Theorem 1. The Green's function of the Dirichlet problem (4) - (5) has the form
3. Шешімнің экспоненциалды және дәрежелік кемуі
Бұл бөлімде (1)-(3) есебінің әлді және әлсіз шешімінің t ұмтылғандағы асимтотикалық қасиетін зерттейміз. Келесі энергетикалық функцияны енгізейік
q x q
q u u
t 1
2 ) 1
( 2
2
. (9)
Теорема 2 (дәрежелік кемуі). Айталық 0 және u0(x)L2
Vq
болсын. Егер pq} , 2
max{ болса, онда барлық t 0 үшін
1 1( 1) (0) 1
11) 0 ( )
(
t tC (10)
теңсіздігі орынды, яғни t ұмтылғанда (t) энергетикалық функциясы дәрежелік функциядан аспай кемитін болады, мұндағы 1
p және min{2,q}, ал C1- (1)-(3) есептің берілгенінен тәуелді тұрақты.
Дәлелдеуі. Алдымен (t) энергетикалық функция үшін
1 , 2
, ( ) ,
W u u
C
u q x q (11)
теңсіздігін және (7) бағалауды қолданып келесі теңсіздіктерді алайық:
,1 2
1 2
1 2
1 2
) 1 (
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2
m p m p
x p x p
x q x q x
q x x
q x x
q x q
u u
C u
C u
q u C u
q u С u
q u С u
q u u t
мұнда max{2,q}, C2 C
,C0,q
. Бұданm m p
x p u
u t
C3( )
теңсіздігін аламыз және оны (7) теңсіздікке қойсақ, нәтижеде0 ) ( )
( 3
t C t (12)
жәй дифференциалдық теңсіздікке келеміз. Бұған лемма 1 қолдансақ, (10) теңсіздіктің орынды екенін көреміз. Теорема дәлелденді.
Теорема 3 (экспоненциалды кемуі). Айталық 0 және u0(x)L2
Vq
болсын. Егер 2,
q m
p немесе q p2 болса, онда барлық t 0 үшін
t
e C
t) (0) 4
(
(13)
теңсіздігі орынды, мұнда C4 (1)-(3) есептің берілгенінен тәуелді тұрақты.
Дәлелдеуі. Теорема шарттарын ескеріп, жоғарыдағыдай энергетикалық функцияға қатысты теңсіздіктер алайық.
Айталық, pq, m2 болсын. Онда 0
.,1 2 max 1 1
2 ) 1
( 22 x qq ux pp u mm
u q u q
t
(14)
Ал q p2 болса, онда
1
.2
1 2
1 2
) 1 (
5
2 2 2
2
m m p
x p p
x p
q x q x
q x q
u u
C q u
C
q u C u
q u u t
(15)
теңсіздіктерін аламыз. Бұл алынған (14) және (15) теңсіздіктерін жоғарыдағы (6) теңдікке қойсақ, нәтижеде
0 ) ( )
( 6
t C t (16)
жәй дифференциалдық теңсіздікке келеміз, мұндағы
1 6
,1 2 max 1
C q
, pq, m2 жағдайда, ал C6 С51, q p2 жағдайда. Бұған лемма 1 қолдансақ, нәтижеде (13) теңсіздіктің орынды екенін көреміз.
Алғыс. Бұл мақала авторлардың Қазақстан Республикасы Білім және Ғылым Министрлігінің Ғылым комитетінің ЖТН № AP08052425 "Изотропты және анизотропты орталардағы біртекті емес сұйықтар үшін сызықты емес жалпыланған Кельвин-Фойгт теңдеулерін зерттеудің математикалық әдістерін жасау"
2020-2022 жж. ғылыми гранты мен екінші автордың «2019 ЖОО үздік отытушы» гранты аясында іске асырылды.
Пайдаланған әдебиеттер тізімі:
1 Соболев С.Л., Об одной задаче математической физики// Изд. Акад. Наук СССР Сер. Мат. 1954, Т.18, С. 3-50.
2 Павловский В.А. К теоретическому описанию слабых водных растворов полимеров// Докл. Акад. Наук СССР, –1971, –Т. 200, – С. 809-812.
3 Antontsev S.N., Khompysh Kh., Kelvin-Voight equation with p-Laplacian and damping term: existence, unigueness and blow-up// J. Math. Anal. Appl. -2017, – 466, –Р. 1255-1273.
4 Antontsev S.N., Khompysh Kh., Generalized Kelvin–Voigt equations with p-Laplacian and source/absorption terms// J.Math. Anal. Appl. –2017, –456(1), –Р. 99–116.
5 Oskolkov A.P. The uniqueness and global solvability of boundary-value problems for the equations of motion for aqueous solutions of polymers// J. Math. Sci. –1977, –Т. 8, –С. 427--455.
6 Oskolkov A.P. Nonlocal problems for equations of Kelvin-Voigt fluids and their approximations// J. Math. Sci. – 1997, –Т. 87, –С. 3393-3408.
7 Звягин В.Г., Турбин М.В., Исследование начально-краевых задач для математических моделей движения жидкостей Кельвина–Фойгта, Гидродинамика, СМФН, 31, РУДН, М., –2009, – С. 3–144.
8 Al’shin A.B., Korpusov M.O., Sveshnikov A.G., Blow-Up in Nonlinear Sobolev Type Equations// De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, De Gruyter, –2011, –Т. 15, –Р. 62–77.
9 Antontsev S.N., Diaz J.I., Shmarev S., Energy methods for free boundary problems, in: Applications to Nonlinear PDEs and Fluid Mechanics / Birkhäuser Boston, Inc., Boston: MA, 2002.
References:
1. Sobolev S.L., (1954) Ob odnoj zadache matematicheskoj fiziki[About one problem of mathematical physics]/ Izd.
Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. T.18, 3-50 (In Russian)
2. Pavlovskij V.A. K (1971) teoreticheskomu opisaniju slabyh vodnyh rastvorov polimerov[theoretical description of weak aqueous solutions of polymer]. Dokl. Akad. Nauk SSSR,T. 200, 809-812. (In Russian)
3. Antontsev S.N., Khompysh Kh., (2017) Kelvin-Voightequation with p-Laplacian and damping term: existence, unigueness and blow-up. J. Math. Anal. Appl. 466, 1255-1273.
4. Antontsev S.N., Khompysh Kh., (2017) Generalized Kelvin–Voigt equations with p-Laplacian and source/absorption terms. J.Math. Anal. Appl., 456(1), 99–116.
5. Oskolkov A.P. (1977) The uniqueness and global solvability of boundary-value problems for the equations of motion for aqueous solutions of polymers. J. Math. Sci. Т. 8, С. 427-455.
6. Oskolkov A.P. (1997) Nonlocal problems for equations of Kelvin-Voigt fluids and their approximations. J. Math. Sci., Т. 87, С. 3393-3408.
7. Zvjagin V.G., Turbin M.V. (2009) Issledovanie nachal'no-kraevyh zadach dlja matematicheskih modelej dvizhenija zhidkostej Kel'vina–Fojgta, Gidrodinamika [Investigation of initial-boundary value problems for mathematical models of the motion of Kelvin – Voigt fluids, Hydrodynamics]. SMFN, 31, RUDN, M., 3–144. (In Russian) 8. Al’shin A.B., Korpusov M.O., Sveshnikov A.G., (2011) Blow-Up in Nonlinear Sobolev Type Equations. De Gruyter
Series in Nonlinear Analysis and Applications, De Gruyter, Т. 15, 62–77.
9. Antontsev S.N., Diaz J.I., Shmarev S.,( 2002) Energy methods for free boundary problems, in: Applications to Nonlinear PDEs and Fluid Mechanics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston: MA.
МРНТИ 05.07.37 УДК 314.48
https://doi.org/10.51889/2020-2.1728-7901.17 FORECASTING MORTALITY FOR KAZAKHSTAN
AND ASSESSING IT’S IMPACT ON THE STATE PENSION SPENDING Sapin A.M.
Al-Farabi Kazakh National University, Almaty, Kazakhstan Abstract
This paper uses the mortality projection methods of Knykova A. and Sapin A., based on the original Lee-Carter model, in order to investigate mortality rates for Kazakhstan for the time period from 2018 to 2025 and assess their impact on the state pension spending in Kazakhstan. The results show that improvements in mortality rates have been increasing the number of years that people spend in retirement in Kazakhstan, which directly affects the public pension spending. The overall state pension spending is expected to increase in Kazakhstan from 2019 to 2025, reflecting the gradually increasing effect of mortality improvements, but the state pension spending’s share of GDP is projected to decline from 2021 to 2024. However, extra expenditures of the government on pensions due to future mortality improvements will increase gradually as a share of GDP over time and reach 0,02% in 2024.
Keywords: forecasting mortality for Kazakhstan, Lee-Carter model, life expectancy, state pension spending.
A.M. Сапин
Әл-Фараби атындағы Қазақ Ұлттық Университеті, Алматы қ., Қазақстан
ҚАЗАҚСТАННЫҢ ӨЛІМ КӨРСЕТКІШТЕРІН БОЛЖАУ ЖӘНЕ ОЛАРДЫҢ МЕМЛЕКЕТТІК ЗЕЙНЕТАҚЫ ТӨЛЕМДЕРІНЕ ӘСЕРІН БАҒАЛАУ
Аңдатпа
Бұл мақалада 2018 жылдан бастап 2025 жылға дейінгі кезеңдегі Қазақстандағы өлім-жітімнің деңгейін зерттеу мақсатында Ли-Картердің бастапқы үлгісі негізінде Кныкова А. және Сапин А. дайындаған өлім көрсеткіштерін болжау әдістері қолданылады, және олардың мемлекеттік зейнетақы төлемдеріне жасалатын әсеріне баға беріледі. Алынған нәтижелер Қазақстанда өлім деңгейінің төмендеуін және осыған байланысты зейнетке шыққан адамдардың өмір сүру ұзақтығының ұлғаюын көрстеді. Ал бұл дегеніміз мемлекет тарапынан төленетін зейнетақы шығындарына тікелей әсер етеді. 2019 жылдан бастап 2025 жылға дейін Қазақстандағы зейнетақыға бөлінетін мемлекеттік шығындар біртіндеп артады, ал бұл өлім-жітімнің біртіндеп төмендеуінің әсерін көрсетеді. Алайда, болжам бойынша, мемлекет тарапынан төленетін зейнетақы шығындарының ЖІӨ- дегі үлесі 2021 жылдан бастап 2024 жылға дейін төмендейді. Өлім-жітімнің төмендеуіне байланысты мемлекеттік зейнетақы төлемдерінің қосымша шығындары біртіндеп ЖІӨ-ң үлесі ретінде ұлғаяды және 2024 жылы 0,02% жетеді.
Түйін сөздер: Қазақстанның өлім көрсеткіштерін болжау, Ли-Картер үлгісі, өмір сүру ұзақтығы, мемлекеттік зейнетақы төлемдері.
A.M. Сапин
Казахский Национальный университет имени аль-Фараби, г.Алматы, Казахстан
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СМЕРТНОСТИ В КАЗАХСТАНЕ И ОЦЕНКА ЕЕ ВЛИЯНИЯ НА ВЫПЛАТЫ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПЕНСИИ
Аннотация
В данной статье используются методы прогнозирования смертности Кныковой А. и Сапина А., основанные на оригинальной модели Ли-Картера, с целью изучения показателей смертности в Казахстане за период с 2018 по 2025 гг. и оценки их влияния на государственные пенсионные расходы. Результаты показывают, что снижение темпов смертности увеличивает количество лет, которые люди проводят на пенсии в Казахстане, что напрямую влияет на государственные пенсионные расходы. Ожидается, что совокупные государственные пенсионные расходы в Казахстане будут постепенно увеличиваться с 2019 по 2025 год, отражая тем самым эффект от постепенного снижения смертности. Однако, согласно прогнозам, доля государственных пенсионных расходов в ВВП сократится с 2021 до 2024 года. Дополнительные расходы государства по выплате пенсии будут постепенно увеличиваться в процентах от ВВП ввиду снижения темпов смертности с течением времени и достигнут 0,02% в 2024 году.
Ключевые слова: прогнозирование смертности в Казахстане, модель Ли-Картера, продолжительность жизни, выплаты государственной пенсии.
1. Introduction
Kazakhstan has had a tendency towards a decrease in mortality rates among the population, as well as a positive trend for life expectancy. According to the World Bank data for Kazakhstan there has been a steady increase in life expectancy at birth since 2005, which can be attributed to the increase in GDP per capita and socio-economic stabilization. This is what is known as a longevity risk, that is, the risk that can result in more payments than expected for pension funds and insurance companies due to the increase in life expectancy.
Forecasting and finding further trends in mortality rates are even more important issue for life insurance companies as their solvency or financial strength depends chiefly on whether they set up accurate long-term mortality assumptions in their life tables used to determine insurance premiums and reserves. In addition, knowing the future mortality profile of the population would provide a government with comprehensive statistical data that would enable a direction for social policies, the provision of services, and therefore, the size of public spending, with a direct effect on the areas of public health, medicine, and social security, among others. Therefore, it is important for the government and life insurance companies in Kazakhstan to take into account future developments in mortality rates in their decision making process.
As a scientific research approach to modeling and forecasting mortality rates in Kazakhstan, the author of this paper uses the Lee-Carter model. In that, this paper is based on the research by Knykova A. and Sapin A.
[1], but extends it further by assessing the impact of future mortality changes on the state pension spending in Kazakhstan. The predicted model can be used to construct life tables for Kazakhstan, which in turn can be used in state pension planning.