ОСНОВЫ КРИПТОГРАФИИ:

Алимсеитова Ж.К., Кузнецова Т.Ю.

ОСНОВЫ КРИПТОГРАФИИ:

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ, ГРУПП, ПОЛЕЙ, КОЛЕЦ

Учебное пособие

Рекомендованно Республиканским учебно-методическим советом Министерства образования и науки Республики Казахстан

Алматы - 2019

2

УДК 511.17:004(075.8) ББК 32.973.202 я 73 О75

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор Джурунтаев Д.З.

Доктор PhD, ассоциированный профессор Картбаев Т.С.

Доктор PhD Алибиева Ж.М.

Ахметов Б.С., Кузнецов А.А., Краснобаев В.А., Алимсеитова Ж.К., Кузнецова Т.Ю. Основы криптографии: элементы теории чисел, групп, полей, колец. Учебное пособие. – Алматы. АУЭС, 2019 – 320 с. Ил. 32.

Табл. 32. Библиогр. – 31 назв.

ISBN 978-601-7307-76-9

В учебном пособии излагаются основные понятия и положения теории чисел, групп, полей, колец, составляющие математическую основу современных методов и вычислительных алгоритмов помехоустойчивого кодирования и криптографической защиты информации.

Учебное пособие предназначено для бакалавров, магистрантов и докторантов по направлению подготовки кадров «Информационные и коммуникационные технологии».

Печатается по плану издания Министерства образования и науки Республики Казахстан на 2019 год.

УДК 511.17:004(075.8) ББК 32.973.202 я 73

ISBN 978-601-7307-76-9

© Ахметов Б.С., Кузнецов А.А.,

© Краснобаев В.А., Алимсеитова Ж.К.,

© Кузнецова Т.Ю.

© АУЭС, 2019

3

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 6

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ 8

1.1. Теоремы делимости 8

1.2. Наибольший общий делитель и алгоритм Евклида 11 1.3. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными 19 1.4. Простые числа и «основная» теорема арифметики 23

2. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 28

2.1. Разложение вещественных чисел в цепные дроби 28

2.2. Вычисление подходящих дробей 31

2.3. Золотое сечение и формулы Бине 35

2.4. Континуанты и анализ алгоритма Евклида 42

3. ВАЖНЕЙШИЕ ФУНКЦИИ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ 46

3.1. Целая и дробная часть вещественного числа 46 3.2. Количество и сумма делителей положительного целого числа.

Совершенные числа

47

3.3. Мультипликативные функции и их свойства 50

3.4. Мультипликативная формула для количества и суммы делителей положительного целого числа

52 3.5. Необходимые и достаточные условия существования совершенных

четных чисел

53

3.6. Простые числа Мерсенна и Ферма 56

3.7. Функция Мебиуса и ее свойства 59

3.8. Функция Эйлера и ее свойства 60

3.9. ^-функция Римана и некоторые ее свойства 64

4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И СВОЙСТВА СРАВНЕНИЙ 70

4.1. Основные понятия теории сравнений 70

4.2. Основные свойства сравнений, подобные свойствам уравнений 71

4.3. Полная система отчислений 75

4.4. Приведенная система вычетов 77

5. СИСТЕМЫ ВЫЧЕТОВ И ИХ СВОЙСТВА 82

5.1. Комплексные корни m-й степени из единицы и их связь с

приведенной системой вычетов 82

5.2. Многочлены деления круга 88

6. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА И ТЕОРЕМА ФЕРМА. СРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

95

6.1. Теорема Эйлера и теорема Ферма 95

6.2. Сравнение первой степени 100

7. КИТАЙСКАЯ ТЕОРЕМА ОБ ОСТАТКАХ 112

7.1. Сравнение произвольной степени по простому модулю 115 7.2. Сравнение произвольной степени по составному модулю 119 8. СИМВОЛ ЛЕЖАНДРА И ЕГО СВОЙСТВА. ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ

ГАУССА. СИМВОЛ ЯКОБИ

129

4

8.1. Сравнение второй степени. Символ Лежандра 129 8.2. Свойства символа Лежандра и закон взаимности Гаусса 132

8.3. Символ Якоби 140

9.ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ ДЛЯ

КРИПТОГРАФИЧЕСКОЙ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ

148 9.1. Схема распределения секрета с применением китайской теоремы об

остатках

148 9.2. Криптографические преобразования с открытым ключом 153 9.2.1. Алгоритм обмена ключами Диффи-Хеллмана 153

9.2.2. Алгоритм RSA 156

9.2.3. Алгоритм Эль-Гамаля 158

9.3. Алгоритм шифрования с правдоподобным отрицанием 162 10.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 166 10.1. Определение и основные свойства группы 166 10.2. Подгруппы и смежные классы. Теоремы Келли и Лагранжа в

теории групп, теорема о гомоморфизме групп

176

10.3. Свойства симметрической группы 178

11. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ И КОЛЕЦ

191 11.1. Определение и основные свойства кольца 191

11.2. Определение и основные свойства поля 195

11.3. Многочлены над полем 197

11.4. Конечные поля, основанные на кольце многочленов 208 12. СТРУКТУРА И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНЫХ ПОЛЕЙ 213 12.1. Линейные рекуррентные регистры с обратными связями 213

12.2. Примитивные элементы конечных полей 220

12.3. Минимальные многочлены и алгебраическая структура конечных

полей 224

13. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

237 13.1. Векторные пространства и основные свойства 237 13.2. Конечное поле как векторное пространство 243

13.3. Элементы линейной алгебры 247

13.4. Определение и основные свойства групповых кодов. Матричное

описание линейных блоковых кодов 251

14. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В КОНЕЧНЫХ ПОЛЯХ 265

14.1. Преобразование Фурье в полях Галуа 265

14.2. Свойства сдвига, свертки и корней при преобразовании Фурье в полях Галуа

272

14.3. Ограничения сопряженности 280

15 ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ БЛОКОВЫХ КОДОВ 289 15.1. Циклические коды. Определение и основные свойства 289

15.2. Теорема Боуза-Чоудхури-Хоквингема 298

15.3. Построение векторного пространства с заданными 300

5

дистанционными свойствами через преобразования в спектральной области

16. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ГРУППЕ ТОЧЕК ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ

306 16.1. Определение группы точек эллиптической кривой 306 16.2. Формулы сложения и скалярного умножения точек эллиптической

кривой в соответствии с ГОСТ P 34.10-2001 и FIPS-186

307 16.3. Формулы сложения и скалярного умножения точек эллиптической

кривой в соответствии с ДСТУ 4145-2002

317

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 318

6

ВВЕДЕНИЕ

Теория чисел, или высшая арифметика, — раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.

В исследованиях по теории чисел, наряду с арифметикой и алгеброй, применяются геометрические и аналитические методы, а также методы теории вероятностей. Методы теории чисел широко применяются в криптографии, вычислительной математике, информатике.

В элементарной алгебре применение арифметических операций (например, сложения и умножения) с заменой конкретных чисел символами обеспечивает возможность получения формул, которые при подстановке чисел вместо символов дают решение частных числовых задач. В современной алгебре уровень абстракции возрастает: от обычных операций над действительными числами переходят к общим операциям – процессам образования в некотором множестве общего вида из двух или более данных элементов некоторого нового элемента. При этом ставится цель изучить общие свойства всевозможных систем, состоящих из множества и некоторого числа заданных на нем и определенным образом взаимодействующих операций, например, множества с двумя бинарными операциями, взаимодействующими подобно сложению и умножению действительных чисел.

Мы рассмотрим лишь самые основные определения и свойства алгебраических систем (т.е. множеств с одной или несколькими операциями на них), сознательно ограничив себя тем минимумом теории, который необходим для нашей основной цели – изучения конечных полей. Будем использовать следующие числовые множества: N – множество натуральных, Z – целых, Q – рациональных, R – действительных и C – комплексных чисел.

Рассматриваемые основные понятия и положения теории чисел, групп, полей, колец составляют математическую основу современных методов и вычислительных алгоритмов помехоустойчивого кодирования и криптографической защиты информации.

Обнаружение ошибок в технике связи – действие, направленное на контроль целостности данных при передачи по каналам связи, при записи и/или воспроизведении информации. Для обнаружения ошибок используют коды обнаружения ошибок, для исправления – коды, исправляющие ошибки, коды с коррекцией ошибок, помехоустойчивые коды.

Все существующие и используемые коды построены на математической основе, изложенной в данном учебном пособии.

Криптография является методологической основой современных систем обеспечения безопасности информации в компьютерных системах и сетях.

Современная криптография является отдельным научным направлением на

7

стыке математики и информатики. Практическое применение криптографии стало неотъемлемой частью жизни современного общества. Она используется во многих отраслях, например, в электронном документообороте, электронной коммерции, телекоммуникациях и т.д.

Учебное пособие предназначено для бакалавров, магистрантов и докторантов по направлению подготовки кадров «Информационные и коммуникационные технологии».

При составлении учебного пособия были использованы материалы источников, приведенных в списке литературы. В частности, основными источниками для разделов по теории чисел были учебные пособия Виноградова И.М. [1], Сизова С.В. [2], а также источники [3, 4]. При подготовке разделов по теории групп, полей, колец использовались материалы из учебника Блейхут Р. [5], Лиддл Р. [6] и другие.

8

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ 1.1. Теоремы делимости

Теория чисел занимается изучением свойств целых чисел. Целыми мы будем называть не только числа натурального ряда 1, 2, 3, . . . (положительные целые), но также ноль и отрицательные целые -1, -2, -3, . . . Так что, расположив целые в возрастающем порядке, получим ряд, в котором разность между большим и меньшим соседними членами везде будет равна единице.

Сумма a b , разность ab и произведение ab двух целых a и b

являются также целыми. Но частное ^a

b от деления a на b (если b не равно нулю) может быть как целым, так и не целым.

Определение 1. В случае, когда частное ^a

b от деления a на b - целое, обозначая его буквою ^q, имеем a bq, т.е. a представляется произведением

b на целое. Мы говорим тогда, что a делиться на b или, что b делит a. При этом a называется кратным числа b, а b - делителем числа a. То обстоятельство, что b является делителем числа a записывается так: b a\ . Иногда используют также следующие обозначения:

 a b – a кратно b;

 ^{b a} –b делитель a. Примеры.

21 7 3  , 0 9 0  , 8517( 5) .

Поэтому можем сказать: 21 делится на 7, 0 делится на 9, -85 делится на 17, или: 7 делит 21, 9 делит 0, 17 делит -85.

Отношение¹ делимости есть бинарное отношение на множестве Z целых чисел. Если ограничиться рассмотрением множества N натуральных чисел бинарное отношение делимости является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным. Поясним эти свойства подробнее.

Бинарное отношение (обозначим его символом *) на заданном множестве (обозначим его H) является рефлексивным, если всякий элемент данного множества находится в отношении с самим собою, т.е.

: * a H a a

  .

Отношение делимости на множестве целых чисел рефлексивно, т.к.

1 Отношение – математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и многие другие.

Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам, таким как симметричность, транзитивность, рефлексивность.

9

: a Z a a

  .

Бинарное отношение * на множестве H является симметричным, если для каждой пары элементов ( , )a b множества выполнение отношения a b*

влечет за собой выполнение отношения b a* :

, , * *

a b H a b b a

   .

Отношение * на множестве H является антисимметричным, если для каждой пары элементов ( , )a b множества выполнение отношений a b* и b a*

возможно только для равных a и b:

, , * *

a b H a b a b a b

     .

Отношение делимости антисимметрично, т.к.

, ,

a b Z a b b a a b

     .

Бинарное отношение * на множестве H является транзитивным, если для любых трех элементов a b c, , множества выполнение отношений a b* и b c*

влечет выполнение отношения *a c:

, , , * * *

a b c H a b b c a c

    .

Отношение делимости транзитивно, т.к.

, , ,

a b c Z a b b c a c

    .

Имеют место следующие теоремы делимости.

Теорема 1 (Теорема о транзитивности отношения делимости).

Если a кратно m, m кратно b, то a кратно b:

, , ,

a b c Z a m m b a b

    .

Доказательство. Действительно, из a ma₁, mbm₁, следует

1 1

a ba m . Таким образом, a представляется произведением b на целое число a m_{1 1} и тем самым делится на b, т.е. a кратно b.

Теорема 2. (Теорема о кратности целого в сумме кратных целых чисел).

Если в равенстве вида

1 2 ... _n 1 2 ... _k

a       a a c c c

10

относительно всех членов, кроме какого-либо одного, известно, что они кратны b, то и этот один член кратен b.

Доказательство. Действительно, пусть таким одним членом будет a₁. Тогда имеем

2 ' ,...,2 _n '_n

a ba a ba , c₁ bc' ,₁ c₂ bc' ,...,₂ c_k bc'_k,

1 1 2 2 1 2 2

1 2 2

... ( ... ) ' ' ... ' ' ... '

( ' ' ... ' ' ... ' ).

k n k n

k n

a c c c a a bc bc bc ba ba

b c c c a a

              

      

Таким образом, a₁ представляется произведением b на целое число

1 2 2

( 'c c'  ... c'_ka'  ... a' )_n и тем самым делится на

1 2 2

( 'c c'  ... c'_ka'  ... a' )_n .

Теорема 3. (Теорема о делении с остатком).

Всякое целое a представляется единственным способом с помощью положительного целого b равенством вида

a bqr; 0 r b.

Доказательство. Действительно, одно представление числа a равенством такого вида получим, взяв bq равным наибольшему кратному числа b, не превосходящему a. Допустив же существование представление числа a ещё одним равенством того же вида: a bq ₁r₁; 0 r₁ b; и вычитывая почленно это последнее равенство из предыдущего, получим

0 b q( q₁) r r₁. (1.1) Отсюда убедимся (см. теорему 2), что разность r r₁ кратна b. С другой стороны, легко видеть, что та же разность двух неотрицательных чисел, меньших b, сама будет численно меньше b. Числом, которое кратно b и численно меньше b, может быть лишь число 0. Поэтому r r₁ 0, а отсюда

r  r1.

Из равенства (1.1) следует, что 0b q( q₁)0, т.е. qq₁ 0. Таким образом, второе представление числа a тождественно первому.

Определение 2. Число q называется неполным частным, а число r – остатком от деления a на b. Очевидно, что при r=0 понятия «неполное частное» и «частное» совпадают.

Примеры². Пусть b = 14. Имеем:

2 [2, п. 1]: Заметим, что остаток – всегда есть число неотрицательное, а вот неполное частное может быть каким угодно целым числом. Поэтому на вопрос: “Сколько будет минус пять поделить на три с остатком?”, каждый должен бойко отвечать: “Минус два, в остатке — один!”

11

177 14 12 9   , 0 9 14,

64 14 ( 5) 6

     , 0 6 14,

154 14 11 0   , 0 0 14.

1.2. Наибольший общий делитель и алгоритм Эвклида

В дальнейшем будем рассматривать лишь положительные делители чисел.

Определение 3. Всякое целое, делящее одновременное целые a b, ,...,l, называется их общим делителем. Наибольший из общих делителей называется общим наибольшим делителем и обозначается символом (a b, ,...,l).

Определение 4. Если (a b, ,...,l)=1, то ^{a b, ,...,l} называются взаимно простыми. Если каждое из чисел a b, ,...,l взаимно просто с каждым другим из них, то a b, ,...,l называются попарно простыми. Очевидно, числа попарно простые всегда и взаимно простые. В случае же двух чисел понятия

«попарно простые» и «взаимно простые» совпадают.

Примеры.

Числа 6, 10, 15, ввиду (6, 10, 15) = 1, взаимно простые. Однако они не попарно простые, т.к. (6, 10) = 2, (6, 15) = 3, (10, 15) = 5.

Числа 8, 13, 21, ввиду (8, 13) = (8, 21) = (13, 21) = 1, – попарно простые.

Они также и взаимно простые, т.к. (8, 13, 21) = 1.

Возникает естественный вопрос о частоте появления пар взаимно простых чисел, ответ на который дает теорема Чезаро [2, 7], для формулировки которой введем несколько дополнительных обозначений.

Пусть X { ,x n_n 1, 2,...} – произвольная строго возрастающая последовательность натуральных чисел (или, что эквивалентно, произвольное подмножество натуральных чисел, упорядоченных естественным образом).

Обозначим через S X k( , ) число членов последовательности X { ,x n_n 1, 2,...}, не превосходящих k.

Определение 5. Число

( , ) lim

k

S X k

 k

 

называется (верхней асимптотической) плотностью последовательности X во множестве натуральных чисел N .

Интерпретацией понятия плотности последовательности во множестве натуральных чисел является вероятность наугад вытащить из натурального ряда число, которое принадлежит этой последовательности.

12

Пример. Пусть X {x_n 2 ,n n1, 2,...} – последовательность положительных четных чисел. Очевидно, что в этом случае

( , ) 1

lim lim

2 2

k k

S X k k

k k

     

и плотность  характеризует вероятность наугад вытащить из натурального ряда четное число.

Пример. Пусть X {x_n 2 ,ⁿ n1, 2,...} – геометрическая прогрессия, состоящая из возрастающих положительных степеней числа 2. Очевидно, что в этом случае

( , )

lim lim 0

2^k

k k

S X k k

 k

 

  

и плотность  характеризует вероятность наугад вытащить из натурального ряда произвольное число, равное положительной степени числа 2. С возрастанием n числа 2ⁿ в натуральном ряду появляются все реже, и вероятность наугад вытащить из натурального ряда такое число стремится к нулю.

Аналогично рассмотренному определению плотности последовательности во множестве натуральных чисел введем определение плотности множества пар натуральных чисел на координатной плоскости.

Пусть имеется произвольное множество X {( ,x y_{n n}),n1, 2,...}

упорядоченных пар (x_n,y_n) натуральных чисел. Обозначим через S X k( , )

число пар из множества X , каждая компонента которых не превосходит k. Графически это можно изобразить как число точек (x_n,y_n) из множества

{( ,_{n n}), 1, 2,...}

X  x y n на координатной плоскости, попавших в квадрат {(x_n,y_n), 0 x_n  k, 0 y_n  k} (см. рисунок 1.1).

Определение 6. Число

2

( , ) lim

k

S X k

 k

 

называется (верхней асимптотической) плотностью множества X пар чисел

(x_n,y_n) в прямом (декартовом) произведении двух множеств натуральных чисел NN  N².

Интерпретацией понятия плотности множества X во множестве N² является вероятность наугад выбрать на декартовой плоскости такую точку, которая принадлежит последовательности X {( ,x y_{n n}),n1, 2,...}.

13

x y

k k

1) y

1, x (

2) y

2, x (

3) y

3, x ( ...

k)

, X (

yS ),

k , X (

xS

(

i) y

i, x (

...

Рисунок 1.1 – Геометрическая интерпретация числа S X k( , )

x y

k k

Рисунок 1.2 – Геометрическая интерпретация числа lim ⁽ ₂^{1) / 2 1} 2

k

k k

 k



  

Пример. Пусть X – множество пар натуральных чисел, у которых первая компонента строго больше второй компоненты. Множеству X соответствуют точки первой четверти координатной плоскости, лежащие под биссектрисой yx (см. рисунок 1.2). Плотность такого множества равна:

14

2 2

( , ) ( 1) / 2 1

lim lim

2

k k

S X k k k

k k

  

    .

Это выражение также согласуется с представлением о том, что пар натуральных чисел, у которых первая компонента строго больше второй компоненты ровно половина от общего числа всех пар натуральных чисел.

Пусть X – множество всех упорядоченных пар натуральных чисел a и

b таких, что их наибольший общий делитель ( , )a b 1. Частоту появления таких пар на множестве всех пар натуральных чисел устанавливает теорема Чезаро.

Теорема (Чезаро). Вероятность выбрать из множества натуральных чисел N пару взаимно простых чисел равна

2 2

( , ) 6 limk

S X k

 k



   .

Пусть dN. Через P S( )обозначим вероятность события S . Тогда:

2

(( , ) ) ( ) ( ) a b, 1 1 1 p

P a b d P d a P d b P p

d d d d d

  

          .

Просуммируем по всем возможным d получим единицу (полная группа событий):

2 1

1 (( , ) )

d N d

P a b d p

d



 





 



^,

а сумма ряда ₂

1

1

d d





 известна и равна

2

6

 , т.е.

2

1 6 p

  , откуда ^{p }⁶₂ ^{0, 6}. Пример. Запишем две последовательности из 10 случайных (придумаем их сами) натуральных чисел (для упрощения задачи в диапазоне от 1 до 10):

3, 6, 1, 8, 9, 3, 2, 6, 8, 10;

1, 3, 8, 4, 10, 2, 4, 7, 4, 3.

Как видно, если брать числа парами из двух последовательностей 6 из 10 пар содержат взаимно простые числа.

Далее займемся общими делителями двух чисел.

Справедливы следующие свойства делителей.

Свойство 1 (соотношение Безу³). Если ( , )a b  d , тогда найдутся такие целые числа

u

и v, что

3 Этьен Безу (фр. Etienne Bezout; 31 марта 1730, Немур – 27 сентября 1783, Бас-Лож близ Фонтенбло) – французский математик, член Французской академии наук (1758). Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768). Основные работы относятся к алгебре

15

d au bv . Доказательство. Рассмотрим множество

{ : , }

A aubv u vZ .

Очевидно, что A Z (это идеал в ^Z ). Очевидно, что a b, , 0A.

Пусть x y, A и y  0. Тогда остаток от деления x на ^y принадлежит A.

Действительно:

xyq r , 0 r y,

1 1 ( 2 2) ( 1 1 ) ( 1 2 )

r  x yq au bv  au bv q a u u q b v v q A.

Пусть dA – наименьшее положительное число из множества ^A. Тогда a делится на d . Действительно,

a  dqr1, 0 r1 d, aA, dA, следовательно, r₁A, т.е. r₁0.

Аналогичными рассуждениями получаем, что b делится на d , т.е. d – общий делитель a и b.

Далее, раз dA, тогда d au₀bv₀. Если теперь d₁ – общий делитель a и b, тогда d₁ делитель au₀ bv₀, т.е. d₁ делитель d . Значит d d₁ и d – наибольший общий делитель.

Пример. (8, 15)   1 8 2 15 ( 1)  .

Свойство 2. Если a кратно b, то совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с совокупностью делителей одного b; в частности ( , )a b b.

Действительно, всякий общий делитель чисел a и b является делителем и одного b. Обратно, раз a кратно b, то всякий делитель числа b является также делителем числа a, т.е. является общим делителем чисел a и b. Таким образом, совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с совокупностью общих делителей одного b. А так как наибольший делитель числа b есть само b, то ( , )a b b.

Пример. (8, 16)8, делители числа 8 совпадают с общими делителями чисел 8 и 16.

Свойство 3. Если

, a bqc

(исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.). Автор неоднократно переиздававшегося шеститомного «Курса математики» (1764-1769).

16

то совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с совокупностью общих делителей чисел b и c; в частности ( , )a b ( , )b c .

Действительно, написанное равенство показывает, что всякий общий делитель чисел a и b делит также и c (см. теорему 2) и, следовательно, является общим делителем чисел b и с. Обратно, то же равенство показывает, что всякий общий делитель чисел b и с делит a и, следовательно, является общим делителем чисел a и b. Таким образом, общие делители чисел a и b

те же, что и общие делители чисел b и с; в частности, должны совпадать и наибольшие из этих делителей, т.е. ( , )a b ( , )b c .

Пример. 15 9 1 6   , т.е. (15, 9)(9, 6)3.

Алгоритм Эвклида. Для нахождения общего наибольшего делителя, а также для вывода его важнейших свойств применяется алгоритм Эвклида. Он состоит в нижеследующем. Пусть a и b - положительные целые и ab. В соответствии с теоремой 3 находим цепочку равенств

1 1

a bq r, 0 r₁ b,

1 2 2

b r q r , 0r₂ r₁,

1 2 3 3

r r q r , 0 r₃ r₂,

… (1.2)

2 1

n n n n

r_ r _q r , 0 r_n r_n1,

1 1

n n n

r_ r q _ ,

которая представляется единственным способом и заканчивается тогда, когда получается некоторое r_n1 0.

Последнее неизбежно, так как ряд b r r, ₂, ,...₃ как ряд убывающих целых чисел не может содержать более чем b положительных.

Рассматривая равенства (1.2), идя сверху вниз, убеждаемся в справедливости свойств делителей. Действительно, общие делители чисел a и b одинаковы с общими делителями чисел b и r₂, далее одинаковы с общими делителями чисел r₂ и ^r₃ , чисел r₃ и r4 , …, чисел r_n1 и ^r_n , наконец, с делителями одного числа r_n, являющегося последним неравным нулю остатком алгоритма Эвклида. Одновременно с этим имеем:

2 2 3 1

( , )a b ( ,b r ) ( ,r r )...(r_n ,r_n) r_n. Мы приходим к следующим результатам.

1. Совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с совокупностью делителей их общего наибольшего делителя.

2. Этот наибольший делитель равен последнему не равному нулю остатку алгоритма Эвклида.

17

Пример. Применим алгоритм Эвклида к нахождению (525, 231).

Находим (вспомогательные вычисления «уголком» приведены слева):

525 231 2 63, 231 63 3 42, 63 42 1 21, 42 21 2.

  

  

  

 

Последний положительный остаток есть r₄  21. Следовательно, (525, 231)21.

Рассмотрим линейное представление наибольшего общего делителя 21.

Для этого будем двигаться снизу-вверх, подставляя соответствующие равенства:

(525, 231) 21 63 42 1 63 (231 63 3) 63 4 231 1 (525 231 2) 4 231 1 525 4 231 9

525 4 231 ( 9),

            

          

     т.е. u4 и v 9.

Используя указанные свойства получаем следующие утверждения.

Утверждение 1. Обозначая буквою m любое положительно целое, имеем

(am bm, )( , )a b m.

Действительно, умножив соотношения (1.2) почленно на m, получим новые соотношения, где вместо a b r r, , ₂, ₃,...,r_n будут стоять

2 3

, , , , ..., _n

am bm r m r m r m. Поэтому ^{(am bm, )} ^{r m}_n и, таким образом, верно утверждение 1.

Пример. (15, 9)(5, 3) 3 .

Утверждение 2. Обозначая буквою  любой общий делитель чисел a и b имеем

( , ) a b, a b

  

  

 

  ;

в частности, имеем

525 462

231 2

231 189

63 3

63 42

42 1

42 42

21 2

18

, 1

( , ) ( , )

a b

a b a b

 

 

  ,

т.е. частные от деления двух чисел на их наибольший делитель суть числа взаимно простые.

Применяя утверждение 1, находим

( , ) a ,b a b,

a b   

   

   

     . Отсюда следует утверждение 2.

Пример.

15 9 (15, 9)

, 1

3 3 3

   

 

  ,

15 9

, (5, 3) 1

(15, 9) (15, 9)

 

 

 

  .

Утверждение 3. Если ( , )a b 1, то (ac b, )( , )c b .

Действительно, (ac b, ) делит ac и bc, значит, оно делит и (ac bc, ) равное c. Но (ac b, ) делит и b, поэтому оно делит и ( , )c b . Обратно, ( , )c b

делит ac и b, поэтому оно делит и (ac b, ). Таким образом, (ac b, ) и ( , )c b

взаимно делят друг друга и, следовательно, равны между собою.

Пример. (4, 3) 1 (4, 3 2) (4, 2)2.

Утверждение 4. Если ( , )a b 1 и ac делится на b, то cделится на b. Действительно, при ac делящемся на b, имеем (ac b, )b и b( , )c b . А этим и называется делимость c на b.

Пример. (4,3)1, 3 8 24 48 4.

Утверждение 5. Если каждое a a₁, ₂,...,a_m взаимно просто с каждым

1, 2,..., _n

b b b , то и произведение a a₁, ₂,...,a_m взаимно просто с произведением

1, 2,..., _n b b b .

Действительно,

1 2 2 3

( ,a a ,...,a b_m, _k)(a ,...,a b_m, _k)( ,...,a a b_m, _k) ... (a b_m, _k)1.

И далее, полагая ради краткости a a₁, ₂,...,a_m  A, точно таким же путём выводим

1 2 2 3

(b b ...b_n,A) (b ...b_n,A) (b...b_n,A) ...(b_n,A) 1.

19

Пример. В наборе 2, 3, 4, 6 каждое число взаимно просто с числами 5, 7, 11. Следовательно, произведение 2 3 4 6 144    взаимно просто с произведением 5 7 11 385   .

Задания для самостоятельной работы

1. Справедливый ковбой зашел в бар и попросил у бармена стакан виски за 3 доллара, пачку Marlboro за доллар и 11 центов, шесть пачек патронов для своего кольта и дюжину коробков спичек. Услышав итоговую сумму - 28 долларов и 25 центов, ковбой пристрелил бармена. За что? ([2], п.1, с. 12).

2. Найдите d = (317811, 196418) и его представление в виде d = 317811u + 196418v.

1.3. Линейные диофантовы