МН/м3
3. Теореманың дәлелдеуі
Айталық функциясы (13), (14) есебінің шешімі болсын. Онда
функциясы (1), (2) есебінің шешімі болып табылады,
мұндағы функциясы функциясымен
алмастырылған. тізбегі (1) жүйенің оң жағы функциясына жинақталатын фундаменталды тізбек болып табылады. Ондай болса лемма 1-дегі (5) теңсіздік бойынша
тізбегі де кеңістігінде фундаменталды тізбек болып табылады. Сонымен қатар, кеңістігінің толық кеңістік болуына байланысты болғанда,
кеңістігінде жататын функциясына жинақталады. Ондай болса, анықтамаға бойынша функциясы (1), (2) есебінің шешімі болып табылады. Ал шешімін жалғыздығы (5) теңсіздіктен шығады. Теорема дәлелденді.
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі:
1 Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М.: Наука, 1981.
2 Солдатов А.П. Задачи Дирихле и Неймана для эллиптической системы второго порядка в полуплоскости // Тез. межд. конф. «Дифф. урав. и смеж. вопр.» посв. 103-л. со дня рожд. И.Г.Петровского. -Москва, 2004. - С.218-219.
3 Товмасян Н.Е. Задача Пуанкаре со сдвигом для неправильно эллиптических уравнений второго порядка //
Материалы межд. Росс.-Каз. симпозума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». -Нальчик-Эльбрус, 2004. -с.170-172.
4 Товмасян Н.Е., Бабаян А.О. Задача Дирихле для эллиптических систем второго порядка в классе функций полиномиального роста // Материалы межд. Росс.-Каз. симпозума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». -Нальчик-Эльбрус, 2004. -с.172-174.
5 Бицадзе А.В. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными // Успехи математических наук, III. -1948. №6.–С.211-212.
6 Оспанов К.Н. Об одной корректной задаче для сингулярной системы типа А.В.Бицадзе //Математический журнал РК. 2004. Т.4. №3 (13). -С.68-73.
7 Оспанов К.Н. Коэрцитивные оценки для сингулярной системы А.В.Бицадзе // Матем. журнал РК. 2005.
Т.5. №1 (15). -С.85-93
8 Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1968. - 496 с.
9 Люстерник Л.А. Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высшая школа, 1981. -272с.
10 Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. -М.: Наука, 1971. -104с.
УДК 517.927 ГРНТИ 27.29.19
Л.Х. Жүнісова1, Ж.Х. Жүнісова2
1 тех.ғ.к., доцент, Абай атындағы Қазақ Ұлттық Педагогикалық Университеті, Алматы қ., Қазақстан
2 ф.-м.ғ.к., доцент, әль-Фараби атындағы Қазақ Ұлттық Университеті, Алматы қ., Қазақстан
СЫЗЫҚТЫ ЕМЕС ТЕҢДЕУДІҢ РЕГУЛЯРЛЫҚ ШЕШІМІНЕ СӘЙКЕС БЕТ Аңдатпа
Кейбiр сызықты емес теңдеулердiң жалпыламалары интегралданады, физикалық мағыналы шешiмдерi бар.
Осы интегралданатын теңдеулер керi шашырап тарау әдiсiмен шешiледi. Интегралданатын спиндiк теңдеулердi (1+1)-, (2+1)-өлшемдерiнде математикалық физика тұрғысынан зерттеу өзектi. Лакшманан эквиваленттігі интегралданатын және интегралданбайтын сызықты емес дифференциалдық теңдеулерге де қарастырылады және оның анықтамасы бойынша қолданысы спин жүйесі мен сызықты емес дифференциалдық теңдеудің, мысалы, Шредингер типтес теңдеу, эквиваленттігін орнатумен шектеледі.
Сонымен қатар, интегралданатын сызықты емес дифференциалдық теңдеу үшін Лакшманан эквиваленттігін құру қарастырылған сызықты емес теңдеуге Лакс түрлендіруінің болуын қажет етпейді.
Интегралданатын теңдеулердiң нақты шешімдері бар олар домендік қабырға, рационалдық, құйындық, регулярлық және сингулярлық нақты шешiмдерi бар. Бұл жұмыста сызықты емес Шредингердің теңдеуi қарастырылады. Бұл теңдеудiң регулярлық солитондық шешiмiне сәйкес Фокас-Гельфанд мағынасындағы бет құрылады.
Түйiн сөздер: бет, регулярлық шешiм, солитондық шешім, интегралданатын теңдеу, солитондық иммерсия, сызықты емес теңдеу, үйлесімдік шарты..
Аннотация
Л.Х. Жунусова1, Ж.Х. Жунусова2
1 к.тех.н., доцент, Казахский национальный педагогический университет им.Абая, г.Алматы, Казахстан
2 к.ф.-м.н., доцент, Казахский национальный университет им.аль-Фараби
ПОВЕРХНОСТЬ, СООТВЕТСТВУЮЩАЯ РЕГУЛЯРНОМУ РЕШЕНИЮ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
Некоторые обобщенные нелинейные уравнения являются интегрируемыми, допускают физически интересные точные решения, более того эти интегрируемые уравнения разрешимы методом обратной задачи рассеяния. Исследование интегрируемых спиновых уравнений в (1+1)-, (2+1)-измерениях являются актуальным с точки зрения математической физики. Лакшманановая эквивалентность устанавливается между интегрируемыми и неинтегрируемыми нелинейными дифференциальными уравнениями, определяется между спиновой системой и нелинейным дифференциальным уравнением, например, типа уравнения Шредингера.
Кроме того установление Лакшманановой эквивалентности не требует представления Лакса для рассматриваемого уравнения. Интегрируемые уравнения допускают различные виды решений как решение доменной стенки, рациональное, вихревое, регулярное и сингулярное солитонное решение. Рассмотрим нелинейное уравнение Шредингера. В данной работе мы строим поверхность в смысле Фокаса-Гельфанда соответствующую регулярному солитонному решению данного уравнения.
Ключевые слова: поверхность, регулярное решение, солитонное решение, интегрируемое уравнение, солитонная иммерсия, нелинейное уравнение, условие совместности.
Abstract
SURFACE ASSOCIATED TO REGULAR SOLUTION OF THE NONLINEAR EQUATION Zhunussova L.Kh.1, Zhunussova Zh.Kh.2
1 Cand. Sci. (Engineering), Associate Professor, Abai Kazakh National Pedagogical University, Almaty, Kazakhstan Some generalizations of nonlinear equation are integrable, admit physically interesting exact solutions and these integrable equations are solvable by the inverse scattering method. Investigating of the integrable spin equations in (1+1)-, (2+1)-dimensions are topical from mathematical physics point of view. Lakshmanan equivalence is established between integrable and nonintegrable nonlinear differential equations, for example, Schrodinger equation type. Moreover, the establishment of the Lakshmanan equivalence does not require a Lax representation for considered equation. Integrable equations admit different kinds of physically interesting solutions as domain wall solution, rational,
vertex, regular and singular solutions. We consider nonlinear Schrodinger equation. We construct a surface in Fokas- Gelfand sense corresponding to regular solution of the equation.
Key words: surface, regular solution, soliton solution, integrable equation, soliton immersion, nonlinear equation, compatibility condition.
Әр түрлі физикалық құбылыстарды сипаттайтын сызықты емес модельдер кері шашырап тарау әдісімен шешіледі [1]-[6]. Сондай модельдердің бірі - Гейзенбергтің ферромагнетиктер моделі болып табылады:
S t = S × S xx , (1)
мұндағы × - векторлық көбейтінді, S=( ), + + =1.
Физикалық қолданысы кеңінен тараған сызықты емес Шредингер теңдеуіне S2 = +1 жағдайда (1) модель геометриялық мағынада эквивалент екендігін Лакшманан көрсеткен.
iψt + ψxx + 2β|ψ|2ψ = 0, (2)
мұндағы β = +1, ψ - комплекстік функция. Бұл эквивалентігі Лакшманан эквивалентігі деп аталады. Сондай-ақ, Лакшманан эквиваленттігі интегралданатын және интегралданбайтын сызықты емес дифференциалдық теңдеулерге де қарастырылады және оның анықтамасы бойынша қолданысы спин жүйесі мен сызықты емес дифференциалдық теңдеудің, мысалы, Шредингер типтес теңдеу, эквиваленттігін орнатумен шектеледі. Сонымен қатар, интегралданатын сызықты емес дифференциалдық теңдеу үшін Лакшманан эквиваленттігін құру қарастырылған сызықты емес теңдеуге Лакс түрлендіруінің болуын қажет етпейді.
Қазіргі таңда (1) модельдің (2+1)-өлшемдегі жалпыламалары белгілі. Мысалы, келесі түрдегі жалпыланған Гейзенбергтің ферромагнетиктер теңдеуі қарастырылады [5]:
St = (S × Sy + uS)x , (3)
ux = −(S, (Sx × Sy)), (4)
мұндағы S - спиндік вектор, + + =1, × - векторлық қосынды, u - скалярлық функция. Спиндік вектор S пен rx радиус векторын геометриялық әдіс бойынша теңестіреміз [2]:
S ≡ rx.
Онда (3a), (3b) келесі түрге енеді:
rxt = (rx × rxy + urx)x
ux = −(rx, (rxx × rxy)).
(1)-ші модельдің бірсолитондық шешіміне сәйкес бет табылып, нәтиже келтірілген теоремада тұжырымдалып дәлелденген [5].
Алдымен, теоремада қолданылатын (3a), (3b) теңдеуінің бірсолитондық шешімін келтірейік [2]:
S3(x, y, t) = 1 - sech2(χ1R),
S+(x, y, t) = [iξ – ηth(χ1R)]sech2(χ1R), χ1 = χ1R + iχ1I, λ1 = η + iξ,
m1 = m1R(ρ) + im1I(ρ), mj(y, t) = mj(ρ), χ1R = ηx + m1R(ρ) + c1R, ρ = y + iλjt, χ1I = ξx + m1I(ρ) + c1I, c = ln(2η/ ), m1R(ρ) = Re[m1(ρ)], m1I(ρ) = Im[m1(ρ)],
Теорема 1. Негізгі теорема. (3a)-(3b) спиндік жүйенің бірсолитондық шешімі rx векторының компоненталары арқылы өрнектеледі:
r1 = +с1, r2 = arctg(shχ 1R)+ c2, r3 = x - thχ1R +c3,
мұндағы с1, с2, с3 - тұрақтылар. rx түріндегі шешімге бірінші және екінші фундаменталдық форманың коэффициенттерімен берілген бет сәйкес келеді:
E = 1, G = ,
F = , L = ,
M = , N = .
Бұл жұмыста Фокас-Гельфанд мағынасындағы [3] солитондық иммерсияны қарастырамыз.
Солитондық иммерсияның сипаттамасын келтірейік [3]. (1+1)-өлшемде сызықты емес дифференциалдық теңдеулер қисықтықтың нөлдік шартына қанағаттандырылады:
Ut – Vx + [ U, V] = 0,
мұндағы [U, V ] = U V – V U. U матрицасы беріледі, V матрицасы U матрицасының элементтері арқылы өрнектеледі. Осындай сызықты емес дифференциалдық теңдеулер келесі сызықты жүйенің үйлесімдік шартына қанағаттандырылады:
ϕx = Uϕ, ϕt = Vϕ.
Бұл жағдайда P (x, t) иммерсиялық функциясы = ϕ-1X ϕ, = ϕ-1Y ϕ формулалармен анықталған бет бар. P(x,t) функциясы арқылы анықталған бет үш өлшемді кеңістікте xj = Pj (x, t), j = 1, 2, 3, координаталарымен сипатталады. Беттегі репер келесі үштікпен беріледі [3]:
= ϕ-1X ϕ, = ϕ-1Y ϕ, N= ϕ-1J ϕ,
мұндағы J = , |X| = . Анықталуы бойынша = - tr(XY),
мұндағы X, Y - кез келген матрицалар. Фокас-Гельфанд мағынасындағы бірінші және екінші фундаменталдық формалар келесіндей беріледі:
I = < X, X > dx2 + 2 < X, Y > dxdt+ < Y, Y > dt2, II = < +[X, U ], J > dx2 + 2 < + +[X, V ], J > dxdt+
+< +[Y,V],J >dt2 (5)
Иммерсиялық функция P [3] жұмыста көрсетілгендей анықтала алады:
P= γ0 ϕ-1ϕλ + ϕ-1 M1 ϕ =
мұндағы M1 - λ, x, t арқылы анықталған матрицалық функция.
=- сәйкес алгебра базисі, - Паули матрицалары және [ ]= . Бұл жағдайда X,Y келесідей жазылады:
X = γ0Uλ + M1x + [M1, U], Y = γ0Vλ + M1x + [M1, V].
Матрицалар X, Y, J келесі түрде берілсін:
X = , Y = , J = . (6) Онда J матрицасының элементтері X,Y элементтері арқылы өрнектеліп келесі формулалармен беріледі
c11= , c21 = ,
c12 = , c22= . (7)
Беттің бірінші фундаменталдық формасы (4)
I = Edx2 + 2F dxdt + Gdt2, (8)
мұндағы
E = - ( ),
F = - ( ),
G = - ( ). (9)
Иммерсияға әкелетін солитондық теңдеудің мысалы ретінде сызықты емес Шредингер теңдеуін (2) қарастырайық. Бұл жағдайда U,V матрицалары келесі түрге енеді [5]:
U = + U0, U0 = i ,
V = + i|q|2σ3 – iλ . (10)
Келесі лемма орындалады.
Лемма. Сызықты емес Шредингер теңдеуінің регулярлық бірсолитондық q шешіміне сәйкес Фокас-Гельфанд мағынасындағы екінші фундаменталдық форма келесі түрде сипатталады:
II = Ldx2 + 2M dxdt + Ndt2, (11)
мұндағы
L = - {a11xc11+ a12xc21+ a21xc12 + a22xc22 − λi(a21c12 − a12xc21)+
+iq(a12c11+a22c12−a11c12−a12c22)+iq¯(a21c22+a11c21−a22c21−a21c11)}, M = - {a11tc11+a12tc21+a21tc12+a22tc22+i( +2 )(a21c12−a12c21)+
+(qx + λiq)(a11c12 + a12c22 − a12c11 − a22c12)+
+( x − λi )(a11c21 + a21c22 − a21c11 − a22c21)}, (12) N = - {b11tc11+b12tc21+b21tc12+b22tc22+i( +2 )(b21c12−b12c21)+
+(qx + λiq)(b11c12 + b12c22 − b12c11 − b22c12)+
+( x − λi )(b11c21 + b21c22 − b21c11 − b22c21)}.
Дәлелі. (6), (10) матрицаларын (5)-ке қоямыз. Кейбір есептеулерден кейін (11), (12) аламыз.
Лемма дәлелденді.
γ0 = 1, M1 = 0 жағдайдағы дербес жағдайды қарастырамыз. Бұл жағдайда
X = Uλ = , Y = Vλ = -i , (13)
J =
және P = ϕ-1ϕλ. Иммерсиялық функциясы P үшін айқын түрде өрнекті келтіру үшін сызықты емес Шредингер теңдеуінің регулярлы бірсолитондық шешімін қарастырайық [4]:
q(x,
t) = 2η , (14)
мұндағы x0= ln| |, δ = argm02 – argm01, ξ = Reλ, η = Imλ.
Теорема 2. Сызықты емес Шредингер теңдеуінің регулярлы бірсолитондық шешіміне бірінші