И Й Қ Д М А С І П Ғ? С Т У Ф Х Ц Ч
ш ш , ъ ь э ю я
Рис. 94
о
а)CJ
" Ш
8) Рис. 95
9.19. Начертите на листе бумаги фигуру, изображенную па рисунке 95 а. Перегните лист бумаги по оси / н е помощью ц иркуля проткните лист в вершинах фигуры. Р азогни
те лист и с помощью линейки закончите по
строение фигуры, симметричной данной отно
сительно оси I. Сделайте то же самое с ф игу
рами, изображенными на рисунках 95 в и 95 в.
9.20. На листе бумаги начертите фигуру F, изображенную па рисунке 96, и п арал лельные оси / и т па расстоянии 1 см друг от друга. С помощью перегибания листа по
стройте фигуры, симметричные данной отно
сительно этих осей. На каком расстоянии друг от друга находятся соответствующие точ
ки этих фигур?
9.21. Точка А леж ит на прямой /, а точ
ки В и С симметричны относительно этой п ря
мой. Чем является прям ая I для угла В А С?
9.22. О кружность F вращается вокруг / центра против „часовой стрелки. В каком иа- \ правлении будет вращ аться окруж ность, сим- * метричная ей относительно оси /?
9.23. Перечертите фигуры, изображенные иа рисунке 97, и постройте симметричные им фигуры. Вершинами какой фигуры я в ляю тся точки А , В, С и D па рисунке 97?
9.24. Какие буквы получатся, если объединить каждую фигуру на рисунке 98 с симметричной ей фигурой?
9.25. Отразите фигуры на рисунке 99 сначала в оси /, а потом саму фигуру и симметричную ей — в осп т. К акая фигура является объединением всех построенных фигур?
9.26. Пусть A B C и D E K — два треугольника, симметричные друг другу относительно некоторой прямой /. Д окаж ите, что точка пересечения медиан первого треугольника симметрична точке пере
сечения медиан второго треугольника.
9.27. Д окаж ите, что если две окружности имеют равные радиу
сы, то они симметричны относительно некоторой прямой.
Рис. 97
to
m
m 9.28. К акие из перечисленных ниже мно-
""""] *4 гоугольников имеют оси симметрии: разио-
— — — I сторонний треугольник; равнобедренный тре-
^ f-v угольник; равносторонний треугольник;" па-
" Ч раллелограмм; прямоугольник; ромб; квад-
— I т[ рат; неравнобочная трапеция; равнобочная трапеция? У кажите в каждом случае число Рис. 99 ocejj симметрии.
9.29. К акие из следующих фигур имеют оси симметрии: круг; полукруг; сектор; сегмент; круг с проведен
ными к нему из точки М касательными; круг с проведенным д и а
метром; круг с проведенными двумя взаимно перпендикулярными диаметрами; линза, полученная пересечением двух конгруэнтных кругов; линза, полученная пересечением двух неконгруэнтных к р у гов; ф игура, состоящая из двух конгруэнтных касающ ихся о к р у ж ностей? К акие из этих фигур имеют более одной оси симметрии?
9.30. Сколько осей симметрии имеет фигура, образованная:
а) двумя параллельными прямыми; б) двумя пересекающимися, но не перпендикулярными прямыми; в) двумя перпендикулярными прямыми?
9.31. Какое наибольшее число осей симметрии может иметь тр е
угольник?
9.32. Начертите невыпуклый четырехугольник, имеющий ось симметрии.
9.33. Сколько осей симметрии имеет фигура, образованная ок
ружностью и ее центром?
9.34. Сколько осей симметрии имеет фигура, образованная окруж ностью и точкой вне этой окружности?
9.35. Начертите треугольник Л В С с вершинами А (3; 1), В (— 1; 2), С (0; —5). Постройте треугольники, симметричные с A B C относительно: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) биссектрисы первого и третьего координатных углов.
9.36. Д окаж ите, что график симметричного отношения между действительными числами симметричен относительно прямой у = х.
9.37. Найдите оси симметрии д ля графиков следующих отно
шений:
а) х + у = 2, х > 0, у > 0; б) \х\ + \у \ = 1;
в) | х — у | < 1; г) X2 1.
9.38. Даны точки А и В. Постройте циркулем и линейкой их ось симметрии.
9.39. Д аны прямые I и /п. Постройте циркулем и линейкой оси симметрии фигуры, образованной этими прямыми.
9.40. Н а плоскости дан треугольник AB C . Постройте циркулем и линейкой треугольник, симметричный с A B C относительно медиа
ны AD .
9.41. Постройте треугольник, симметричный треугольнику A B C относительно его средней линии D E .
9.42. Д ан круг К и его хорда А В . Постройте круг М , симметрич
ный кругу К относительно этой хорды, и заш трихуйте пересечение этих кругов.
9.43. Д окаж ите, что диагонали ромба являю тся его осями сим
метрии.
• 9.44*. По одну сторону от прямой I даны точки А и В. Найдите на прямой I такую точку С, чтобы сумма отрезков А С и СВ была наименьшей.
9.45. Д окаж ите, что объединение любой фигуры А с фигурой В, симметричной ей относительно прямой /, имеет ось симметрии L Докаж ите то же самое про пересечение фигур А и В.
9.46. Д окаж ите, что объединение и пересечение двух фигур, имеющих общую ось симметрии /, симметричны относительно той же оси.
9.47. Постройте треугольник A B C, где А (3; —4), В (5; 7), С (— 1; 6), и прямую у = х -(- 3. Постройте треугольник K L M , симметричный треугольнику Л В С относительно этой прямой. Н ай
дите координаты его вершин.
9.48. Постройте окружность с центром О (— 1; 2) и радиусом 5 и проведите прямую у — х — 2. Постройте окруж ность, симметрич
ную данной относительно этой прямой.
§ 2 . Ц Е Н Т Р А Л Ь Н А Я СИММЕТРИЯ
9.49. Д ля фигур, изображенных на ри
сунке 100, найдите симметричные относи
тельно точки О.
9.50. У кажите центры симметрии фи
гур, изображенных на рисунке 101.
9.51. Какие пз изображенных на рисун
ке 102 цифр являю тся центрально-симмет
ричными? К акие цифры центрально-сим
метричны друг другу? К акие имеют осевую симметрию?
9.52. Выпишите несколько чисел, з а пись которых представляет собой централь
но-симметричную фигуру.
9.53. Какие буквы имеют центральную симметрию (рис. 94)?
9.54. Обозначим через /1 множество з а главных букв, имеющих вертикальную ось симметрии, и через В — имеющих горизон
тальную ось симметрии, С — множество букв, имеющих центр симметрии. Найдите множества:
А П В; (А П В)' П С; (/1 U В) f) С '.
□ 0 0 '
ө о .
Рис. 100
Рис. 101
.0123456 789
Рис. 102
169
0.55. Есть ли буквы, имеющие н аклон
ную ось симметрии?
9.56. Начертите окруж ность и найдите ее центр с помощью перегибания листа бу
маги.
9.57. Какие фигуры получатся, если объединить каждую из фигур на рисун
ке 103 с симметричной ей относительно точки О фигурой?
9.58*. Д окаж ите, что фигура, имеющая две взаимно перпенди
кулярны е осп симметрии, имеет и центр симметрии.
9.59. К акие точки переходят в себя при центральной симметрии относительно точки О?
9.60. К акие прямые переходят в себя при центральной симмет
рии относительно точки О?
9.61. К акие окружности переходят в себя при центральной симметрии относительно точки О?
9.62. Д окаж ите, что любые два конгруэнтные и параллельны е отрезка центрально симметричны.
9.63. Д окаж ите, что любые две конгруэнтные окружности цент
рально симметричны.
9.64. Найдите центр симметрии фигуры, образованной двумя касающимися конгруэнтными окружностями.
9.65. Найдите окруж ность, симметричную окружности Қ отно
сительно лежащей па Қ точки О. Каково взаимное.располож ение этих окружностей?
9.66. Найдите центры симметрии фигуры, образованной двумя параллельными линиями.
9.67. В каком случае имеет центр симметрии фигура, образован
ная: а) окружностью / ( н точкой А] б) окружностью Қ и п р я мой /? .
9.68. К акие пз следующих фигур имеют центр симметрии: разн о
сторонний треугольник; равнобедренный треугольник; п равиль
ный треугольник; параллелограмм; отрезок; луч; прямая линия;
угол; полоса, ограниченная двумя параллельными прямыми; п ра
вильный шестиугольник; пятиконечная звезда?
9.69. Какие из следующих фигур имеют центр симметрии: о к ружность; круг; сектор; сегмент; окруж ность с тремя начерченны
ми диаметрами; круговой слой, заключенный между двумя кон
груэнтными и параллельными хордами; кольцо, образованное двумя концентрическими окружностями?
9.70. Д окаж ите, что если фигуры /1 и В симметричны относитель
но одной и той же точки О, то их объединение /1 [] В и нх пересе
чение А П В симметричны относительно той же точки.
9.71. Квадрат ABC D повернут на 45° вокруг своего центра 0.
Д окаж ите, что восьмиугольная звезда, полученная объединением двух квадратов, имеет центр симметрии.
9.72. Д ан круг Қ и внутри него — точка А. Построите круг,
о » п г
Рис. 103
симметричный с К относительно точки А , и заш трихуйте их пересе
чение.
9.73. Д окаж ите, что пересечение фигуры А и фигуры В, сим
метричной с А относительно точки О, симметрично относительно этой точки. Д окаж ите аналогичное утверждение для объединения фигур А и В.
9.74. Может ли невыпуклый четырехугольник иметь центр симметрии?
9.75. Д ай треугольник A B C: А (—2; 4), В (1; 6), С (0; 1). По
стройте треугольник, симметричный треугольнику Л В С относи
тельно начала координат.
9.76. Постройте окруж ность с центром 0 (3; — 1) и радиусом 4.
Начертите окруж ность, симметричную построенной относительно точки М (5; 2).
§ 3 . П А Р А Л Л Е Л Ь Н Ы Й ПЕРЕНОС
9.77. Перерисуйте в тетрадь изображенные на рисунке 104 точки А , В, С, D, О. Отложите от точки О векторы, равные векто
рам Т В , AC, A D , В А , ВС, BD ^C D ,_D J\. _
9.78. Д окаж ите, что если А В — CD и CD = EF, то А В = EF.
Сохраняет ли это утверждение силу, если заменить в нем векторы обыкновенными отрезками?
9.79. Д окаж ите, что если А В = CD, то А С = BD. Сохраняет ли силу это утверждение, если заменить в нем векторы обыкновенны
ми отрезками?
9.80. Д окаж ите, что если А В — D E и А С = D F, то ВС = EF.
9.81. Перерисуйте в тетрадь изображенные на рисунке 105 фигуру F и точки А , В. Постройте фигуры, получающиеся из фигу
ры F параллельным переносом иа векторы А В и В А .
9.82. Фигура F 2 получается нз фигуры Ғ х с помощью п араллель
ного переноса па вектор а. Как получить с помощью параллельного переноса фигуру Ғ { пз фигуры Ғ 2?
9.83. Начертите квадрат A B C D и вектор а, не параллельный ни одной нз сторон квадрата. Перенесите квадрат на вектор а.
Теперь каждую вершину квадрата A B C D соедините с полученной пз нее точкой и все эти отрезки разделите пополам. К акую фигуру образуют середины отрезков? Как можно получить эту фигуру из квадрата А В CD?
9.84. Проведите две параллельны е прямые I и т и начертите треугольник A B C . Отразите этот треугольник в прямой I, а полу
ченную фигуру — в прямой т. Каким преобразованием можно заменить эти две симметрии?
9.85. Начертите треугольник Л В С и два вектора Е Қ и М Р . Перенесите треугольник сначала на вектор Е Қ , а потом на вектор М Р . После этого перенесите треугольник сначала на вектор М Р , а потом на вектор Е Қ . Сравните результаты этих переносов.
9.86. К акие точки переходят сами в себя при параллельном переносе на вектор а? К акие прямые переходят сами в себя при параллельном переносе на вектор а?
9.87. Какие параллельные переносы переводят в себя прямую I?
Какие параллельны е переносы переводят в себя полосу, о гран и ченную двумя параллельными прямыми?
9.88. Треугольник D E K получен из треугольника A B C п ар ал лельным переносом. Д окаж ите, что соответствующие медианы этих треугольников параллельны.
9.89*. Треугольник О Е Қ получен из треугольника A B C п ар ал лельным переносом на вектор а. Пусть М — точка пересечения высот треугольника A B C , а Р — точка пересечения высот треу гол ь
ника D E K . Д окаж ите, что вектор М Р равен а.
9.90*. Треугольник D E I ( получен из треугольника A B C п ар ал лельным переносом на вектор а. Пусть и 0 2 — центры вписан
ной и описанной окружностей для треугольника A B C , a Qt и Q2—
центры вписанной и описанной окружностей для треугольника D E I ( . Д окаж ите, что 0 Х0 2 = QiQ2-
9.91. Д ан треугольник A B C . Постройте треугольники, полу
чаемые из него параллельными переносами на векторы А В , ВС, СА.
9.92. Д ан параллелограмм A B C D . Пусть О — точка пересече
ния диагоналей этого' параллелограмма. Перенесите п ар аллело
грамм на вектор АО.
9.93. Пусть А — точка на окружности и О — центр этой о к р у ж ности. Перенесите окруж ность на вектор ОА.
ч 9.94. Пусть А и В — диаметрально противоположные точки окруж ности. Перенесите эту окруж ность на вектор А В .
9.95. При параллельном переносе точка А (— 1; 2) перешла в точку В (3; 4). Начертите треугольник, в который перешел тре
угольник K L M , Қ (2; 5), L (—4; 3), М (0; —2).
9.96. Начертите прям оугольник.с вершинами А (1; 6), В (1; 2), С (5; 6), D (5; 2). Перенесите его параллельно так, чтобы центр прямоугольника попал в точку 0 (— 1; 1).
172
§ 4. ПО ВО РО Т
9.97. Перерисуйте в тетрадь фигуру, изображенную па рисун
ке 106. Изобразите иа том же чертеже фигуру, полученную из фи
гуры Р поворотом на 90а против часовой стрелки вокруг точки 0.
Заш трихуйте общую часть обеих фигур.
9.98. Фигура Ғ 2 получается из фигуры Ft поворотом на 90°
против часовой стрелки вокруг точки 0, а фигура Ғ а получается нз фигуры Fn поворотом на 90° по часовой стрелке вокруг той же точки. Д окаж ите, что фигуры Ғ г и Ғ 3 центрально-симметричны отно
сительно точки 0.
9.99. Фигура Ғ 2 получается из фигуры Ғ х поворотом на угол а по часовой стрелке вокруг точки 0. Каким поворотом получается фигура Ғ х нз фигуры Ғ 2?
9.100*. Даны две точки А и В и угол а. Д окаж ите, что сущест
вует единственный поворот на угол а против часовой стрелки, пере
водящий эту точку А в точку В. Где находится центр этого поворо
та? Где находится центр поворота на угол а против часовой стрел
ки, переводящего точку В в точку А?
9.101*. На плоскости начерчены две пересекающиеся прямые / и гп, образующие угол сс. Д окаж ите, что если сделать осевую сим
метрию относительно оси I, а потом относительно осп пг, в результа
те чего получится поворот плоскости иа угол 2 а вокруг точки пере
сечения этих прямых.
9.102. Какие точки переходят сами в себя прп повороте на угол а вокруг точки О? К акие прямые переходят при этом преобра
зовании сами в себя? К акие окружности переходят при этом пре
образовании сами в себя?
9.103*. Точка М леж ит на биссектрисе угла Л В С , а угол А 'В 'С ' получен нз угла Л В С поворотом па 45° вокруг точки О. Д окаж ите, что прямая В ' М является биссектрисой угла А ' В 'С ' .
9.104*. Т р е у г о л ь н и к -А 'В 'С ' получен из треугольника Л ВС поворотом на 90° вокруг некоторой точки О. Д окаж ите, что бис
сектриса В ' М ' треугольника А ' В ’С' перпендикулярна соответст
вующей биссектрисе В М треугольника ЛВС.
9.105. На какие углы надо повернуть пятиугольную звезду вокруг ее центра (рис. 107), чтобы она совпала сама с собой? Какое наименьшее отличное от нуля значение такого угла?
9.106. На какие углы надо повернуть правильный шестиуголь-
Рис. 106 Рис. 107 Рис. 108/
173
Рис. 109 Рис. 110
ник (рис. 108) вокруг его центра, чтобы он совпал сам с собой?
Какое наименьшее отличное от нуля значение такого угла?
9.107. Н а рисунке 109 изображены 8 пар лучей. К акие нз этих пар таковы , что входящие в них лучи можно совместить д ру г с д р у гом поворотом вокруг некоторой точки?
9.108. Какие фигуры переходят в себя при всевозможных пово
ротах вокруг точки О?
9.109. На рисунке 110 изображены фигуры и их образы при некоторых поворотах. Найдите в каждом случае центр и угол по
ворота.
9.110. Существует ли поворот, переводящий точку А в точку С, а точку В в точку D (рис. 111)?
9.111. Существует несколько поворотов, переводящих квадрат Ғ в квадрат (рис. 112). Найдите для каждого из них угол поворота.
9.112. Отрезки А В и CD конгруэнтны и леж ат на одной прямой.
Какой поворот переводит один отрезок в другой?
9.113. Пусть Ғі и F 2 — две конгруэнтные окружности. Д о к а жите, что существует бесконечно много поворотов плоскости, пере
водящих одну окруж ность в другую.
9.114. С помощью транспортира начертите равнобедренный треугольник Л ВС, где \ Л В \ = \ А С \ и А = 40°. Начертите тре
угольники, получаемые из треугольника Л В С поворотом вокруг точки /1 на углы 40°, 80°, 120°, 160°, 200°, 240°, 280°, 320°. К акую ф игуру образуют в совокупности эти треугольники?
9.115. Начертите квадрат со стороной 3 см и квадрат, получаемый
А•
с Л
Рис 1 11 Рис. 112
из данного поворотом на 45° вокруг центра. Имеет ли центр симметрии объедине
ние полученных фигур?
9.116. Д ан прямоугольник A B C D . П о
стройте прямоугольник, получаемый и зд ан н о го поворотом на угол 90° вокруг точки пере
сечения диагоналей. Имеет ли объединение этих прямоугольников центр симметрии? К а
ковы его оси симметрии?
9.117. Д ан прямоугольник A B C D со сто
ронами А В = 8 см и В С — 4 см. Постройте прямоугольник, получаемый из A B C D пово
ротом на 90° по часовой стрелке вокруг сере
дины М стороны А В . Имеет ли фигура, полу
ченная объединением прямоугольников, ось симметрии?
9.118. Точка А леж ит на границе круга
Ғ. Начертите круг, получаемый из Ғ пово- Рис. 113
ротом на 90° вокруг точки А . Заш трихуйте общую часть обоих кругов.
9.119; Найдите все повороты и симметрии, переводящие в себя:
а) ромб; б) квадрат; в) правильный шестиугольник; г) пятиуголь
ную звезду; д) фигуры на рисунках 113 а и 113 и.
§ 5. ГОМОТЕТИЯ И ПОДОБИЕ
9.120. Перерисуйте в тетрадь изображенную на рисунке 114 фигуру Ғ. Изобразите такж е фигуры Fj и Ғ 2, гомотетичные фигуре Ғ, с центром гомотетии О и коэффициентами гомотетии У2 и —V2.
9.121. Ф игура Ғ 2 получается из фигуры Ғ х гомотетией с цент
ром О и коэффициентом гомотетии к. С помощью какой гомотетии получается фигура Ғ г из фигуры Ғ 2?
9.122. Ф игура Ғ 2 получается из фигуры Ғ х гомотетией с цент
ром О и коэффициентом гомотетии к. С помощью какой гомотетии получается из фигуры Ғ г фигура Ғ 3, симметричная F2 относительно
т о ч к и О?
9.123. Д окаж ите, что фигуры F 2 и Ғ 3, гомотетичные одной и той ж е фигуре Fx с центром гомотетии О и коэффициентами гомоте
тии k и —/г, симметричны д руг другу относительно точки О.
9.124. Ф игура F 2 гомотетична фигуре Ғ х относительно точки О с коэффициентом гомотетии k L, а фигура F 3 гомо
тетична фигуре Ғ 2 относительно той ж е точки с коэффициентом гомотетии к*. К акая гомотетия пре
образует фигуру Ғх в фигуру Ғ 3?
9.125. Ф игуры Ғ 2 и Ғ 3 гомотетичны фигуре Ғ х относительно точки О с коэффициентами гомотетии k x и к.,. К акая гомотетия преобразует фигуру Ғ 2 в
ф игуру Ғ 3? “ Рис. 114
9.126. К акие точки переходят сами в себя при гомотетии с цент
ром О и коэффициентом гомотетии к Ф 1? К акие прямые переходят сами в себя при этой гомотетии?
9.127*. Треугольник А ' В 'С ' получен из треугольника Л В С гомо
тетией. Д окаж ите, что каж д ая биссектриса треугольника А ' В ' С параллельна соответствующей биссектрисе треугольника A B C .
9.128. Отрезки А В и CD параллельны друг д ругу, но не леж ат на одной прямой. Найдите гомотетии, переводящие отрезок А В в отрезок CD. Сколько таких гомотетий, если \А В \ — |C D |?
9.129. Точка О плоскости соединена с вершинами треугольни ка Л ВС. Обозначим через М , N , Р середины отрезков ОА, ОВ, ОС.
Д окаж и те, что треугольник M N P конгруэнтен треугольнику, образованному средними линиями треугольника AB C .
9.130. Начертите окруж ность с центром О и постройте гомоте
тичную ей окруж ность, если: а) центром гомотетии является точка О и- коэффициент гомотетии равен 3/2; б) центром гомотетии является точка О и коэффициент гомотетии равен 2; в) центр гомотетии леж ит на окружности и коэффициент гомотетии равен 1/2; г) центр гомотетии леж и т на окружности и коэффициент гомотетии равен — У2; д) центр гомотетии леж ит на окружности и коэффициент гомотетии равен 2.
9.131. Начертите окруж ность и выберите точку А внутри нее.
Постройте окруж ность, гомотетичную данной с центром гомотетии А и коэффициентом гомотетии: а) 1/2; б) —д/2; в) 2.
9.132. Начертите окруж ность и выберите точку А вне этой окруж ности. Начертите окруж ность, гомотетичную данной с цент
ром гомотетии А и коэффициентом гомотетии: а) 1/2; б) — V2; в) 2.
9.133. Пусть круги Fx и Ғ 2 не пересекаются. К акие гомотетии переводят круг Ғ х в круг Ғо? Сколько таких гомотетий, если круги не равны, и сколько, если они равны?
9.134. Начертите и постройте квадрат, гомотетичный ему, если:
а) центром гомотетии является точка пересечения диагоналей и коэффициент гомотетии равен 1/2; б) центром гомотетии является точка пересечения диагоналей и коэффициент гомотетии равен 2;
в) центром гомотетии является вершина квадрата и коэффициент гомотетии равен 1/2; г) центром гомотетии является вершина к вад ра
та и коэффициент гомотетии равен — V2; д) центром гомотетии я в ляется вершина квадрата и коэффициент гомотетии равен 2.
9.135. Стороны квадрата А ' В ' C’D' параллельны соответствую
щим сторонам квадрата A BCD. Д окаж ите, что существует гомоте
ти я, переводящая квадрат A B C D в / ГВ ’C D ' . Сколько таких гомо
тетий, если квадраты AB C D и A ' B 'C ' D ' не конгруэнтны?
9.136. Точка О совпадает с серединой стороны А В треугольни
ка ЛВС. Постройте треугольник А ' В 'С ' , гомотетичный треуголь
нику Л В С , относительно точки О, если коэффициент гомотетии равен: а) 1/2; б) —V2; в) 2.
9.137. Фигура F2 гомотетична фигуре Ғл с коэффициентом гомо
тетии к. Каков коэффициент подобия фигуры Ғ х относительно фигу
ры Ғ2?
9.138. Ф игура Ғ2 подобна фигуре Ғ х с коэффициентом подобия к и а фигура F s подобна фигуре F* с коэффициентом подобия к 2.
Д окаж ите, что фигура Ғ.г подобна фигуре Ғ х. Каков коэффициент подобия фигуры Ғ я относительно фигуры Fj?
9.139. Д окаж ите, что два круговых сектора подобны тогда и только тогда, когда их центральные углы равны.
9.140. Д окаж ите, что два кольца, образованные парами кон
центрических окруж ностей, подобны тогда и только тогда, когда отношение радиусов окруж ностей у обоих колец одно и то же.
§ 6. С Ж А Т И Е К ПРЯМОЙ
9.141. Постройте отрезок и непараллельную ему прямую /.
Постройте отрезок, получаемый нз заданного сжатием к прямой / с коэффициентами 1/ 2, — У 2, 2, —2.
9.142. Постройте окруж ность радиусом 3 см. Проведите ее гори
зонтальный диаметр. Постройте фигуры, получаемые сжатием ок
ружности к этому диаметру с коэффициентами 1/ 2, 1/ я, У 6.
9.143. Постройте квадрат со стороной 4 см и найдите фигуры, получаемые нз него сжатием к одной нз сторон с коэффициентами V i, 2, — V*. - 2 -
9.144. Постройте квадрат со стороной 4 см и найдите фигуры, получаемые из него сжатием к одной из диагоналей с коэффициен
тами 1/ 2 и 2.
9.145. Постройте в тетради фигуры, изображенные на рисунке 115, и прямую /. Найдите фигуры, получаемые нз заданных сж а
тием к прямой I с коэффициентом V 2 и с коэффициентом 2.
9.146. Д окаж ите, что если фигура имеет ось симметрии /, то сж атия этой фигуры к оси / с коэффициентами к и — к дают один и тот же результат.
9.147. К акие точки переходят сами в себя при сжатии к п р я
мой /?
9.148. Какие прямые переходят сами в себя при сжатии к п р я
мой /?
9.149. Какие прямые переходят в параллельны е им прямые при сжатии к прямой /?
9.150. При ожатии к оси абсцисс точка М (— 1; 6) перешла в точку N (— 1; 2). Чему равен коэффициент сжатия? В какую ф игуру перейдет при этом сжатии квадрат с вершинами /1 (1; 3),
В (7; 3), С (7; 9), D (1; 9)?
9.151. Сделано сж атие к прямой / с ко
эффициентом к и а потом сжатие к той же прямой с коэффициентом к 2. Каким преоб
разованием можно заменить последователь
ное применение этих преобразований?
9.152. Чем является сжатие к прямой / с коэффициентом — 1?
9.153. При сжатии прямой I отрезок Рис. 115
7 З а к а з 182 177
А В перешел в отрезок А ' В ' . Д окаж ите, что при этом середина от
резка А В переш ла в середину отрезка А ' В ' .
9.154*. П рямые А В и CD параллельны . Д окаж ите, что их образы при сж атии к некоторой прямой / тоже параллельны .
9.155*. Д окаж ите, что при сжатии к прямой / параллелограмм переходит в параллелограмм.
9.156*. При сжатии к прямой / треугольник A B C перешел в треугольник А ' В ' С ' . Д окаж ите, что медиана A M треугольника A B C переш ла в медиану А ' М ' треугольника А ' В ' С ' .
9.157. Сохраняется ли отношение перпендикулярности прямых при сж атии к прямой /?
§ 7. А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я ЗАПИСЬ П РЕО БРА ЗО ВА Н И Й
9.158. Преобразование переводит точку М (х\ у) в точку М ' (х \ у '), где х' = — х + 1, / = - у т 3.
а) Найдите образы следующих точек:
М (4; 5), М х( - 4 ; - 5 ) , М 2( - 2 ; 7), М 3(7; - 2 ) ; б) найдите прообразы следующих точек:
М[ (2; 4); М ' ( - 3 ; 8), М', (4; - 6 ) .
9.159. Найдите образ квадрата AB C D , где А (3; 3), В (—3; 3), С (3; —3), D (—3; —3) при преобразовании х ' = х — 4; у ' —
— —У -j- 2.
9.160. В чем геометрический смысл преобразования, переводя
щего точку М (х\ у) в точку М* (—л'; у)?
9.161. В чем геометрический смысл преобразования, переводя
щего точку /V/ (х\ у) в точку М ' (—х\ —у)?
9.162. Начертите треугольник ОВС, зная координаты его вер
шин: В (5; 5), С (0; 5), О (0; 0). Найдите образы О ', В' , С' точек О, В , С, применив следующие преобразования, и постройте все полученные треугольники на одном чертеже, закрасив их в разные цвета:
а) х = —х; б) х' = х + 2, в) х' — х — 4, у' = у; У' — У + 3; У* = У + 2;
г) х — х — 4, д) х = х + 2, У* — У — 6; у' — У — 6.
Конгруэнтны ли все полученные треугольники? Сделайте вывод, в чем геометрический смысл преобразования, переводящего точку М (х; у) в М' (х ; у'), если х = а -\- а, у' — у + Ь.
9.163. Начертите треугольник ОВС из упражнения 9.162 и найдите образы 0 ' , В ', С' точек О, В, С после выполнения над ними следующих преобразований:
Начертите все полученные треугольники на одном чертеже и з а красьте их разным цветом. Конгруэнтны ли полученные треуголь
ники друг другу? В чем геометрический смысл выполненных пре
образований?
9.164. Начертите треугольник ОВС нз упраж нения 9.162. Н ай
дите образы О', В \ С' точек О, В, С после следующих преобразо
ваний:
Начертите все полученные треугольники иа одном чертеже и закрасьте их разными цветами. Конгруэнтны ли они друг другу?
9.165. Найдите образ треугольника ОВС из упражнения 9.162 при следующих преобразованиях:
В чем геометрический смысл этих преобразований?
9.166. Найдите образ прямоугольника A B C D , где А (0; 0), В (0; 4), С (3; 0), D (3; 4) при преобразованиях:
. / 4 . 3 ч , 4 . 3
в) х' =* - х + - у, Г) х — — X -] ~ У»
5 5 0 5
а) х ’ = 2х, б) х' — х — 2у, у' = 2х + у\ у ' — 2х — у,
а) х' — хх — х у, у' = 2х + у\
б) х' — х — 2у, у' — 2х — у .
7*
О Т В Е Т Ы
Г л а в а I
1.7. к) З ап и сь верна; о) зап ись верна; п) запись неверна.
1.8. б) У твер ж дени е неверное; з) утвер ж ден и е верное.
1.13. А = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15};
В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
1.14. G) {1, 3, 4, 5}.
1.15. Ғ = {— 6, — 5, — 4, - 3 , - 2 , — 1, 0, 1, 2, 3, 4};
{ - / 2 , / 2 } . 1.16. д) Рис. 116.
1.18. е) — 9 < л < — 3,4.
1.19. а) В се эти буквы имеют гор изон тал ьную ось симметрии.
1.21. а) Такие точки Р л еж ат на окр уж ности с центром О и ради усом 5 см.
1.22. б) {135, 153, 315, 351, 513, 531 }.
1.26. а) 0 ; б) {0}; в) 0 ; г) { - 2 , 2 }; д) 0 ; е) {2}.
1.2 7 . а) а, Ь, с; б) а ; в) {а}; г) пустое м нож ество не со дер ж и т ни одного элем ента; д) 0 ; е) {а, b }, {с}; ж) {а, Ь, с } а; з) {а}, а, 0 .
1.28. М нож ества В, D, Е являю тся подмнож ествами м нож ества А. М но
ж ест в о D не является подмнож еством С. М нож ество В является подм н ож ест
вом м н ож ества А и м ножества Е.
1.29. г) {213, 324, 732, 136}.
1.31. д) М нож ество А пе является подмножеством В; ж) В а А.
1.33. K z dC z dA z dE ^ B z zD.
1.34. д) А c z В, так как пустое м ножество является подм нож еством лю бого м нож ества; е) В c z А; ж) В c z А .
1.35. г) В а А, так как все квадраты с площ адью, равной 1 е д . 2, имеют пери м етр, равный 4 ед.
1.36. Зап и си а) и в) верны, а записи б) и г) неверны.
1.37. г) А = В, так как, выполнив действия извлечения корня и в о з
ведени я в степень, получим одно и то ж е множество.
1.39. а) X — Ү \ б) X ф Ү.
1.40. М fi Р = {36, 15, 27}; М ft Q = 0 ;
Р П Q = Q = {90, 4, 4 7 }; М П Р П Q = 0 . 1.43. {а, и, к, м, ///}.
1.44. А П В = {.v | 0 < х- < 10}; А П В П N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9}.
1.45. [3; 5].
1.48. а) М нож еству A f) С пр и н адл еж ат четы рехугольник и, у которых диагонали взаи м но п ерп ен дик улярны и в точке пересечения дел ятся пополам, т. е. ромбы;
б) м нож еству В 0 С п рин адлеж ат четы рехугольник и, у которы х длины диагон алей равны и в точке пересечения делятся
пополам , т. е. прям оугольники;
в) м н ож еству А [\ В пр и н адл еж ат четы рех- %// / / // / // / // / // / // z % ж у г о л ь н и к и , у которых диагонали взаим но пер- _ у п О X п енди куляр ны и конгруэнтны , например четырех- '
у го л ь н и к , изображ ен н ы й на рисунке 117;
г) м нож еству А П В П С пр и н адлеж ат че- Рис. 116
Рис. 117 т ы р е х у г о л ы ш к и , у которых диа гон али взаимно
пе рп ен дик улярн ы , конгруэнтны и в точке пере
сеч ения дел ятся пополам, т. е. квадраты.
1.51. д) Множество (Р f| N) П ( N П Q) и з о б р а ж е н о областью заш трихован ной дважды (рис. 118).
1.52. 30.
1.53. 5.
1.54. Р {) Е — {а, б, о , г , д, е, ж, з, к) . 1.57. A U В — {п | п € N , п < 5 или п > 7 (т. е. все натуральные числа, кроме 5, 6, 7)}.
1.58. б) Из всех целых чисел.
1.59. а) Параллелограммы.
1.G0. в) Мно жеству А [} В пр ин ад леж ат все целые числа, кроме чисел, дел я щ и х ся на 3.
1.61.в) (Л П В) [ ) { C ( ] D ) = {2, 3, 4, 5, 6, 7}.
1.63. Множество С с о дер ж и т 5 элементов.
1.64. г) М ножес тво A U (В П С) = {2, 3, 4, 5, 7, 9, 10} с о дер ж и т 7 элементов.
1.66. д) Рис. 119.
1.68. Обозначим через А множество школь
ников, играю щих в ф утбол , а через В — игра
ю щих в волейбол. Тогда множеством школьни
ков, играю щих хотя бы в одну из этих игр, будет /1 (J В. Число элементов в A (J В не меньше, чем число элементов в В, т. е. не меньше 50. Но оно не больше общего числа школьников. Значит, 50 < п {A U В) < 80. Так как п (Л у 5 ) =
= п (Л) -1- п (В) — п (Л П В), то 50 < 40 +
- р 50 — п (Л П В) ^ 80, н потому 10 ^ п (Л р| Рис. 119 П В) < 40.
1.69. Равенства а), б), д), е) верны для л ю бы х множеств. Равенства ж) и з) верны для не
которых множеств, в частности, если Р — Q — R.
Равенства в) и г) бессмысленны, поскольку о б о з начения 2 Р и Р 2 не вводились.
1.70. Л \ В = (— 5, — 4, — 3, — 2, — 1, 0, 1, 2};
В \ А = (11, 12, 13, 14, 15};
Л д В = {— 5, — 4, — 3, — 2, — 1, 0, 1, Рис. 120 2, 11, 12, 13, 14, 15}.
1.71. Р \ Q— мн ожество нечетных д вузн ач
ных чисел.
' 1.72. в) Рис. 120.
1.74. Зап ис и а), б), д) верны, записи в), г), е) неверны.
1.75. в) Мно жество Л состоит из всех це
лых чисел, которые при делении на 4 дают в ос
татке или 0, или 2, или 3.
1.76. в) Д о п о л н е н и е к множеству п р я м о у
гольных треугольн ик ов в множестве всех т реу- р нс j2j го лы ш ков с о дер ж и т все тр еугол ьн и к и , не явля
ющи еся прямоугольными.
1.78. д) Мно жество А' и з о б р а ж ен о обла сть ю, заш трихован ной верт и
кальными линиями. Мно жес тво В' и з о б р а ж е н о обла стью, за ш три хован н ой горизонтальными линиями. М нож ес тву А' У В' п р и н адл еж ат все точки о б л а сти, и з о б р а ж а ю щ ей множество / , кроме точек области, из о б р а ж а ю щ ей м ножество Л П В. Рис. 121.
1.80. в) М но жес тву Л и 5 пр и н а д л еж а т все натуральные числа вида
* = 2 п или * = 5 / i , п { N , Т. е. Л [) В = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, . . . } .
181