Есть ли в Z4 элемент, противоположный 3? Есть ли в Z., элемент, обратный 2? Я вляется ли Z.t полем или только кольцом?
6.42. Определите, являются ли кольцом или полем следующие множества: а) множество всех четных чисел; б) М — {0}; в) В —
= {0, 1}; г) множество чисел вида а + bV<3, где а и b — целые.
группа
чл N
5 *
Г л а в а V I I
ЧИСЛА
§ 1. Н А Т У Р А Л Ь Н Ы Е ЧИСЛА
Назовем натуральным рядом чисел множество N, в котором определено отношение «т непосредственно следует за л», причем имеют место следующие свойства:
1. В N существует элемент е, называемый начальным элементом, который не следует ни за каким элементом из N.
2. Д ля каждого элемента п б N есть один и только один сле
дующий за ним элемент. Этот элемент мы будем обозначать п ' . 3. Каждый элемент п £ N, кроме е, следует за одним и только одним элементом.
4. Любое подмножество А в N, содержащее начальный элемент е и вместе с каждым элементом п содержащее следующий за ним элемент п' , совпадает с N.
Свойства 1—4 носят название аксиом Пеано.
Сложением .натуральных чисел называют соответствие, .которое каждой паре натуральны х чисел а и b сопоставляет одно и только одно натуральное число а + b, называемое их суммой, и обладает следующими свойствами:
ф Д л я любого натурального числа а а + 1 = а ' . ( 2 ) Д ля любых натуральных чисел а и b
а + Ь' = (а + Ь)'.
. Умножением натуральных чисел называют такое соответствие, которое ка ж л ой паре натуральных чисел а и b сопоставляет одно и только одно натуральное число а ■ Ь, называемое нх произведе
нием, и обладает следующими свойствам^:
ф й ■ 1 = а для всех натуральных а\
(2) а ■ Ь' — а • b -\- а для всех натуральных чисел а и Ь. Опе
рации сложения и умножения натуральных чисел коммутативны и ассоциативны, а умножение дистрибутивно относительно сло
жения.
Если а + х = Ь, то пишут х = b — а и называют х разностью чисел b и а. В этом случае пишут а < Ь (а меньше Ь).
При доказательстве утверждений, касающихся натуральных чи
сел, пользуются методом математической индукции. Он- состоит в том, что обозначают через А множество всех натуральных чисел, для которых справедливо данное утверждение, и доказывают, что
132
А
множество А совпадает с множеством N. Д ля этого достаточно по
казать, что 1 принадлежит /1 и что вместе с каждым числом а мно
жеству А принадлежит и число а'.
П р и м е р 1. Д окаж ем, что для всех натуральных чисел вы
полняется неравенство х ф х ' .
Р е ш е н и е . Обозначим через А множество натуральных чи
сел, для которых а Ф а . Число 1 принадлежит А , поскольку оно не следует ни за каким числом из N, а значит, не следует само за собой, 1 ф Г . Пусть а € А , тогда а Ф а'. Обозначим а через Ь.
В силу свойства 3 а' Ф Ь', т. е. b Ф Ь' и b € А.
Итак, А содержит 1 и вместе с каждым числом а содержит Ь — а!. Значит, А — N. В силу определения А это означает, что д ля всех х 6 N имеем х Ф х ' .
П р и м е р 2. Д окаж ем , что для всех натуральных чисел п вы пол ияетс я р а вен ство:
1 + 2 + 3 + . . . + л =
Р е ш е и и е. Обозначим через А множество натуральных чи
сел, для которых это равенство верно. Число 1 принадлежит мно- Г 1 1 • (1 -I-1)
жеству А, так как 1 = — ~ — - .
Пусть т 6 А . Это означает, что 1 + 2 + ... + т = -п Но тогда
1 + 2 + . . . + т + (т + 1) = ”l("i2+1> + (т + 1) =
rn (т -j- 1) -j- 2 (m 1) (rn -j- 1) (tn -j- 2)
2 “ 2
Если обозначить tn -1- 1 через p, то это равенство примет вид:
1 + 2 + 3 + . . . + р = Р (', + 1).
Значит, р = т + 1 € А. И так, 1 € А , и из tn 6 А следует, что т -j- 1 = т ^ А . Значит, А = N, т. е. равенство 1 + 2 + ... +
-j- /I = п ^ верно для всех п ^ N.
7.1. Элементами множества N являю тся группы черточек {], ||, HI, ЦП, ...}. Удовлетворяет ли это множество аксиомам Пеапо? Как определено здесь отношение «следует за». Рассмотрите те же вопросы для множества {0, 00, ООО, 0000, ...}.
7.2. На рисунке 86 а каждый элемент соединен стрелкой со следующим за ним элементом. Удовлетворяет ли множество аксио
мам Пеано? Какое условие здесь нарушено? Те же вопросы для рисунков 86 6, в.
1 3 3
Рис. 86
7.3. Удовлетворяет ли множество {4, 5, G, 7, ...} аксиомам Пеано? Какой элемент является здесь начальным?
7.4. Удовлетворяет ли аксиомам Пеано множество {— 1, —2, - 3 , - 4 , - л , ...}?
7.5. Удовлетворяет ли аксиомам Пеано множество чисел {1, 2, 3, ..., п, ...} , если отношение следования задано в нем так:
7.6. Д окаж ите, что для любых трех натуральных чисел а, Ь, х из a -J- х — b 4- х вытекает а = Ь.
У к а з а н и е . Зафиксируйте а и b, а ф Ь. Обозначьте через А множество натуральных чисел х, для которых а -}- х ф b 4- х.
Д окаж ите, что 1 6 / 1 и что из * 6 /1 вытекает х' 6 А .
7.7. Д окаж ите, что отношение а < Ь в множестве N является асимметричным и транзитивным.
7.8. Д окаж ите, что из а < b вытекает а + х < Ь + х.
7.9. Д окаж ите дистрибутивность умножения относительно сло
жения.
,■1 7.10. Д окаж ите с помощью м е то д а математической индукции следующие равенства:
а) 1 + 3 + 5 + (2л — 1) = /г;
б) 1 • 2 + 2 • 3 + 3 • 4 + . . . + л( л + 1) = + 1Н'‘ + 2);
в) р + 2» + з » + ,. . . + п « = "(л + о е м - о . 6
Г) 12 _ 22 + З2- 42 4 . . . 4- (— 1)л_1 * »2 = (— I)"-1 1}; . д) I 3 + 23 -}- . . . 4 я3 = -п2 (п + 1)3 ;
• е) — + — 4- 4- — ___ = — • 1 -2 2 - 3 п (/1 4 1 ) и 4 1 *
+ . _|--- I---= — - — ; V~*l • 3 3 - 5 (2/1 - 1) (2м 4 1) 2/1 4 1
з) I3 4- З3 4- ... 4 (2п - 1)а = п~ (2/г - 1);
и) 1 + 5 4- 9 4- ... + (4/г - 3) = п (2п — 1);
к) 1 • 2 4 2 • 22 4 3 • З2 4 .» + п • 2я = 2 + (я — 1) • 2Й+1;
jj\ 1 _|_ _J___ L ^ J _________ !_______ _ n
’ 1 • 4 ‘ 4 - 7 7 . 1 0 ‘ (3/i — 2) (3/i -1- 1) 3/1 -I- Г
м) 1 • 1! -I- 2 • 2! + 3 • 3! + ... + 11 • n\ = (n + 1)! — 1;
h) l - 4 + 2 - 7 - f - 3 - 10 + ... + n (3/i + 1) = n (л + l)2;
. 1 , 1 . . 1 n
0) --- ---1- ... -j--- = --- ;
y 1 - 8 8 - 1 5 (7n — 6) (7/i + 1) 7 / i + l
ч 1 I 1 1 1 1 . '
n) -— : ~r ~—~ 4~ ——~ “h • • • H"
1 - 5 5 - 9 9 - 1 3 * (4/i — 3) (4/i + 1) 4/i + Г
/ p) — 1 + 3 — 5 + 7 — 9 + ... + ( - 1 ) « (2n - 1) = ( - 1 ү • я;
\ 1 1 1 , 1 1 1 1 n
c) ---- + --- + ---{ - ...- } --- -- --- .
1 . 6 G • 11 1 1 - 6 (6n — 8) (6/1+ 1) 6/1 + I
7 .1 1 . Д окаж ите с помощью математической индукции неравенство
2« > л.
§ 2. ОТ НО ШЕ Н ИЕ Д Е Л ИМОСТИ
Целое число а делится на целое число Ь ф 0, если существует такое целое число с, что а = b • с.
Если а делится на Ь, то пишут: а \ Ь. В этом случае говорят, что а — кратное, а Ь — делатель. Отношение а \ Ь в множестве целых чисел транзитивно: если а • b и Ь • с, то а • с.
Любое целое число делится на себя: (V а) (а • а). Все целые числа делятся на 1: (V а) а • 1.
Если а \ b и b \ а, то \о\ = |/;|, т. е. а — ± 6 . Если а \ Ь, то ас j be. Если а | с и b j с, то (а ± Ь) \ с. Если а \ с и b * с, то все числа вида ах + by, где х и у целые, делятся на с. Число 0 делится на любое Ь.
Если а и b — целые числа, причем b ф 0, то существуют такие целые числа q и г, что а — bq + г, причем 0 г < \Ь\. Число q называют неполным частным при делении а на Ь, а г — остатком.
П р и м е р 1. Д окаж ем , что при любом целом п число /г3 — п делится на 6.
Р е ш е н и е . Разлож им /г3 — п на множители: І я 3 — п — (я — 1) • п • (я + 1).
Из двух подряд идущих целых чисел одно делится на 2 (если, например, /г нечетно, то п + 1 четно), а из трех подряд идущих целых чисел по крайней мере одно делится на 3 (если л не делится на 3, то либо /г = 3/г 4 - 1, либо я = 3/г 4 “ 2; в первом случае на 3 делится л — 1, а во втором — л + 1).
Значит, из чисел я — 1, л, л + 1 по крайней мере одно делится на 2, а одно делится на 3. Поэтому л3 — л = (л — 1) • л • (л + . 1) делится па 6^
П р и м е р 2. Д окаж ем , что (2/г — I)3 — (2л — 1) • 24 при -лю
бом натуральном значении л.
Р е ш е н и е . Заметим, что утверждение верно при я = 1, и будем в дальнейшем считать, что /г > 1.
Имеем;
135
(2а — l)3 — (211 — 1) = (2п — 1) • (4/i2 — 4/г + 1 — 1) =
= 4 ii (a — 1) (2n — 1).
Это произведение делится на 4, кроме того, иэ^двух последо
вательных натуральны х чисел п, ti — 1 одно четное, т. е. их произведение делится на 2.- Таким образом, доказано, что 4ii • (п— 1) • (2п — 1) делится на 8. Осталось показать, что это произведение делится на 3. Д л я этого рассмотрим три возможности:
1) п делится на 3, т. е. п — 3/г.
2) п при делении на 3 даст в остатке 1, т. е. п — 3/е Н- 1.
3) ii при делении на 3 даст в остатке 2, т. е. п — 3/г + 2.
В первом случае имеем:
4п (п — 1) (2/г — 1) = 4 • 3/г (3/г — 1) (6/г — 1), Это произведение делится на 3.
Во втором случае имеем:
4(3/г + 1) (3/г + 1 — 1) (6/г + 2 — 1) = 4 • 3/г (3/г + 1) (6/г + 1), откуда следует делимость этого произведения на 3.
Аналогичное рассуждение приводит к делимости на 3 в третьем случае.
И так, 4/г (/г — 1) (2/г — 1) делится без остатка на 8 и на 3, а так как 8 и 3 — взаимно-простые числа, то 4/г (/г— 1) (2/г— 1) ♦ (8-3), т. е. на 24, что и требовалось доказать.
П р и м е р 3. Д окаж ем, что для любых натуральны х чисел т и /г, где т > /г, одно из чисел т , /г, т -j- /г, т — /г, 2т + /г, 2т—/г делится на 5.
Р е ш е н и е . Если /?г или /г делится на 5, то утверждение до
казано.
Пусть числа т и /г делятся на 5. Тогда если они дают при де
лении на 5 одинаковый остаток, то (tn — п) • 5.
В самом деле, если, например, tn — 5/г -\- 2, /г = 5р + 2, то т — ii — 5 (к — р). Делимость этого произведения на 5 очевидна.
Рассмотрим теперь случай, когда tn и /г не делятся иа 5 и при делении иа 5 дают разные остатки. Если эти остатки дают в сумме 5, то (tn + /г) • 5.
П усть, например, т = 5/г + 2, /г = 5 • р + 3, тогда т + п —
= 5/г + Ър + 5 = 5 (k - f р + 1), откуда следует делимость суммы т -\- и на 5.
Осталось рассмотреть случай, когда т и /г на 5 не делятся, а при делении их на 5 получаются разные остатки, причем не де
лящ иеся в сумме на 5.
Здесь могут представиться возможности:
1) tn = 5/г 4- 1, п — 5р -Һ 2; 5) tn — 5k + 3, /г = 5/? 4- 1 2) /п = '5 /г 4* 1, ti — 4- 3; 6) т — 5/г 4- 3, /г -- 5р 4- 4 3) т — 5к + 2, /г = 5р 4- 1; 7) tn — 5/г 4 - 4 , п — 5р + 2 4) т = 5/г 4 - 2 , п — 5р 4- 4; 8) т = 5k 4 - 4 , /г = Ър + 3,
Нетрудно заметить, что в случаях 2), 3), 6), 7) число 2т - f п является кратным 5, а в случаях 1), 4), 5), 8) на 5 без остатка де
лится число 2т — п.
И так, в любом случае одно из чисел tn, п, т -j- п, т — п, 2т -{- п, 2т — п делится на 5 без остатка.
7.12. Напишите множество всех делителей числа 144; множество натуральных кратных числа 36, мепьшпх 400.
7.13. Найдите пересечение множества натуральных делителей числа 180 с множеством натуральных делителей числа 240.
7.14. а) Найдите все подмножества множества простых дели
телей числа 1155. Найдите множество всех делителей числа 1155.
Есть ли взаимно-однозначное соответствие между совокупностью подмножеств множества простых делителей и множеством всех дели
телей числа 1155? б) то же для числа 120?
7.15. Я вляется ли отношение «число а кратно числу Ь» тран
зитивным? Я вляется ли оно рефлексивным? Симметрично ли это отношение?
7.16. Д ля каких пар чисел верны оба отношения: а • Ь, Ь ) а?
7.17. Пусть а и Ь — натуральные числа и 0 < а < Ь. Делится ли а на о?
7.18. Д окаж ите, что п (ti -|- 1) делится па 2.
7.19. Д окаж ите, что если дробь — сократима, то и дробь
Ь а + Ь
сократима. Сократима ли дробь ~-у'~~?
7.20. Верно ли высказывание: «если сумма двух чисел делится на п, то каждое слагаемое делится на /г»? Приведите примеры, подтверждающие ответ.
7.21. Д окаж ите, что если 0 < а < Ь , то b — а3 делится на b — а.
7.22. Д окаж ите, что трехзначное число, записанное тремя оди
наковыми цифрами, делится на 37.
7.23. Д окаж ите, что разность любого трехзначного числа и трехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.
7.24. Д окаж ите, что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковы, а сумма его цифр делится на 7, то и число делит
ся на 7.
7.25. Д окаж ите, что два числа имеют одни и те же остатки при делении на b в том и только том случае, когда их разность делится на Ь.
Запишите это утверждение в символическом виде с помощью знаков математической логики.
7.26. К акие из следующих утверждений истинны:
а) если число делится на 2, то оно делится и на 4;
б) если число делится на 4, то оно делится и на 2;
в) если число пе делится на 2, то оно пе делится и ” г) если число пе делится на 4, то оно не делит
7.27. Найдите частные и остатки при делении на 7 следующих чисел: 3, 5, 10, 35, 100, 0, — 1, —7, — 12, —50.
7.28. Найдите частные и остатки при делении на — 8 следующих чисел: 4, 6, 11, 32, 99, 0, —2, —8, — 15, —35.
7.29. Число а дает при делении на Ь остаток г. Какой остаток даст число а при делении на —6? Какой остаток даст число — а при делении на b? Какой остаток даст ч и с л о— а при делении
на Ь?
7.30. Д окаж ите, что число а дает при делении на b остаток г в том и только том случае, когда а — г делится иа Ь.
7.31. Д окаж ите, что сумма трех последовательных целых чи
сел делится па 3.
7.32. Д окаж ите, что сумма двузначного числа и числа, написан
ного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 11.
7.33. Д окаж ите, что если а — целое число, то а2 — а делится на 2, и cf — а делится на 3.
7.34. С помощью метода математической индукции докаж ите, что для любого целого числа а разность а5 — а делится на 5.
7.35. Д окаж ите, что разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8.
7.36. Д окаж ите, что при любом целом п число л3 11 делится на 6.
7.37. Число а при делении на 3 дает остаток 1. Какой остаток при делении на 3 дадут числа а 2, а3?
7.38. Число а при делении на 3 даст остаток 2. Какой остаток при делении на 3 дадут числа а2, а3?
7.39. При каких значениях п число п2 — 1 делится на 3?
7.40. Д окаж ите, что если числа а и b не делятся на 3 и дают разные остатки при делении на 3, то число ab + 1 делится на 3.
Сформулируйте и докаж ите обратную теорему.
7.41. Д окаж ите, что для любых целых чисел а и b число ab х
X (а1 — Ь2) делится на 3.
7.42*. Д аны два трехзначпых числа, дающие одинаковые остат
ки при делении на 7. Приписав одно число к другому, получаем шестизначное число. Д окаж ите, что оно делится на 7.
7.43. Д окаж ите, что произведение квадрата натурального числа на н а т '’ чое число, предшествующее этому квадрату, делится на 1°
>те, что сумма кубов трех последовательных на-
*' целится на 3.
°ассмотрите сумму:
' - I)3 + пл -I- (п Н- I)3.
Ч'мма трех последовательных натуральных
із) 6 " i2 + 72/,+1 делится иа 43;
г) 11"+2 -{- 12“"'и делится на 133;
д) 32/г+1 -\- 40/г — 67 делится па 64;
(е} 2"+2.- 3" -\- Ьп — 4 делится иа 25.
7.47. Д окаж ите, что для любых т, п, где п > т, одно из чисел т, п, т -f п, п — т делится на 3.
7.48. Д окаж ите, что прп любом целом п число /г3 + 5/г делится на 6.
7.49. Докаж ите, что при любом целом /г число /г3 -}- 11/г делится на 6.
7.50. Д окаж ите, что прп любом целом /г число /г3 3/г2 + 2/г делится на 6.
7.51. Д окаж ите, что если а > b > 0, то остаток, который даст число а при делении на Ь, меньше А
7.52. Д окаж ите, что если а \\ Ь не делятся на 3, по дают одина
ковые остатки при делении на 3, то число ab — 1 делится на 3.
Д окаж ите обратное, если аЬ — 1 делится на 3, то числа а и Ь не делятся на 3 и дают одинаковые остатки при деле
нии на 3.
7.53. Д окаж ите, что при любом /г число /г2 (/г2 — 1) делится на 4.
7.54. Д окаж ите, что при любом п число /г5 — /г делится на 6.
7.55. Д окаж ите, что при любом /г число /г (2/г + 1) (7/г -f- 1) делится па 6.
7.56. Числа а и Ь не делятся на с. В каком случае а — Ь делится на с? В каком случае а -|- Ь делится на с?
7.57. Д окаж ите, что если а — нечетное число, то а2 — 1 делится и а 8.
7.58. Д окаж ите, что если т и /г — нечетные числа, то //г2 — /г2 делится на 8.
7.59. Д окаж ите, что при любом натуральном п число 2" -|- 2'г} 1 делится на 6.
7.60. Д окаж ите, что при любых натуральных числах а и п число ап -(- ап м делится на а -|- 1.
7.61. Д окаж ите, что при любом нечетном числе п число /г3 — п делится на 24.
7.62. Д окаж ите, что при любом целом числе п число /г5 — /г делится на 30.
7.63. Д окаж ите, что при любом целом числе /г число /г (/г - f 1 )х х (/г + 2) (/г -г 3) делится иа 2*1.
7.64. Д окаж ите, что при любом целом п число /г (п -І- 1) (/г -Ь 2) х Х(/г -г 3) (/г + 4) делится на 120.
7.65. Д окаж ите, что при любом целом п число сг° — а2 делится на 60.
7.66. Д окаж ите, что при любом целом п число /г (гг — 1) делится на 12.
139
7.67. Выведите признаки делимости: а) на 4; б) на 8; в) на 16;
г) на 25; д) на 13; е) на 37.
7.68. Сформулируйте признаки делимости: а) на 50; б) на 12;
в) на 18; г) на 14.
7.69. Вместо звездочек поставьте цифры так, чтобы получилось число, делящ ееся:
а) на 5: 483 * ; 34 * 0; 5 * 31;
б) на 9: 179 * ; 54 * 7; 5 * 24;
в) на 3: 24 *; 1 * G; *22;
г) на 8: 257 * 4; 3 * 22; 4355 * ; д) на 37: 262 **; 33 * 4 * ; 245 * * 7.
7.70. Какие из следующих высказываний истинны: а) если число делится на 7 и на 5, то оно делится на 35; б) если число делится на 10 и на 15, то оно делится иа 150; в) если число делится на 4 и на 8, то оно делится на 32; г) если число не делится на 3 или па 5, то оно не делится на 15; д) если число пе делится на 15, то оно не делится ни на 3, ни на 5; е) если число не делится на 24, то оно или не делится на 12, или не делится иа 8?
§ 3. Н А И Б О Л Ь ШИ Й ОБЩИЙ Д Е Л И Т Е Л Ь И Н А И МЕ Н Ь ШЕ Е ОБЩЕЕ КРАТНОЕ. Р А З Л О Ж Е Н И Е ЧИСЕЛ НА ПРОСТЫЕ М Н О Ж И Т Е Л И
Пусть а и Ь — отличные от нуля целые числа. Общим делителем этих чисел называют такое число с, что с — делитель как числа а, так и числа Ь.
Наибольшим общим делителем а и Ь называют такой общий де
литель этих чисел, который делится па любой их общий делитель.
Существует единственный положительный наибольший общий де
литель а и Ь. Его обозначают D (а, Ь). Итак, если с — D (а, Ь), то a j с, Ь • о и а \ d Д b • d => с • d.
Наибольш ий общий делитель чисел а и b ищут по алгоритму Евклида. Если 0 < Ь < а, то а делят на Ь с остатком, потом Ь де
л ят на этот остаток, потом первый остаток иа второй и т. д. Послед
ний не равный нулю остаток равен D (а, Ь).
Если с — D (а, /;), то существуют такие целые числа х и у, что с — ах + by {линейное представление D (а, /;)).
Ч исла а и b называют взаимно-простыми, если D (а, b) ~ 1.
Если а \ b и а \ с, причем Ь и с взаимно-просты, то а \ b • с.
Если (а • Ь) • с, причем а не делится на с и а и b взаимно-просты, то Ь • с.
Число 6' называют общим кратным чисел а и Ь, если с • а Д с\ Ь.
Число с называют наименьшим общим кратным а и Ь, если оно является их общим кратным и любое общее кратное этих чисел делится на с.
Числа а и b имеют единственное положительное наименьшее общее кратное. Его обозначают /( (а, Ь). Справедливо равенство:
1/ 1 I \ I о • V I
К (°> Ь) = п /— м Р (», Ь)
140
Н атуральное число р называют простым, если оно имеет два и только два различных натуральных делителя: 1 и р. Н атуральны е числа, имеющие более двух простых делителей, называют составными.
Число 1 пе относится нп к простым, пи к составным. Любое со
ставное число можно представить в виде произведения простых сомножителей, причем эти сомножители определены однозначно с точностью до порядка следования.
Чтобы найти простые числа, не превосходящие N , выписывают все натуральные числа от 1 до N , вычеркивают каждое второе число, кроме первого встретившегося (т. е. 2), потом каждое третье число, кроме первого встретившегося (т. е. 3), и т. д ., пока не вычеркнут все числа, меньшие У N . Отбрасывая 1 от оставшегося множества, получают искомое множество простых чисел. Этот метод называют методом решета Эратосфена.
7.71. Найдите с помощью алгоритма Евклида наибольший об
щин делитель чисел: а) 846 и 246; б) 1960 и 588; в) 15 283 и 10 013.
^ 1 1 оо
7.72. Сократите дробь --- .
1 1 30 720
7.73. Д окаж ите, что D (2/г, 2п -[- 2) = 2 прп любом /г 6 N.
7.74*. Д окаж ите, что частные от деления двух чисел иа их наибольший общий делитель взаимно-просты.
7.75. Туристы проехали на велосипеде в первый день 56 км, а во второй 72 км, причем каждый день они были в пути целое число часов и их скорость была одной и той же оба дня и выраж алась целым числом километров в час. Найдите скорость движ ения, если она была наибольшей из удовлетворяющих условию задачи.
7.76. Туристы прошли в первый день 36 км, во второй 32 км и в третий 24 км, причем каждый день они были в пути целое число часов. Сколько часов они были в пути, если их скорость выраж алась целым числом километров в час, была постоянной и наибольшей из возможных?
7.77. Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 846 и 246;
б) 1960 и 588.
7.78. Приведите дроби - и ■ к общему знаменателю.
1 21 120 30 720
7.79. Сложите дроби — и
192 1(520
7.80 Не пользуясь таблицей простых чисел, определите просты ли числа: а) 167; б) 253; в) 471; г) 463; д) 571.
7.81. Разлож ите числа 144, 1760, 1430, 84 700 на простые мно-
• жители.
7.82. Сколько существует натуральных чисел, меньших 500 и не делящ ихся ни на 2, нп на 3?
7.83. Сколько существует натуральных чисел, меньших 500 и не делящ ихся ни на 2, ни на 3, ни иа 5?
7.84. Пусть Р — множество простых чисел, /VI — множество {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Найдите Р П М ; М \ Р ; М \ (Р П /VI);
( Р \ М ) U (Л * \Я ).
141
7.85. Методом решета Эратосфена найдите все простые числа, меньшие 300. Используя полученную таблицу, выберите подмно
жество простых чисел из множества /1 = {31, 19, 143, 139, 257, 213, 169}.
7.86. а) Может ли сумма двух простых чисел быть простым чи
слом?
б) Может ли сумма двух простых чисел, больших 2, быть про
стым числом?
7.87. Пусть Р — множество простых чисел. Существует ли т а кое число а, что {а, а -{- I } с Р? Д ля какого числа а верно, что {а, а -(- 2, а + 4} с= Р? Назовите 6 чисел я таких, что {,v, х + 2 } cz Р.
7.88. Является ли единица простым числом? а составным?
7.89. В какой степени число 2 входит в разложение на мно
жители числа 121 = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • I I - 12?
7.90. Сколькими нулями оканчивается число 20!?
7.91. Даны числа а = 25 • 3* • 52 • 11, b = 23 • 3° • 53 • 72.
Найдите а • Ь, D (а, Ь), К (а, Ь). Поясните, почему ab = D (а, Ь) х X К (а, Ь).
7.92. Сколько различных делителей имеет число а = p rf X ... • (включая делители 1 и а)?
7.93. Д окаж ите, что при любом целом п ^ 2 число -{- 4 составное.
7.94. Д робь а сократима. Сократима ли дробь —?
a -j- b b
7.95. Д окаж ите, что если п взаимно-просто с 6, то п г — 1 де
лится на 24.
7.96. Д окаж ите, что если а и b взаимно-просты, то числа а 2 и Ь~ тож е взаимно-просты.
7.97. Д окаж ите, что если а и b взаимно-просты, то при любых натуральных пг и п числа а"1 и Ьп тоже взаимно-просты.
7.98. Д окаж ите, что если а и b взаимно-просты, то D (ас, Ь) =
= D (с, Ь).
7.99. Д окаж ите, что если D (a, b) — 1, то D (а • Ь, а -{- Ь) = 1.
7.100. Д окаж ите, что если D (a, b) = 1 и а > Ь, то D (а • Ь, а — Ь) — 1.
7. ЮГ. Д окаж ите, что при любом натуральном п числа -■■' ^ ^ и 2п + 1 взаимно-простые.
7.102. Д окаж ите, что наименьшее общее кратное трех натураль
ных чисел а, Ь, с равно К (К (а, Ь), с). Чему может быть равно наи
меньшее общее кратное трех чисел: п, п + 1, л -j- 2, где я — н а
туральное число?
7.103. Найдите а и Ь, если известно, что:
а) а : b = 11 : 13, D (а, Ь) = 5;
б) D (а, Ь) = 5, К (а, Ь) = 105;
в) D (а, Ь) = 7, а • Ь — 294;
0 J K (а, Ь) = 75, а • b = 375;
д) к (a, b) = 915, D (a, b) = 3;
е) a : b = 17 : 14, D (a, b) — 3;
ж) Қ (a, b) = 224, a : b = 7 : 8 ;
a) D (a, b) = 7, a • b —1470;
и) a : b — 9 : 14, /С (cz, /;) = 693.
У к a 3 а и и e. И спользуйте разлож ение па Простые множители.
7.104. В три ш кольных киоска отправили по одинаковому числу тетрадей. Д л я одной школы отправили тетради пачками, по 150 штук в каждой пачке, для второй по 100 ш тук, а для третьей школы по 200 штук в каждой пачке. Сколько тетрадей отправили каждой школе, если число тетрадей, отправленных всем школам, меньше 2000?
7.105. Три теплохода заходят в порт после каждого рейса. П ер
вый теплоход совершает рейс в 3 дня, второй в 4 дня, третий в 5 дней. В понедельник они встретились в порту все вместе. Через какое наименьшее число дней встретится второй теплоход с пер
вым? первый теплоход с третьим? второй с третьим? Через сколько дней встретятся все три теплохода и в какой это будет день недели?
7.106. Сколько яиц лежит в корзине, если при раскладывании кучками по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6 одно яйцо останется лишним, а при раскладывании по 7 не останется пи одного лишнего яйца?
§ 4 . СИСТЕМЫ С ЧИСЛЕ НИЯ
Пусть р — натуральное число, большее 1. Тогда каждое на
туральное число /V можно записать в виде:
N = ап • р п + ап_у р п~х + ... + «1 • р -г а„,
где ап, an_lt ..., яп — натуральные числа, такие, что для всех k 0 ^ а,. ^ р — 1. Эта запись называется представлением числа N в р-ичной системе счисления.
Чтобы перевести число /V в р-ичную систему счисления, надо разделить его с остатком на р, потом разделить неполное частное с остатком на р и т. д. до тех пор, пока неполное частное не обратит
ся в нуль (т. е. предыдущее неполное частное пе окаж ется меньше р).
Записы вая в обратном порядке получившиеся остатки, получаем искомую запись числа /V.
Если дано число N в р-нчной системе счисления, то для полу
чения десятичной записи этого числа достаточно вычислить значе
ние суммы ап • р п + au_i ■ р'1~1 + ... -[- ах • р 1 - f а0 в десятичной системе счисления.
Операции над числами в р-ичной системе счисления выпол
няются по обычным правилам, лишь таблицы сложения и умно
жения имеют свои вид в каждой системе счисления.
П р и м е р 1. Число 24035 переведем в шестеричную систему счисления (значок 5 указывает на пятеричную систему).
Р е ш е н и е . Сначала находим десятичную запись этого чис
ла. Д л я этого вычислим сумму:
143