Без труда проверяется, что центр – нормальная подгруппа группы G.
Очевидно, что группа G является абелевой тогда и только тогда, когда C=G.
Несложный подсчет приводит к следующему важному равенству, которое иногда называют «уравнением классов сопряженности».
Теорема 9. Пусть G – конечная группа с центром C. Тогда имеет место равенство
( ) { 1 }.
N S a G aSa S
1 1 1 1 1 1 1
1
( ) ( )
( ) ( ).
aSa bSb S a bSb a a b S a b a b N S b aN S
{ для всех }.
C c G caac aG
190
где n1, …, nk – мощности классов сопряженности группы G, содержащих более одного элемента, так что ni 2, и при этом каждое число ni делит порядок |G| группы G, 1 ≤ i ≤ k.
Доказательство. Поскольку отношение «a сопряжено с b» является отношением эквивалентности на G, то различные классы сопряженности группы G образуют разбиение множества G. Поэтому порядок |G| группы G равен сумме мощностей различных классов сопряженности, состоящих из единственного элемента (они соответствуют элементам центра C), а мощности n1, …, nk остальных классов сопряженности превышают единицу. Отсюда и вытекает требуемое равенство. Для доказательства того, что каждое из чисел ni делит |G|, достаточно заметить, что ni – число элементов, сопряженных с некоторым элементом aiG, и потому в силу теоремы 8 оно равно числу левых смежных классов группы G по подгруппе N(ai), а индекс нормализатора по теореме 3 делит порядок |G| группы G.
Задания для самостоятельной работы
1. Найдите все циклические подгруппы, порожденные ненулевыми элементами группы . Чему равны индексы этих подгрупп в группе
?
2. Найдите левостороннее и правостороннее разложения на смежные классы группы симметричных самосовмещений (кручений) квадрата по подгруппе симметрий квадрата относительно одной из его диагоналей.
Подсказка: группа кручений квадрата содержит восемь элементов (повороты на 90°, 180°, 270° и 360°, а также четыре симметрии относительно его диагоналей и прямых, которые проходят через центр квадрата и параллельны его сторонам).
3. Найдите порядок подстановки .
4. Постройте таблицу Кэли для симметрической группы . Найдите все ее циклические подгруппы и разложения на левые и правые смежные классы по самой большой и самой маленькой (по мощности) нетривиальной циклической подгруппе. Покажите, что группа симметрий ромба (состоящая из 4 преобразований: тождественное, поворот на 180 и два отражения относительно диагоналей) изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы (выполняется теорема Кэли). Покажите выполнение теоремы Лагранжа. Запишите все элементы факторгруппы . Покажите выполнение теоремы о гомоморфизме групп.
1
| | | | ,
k i i
G C n
G Z8
G Z8
0 1 2 3 4 2 4 3 1 0
s
S4
G
S4
4/ S G
191
11. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ И КОЛЕЦ
11.1. Определение и основные свойства кольца
В большинстве числовых систем, используемых в элементарной арифметике, имеется две различные бинарные операции: сложение и умножение. Примерами могут служить целые, рациональные и действительные числа. Сейчас мы определим важный тип алгебраических структур, называемый кольцом, который обладает основными свойствами указанных числовых систем.
Определение 1. Кольцом (R, +, ) называется множество R с двумя бинарными операциями, обозначаемыми символами + и , такими, что:
1. R – абелева группа относительно операции +.
2. Замкнутость относительно операции , т.е. для любых выполняется условие ;
3. Операция ассоциативна, т.е. для всех a, , c R:
4. Выполняются законы дистрибутивности, т.е. для всех a, b, c R
Следует обратить внимание на то, что операции + и не обязательно являются обычным сложением и умножением. Для краткости кольцо (R, +, ) будем обозначать одной буквой R.
Единичный элемент аддитивной группы кольца R называется нулевым элементом (или нулем) кольца R и обозначается символом 0, а обратный к элементу a этой группы обозначается через a.
Вместо a+(b) пишут обычно a b, а вместо ab – просто ab. Из определения кольца получается общее свойство для всех a R. Из этого в свою очередь следует, что для всех a, b R.
Простейшим примером кольца является, по-видимому, кольцо обычных целых чисел Z. Рассматривая его свойства, нетрудно обнаружить среди них такие, которыми не обладает произвольное кольцо. Таким образом, кольца допускают дальнейшую классификацию.
Определение 2.
(I) Кольцо называется кольцом с единицей, если оно имеет мультипликативный единичный элемент, т.е. если существует такой элемент e R, что для любого a R. Мультипликативный единичный элемент называют единицей и обозначают .
(II) Кольцо называется коммутативным, если операция коммутативна.
, a b R
0 0 0
a a (a b) a b( ) ab
aeeaa
1 e
192
(III) Кольцо называется целостным кольцом (или областью целостности), если оно является коммутативным кольцом с единицей e 0, в котором равенство влечет за собой или .
(IV) Кольцо R называется телом, если R {0} и ненулевые элементы в R образуют группу относительно операции .
(V) Коммутативное тело называется полем.
Относительно операции сложения каждый элемент кольца имеет обратный.
Относительно операции умножения элемент, обратный данному элементу, не обязательно существует, но в кольце с единицей обратные элементы могут существовать. Это означает, что для данного элемента может существовать элемент , такой, что . Если это так, то называется правым обратным к . Аналогично если существует элемент , такой, что , то называется левым обратным к .
В кольце с единицей единичный элемент единствен.
Если элемент a имеет как правый обратный элемент b, так и левый обратный элемент c, тогда элемент a – называется обратимым. Обратный ему элемент является единственным и обозначается как:
.
Обратимый элемент кольца называется единицей кольца. Множество всех единиц в кольце замкнуто относительно умножения, так как если и - единицы, то имеет обратный элемент, равный .
Примеры колец:
1) Множество R всех вещественных чисел – это коммутативное кольцо с единицей относительно операции сложения и умножения. Каждый ненулевой элемент кольца – это единица этого кольца.
2) Множество всех целых чисел Z (+, , 0) образуют коммутативное кольцо с единицей относительно операций «+» и «». Обратимыми элементами (единицами кольца) являются только «+1» и «1».
3) Четные числа образуют коммутативное кольцо без единицы.
4) Множество всех 2х2 матриц с элементами из R образуют некоммутативное кольцо с единицей относительно операций сложения и умножения матриц.
Пример. Построим таблицы Келли для кольца целых чисел по модулю 4.
Имеем . Операции «+» и «» происходят по модулю 4 (mod 4). На рисунке 11.1 приведены таблицы Кэлли для операций модульного сложения и умножения. Очевидно, что числа 1 и 3 являются обратимыми элементами (единицами кольца) и образуют мультипликативную группу кольца R.
0
ab a0 b0
a
b ab1 b
a c
1
ca c a
1 1 1
; ( ) a a a
a b
cab c1a b1 1
0, 1, 2, 3
R
193
Рисунок 11.1 – Таблицы Кэлли для операций сложения и умножения по модулю 4
Определение 4. Подмножество S кольца (R, +, ) называется подкольцом этого кольца, если оно замкнуто относительно операции «+» и
«» и образует кольцо относительно этих операций.
Определение 5. Подмножество I кольца R называется (двусторонним) идеалом этого кольца, если оно является подкольцом кольца R и для всех
и имеет место .
Определение 5’. Непустое подмножество коммутативного кольца с единицей называется идеалом в (обозначается как ), если выполняются следующие два условия:
– для любых элементов элемент ; – для любых и элемент .
Элементы составляют базис идеала
.
Говорят, что идеал допускает конечный базис, если в нем
найдутся такие элементы , что .
Пример. Пусть – коммутативное кольцо, , и пусть . Тогда - идеал кольца. Например, если - коммутативное кольцо целых чисел, , тогда множество
четных чисел образует идеал .
Определение 6. Пусть – коммутативное кольцо. Идеал
называется главным, если существует такой элемент , что . В этом случае идеал называют также главным идеалом, порожденным элементом .
Определение 7. Идеалы являются нормальными подгруппами аддитивной группы кольца, следовательно, каждый идеал определяет некоторое разбиение множества на смежные классы по аддитивной
aI rR arI
I
R R I R
,
a bI a b I aI с R a с R
1, 2,..., k a a a
1 2 1 1 2 2 1 2
( , ,..., k) { ... k k; , ,..., k } I a a a a r a r a r r r r R R
I R
1, 2,..., k
a a a I ( ,a a1 2,...,ak)
R aR
( ) { ; }
I a a r rR R I {a r r; R} R
RZ a 2 R
{2 ; }
I r rR R Z
R I R
aR
( ) { ; }
I a a r rR R I R
aR
I R R
194
подгруппе , которые называются классами вычетов кольца по модулю идеала .
Класс вычетов кольца по модулю идеала , содержащий элемент , будем обозначать через
.
Элементы , принадлежащие одному и тому же классу вычетов по модулю (т.е. такие , что ), будем называть сравнимыми по модулю :
.
Множество классов вычетов кольца (R, +, ) по модулю идеала
образует кольцо относительно операций «+» и «», которые определяются равенствами:
, .
Определение 8. Кольцо классов вычетов кольца по модулю идеала