8)ФФ

Т а к и м о б р а з о м ,

Г f д : ^ 0 ,

- (х) -|- (7 — .г) — 2 (х — 2) = 4 , 0 < 2 ,

(х) + ( 7 - х ) - 2 ( х - 2 ) = 4, 2 < 7 ,

(x) + ( 7 -jc) + 2 ( * ~ 2 ) = 4, -х > 7,

1 (jc) — ( 7 — лс)+ 2 (дс— 2) = 4.

П е р в а я си с те м а с о в о к у п н о с т и р а в н о с и л ь н а си с те м е

I * < 0 ,

\ * = 7 /4 и, с л е д о в а т е л ь н о , реш ен и й не и м еет.

В т о р а я с и с т е м а с о в о к у п н о с т и р а в н о с и л ь н а си с те м е I 0 < х * ^ 2 ,

\ х = 7 /2 и , с л е д о в а т е л ь н о , р е ш е н и й не и м еет.

Т р е т ь я си с те м а с о в о к у п н о с т и р а в н о с и л ь н а си с те м е

| 2 < X-. /, 1/2

и, следовательно, решении не имеет.

Четвертая система совокупности равносильна системе

\ х > 7,

\ х — 15/4

(8')

и, следовательно, решении не имеет.

Итак, совокупность (8'), а значит, и исходное уравнение ре­

шений не имеют.

§ 1. У Р А В Н Е Н И Я , СОДЕРЖ АЩ ИЕ М О ДУЛЬ 41 З а м е ч а н и е . Р е ш е н и я у р а в н е н и и в и д а

| л- — а | = с,

1 х — а | - | - | х — Ь | — с,

(9) (10) [ х о | | х b | = с (П)

(п р и з а д а н н ы х ч и с л а х о, Ь, с> 0) д о п у с к а ю т п р о с т у ю г е о м е т р и ­ ч е с к у ю н н т е р п р с т а ц и ю .

Р е ш и т ь у р а в н е н и е (9) — з н а ч и т н а й т и в се т о ч к и н а ч и с л о в о й оси О х , к о т о р ы е о т с т о я т о т т о ч к и с к о о р д и н а т о й а н а р а с с т о я н и е с. Т а к и х т о ч е к д в е : т о ч к а с к о о р д и н а т о й (с-\-а) и т о ч к а с к о о р ­ д и н а т о й (а— с).

Р е ш и т ь у р а в н е н и е

— з н а ч и т н а й т и в с е т а к и е т о ч к и н а ч и с л о в о й оси О х, д л я к а ж д о й н з к о т о р ы х с у м м а р а с с т о я н и й от нее д о т о ч е к с к о о р д и н а т а м и 1 и 3 р а в н а 6. Я с н о , ч т о ни о д н а н з т о ч е к о т р е з к а [1; 3] не у д о в ­ л е т в о р я е т э т о м у у с л о в и ю , т а к к а к су м м а у к а з а н н ы х р а с с т о я н и й д л я л ю б о й из н и х р а в н а 2 (т. с. не р а в н а 6 ). В н е э т о г о о т р е з к а с у щ е с т в у е т т о л ь к о д в е и ск о м ы е т о ч к и : т о ч к а с к о о р д и н а т о й 5 и т о ч к а с к о о р д и н а т о й (— 1).

А н а л о г и ч н о и н т е р п р е т и р у е т с я р еш ен и е у р а в н е н и я в и д а (1 1 ).

Т а к , н а п р и м е р , д л я т о г о , чтобы р е ш и т ь у р а в н е н и е

н у ж н о на ч и с л о в о й п р я м о й О х н а й т и все т а к и е т о ч к и , д л я к а ж ­ дой и з к о т о р ы х р а з н о с т ь р а с с т о я н и я о т н ее д о т о ч к и с к о о р д и ­ н а т о й (1) и р а с с т о я н и я о т нее д о т о ч к и с к о о р д и н а т о й (3) р а в н а 2. Т а к к а к д л и н а о т р е з к а [1; 3] р а в н а 2 , т о я с н о , ч т о л ю б а я т о ч к а с к о о р д и н а т о й x Z S i3 у д о в л е т в о р я е т , а л ю б а я т о ч к а с к о о р д и н а т о й х < 3 не у д о в л е т в о р я е т е м у . Т а к и м о б р а з о м , р еш ен и ем и с х о д н о г о у р а в н е н и я я в л я е т с я м н о ж е с т в о в с е х ч и с е л из п р о м е ж у т к а [3; -{ -оо).

П р п м е р 10. Н а й т и все з н а ч е н и я а, п р и к о т о р ы х у р а в н е н и е

и м еет не м енее ч е т ы р е х р а з л и ч н ы х р е ш е н и й , я в л я ю щ и х с я ц ел ы м и ч и с л а м и .

Р е ш е н и е . У р а в н е н и е (12) м о ж н о з а п и с а т ь в в и д е

И з с в о й с т в а б с о л ю т н о й в е л и ч и н ы с л е д у е т , ч т о р а в е н с т в о

| Л | - | - | # | — А — В , с п р а в е д л и в о т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о гд а / 1 ^ ; 0 и В гс: 0. С л е д о в а т е л ь н о , у р а в н е н и е (12) р а в н о с и л ь н о с и с т е ­ м е н е р а в е н с т в

I х — 1 | Ң-1 х

— 3 |

=

б

| х — 1 | — | х — 3 | = 2,

о 3 -j- а-1 а -|- х | - j -1 а - х - j- 1 | = 1 (12)

j а - х - } -

1

|

1

а 3 -(- а- х | = агх - ) -

1

— ( а 3 -|-

а2х).

(13) З н а ч е н и е а = 0 у д о в л е т в о р я е т у с л о в и ю з а д а ч и , т а к к а к в это м с л у ч а е с и с т е м а (1 3 ), а с л е д о в а т е л ь н о , и у р а в н е н и е (12) и м ею т р е ­ ш е н и е м в с е x £ R .

П у с т ь а == 0. Т о г д а с и с т е м а н е р а в е н с т в (13) р а в н о с и л ь н а с и ­ с т е м е

л*;<:—а. '

Т а к и м о б р а з о м , н е о б х о д и м о н а й т и в с е т а к и е з н а ч е н и я а , п р и к о ­ т о р ы х с и с т е м а (14) и м еет н е м ен ее ч е т ы р е х р а зл и ч н ы х р е ш е н и й ,

оо, ч О

42 ГЛ. 2. У Р А В Н Е Н И Я С ОДНИМ Н ЕИ ЗВЕС ТН Ы М

d b

Р и с . 2 .4

я в л я ю щ и х с я ц е л ы м и ч и с л а м и . С р а в н и м ч и с л а — а и — I / а 2. Н а й ­ дем и х р а з н о с т ь :

(—Я )= — -j-fl:

а-.

Т а к к а к а 2 - |- а - ) - 1 > 0 п ри л ю б о м

о,

т о а 2 - f - а -{-1 н а з н а к р а з н о ­ с т и с р а в н и в а е м ы х ч и с е л не в л и я е т . С о гл а с н о м е т о д у и н т е р в а л о в (р и с . 2 .4 ), им еем

е с л и а < 1, а ф 0, то — а - 2 < — а ;

е с л и а — 1, т о —а ~ 2 — — а = — 1;

е с л и а > 1, т о —а ~ ~ > —а.

С л е д о в а т е л ь н о :

а) е с л и а > 1, т о си сте м а (14) реш ен и й не и м е е т ; п о э т о м у и и с х о д н а я з а д а ч а р еш е н и й н е и м еет;

б) е с л и

а =

1, т о ( 1 4 ) Ф Ф х = — 1, т. е. и м е е т с я е д и н с т в е н н о е р е ш е н и е , и у с л о в и я з а д а ч и не в ы п о л н е н ы ;

в) е с л и 0 < а < 1, т о — 1 < — а < 0. П о э т о м у о т р е з о к [—а ~г;

— о] б у д е т с о д е р ж а т ь не м ен ее ч е т ы р е х ц е л ы х ч и с е л , е с л и с п р а ­ в е д л и в о н е р а в е н с т в о — а - 2 ^ — 4. Р е ш и м с и сте м у

{

^{1 ^ 1 4}

» { і р і а т і + а ^ О *

1 / 2 ^ а ’ ’ « О < « < 1 / 2 .

И т а к , е с л и 0 < а с ^ : 1 /2, т о д а н н о е у р а в н е н и е и м еет не м е н е е ч е ­ т ы р е х р а з л и ч н ы х р е ш е н и й , я в л я ю щ и м и с я ц ел ы м и ч и с л а м и .

г) е с л и — 1 < а < 0, т о 0 < — а < 1 , и о т р е з о к [— а - 2 ; —а) б у д е т с о д е р ж а т ь по к р а й н е й м ер е ч е т ы р е ц е л ы х ч и с л а , е с л и с п р а ­ в е д л и в о н е р а в е н с т в о — а ~ 2 < : — 3. Р е ш и м с и с т е м у

( — 1 < а < 0, j — 1 < а < 0, \ — 1 < а < 0

\ —а~ ~ ^ — 3 \ — 1 ^ — 3а 2 ^ \ З а 2 — 1 < 0

— 1 < а < 0,

У з / з ^ о

— 1 ^ 3

— | а < 0.

( — 1 < а < 0 , J —

^ \ 3 ( а — 1 /^ * 3 " ) (а -1 - 1 / ^ 3 ) ^ - 0 ^ \ а ' ' г ~ ' ^ ~ ^

И т а к , е с л и — У~3 / З ^ а < 0 , т о у р а в н е н и е и м е е т н е м ен ее ч е т ы ­ р ех ц е л ы х р еш е н и и ;

д) е с л и а — — 1 , т о о т р е з к у [— 1; 1] п р и н а д л е ж а т т о л ь к о т р и ц е л ы х ч и с л а , т . е. у с л о в и я з а д а ч и не в ы п о л н е н ы ;

е) е с л и а < — 1, т о — 1 < —а~~. < 0 ; и д л я т о г о , ч т о б ы о т ­ р е зк у [—а ~ г \ — а ] п р и н а д л е ж а л о не м енее ч е т ы р е х ц е л ы х ч и с е л , н ео б х о д и м о в ы п о л н е н и е н е р а в е н с т в а —а ^ З , т . е. н е р а в е н с т в а a e S — 3. И т а к , п р и — 3 д а н н о е у р а в н е н и е и м еет не м ен ее ч е ­ т ы р е х ц е л ы х р еш ен и и .

О б ъ е д и н я я все р е з у л ь т а т ы , п о л у ч а е м м н о ж е с т в о и с к о м ы х з н а ­ ч ени й ч и с л а а — п р о м е ж у т о к (— 0 0 ; — 3J и о т р е з о к [—У 3 / 3 ; 1 /2 ].

П р и м е р 11. Н а й т и в с е р е ш е н и я с и сте м ы у р а в н е н и й I \ х - \ - 1 / у \ + \ Ю / 3 - х + у \ = Ю / 3 + у - { - \ / у ,

\ х 2 -\-у ~ = 8 2 /9 , (10)

у д о в л е т в о р я ю щ и е у с л о в и я м х > 0 и у < 0 .

Р е ш е н и е . П у с т ь п а р а ч и с е л (х0 , у 0) у д о в л е т в о р я е т у с л о ­ в и я м з а д а ч и , т . е. дт0 > 0 , у 0 < 0 и ( х 0, у 0) я в л я е т с я р е ш е н и е м си сте м ы (15).

О б о з н а ч и м a = .v0 - | - 1/г/о» Ь — 10/3 — х 0 - \ - у 0\ т о г д а п е р в о е у р а в ­ нен и е м о ж н о з а п и с а т ь в в и д е | а | \ b | = а - ( - Ь. И з с в о й с т в а б с о ­ л ю т н о й в е л и ч и н ы с л е д у е т , что э т о р а в е н с т в о с п р а в е д л и в о т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а а ^ = 0 и Ь ^ О . Э т о о з н а ч а е т , ч т о с п р а в е д ­ л и в ы н е р а в е н с т в а

Х0 4 1 /Уо 0 , 1 0 /3 — A'o-1-f/o =£= 0 , И з э т и х н е р а в е н с т в с л е д у е т , что

1 0 /3 - |-1 ///0 -{— £/о ^ 0-

П о с к о л ь к у у 0 < 0 , т о э т о н е р а в е н с т в о м о ж н о п е р е п и с а т ь в в и д е

Уо + -0 - l/о 1 0- (16)

Д а л е е , т а к к а к

0 < Л'о «S 10/3 —

т о - v o ( 1 0 /3 -|- г /0) 2, и, с л е д о в а т е л ь н о ,

Хо -\~Уо ^ (Ю /З - р уо)2. -(- уо • П о с к о л ь к у Л'о -Ьх/о = 82 /9 , то

8 2 /9 < ^ 5 + (Ю /З Н-г/о)3, т . е.

/ / о Ч - у У о + 1 ^ 0 , (17)

С р а в н и в а я н е р а в е н с т в а (16) и (17), п р и х о д и м к в ы в о д у , чт о Уо -f- -д- Уо + 1 = 0,

о т к у д а н ах о д и м г/о} = — 3, уо2) — — \ / 3 .

§ 1. У Р А В Н Е Н И Я . СОДЕРЖ АЩ ИЕ М О Д У Л Ь 43

44 ГЛ. 2. У Р А В Н Е Н И Я С ОДНИМ Н ЕИ ЗВЕС ТНЫ М

Н о т о г д а и з у с л о в и й A'o -j-i/u = 8 2 /9 и д'0 > 0 п о л у ч а е м л'о1’ =

= 1/3 и л'о2> — 3.

И т а к , к а ж д а я п а р а ч и с е л (дгп, у 0), у д о в л е т в о р я ю щ а я у с л о в и ю з а д а ч и , н а х о д и т с я с р е д и п а р (1 /3 ; — 3) и (3; — 1/3). П р о в е р к о й у б е ж д а е м с я , что они у д о в л е т в о р я ю т всем у с л о в и я м з а д а ч и . Э т и п а р ы ч и с е л и е с т ь м н о ж е с т в о в с е х р еш ен и й д а н н о й си сте м ы .

П р и р еш ен и и п р и м е р а 11 б ы л о и с п о л ь з о в а н о с л е д у ю щ е е у т ­ в е р ж д е н и е :

Р а в е н с т в о \ а | -j- | b | = а 4 b и м е е т м ес т о т о г д а и т о л ь к о т о г д а , ко г д а а ^ О и Ь ^ О , т . с.

I « I -!-1 Ь\ = а -\-Ь & |

Э т о у т в е р ж д е н и е я в л я е т с я ч а с т н ы м с л у ч а е м с л е д у ю щ е г о у т в е р ж ­ д е н и я :

Р а в е н с т в о | а -)- b | = | а | -|-1 b \ им ее т м ес т о т о г д а и т о л ь к о т о г д а , ко г д а а Ь^ 0 , т . е.

| а + b | = | а | -j-1 b a b ^ s 0 . П р и м е р 12. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

х — 1 + м

Р е ш е н и е . П о с к о л ь к у

Xй

.V 4 А'2 —

X

I Х 1 I

Х - \ - X ( х — 1)

(18)

А'- X— 1

х~ х * \

X— 1

А'2

А'— I ■X,

Iх — 1! I * - И '

т о у р а в н е н и е (18) м о ж н о п е р е п и с а т ь в ви де

+ 1 х I

х — 1

И с п о л ь з у я у т в е р ж д е н и е 2, п о л у ч а е м р а в н о с и л ь н о е н е р а в е н с т в о

*5=0, х — .

х~ 5.-0.

Р е ш е н и я м и э т о г о н е р а в е н с т в а , а з н а ч и т , и и с х о д н о го у р а в н е н и я я в л я ю т с я ч и с л о 0 и нее ч и с л а из п р о м е ж у т к а (1 ; -j-o o ).

П р и м е р 13. Р е ш и т ь с и с т е м у у р а в н е н и й

{ ! * + i n 4i, = 8 ii

\ \ х — 3 | - м у — 1 1 = 5.

- <1э»

Р е ш е н и е . Д а н н а я с и с т е м а р а в н о с и л ь н а си сте м е

| * Н - У— 4 | = 5 , I * — 3 | 4 - | r / — 1 | = 5 ,

\ x - \ - y — 4 | = | а- — З Ц - | у — 1 |,

§ 1. У Р А В Н Е Н И Я , СОДЕРЖ АЩ ИЕ М О ДУЛЬ _{4 5} к о т о р а я (т а к к а к * + * / — 4 = ( х —3) + ( у — I)) по у т в е р ж д е н и ю 2 р а в н о с и л ь н а с м е ш а н н о й си сте м е

П о с л е д н я я с и с т е м а р а в н о с и л ь н а с л е д у ю щ е й с о в о к у п н о с т и с и с т е м :

все р е ш е н и я к о т о р о й м о ж н о з а п и с а т ь в в и д е ( t; 9 —t) , гд е t — л ю б о е ч и с л о из о т р е з к а [3; 8].

В т о р а я с и с т е м а с о в о к у п н о с т и р а в н о с и л ь н а с и сте м е

м н о ж е с т в о р еш ен и й к о т о р о й с о с т о и т и з ч и с л о в ы х п а р (а\ — 1—а), гд е а — л ю б о е ч и с л о из о т р е з к а [— 2 ; 3J.

Т а к и м о б р а з о м , р е ш е н и я м и си сте м ы (19) я в л я ю т с я все в о з м о ж ­ ны е ч и с л о в ы е п а р ы

{t\ 9 — 0 , где / £ [ 3 ; 8 ];

(а ; — 1 —а), гд е а £ [ — 2 ; 3].

Г е о м е т р и ч е с к а я и н т е р п р е т а ц и я с и с т е м ы (19).

Е с л и на п л о с к о с т и з а д а н а п р я м о у г о л ь н а я с и с т е м а к о о р д и н а т X O Y , то (р и с. 2 .5 ):

| х + у— 4 | = 5 ,

| х— 3 | - f - 1 у— 1 | = 5 ,

(.г-3 ) ( у - 1 ) ^ 0 .

П е р в а я с и сте м а э т о й с о в о к у п н о с т и р а в н о с и л ь н а си с те м е

•16 ГЛ. 2. У Р А В Н Е Н И Я С ОДНИМ НЕИ ЗВЕС ТНЫ М

а) м н о ж е с т в о всех т о ч е к п р я м о й у — — * - f - 9 (т. е. т о ч е к ( / ; 9 — / ) , гд е / £ ( — оо; -j- с е ) ) и м н о ж е с т в о в сех т о ч е к п р я м о й у — — х — 1 (т. е. т о ч е к (а; — 1 —а), гд е а £ ( — со; со)) е сть м н о ж е с т в о в сех р е ш е н и й п е р в о г о у р а в н е н и я си сте м ы (1 9 );

б) м н о ж е с т в о всех т о ч е к к в а д р а т а A B C D , в к л ю ч а я е го в е р ­ ш и н ы А (3 ; 6 ), В (8 ; 1), С (3 ; — 4) и D (— 2 ; 1) (т. е. т о ч е к ( / ; 9 — /), гд е / £ [ 3 ; 8] — т о ч к и с т о р о н ы А В ; т о ч е к ( а ; а — 7 ), гд е

“ £ [ 3 ; 8] — т о ч к и с т о р о н ы В С ; т о ч е к ( а ; — 1 — о ) , г д е я £ [ — 2 ; 3 ] — т о ч к и с т о р о н ы C D ; т о ч е к (Р ; Р - р З ) , гд е Р £ [ — 2 ; 3 ] — т о ч к и с т о ­ р о н ы D A ) , е с т ь м н о ж е с т в о в с е х р е ш е н и й в т о р о г о у р а в н е н и я с и ­ стем ы (1 9 );

в) м н о ж е с т в о всех т о ч е к с т о р о н ы А В к в а д р а т а A B C D , л е ж а ­ щ е й н а п р я м о й у — — .v -j-9 , а т а к ж е м н о ж е с т в о в с е х т о ч е к с т о ­ р о н ы C D , л е ж а щ е й н а п р я м о й у — —х — 1 (т. е. т о ч е к (t; 9 — t ) , гд е / £ [ 3 ; 8], и т о ч е к (я; — 1 — а ), гд е а £ [ — 2; 3 ]), е с т ь м н о ­ ж е с т в о в с е х р е ш е н и й си стем ы (19).

З А Д А Н И Е 1 Р е ш и т ь у р а в н е н и е :

1) | ж— 1 | = 3; 2) |дг| = —Злг— 5;

3) x 2 - f 3 x - p | х - \ - 31 = 0 ; 4) | х — 1 | 4 1 х — 3 1 = 2;

5) | х - 1 И - | х — 2 1 Ч- | х —

З А Д А Н И Е 2 Р е ш и т ь у р а в н е н и е :

1) | х —7 | = 2 ;

2) (х2—5 х-|- 6 )2 — 51 .V2 — 5 х- 1 - 6 1-1-6 - 0 ; 3) 1 х~ - Ах + 3 | = — ( 4 4 2 У ~ 3 ) х;

4) 1 х— 1 14 1 х— 3 1 = 3 ;

5) ] х 2 — 4 х 4 3 14 - 1 х 2 — 5 х -1- 6 | = 1,

З А Д А Н И Е 3

1. Р е ш и т ь у р а в н е н и е :

1) | З х — 5 | = | 5 — 2 х |; 2) 2 х 2 - 5 1 л: 14 3 = 0;

3 ) 4> А" 6 х -(-1 х 41 4 8 - 0 .

2 . Н а й т и все к о р н и у р а в н е н и я

] x 2 - f - x — 1 | = 2 х — 1, у д о в л е т в о р я ю щ и е н е р а в е н с т в у х < 3 / 3 .

3 . Н а й т и все з н а ч е н и я а , п р и к о т о р ы х си с те м а у р а в н е н и й ( 2 x 4 - 2 ( я — 1) у = о — 4,

\ 2 1 х 4 1 | ~ аУ-\~ 2

и м еет е д и н с т в е н н о е р е ш е н и е . Н а й т и э то р е ш е н и е .

1. Р е ш и т ь у р а в н е н и е :

1) | * — 2 | = 3 1 3 — * |; 2) * 2 _ 4 | ; с | + 3 = 0 ;

3) (*а—2 | * |) ( 2 l * l - 2 ) - 9 - j ^ ' l ~ 2[ = 0 ;

4) ( 1 + | * | ) 1 = 2 ( 1 + * 1).

2. Н а й т и н а и м е н ь ш е е ц е л о е з н а ч е н и е * , у д о в л е т в о р я ю щ е е у р а в н е н и ю

| * — 3 | + 2 | * + 1 1 = 4 .

3. Н а й т и все з н а ч е н и я а , п р и к о т о р ы х с и с т е м а у р а в н е н и й а х + (а — 1) // = 2 + 4 « ,

3 \ х | -j- 2// = а — 5 и м еет е д и н с т в е н н о е р е ш е н и е . Н а й т и э т о р е ш е н и е .

У п р а ж н е н и я 1. Р е ш и т ь у р а в н е н и е :

I) | * + 2 ( = 2 (3 — *); 2) | 3* — 2 | + * = II;

3) j д;| — | х — 2 1 = 2 ; 4) 4 — 5 * = | 5 * — 4 |;

5) | 2 * — 3 | = 3 — 2 * ; 6) | 5 * 2 — 3 | = 2 ; 7) |9 — * 2 | = 5 ; 8) ( * - 1)2 + | * _ 1 | - 2 = 0 ; 9) 1 7 * - 1 2 | - | 7 * - 1 1 1 = 1;

10) 4 ) / ■ * + ! = | 2 * — 1 | + 3;

I I ) 1 2 * - 3 * 2 --- — = --- 1 4 Z l l + 1 4 - * | = 3 * | 4 - * | -

' }Лх - 1 у х _ і ПІ 1

§ I. У Р А В Н Е Н И Я . СОДЕРЖ АЩ ИЕ М О Д У Л Ь 47 ЗА Д А Н И Е 4

4 V х — 1 12) | * 2 — 9 | + 1 * — 2 | = 5 ; 13) | | * _ 1 | + 2 | = 1 ;

14) | * | + * а = 0 ; 15) | * | — 2 | * + 1 | + 3 | * + 2 | = 0 ; 16) | 4 * — 1 | = ( 3 * — I ) - 1 ; 17) ( * + 1)2 + | * + 1 | - 2 = 0 ; 18) (л- + 2 ) 2 2 | * + 2 | + 3 ; 19) | 5 * - 13 | - 1 G - 5 * | = 7 ; 20) *2 + 4 | * — 3 | — 7 * + 1 1 = 0 ;

21) * 2 - 4 | * + 1 | + 5 * + 3 - 0 ; 22) * 2 — 1* + 1 * — 3 | + 3 = 0 ; 23) I * — 3 | + |* + 2 | | * 1 | = 3 ;

и + М - ~ - и + " ’ ” > I X + 3 I - I = | J : + 3 1 - 2. Р е ш и т ь с и с те м у :

1) J 2 и + р = 7 ; 2) J З и -у = 1 ,

— v | = 2; \ \ и — 2и | = 2 ; 3) j у - \ - х— 1 — 0, 4) П х - 1 | + у = 0,

\ | / / 1 — * — 1 = 0; \ 2* — у — 1;

5) j | * | -(- 2 | у | 3, 6) J | * — 1 | + | у— 2 | = 1,

\ 5 / / + 7* = 2 ; \ У = 3 — [ * — 1 |;

1-4

48

ГЛ. 2. УР А В Н Е Н И Я С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫ М 7) ( у - 2 | х | + 3 = 0 , 8) f | х у — 4\ — 8 — у 2,

\

| f/| + x —3 = 0;

\

*у = 2 + * 2;

9) j !Г — | *</1 + 2 = 0 , 10) [ | * + 3 | + | * - 2 | = 5 ,

| 8 — х 2 = ( x + 2 f / ) 2; \ 8 1 8 — 1 3 5 * ^ 137х2.

3. Н а й т и нее р е ш е н и я с и с т е м ы у р а в н е н и й

Г | у + 1 / х | + 1 1 3 /6 + * —у \ = 13/6 + * + 1/*,

\ * 2 + f / 2 = 9 7 /3 6 ,

у д о в л е т в о р я ю щ и е у с л о в и ю * < 0 , у > 0.

4 . Н а й т и все р е ш е н и я си сте м ы у р а в н е н и й

Г | * + 1 /у | + 1 1 0 / 3 - * + у | = 1 0 / 8 + у+ 1 /у,

\ л-2 + //“ — 8 2 /9 ,

у д о в л е т в о р я ю щ и е у с л о в и ю * > 0, у > 0.

5. Д л я к а ж д о г о з н а ч е н и я а н а й т и все * , у д о в л е т в о р я ю щ и е у с л о в и ю :

1) | * + 3 | — а | * — 1 | = 4 ; 2) | * — 2 | + а | * + 3 1 = 5 ;

3 ) а | * + 3 | + 2 | * + 4 1 = 2 ; 4 ) 3 1 * — 2 | — а | 2 * + 3 | = 2 1 / 2 .

6 . Н а й т и все р е ш е н и я у р а в н е н и я

1 + * + | *2 — * —3 | = 0 ,

у д о в л е т в о р я ю щ и е н е р а в е н с т в у * + V 14/3 > 0 .

7. Н а й т и все з н а ч е н и я а, п ри к о т о р ы х у р а в н е н и е и м еет е д и н ­ ст в е н н ы й к о р е н ь :

1) | 1 — а х | = 1 + (1 — 2а) * + а х 2;

2) | ( а + 1) * —2 1 = (1 + а ) *2—2а*+2.

8 . Н а й т и все з н а ч е н и я а, п ри к о т о р ы х с у щ е с т в у е т т о л ь к о од н о з н а ч е н и е *, у д о а л е т в о р я ю щ е е си с те м е у р а в н е н и й :

1) j | * 2 — 5 * + 4 | — 9 * 2 — 5 * + 4 + 1 0 * | * | = 0 ,

\ х - — 2 (а — 1) * + а (а — 2) = 0 ;

2) ( | х - — 7* + 6 | + * 2 + 5 х + 6 — 12 | * | = 0 ,

\ * 2 — 2 (а — 2) * + а (а — 4) — 0.

9. Н а й т и все з н а ч е н и я а , п р и к о т о р ы х у р а в н е н и е : 1) х — л = 2 | 2 | х 1 — а 3 |; 2) х — д /2 — 4 | 4 | х | — а 2 |;

3) х — а /3 = 9 | 9 | х | — а 2 | ; 4) х — а / 2 = 2 | 2 | х | — а 2 1 им еет т р и р а з л и ч н ы х к о р н я . Н а й т и эти к о р н и .

10. Н а й т и все з н а ч е н и я а , п ри к о т о р ы х у р а в н е н и е им еет р о в ­ но д в а р а з л и ч н ы х к о р н я :

1) х | х + 2 д | + 1 — о = 0 ; 2) х 2 + 4 х — 2 | х — а | + 2 — а = 0 . 11. Н а й т и все з н а ч е н и я а, при к о т о р ы х с и с т е м а у р а в н е н и й

J У ( а х + 1 ) + 1 Зх — а (1 + у ) = 0, 1 х х у + 1 2 + //I = 0

имеет решение.

§ 2. И РРАЦ И О Н АЛЬН Ы Е УРА В Н Е Н И Я

49

§ 2. И р р а ц и о н а л ь н ы е у р авн ен и я

В это м п а р а г р а ф е р а с с м а т р и в а ю т с я у р а в н е н и я , с о д е р ж а щ и е н е и зв е с т н о е и о д з н а к о м к о р и л ( р а д и к а л а ) . О т м е т и м , что

1. В с е к о р н и ч е тн о й с т е п е н и , в х о д я щ и е в у р а в н е н и е , я в л я ­ ю т с я а р и ф м е т и ч е с к и м и . Д р у г и м и с л о в а м и , е с л и п о д к о р е н н о е в ы р а ­ ж е н и е о т р и ц а т е л ь н о , т о к о р е н ь л и ш е н с м ы с л а ; е с л и п о д к о р е н н о е в ы р а ж е н и е р а в н о н у л ю , т о к о р е н ь т а к ж е р а в е н н у л ю ; е с л и п о д ­ к о р е н н о е в ы р а ж е н и е п о л о ж и т е л ь н о , т о и з н а ч е н и е к о р н я п о л о ­ ж и т е л ь н о .

2 . В с е к о р п и н еч е т н о й с т е п е н и , в х о д я щ и е в у р а в н е н и е , о п р е ­ д е л е н ы п р и л ю б о м д е й с т в и т е л ь н о м з н а ч е н и и п о д к о р е н н о г о в ы р а ­ ж е н и я . П р и это м к о р е н ь о т р и ц а т е л е н , е с л и п о д к о р е н н о е в ы р а ж е н и е о т р и ц а т е л ь н о ; р а в е н н у л ю , есл и п о д к о р е н н о е в ы р а ж е н и е р а в н о н у л ю ; п о л о ж и т е л е н , е с л и п о д к о р е н н о е в ы р а ж е н и е п о л о ж и т е л ь н о .

„ , 2

П / ~ iltl

Н* 1 /

3. Ф у н к ц и и у — у х и у — у А 'я в л я ю т с я в о зр а с т а ю щ и м и н а св о ей о б л а с т и с у щ е с т в о в а н и я .

И с п о л ь з у я эти с в о й с т в а , в н е к о т о р ы х с л у ч а я х м о ж н о у с т а н о ­ в и т ь , что у р а в н е н и е н е и м е е т р е ш е н и я , пе п р и б е г а я к п р е о б р а з о ­ в а н и я м .

П р и м е р 1. Д о к а з а т ь , что у р а в н е н и е н е и м еет р е ш е н и й : а) У " х + .2 = — 2 ; б) ^ 2 * + 3 + У х + 3 = 0 ;

в) У Т ^ х — У х — 6 = 2\ г) У — 1 — х = i/ 7 — 5;

д) 5 У х— 3 У — х + ^ = е) У х — 3 — У х-|- 9 = У х ~ 2 ; ж ) У ~ х + У Г -f 9 — 2 ; з) V x + 1 / х = У = х — 1.

Р е ш е н и е , а) А р и ф м е т и ч е с к и й к о р е н ь н е м о ж е т б ы т ь о т р и ­ ц а т е л ь н ы м ч и с л о м , п о это м у у р а в н е н и е р е ш е н и й не и м еет.

б) Л е в а я ч а с т ь и с х о д н о го у р а в н е н и я о п р е д е л е н а п ри х — 3/ 2.

П р и к а ж д о м т а к о м х в е л и ч и н а у 2 х - \ - 3 н е о т р и ц а т е л ь н а , а в е л и ­ ч и н а У х —р 3 п о л о ж и т е л ь н а . С л е д о в а т е л ь н о , их су м м а в с е гд а б о л ь ­ ш е н у л я . П о э т о м у у р а в н е н и е р е ш е н и й не и м еет.

в) В ы р а ж е н и е У 4 — х о п р е д е л е н о при х < 4 , а в ы р а ж е н и е У х— 6 о п р е д е л е н о п ри а - ^ 6 . С л е д о в а т е л ь н о , ие с у щ е с т в у е т т а ­ к о го А', п ри к о то р о м оба эти в ы р а ж е н и я и м ею т с м ы сл . П о это м у ур авн ен ие реш ении ис имеет.

г) В ы р а ж е н и е У — 1 — х о п р е д е л е н о при 1, и он о н е ­ о т р и ц а т е л ь н о . П р и т а к и х а вер н о н е р а в е н с т в о х— 5 < 0 ; п оэтом у

з / ---

в ы р а ж е н и е \ / х — 5 о т р и ц а т е л ь н о . Л е в а я ч а с т ь у р а в н е н и я н е о т р и ­ ц а т е л ь н а , а п р а в а я — о т р и ц а т е л ь н а ; п оэтом у у р а в н е н и е р е ш е н и й не и м еет.

д) П р и х < 0 н е и м еет с м ы сл а в ы р а ж е н и е 5У х , п ри х > 0 — в ы р а ж е н и е 3 У —х, а п р и х = 0 — в ы р а ж е н и е 1 7 /х ; с л е д о в а т е л ь н о , л е в а я ч а с т ь у р а в н е н и я не и м еет с м ы с л а пи при к а к о м з н а ч е н и и х.

П о э т о м у у р а в н е н и е не им еет р е ш е н и й . е) О Д З у р а в н е н и я о п р е д е л я е т с я си стем ой

/ х — 3 ^ О,

J л ' + 9 ^ » 0 ,

из к о т о р о й н ах о д и м : д г ^ З .

\

х — 2 ^ 0 .

50 ГЛ. 2. У Р А В Н Е Н И Я С О ДНИМ Н ЕИ ЗВЕС ТН Ы М

П р и л ю б о м х с п р а в е д л и в о н е р а в е н с т в о х— 3 < л с + 9 ; п о э т о м у п р и * 5 = 3 в е р н о н е р а в е н с т в о Ү х— 3 < У х-\-9 , т . е . в ы р а ж е н и е

V x - 3 - V * + 9 о т р и ц а т е л ь н о . В т о ж е в р е м я н а ОД З и с х о д ­ н о г о у р а в н е н и я в ы р а ж е н и е У х — 2 п о л о ж и т е л ь н о . П о э т о м у у р а в ­ н е н и е н е и м е е т р е ш е н и й .

ж ) Р е ш а я с и с т е м у н е р а в е н с т в

J * 5 = 0 ,

\ *+ 95 *0 ,

н а х о д и м ОД З у р а в н е н и я : * 5 = 0 . ^_________

Н а О Д З у р а в н е н и я и м е е м У х + 9 ^ 3 и У * 5 * 0 , т . е . е г о л е в а я ч а с т ь н е м е н ь ш е 3 , а п р а в а я м е н ь ш е 3 . П о э т о м у у р а в н е н и е н е и м е е т р е ш е н и й .

з ) Р е ш а я с и с т е м у

/ - * 5 = 0 , 1 * г* 0,

н а х о д и м О Д З у р а в н е н и я : х < 0 .

П р и х < 0 в е р н о н е р а в е н с т в о ( У - x - 1 / У - х У 5 * 0 , т . е .

з / ---

н е р а в е н с т в о х - | - 1 /x^Z — 2 , с л е д о в а т е л ь н о , и н е р а в е н с т в о у . v - [ - l / * s s S

\/~2. ___

В т о ж е в р е м я п р и * < 0 в ы р а ж е н и е У — * п о л о ж и т е л ь н о ; п о э т о м у с п р а в е д л и в о н е р а в е н с т в о У — * — 1 > — 1 *

Т а к и м о б р а з о м , н а О Д З у р а в н е н и я е г о л е в а я ч а с т ь м е н ь ш е ( — I ) ( т а к к а к — \ / 2 < — l ) , а п р а в а я ч а с т ь б о л ь ш е ( — 1 ) . С л е д о в а ­ т е л ь н о , у р а в н е н и е н е и м е е т р е ш е н и й .

Н а п о м н и м , ч т о у р а в н е н и е

Р ' ( x ) = g 2n (х), « £ N ,

я в л я е т с я , в о о б щ е г о в о р я , с л е д с т в и е м у р а в н е н и я

/ (*)=£(*)•

П о э т о м у , е с л и н а д и р р а ц и о н а л ь н ы м у р а в н е н и е м п р о в о д и т с я п р е ­ о б р а з о в а н и е , з а к л ю ч а ю щ е е с я в в о з в е д е н и и о б е и х е г о ч а с т е й в ч е т ­ н у ю с т е п е н ь , т о к а ж д ы й н з н а й д е н н ы х к о р н е й п о л у ч е н н о г о у р а в ­ н е н и я д о л ж е н б ы т ь п р о в е р е н : я в л я е т с я л и о н р е ш е н и е м и с х о д н о г о у р а в н е н и я и л и н е т .

П р о в е р к а о с у щ е с т в л я е т с я н е п о с р е д с т в е н н о й п о д с т а н о в к о й в и с х о д н о е у р а в н е н и е к а ж д о г о н з к о р н е й п о л у ч е н н о г о у р а в н е н и я . Е с л и п о д с т а в л я е м о е ч и с л о п р е в р а щ а е т и с х о д н о е у р а в н е н и е в в е р н о е ч и с л о в о е р а в е н с т в о , т о ч и с л о у д о в л е т в о р я е т и с х о д н о м у у р а в н е н и ю , т . с . я в л я е т с я е г о к о р н е м ; в п р о т и в н о м с л у ч а е г о в о р я т , ч т о э т о ч и с л о я в л я е т с я е г о посторонним к о р н е м .

П р и м е р 2 . Р е ш и т ь у р а в н е н и е :

а ) У Г Ь З * = 1 — * ; б ) У Т + З х = х — \.

Р е ш е н и е , а ) В о з в е д я о б е ч а с т и у р а в н е н и я в к в а д р а т , п о л у ч и м 1 - j - 3 . v = 1 — 2х-\-х2,т . е . у р а в н е н и е

х~ — 5х — 0,

§ 2. И РРА Ц И О Н АЛ Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я

51

являющееся следствием исходного уравнения. Находим корни этого уравнения:

.\'х = -0

и

а'2 — 5 .

П р о в е р и м , у д о в л е т в о р я ю т л и эти к о р н и и с х о д н о м у у р а в н е н и ю . П у с т ь А' = 0 ; т о г д а и с х о д н о е у р а в н е н и е п р е в р а щ а е т с я в в ер н о е ч и с л о в о е р а в е н с т в о . П о э т о м у а'х 0 — к о р е н ь и с х о д н о го у р а в н е н и я .

П у с т ь х = 5; т о г д а в л е в о й ч а сти и с х о д н о го у р а в н е н и я имеем У 1 - |- 3• 5 — 4, а в п р а в о й е го ч а сти 1 — 5 — — 4 . П о с к о л ь к у 4$= — 4, т о д'п — 5 н е я в л я е т с я к о р н е м и с х о д н о го у р а в н е н и я .

И т а к , Xi — О — е д и н с т в е н н ы й к о р е н ь и с х о д н о г о у р а в н е н и я , б) В о з в о д я о б е ч а с т и у р а в н е н и я в к в а д р а т , п о л у ч и м

1 —j" 3.V — Х“ — 2 х -{-1, т . е. у р а в н е н и е

л-2 — 5а' = О, я в л я ю щ е е с я с л е д с т в и е м и с х о д н о г о у р а в н е н и я .

Н а х о д и м к о р н и э т о г о у р а в н е н и я : Х\ — 0 и х 2 = 5 . П о д с т а н о в к о й к а ж д о г о н з э т и х к о р н е й в и с х о д н о е у р а в н е н и е у с т а н а в л и в а е м , что к о р е н ь А'х— 0 п о с т о р о н н и й , а к о р е н ь а-2 — 5 у д о в л е т в о р я е т ем у .

И т а к , ч и с л о а'2 = 5 — е д и н с т в е н н ы й к о р е н ь и сх о д н о го у р а в н е н и я . О тм ети м , что с л е д с т в и е м у р а в н е н и й а) и б) я в л я е т с я од н о и то ж е у р а в н е н и е л'2 — 5л' — 0, им ею щ ее д в а к о р н я : a'j —0 и х 2 --- 5.

К о р е н ь А'х — 0 е с т ь к о р е н ь у р а в н е н и я а ), по п о с то р о н н и й д л я у р а в н е н и я б ); к о р е н ь а'2 = 5 е с т ь к о р е н ь у р а в н е н и я б ), но я в л я ­ е т с я п о сто р о н н и м д л я у р а в н е н и я а ).

П р и м е р 3. Р е ш и т ь у р а в н е н и е У Т + З х = : х + 1 .

Р е ш е н н е. В о з в о д я о б е ч а сти у р а в н е н и я в к в а д р а т , п о л у ч и м 1 -|- 3.v -■ х - -{- 2 а '-|- 1,

т. е. у р а в н е н и е

А'2 — X = О, я в л я ю щ е е с я с л е д с т в и е м и с х о д н о го у р а в н е н и я .

Н а й д е м его к о р н и : Xi — О и х 2 = 1. П о д с т а в л я я к а ж д ы й из н а й д е н н ы х к о р н е й в и с х о д н о е у р а в н е н и е , у б е ж д а е м с я , что оба о н и я в л я ю т с я е г о к о р н я м и .

Э т о у р а в н е н и е с л у ж и т п р и м е р о м т о го , что в о з в е д е н и е в к в а д ­ р а т и с х о д н о го у р а в н е н и я н е в с е г д а п р и в о д и т к п о я в л е н и ю п о с т о ­ р о н н и х к о р н е й .

П р и м е р 4 . Р е ш и т ь у р а в н е н и е 3 У х + 3 — У х ^ 2 = 7 ,

Р е ш е н и е . У е д и н и м о д и н и з к о р н е й в л е в о й ч а с т и : 3 У х + 3 = У х ^ 2 +

7 .

В о з в о д я в к в а д р а т о б е ч а сти п о л у ч е н н о г о у р а в н е н и я , им еем 9 (а- - | - 3) — х— 2 - { - 14У х ^ 2 -І-49.

П р и в о д я п од о б н ы е ч л е н ы и у е д и н я я р а д и к а л в п р а в у ю ч а с т ь , п о л у ч и м у р а в н е н и е

4а-—

10

= 7 У 7^2.

В о з в о д я обе части п о л у ч е н н о го у р а в н е н и я в к в а д р а т , им еем 16.V" — 8 0а- - { - 10 0 = 4 9 (х — 2 ) ,

т. е. у р а в н е н и е

16а-2 — 1 2 9а- - І - 1 9 8 = 0 ,

являющееся следствием исходного уравнения. Находим корни

это го у р а в н е н и я : а'і = 6 , = 2 — .

П о д с т а в и м к а ж д ы й из э т и х к о р н е й в и с х о д н о е у р а в н е н и е . П р и * = 6 п о л у ч и м в е р н о е ч и с л о в о е р а в е н с т в о . С л е д о в а т е л ь н о , a'i = 6 есть к о р е н ь и сх о д н о го у р а в н е н и я .

При

х — 2

^ левая часть исходного уравнения равна 6-?г> а его правая часть равна 7. Поскольку 6

ф

7, то число ,v2 = 2 j ^

ие у д о в л е т в о р я е т и сх о д н о м у у р а в н е н и ю , т . е. я в л я е т с я д л я н его п о сто р о н н и м ко р н ем .

И т а к , Xi = 6 — е д и н с т в е н н ы й к о р е н ь и сх о д н о го у р а в н е н и я . П р и м е р 5. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

У

1 1а' - [ -3—

У 2 ^ х — УчГр7-іг У Т

^ 2 = 0.

Р е ш е н и е. У ед и н и м по д в а р а д и к а л а в к а ж д о й ч а с т и т а к , чтобы п о сл е в о з в е д е н и я в к в а д р а т п о л у ч и т ь н а и б о л е е п р о с т о е у р а в н е н и е :

у 11 Л--t- з — у т ^ х = у 9 x ^ 1 — У 7 ^ 2 . П р о в е д е м ц е п о ч к у п р е о б р а з о в а н и и :

11 А-4 - 3 - 2 У ( 1 І Л - 4 -3 ) (2 — Л-)4 - 2 - л -=

= ‘.'л* -|-

7

— 2 У ( 9 * 4 - 7) (А‘ — 2) 4~ х — 2 , у 6-1- 19а- — 1 ІА'2 = У 9а' “ — 11 а- — 1 4 ,

6 -j- 1 9 а- — 1 1 х~ = 9 а-2 — 11 а- — 14, 2 0а' 2 — 3 0а- — 2 0 = 0 ,

2д-2 — Зл- — 2 = 0.

П о с л е д н е е у р а в н е н и е я в л я е т с я с л е д с т в и е м и с х о д н о г о и им еет к о р н и a'i= 2 и х-2 — — 0 ,5 .

П р и х = 2 и с х о д н о е у р а в н е н и е п р е в р а щ а е т с я в в е р н о е ч и с л о ­ вое р а в е н с т в о . П о э т о м у x t = 2 я в л я е т с я его к о р н е м .

П р и х = —0 ,5 в л е в о й ч а сти и с х о д н о го у р а в н е н и я им еем в ы ­ р а ж е н и е У — 0 , 5 — 2, к о т о р о е л и ш е н о с м ы с л а ; п о эт о м у ч и с л о а-2 = — 0 ,5 не у д о в л е т в о р я е т и с х о д н о м у у р а в н е н и ю .

И т а к , а-2 = 2 — е д и н с т в е н н ы й к о р е н ь и с х о д н о го у р а в н е н и я . П р и м е р 6. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

50 ГЛ. 2. У Р А В Н Е Н И Я С О ДНИМ Н ЕИ ЗВЕС ТНЫ М

Р е hi е и и е. В о з в о д я обе ч а с т и у р а в н е н и я в к у б , п о л у ч и м За-- 2 - 1 - 3

У

( 2 х - 1) (х— 1) (

У

2 х— 1 -{-

У

х - \ ) = 1.

П о у с л о в и ю в ы р а ж е н и е \ / Т х — 1 -j-

У

х— 1 р а в н о е д и н и ц е . П о д ­ с т а в л я я в п о л у ч е н н о е у р а в н е н и е в м е с то э т о г о в ы р а ж е н и я е д и н и ц у , п о л у ч и м у р а в н е н и е

За— 2 - | - 3

У (2х

— 1) (а-— 1) = 1, (1)

я в л я ю щ е е с я с л е д с т в и е м и с х о д н о г о у р а в н е н и я , п о с к о л ь к у у р а в н е ­ н и е (1) м о ж е т и м е т ь к о р е н ь , к о т о р ы й н е о б я з а т е л ь н о у д о в л е т в о ­ р я е т с о о т н о ш е н и ю :

1 =

У 2х

— I +

У х —

1.

В о з в о д и м у р а в н е н и е (1) в к у б :

( 2 ж - 1 ) ( х - 1 ) = (! - * ) » .

П о с л е д н е е у р а в н е н и е и м е е т к о р н и Ai — О и х 2 — 1.

П р о в е р к а п о к а з ы в а е т , ч т о Xi — 0 — п о с т о р о н н и й к о р е н ь и с х о д ­ н о го у р а в н е н и я , а а'2 = 1 у д о в л е т в о р я е т е м у .

И т а к , л'2 — 1 — е д и н с т в е н н ы й к о р е н ь и с х о д н о г о у р а в н е н и я . Уравнения вида

У

/ (л) - |-

У

g (х) = ср (х) ,

где f (х), g ( х ), ф (л) — некоторые функции, решают, как правило, следующим образом. Возводят обе части уравнения в куб и полу­

чают уравнение

/ (х) 4 8 (х) 4 3 У f (л) g (а) ( У f (л) -f- У g (л )) = ф :> (х).

я / — — з /•---

В это м у р а в н е н и и з а м е н я ю т в ы р а ж е н и е у f ( х ) - \ - у g ( x ) , я в л я ю ­ щ е е с я л е в о й ч а с т ь ю и с х о д н о г о у р а в н е н и я , н а гр (а) , я в л я ю щ е е с я его п р а в о й ч а с т ь ю . В р е з у л ь т а т е п о л у ч а ю т у р а в н е н и е

/ (-'•') 4 g (* ) -I- 3

У

f (a) g (х) ср (а) С|>» (а),

к о т о р о е ( п о с к о л ь к у о н о р е ш а е т с я п ри у с л о в и и

У /

(Л) -Г

У

ё ( х ) =

= ф ( х ) ) я в л я е т с я с л е д с т в и е м и с х о д н о г о у р а в н е н и я . П о с л е у е д и ­ н е н и я р а д и к а л а и в о з в е д е н и я п о л у ч е н н о г о у р а в н е н и я в к у б н а ­ х о д я т его к о р и н , а з а т е м н е п о с р е д с т в е н н о й п о д с т а н о в к о й в и с х о д ­ н о е у р а в н е н и е к а ж д о г о н з н а й д е н н ы х ч и с е л о т б и р а ю т т е , к о т о р ы е я в л я ю т с я к о р н я м и и с х о д н о г о у р а в н е н и я .

П р и м е р 7 . Р е ш и т ь у р а в н е н и е

V 2 х -4- 5а— 2 — Y 2а-4 5а — 9= 1.

Р е ш е н и е . П е р в ы й с п о с о б. Н е п о с р е д с т в е н н о й п р о в е р ­ к о й у б е ж д а е м с я , что с п р а в е д л и в о с о о т н о ш е н и е

( f 2 а - - j - 5 а — 2 ) " - (У 2 а “ -І- 5 а - 9 ) - = 7.

§ 2. И РР А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я

53

Л е в у ю ч а с т ь э т о г о р а в е н с т в а р а з л а г а е м н а м н о ж и т е л и : { У 2л-2 -j - 5 х — 2 — У 2 х 2 + 5 х — 9 ) х

Х С ) /" 2 х 2 + 5 х — 2 + Y 2 х 2 + 5л-— 9 ) = 7 , З а м е н я я р а з н о с т ь е д и н и ц е й , п о л у ч и м у р а в н е н и е

у 2 х “ 5л- — 2 -I- V 2л-- -І- 5л- - 9 = 7.

С л о ж и в л е в ы е и п р а в ы е ч а с т и п о л у ч е н н о г о и и с х о д н о г о у р а в н е ­ н и й , им еем у р а в н е н и е

у 2 х 2 + 5 х — 2 = 4,

к о т о р о е я в л я е т с я с л е д с т в и е м и с х о д н о го у р а в н е н и я и и м е е т к о р н и л'і = 2, л'2 = — 9 /2 .

Н е п о с р е д с т в е н н а я п о д с т а н о в к а э т и х ч и с е л в и с х о д н о е у р а в н е ­ н и е п о к а з ы в а е т , что о н и о б а я в л я ю т с я его р е ш е н и я м и .

В т о р о й с п о с о б . О б о з н а чим 2х 2+ 5 х —2 = 1 . Т о г д а и с х о д н о е у р а в н е н и е п р и м е т в и д У t = У t — 7 + 1 . В о з в е д я о б е ч а с т и п о л у ­ ч е н н о г о у р а в н е н и я в к в а д р а т и п р и в е д я п о д о б н ы е ч л е н ы , п о л у ­ чим у р а в н е н и е У t — 7 = 3, я в л я ю щ е е с я с л е д с т в и е м п р е д ы д у щ е го * И з него н а х о д и м / = 1 6 .

В о з в р а щ а я с ь к н е и зв е с т н о м у х, п о л у ч и м у р а в н е н и е 2 х 2 + 5 х — 2 = 16,

я в л я ю щ е е с я с л е д с т в и е м и с х о д н о г о . П р о в е р к о й у б е ж д а е м с я , чт о е г о к о р н и x j = 2 и х 2 = — 9 /2 я в л я ю т с я к о р н я м и и с х о д н о г о у р а в н е н и я .

П р и м е р 8. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

l_ 1 35

* У Т ^ 7 г

Р е ш е н и е. В о з в е д я о б е ч а сти у р а в н е н и я в к в а д р а т и п р и ­ в е д я п о д о б н ы е ч л е н ы , п о л у ч и м у р а в н е н и е

____!____ |--- ----( ^2 у _ _ о

Л2 ( 1 - Х 2) 1 х у г = Т * \ и ) ’ я в л я ю щ е е с я с л е д с т в и е м и с х о д н о го .

П о л о ж и м у — ---. ; то гд а X У 1 — х 2

Г + 2< / ~ ( ^ ) = 0 ,

Э т о у р а в н е н и е и м еет д в а к о р н я : //f = 2 5 /1 2 , у* = — 4 9 /1 2 .

Т а к и м о б р а з о м , с л е д с т в и е м и с х о д н о г о у р а в н е н и я я в л я е т с я с о в о к у п н о с т ь си стем

54 ГЛ. 2. У Р А В Н Е Н И Я С ОДНИМ Н ЕИ ЗВЕС ТНЫ М

1 1 35 1 1 35

7 + / П Г Г » - 1 2 ' I * + | / - р т р - 1 2 ’

1 1 25 I 1 1 — 49

* У 1 — х 2 _ 1 2 ‘ ( * У 1 — х 2 _ I 2 '

§ 2. ІІР Р Л Ц И О Н Л Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я _{5 5} Р е ш и м п е р в у ю с и с т е м у с о в о к у п но с ти . С о г л а с н о т е о р е м е В и е т а ,

\ / х и 1 / У ~ \—х 2 я в л я ю т с я к о р н я м и к в а д р а т н о г о у р а в н е н и я 2 3 5 , 2 5 п .

2 12Z 12

р е ш а я его , н а х о д и м е г о к о р н и : 5 /3 и 5 /4 . С л е д о в а т е л ь н о , п е р в а я си с те м а с о в о к у п н о с т и р а в н о с и л ь н а с о в о к у п н о с т и си сте м :

( _ 1 _ _ _ 5 ( J _ _ 5 _

I х — 3 ’ I

х ~ ~ Т ’

1 5

У 1 — х 2 4 ’ { у 1 _ а,2 3 '

Р е ш е н и е э т о й с о в о к у п н о с т и с о с т о и т н з д в у х ч и с е л : Х{ — 3 /5 и Хп = 4 /5 .

Р е ш и м в т о р у ю с и с т е м у с о с о к у п но с ти . К о р п и к в а д р а т н о г о у р а в -

2 35 49 7 ( 5 - ) ^ 7 3 ) 7 ( 5 4 - / 7 3 )

I.O.I..O 7 - ---7 — -7-^ = 0 р а в н ы — --- — н — —1 Т ’ -

12 12 ' 24 24

С о г л а с н о т е о р е м е В и е т а , в т о р а я с и с т е м а с о в о к у п н о с т и (2) р а в н о ­ с и л ь н а с о в о к у п н о с т и си сте м :

1 7 ( 5 - | - ] / ' 7 3 ) ( 1 7 ( 5 — > ^ 7 3 )

24 j х 24

1_____ 7 (5 - У 72,) Л 1 7 (5 -!-)/■ 73)

[ V 1 — Х ~ 2 4 ’ [ У 1 — Л'“ 2 4

1 7 ( 5 - ^ 7 3 )

В ы р а ж е н и е — ■— ■ — п о л о ж и т е л ь н о , а ч и с л о — -— - f --- —

У 1 — X- 24

о т р и ц а т е л ь н о , п о эт о м у п е р в а я си с те м а эт о й с о в о к у п н о с т и не и м еет р еш ен и й .

Р е ш е н и е м в т о р о й с и с т е м ы эт о й с о в о к у п н о с т и есть ч и с л о

— ( 5 4 - / 7 3 ) / 1 4 .

Т а к и м о б р а з о м , м н о ж е с т в о всех к о р н е й и с х о д н о го у р а в н е н и я с о д е р ж и т с я в м н о ж е с т в е {— ( 5 -[- } / ' 7 3 ) / 1 4 , 3 / 5 , 4 / 5 } . Н е п о с р е д с т ­ в е н н а я п о д с т а н о в к а п о к а з ы в а е т , что т р и ч и с л а : —( 5 - | - ) ^ 7 3 ) / 1 4 , 3 / 5 , 4 / 5 — с о с т а в л я ю т м н о ж е с т в о в с е х р е ш е н и й и с х о д н о г о у р а в ­ н е н и я .

П р и в о зв е д е н и и о б е и х ч а с т е й и р р а ц и о н а л ь н о г о у р а в н е н и я в с т е п е н ь , п о зв о л я ю щ у ю и з б а в и т ь с я о т р а д и к а л о в , п о я в л е н и е п о ­ с т о р о н н и х к о р н е й и с х о д н о г о у р а в н е н и я п р о и с х о д и т , к а к п р а в и л о , п о с л е д у ю щ и м п р и ч и н а м :

а) з а сч е т в о зм о ж н о го р а с ш и р е н и я О Д З и с х о д н о г о у р а в н е н и я (т. е. О Д З п о л у ч е н н о г о у р а в н е н и я ш и р е О Д З и с х о д н о г о у р а в ­ н е н и и );

б) з а с ч е т в о з в е д е н и я в ч е т н у ю с т е п е н ь его л е в о й и п р а в о й ч а с т е й , к о т о р ы е р а в н ы по а б с о л ю т н о й в е л и ч и н е , но о д н а и з н и х п о л о ж и т е л ь н а я , а д р у г а я о т р и ц а т е л ь н а я .

Р е ш е н и е и р р а ц и о н а л ь н ы х у р а в н е н и й п у тем з а м е н ы у р а в н е н и я его с л е д с т в и е м (с п о с л е д у ю щ е й п р о в е р к о й к о р н е й ) м о ж н о п р о ­ в о д и т ь т а к и м о б р а з о м :

5 6 ГЛ. 2. У Р А В Н Е Н И Я С ОДНИМ НЕИ ЗВЕС ТНЫ М 1. Н а й т и О Д З и с х о д н о го у р а в н е н и я .

2. П е р е й т и о т у р а в н е н и я к его с л ед с тв и ю . 3. Н а й т и к о р н и п о л у ч е н н о г о у р а в н е н и я .

4 . П р о в е р и т ь , я в л я ю т с я л и н а й д е н н ы е к о р п и к о р н я м и и с х о д ­ н о го у р а в н е н и я .

П р о в е р к а с о с т о и т в с л е д у ю щ е м :

а) п р о в е р я е т с я п р и н а д л е ж н о с т ь к а ж д о г о н а й д е н н о г о к о р н я О Д З и с х о д н о го у р а в н е н и я . Т е к о р н и , к о т о р ы е п е п р и н а д л е ж а т О Д З , я в л я ю т с я п о с то р о н н и м и д л я и сх о д н о го у р а в н е н и я ;

б) д л я к а ж д о г о к о р н я , в х о д я щ е го в О Д З и с х о д н о г о у р а в н е ­ н и я , п р о в е р я е т с я , и м ею т л и о д и н а к о в ы е з н а к и л е в а я и п р а в а я части к а ж д о г о из у р а в н е н и й , в о з н и к а ю щ и х в п р о ц е с с е р е ш е н и я и сх о д н о го у р а в н е н и я и в о зв о д и м ы х в ч е т н у ю с т е п е н ь . Т е к о р н и , д л я к о т о р ы х ч а сти к а к о г о -л и б о в о зв о д и м о го в ч е т н у ю с т е п е н ь у р а в н е н и я и м ею т р а з н ы е з н а к и , я в л я ю т с я п о с то р о н н и м и д л я и с х о д ­ н о го у р а в н е н и я ;

в) т о л ь к о те к о р н и , к о т о р ы е п р и н а д л е ж а т О Д З и с х о д н о г о у р а в н е н и я и д л я к о т о р ы х обе ч а с т и к а ж д о г о нз у р а в н е н и й , в о з ­ н и к а ю щ и х в п р о ц е с с е р е ш е н и я и с х о д н о го у р а в н е н и я и в о зв о д и ­ м ы х в ч е т н у ю с т е п е н ь , и м ею т о д и н а к о в ы е з н а к и , п р о в е р я ю т с я н е ­ п о с р е д с т в е н н о й п о д с т а н о в к о й в и сх о д н о е у р а в н е н и е .

Т а к о й м етод р е ш е н и я с у к а з а н н ы м сп особом п р о в е р к и п о з в о ­ л я е т и з б е ж а т ь гр о м о з д к и х в ы ч и с л е н и й в с л у ч а е н е п о с р е д с т в е н н о й п о д с т а н о в к и к а ж д о г о из н а й д е н н ы х к о р н е й п о с л е д н е г о у р а в н е н и я в и сх о д н о е .

П р и м е р 9. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

V (Л'— О2 іх — 4) = |.v— 1 I / н Г ^ . (3)

Р е ш е н и е . Р е ш а я с и с т е м у н е р а в е н с т в / ( х - \ ) ~ ( х - 4 ) ^ 0 ,

\ 1 6 - . v 2 S& 0,

н а х о д и м О Д З у р а в н е н и я : -vx = 1, л'2 = 4 . П р о в е р к о й у с т а н а в л и ­ в а е м , что к а ж д о е из н и х я в л я е т с я к о р н е м у р а в н е н и я (3).

И т а к , м н о ж е с т в о всех к о р н е й у р а в н е н и я (3) с о с т о и т н з д в у х ч и с е л : .vx = 1 и ,v; = 4.

П р и м е р 10. Р е ш и т ь у р а в н е н и е V х + 16 — х - |- 4 = 0.

Р е ш е н и е . О Д З у р а в н е н и я : — 16. У е д и н и в р а д и к а л , п о л у ч и м у р а в н е н и е У х - \ - 16 = х — 4. В о з в е д я о б е ч а с т и э т о г о у р а в ­ н е н и я в к в а д р а т и п р и в е д я п о д о б н ы е ч л е н ы , п о л у ч и м у р а в н е н и е х2 — 9* = 0 , к о р н и к о то р о го : ^ = 0 и д-о = 9 . К а ж д ы й и з э т и х к о р ­ н е й п р и н а д л е ж и т О Д З и с х о д н о го у р а в н е н и я .

Д л я к о р н я л') = 0 ч а сти в о зв о д и м о го в к в а д р а т у р а в н е н и я к * 4 - 1 6 = х — 4 и м ею т р а з н ы е з н а к и ; п о это м у Хх = 0 — п о с т о р о н ­ н и й к о р е н ь и сх о д н о го у р а в н е н и я .

П о д с т а н о в к о й у б е ж д а е м с я , что х = 9 я в л я е т с я е д и н с т в е н н ы м к о р н е м и с х о д н о го у р а в н е н и я .

ГІ р и м е р 11. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

V

jc -4 - 3.v — 1 = Y 2 х Т ~ 2 -

Р е ш е и и е. Р е ш а я с и с т е м у н е р а в е н с т в [ х 2 - і-3 х — 4 5 - 0 ,

\ 2 * -j- 2 .'Si 0, н а х о д и м О Д З у р а в н е н и я : 1.

В о з в е д я в к в а д р а т о б е ч а с т и и с х о д н о г о у р а в н е н и я , п о л у ч и м у р а в н е н и е

х 2 - | - З х — 4 = 2 х - |- 2 ,

я в л я ю щ е е с я его с л е д с т в и е м . К о р н и это го у р а в н е н и я : х г = 2 и х2 — — 3.

К о р е н ь Л'о — — 3 не п р и н а д л е ж и т О Д З и сх о д н о го у р а в н е н и я и п оэтом у я в л я е т с я д л я н е го п о сто р о н н и м .

П о д с т а в л я я ч и с л о 2 в и с х о д н о е у р а в н е н и е , п о л у ч а е м в ер н о е р а в е н с т в о ; с л е д о в а т е л ь н о , х = 2 я в л я е т с я его е д и н с т в е н н ы м к о р н е м .

П р и м е р 12. Р е ш и т ь у р а в н е н и е У % с + р + У х ^ Т = 8 .

Р е ш е н н е . О Д З у р а в н е н и я : х 5 = 1. В о з в е д я о б е части у р а в ­ н е н и я в к в а д р а т и п р о в е д я п р е о б р а з о в а н и я , п о л у ч и м у р а в н е н и е

2 У 2*2 + 3* — 5 = СО — Зх.

П о с л е в о з в е д е н и я в к в а д р а т о б е и х частей э т о г о у р а в н е н и я п о л у ­ чим у р а в н е н и е

4 (2 х 2 -(- З х — 5) = (G0 — З х )2,

я в л я ю щ е е с я с л е д с т в и е м и с х о д н о г о у р а в н е н и я . К о р п и э т о го у р а в ­ н е н и я : Х х = Ю и х2 = 362.

Ч и с л о Хо — 302 я в л я е т с я п о с т о р о н н и м к о р н е м и с х о д н о го у р ав - н е п и я , т а к к а к д л я него в о зв о д и м о е в к в а д р а т у р а в н е н и е 2 У 2 х 2-j- З х — 5 = 60 — З х и м еет п р а в у ю и л е в у ю части р а зн ы х з н а к о в .

Ч и с л о x j = 10 п р и н а д л е ж и т О Д З и сх о д н о го у р а в н е н и я н у д о в ­ л е т в о р я е т е м у ; п о эт о м у о н о — его е д и н с т в е н н ы й к о р е н ь .

П р и м е р 13. Р е ш и т ь у р а в н е н и е 2 У 1 — х* — х — 2.

Р е ш е н и е . Р е ш а я н е р а в е н с т в о 1 — х 2 ^ 0 , н а х о д и м О Д З у р а в н е н и я : — l s C x s ^ l .

В о з в е д я обе части у р а в н е н и я в к в а д р а т и п р и в е д я п о д о б н ы е ч л е н ы , п о л у ч и м у р а в н е н и е

5 х 2 — 4 х = 0,

я в л я ю щ е е с я с л е д с т в и е м и сх о д н о го . К о р н и э т о г о у р а в н е н и я : хх = 0 и Хо = 4 /5 .

О б а эти к о р н я п р и н а д л е ж а т О Д З и с х о д н о го у р а в н е н и я . Н о п ри к а ж дом н з н и х п р а в а я ч а с т ь в о зв о д и м о го в к в а д р а т у р а в н е ­ н и я 2 ^ 1 — л 2 = х — 2 есть в е л и ч и н а о т р и ц а т е л ь н а я , а л е в а я — п о л о ж и т е л ь н а я . П о это м у оба эти к о р н я я в л я ю т с я п о с то р о н н и м и д л я и с х о д н о г о у р а в н е н и я .

И т а к , и сх о д н о е у р а в н е н и е р е ш е н и й н е и м еет,

§ 2. И РРА Ц И О Н АЛ Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я 57

5 8 ГЛ. 2. У Р А В Н Е Н И Я С ОДНИМ НЕИ ЗВЕС ТНЫ М П р и м е р 14. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

V 4 * - j - 9 — V П л Н - 1 — У 7 * 4 = 0 . Р е ш е н и е . Р е ш а я с и с т е м у н е р а в е н с т в

( 4 х -} -9 S s 0, I 1 1 * + 1 ^ 0 , 1 7 * + 4 > 0 , н а х о д и м О Д З у р а в н е н и я : * 5 г — 1/11.

В это м у р а в н е н и и м о ж н о у е д и н и т ь л ю б ой и з т р е х р а д и к а л о в . Ц е л е с о о б р а зн о у е д и н и т ь р а д и к а л У 1 1 * + 1 , т а к к а к п о л у ч е н н о е п о сл е п о з в е д е н п я в к в а д р а т и у п р о щ е н и й у р а в н е н и е б у д е т б о л е е п р о с т ы м , чем п о с л е у е д и н е н и я л ю б о го д р у г о г о р а д и к а л а .

П о с т р о и м ц е п о ч к у у р а в н е н и й , я в л я ю щ и х с я с л е д с т в и е м и с х о д ­ н о го :

К о р н и п о с л е д н е г о у р а в н е н и я : * і = 0 и * 2 — — 2 ^ . 23

К о р е н ь * 2 = — 2 ^у не п р и н а д л е ж и т О Д З и с х о д н о го у р а в н е н и я и п о это м у н е я в л я е т с я его р е ш е н и е м .

К о р е н ь * і = 0 п р и н а д л е ж и т О Д З и с х о д н о го у р а в н е н и я и , п о д ­ с т а в л я я его в и сх о д н о е у р а в н е н и е , п о л у ч а е м в е р н о е ч и с л о в о е р а в е н с т в о ; п о эт о м у * ! = 0 — к о р е н ь и сх о д н о го у р а в н е н и я .

И т а к , *х = 0 — е д и н с т в е н н ы й к о р е н ь и с х о д н о го у р а в н е н и я . П р и м с р 15. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

н а х о д и м О Д З у р а в н е н и я : * ^ > 1. В о з в е д я о б е ч а с т и у р а в н е н и я в к в а д р а т и п р и в е д я п о д о б н ы е ч л е н ы , п о л у ч и м у р а в н е н и е

З * 2 — 5 * — 2 = 0,

я в л я ю щ е е с я с л е д с т в и е м и с х о д н о г о . К о р н и э т о г о у р а в н е н и я е сть

*х = — 1/3 и *2 = 2.

К о р е н ь * ! = — 1/3 н е п р и н а д л е ж и т О Д З и с х о д н о го у р а в н е н и я . К о р е н ь *о = 2 п р и н а д л е ж и т О Д З и с х о д н о го у р а в н е н и я и п ри п о д с т а н о в к е п р е в р а щ а е т его в в е р н о е ч и с л о в о е р а в е н с т в о .

И т а к , *х = 2 — е д и н с т в е н н ы й к о р е н ь и с х о д н о го у р а в н е н и я . У 4 * -І- 9 — У 7 * + 4 = У 1 1 * 4 - 1 ,

4 * -1-9 — 2 У (4 * -І- 9) (7 * -I- 4) 7 * 4 - 4 = 11 * + 1, У 2 8 * 2 + 7 9 * 4 - 3 6 = б,

2 8 * 2 + 7 9 * 4 - 3 6 = 3 6, 2 8 * а -{- 79 * = 0 .

,23

У х 4 - 7 У 3 * — 2 = 3 У х — 1 У * - [ - 2 . Р е ш е н и е. Р е ш а я с и с т е м у н е р а в е н с т в

У р а в н е н и е / (х) = g (х) а (х) я в л я е т с я с л е д с т в и е м у р а в н е н и я f(x )

§ 2. И РРА Ц И О Н АЛ Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я 59

а ( х ) '-g (х).

Е с л и о б л а с т ь о п р е д е л е н и я ф у н к ц и и <р (х) не у ж е О Д З у р а в н е ­ н и я f(x ) = g (x), т о у р а в н е н и е

/

(X)

ф (X) =

g(х) ср (х) я в л я е т с я с л е д с т в и е м у р а в н е н и я

f (x) = g(x).

П о э т о м у , е с л и в п р о ц е с с е р е ш е н и я у р а в н е н и я п р о в о д я т с я п р е ­ о б р а з о в а н и я , с о с т о я щ и е в и з б а в л е н и и у р а в н е н и я о т з н а м е н а т е л я и л и в у м н о ж е н и и у р а в н е н и я и а в ы р а ж е н и е , О Д З к о т о р о г о не у ж е О Д З д а н н о г о у р а в н е н и я , то в о зм о ж н о р а с ш и р е н и е О Д З и с х о д н о го у р а в н е н и я н , с л е д о в а т е л ь н о , в о зм о ж н о п о я в л е н и е п о с т о р о н н и х к о р н е й . В эт о м с л у ч а е т а к ж е н е о б х о д и м а п р о в е р к а к а к с о с т а в н а я ч а с т ь р е ш е н и я у р а в н е н и я .

П р и м е р 16. Р е ш и т ь у р а в н е н и е З х — 2

V 2 х — 1

V ( 2 Х - 1):>.

Р е ш е н и е . Р е ш а я н е р а в е н с т в о 2 х — 1 > 0, н а х о д и м О Д З у р а в н е н и я : х > 1/2.

У м н о ж и в о б е ча сти и с х о д н о г о у р а в н е н и я н а ] / ~ 2 х— 1 и у п р о ­ с ти в е г о , п о л у ч и м у р а в н е н и е

4 х 2 _ 7 х + 3 = О,

я в л я ю щ е е с я с л е д с т в и е м и с х о д н о г о . Е г о к о р н и : х г = I и х 2 = 3 /4 . О б а к о р н я п р и н а д л е ж а т О Д З и с х о д н о г о у р а в н е н и я . П о д с т а н о в ­ к о й у б е ж д а е м с я , что о б а эти к о р н я я в л я ю т с я к о р н я м и и и с х о д ­ н ого у р а в н е н и я .

П р и м е р 17. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

2 , 1 _ 4

2 —

V х

' 2 ~~ 2

У"~х— х '

Р е ш е н и е . О Д З у р а в н е н и я о п р е д е л я е т с я с и с т е м о й н е р а в е н с т в х i s 0 ,

2 — У~~х ф О, 2 У ~ х - х Ф О, г. е. х > 0 , х Ф 4.

У м н о ж а я обе ч а с т и и с х о д н о г о у р а в н е н и я н а в ы р а ж е н и е 1(2 У х— х ) , п о л у ч и м у р а в н е н и е

4 у г ~х-\-2 У~х— х = 8 , (5)

т в л я ю щ е е с я с л е д с т в и е м и с х о д н о г о у р а в н е н и я (у р а в н е н и е (5) и м еет Золее ш и р о к у ю О Д З : х 5 : 0 ) .

Р е ш а я у р а в н е н и е (5), н а х о д и м д в а его к о р н я : a'j — 16 н х 2= 4 . Ч и с л о *2 = 4 н е п р и н а д л е ж и т О Д З у р а в н е н и я (4) и п о эт о м у я в л я е т с я п о сто р о н н и м его к о р н е м . П о д с т а н о в к а ч и с л а А 'х = 1 6 в у р а в н е н и е (4) п о к а з ы в а е т , что оно я в л я е т с я е д и н с т в е н н ы м его к о р н е м .

П р и м е р 18. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

х = ( У Т Т * + 1 ) ( У Щ ^ - 4 ) . (6)

Р е ш е н и е . О Д З у р а в н е н и я (6): а * 5 і — 1. У м н о ж а я о б е ч а с т и у р а в н е н и я (6) н а в ы р а ж е н и е

У \

+

а

— 1, п о л у ч и м у р а в н е н и е

х (У Т + х — У

10

-)- Л' + 3 ) =

0

^,

я в л я ю щ е е с я с л е д с т в и е м у р а в н е н и я (G). Э т о у р а в н е н и е и м е е т д в а к о р н я : х х = 0 и х 2 = — 1 (за м е т и м , чт о р а с ш и р е н и я О Д З не п р о ­ и зо ш л о ). О б а н ай д е н н ы х к о р н я п р и н а д л е ж а т О Д З у р а в н е н и я (6);

тем не м ен ее п р о в е р к а п о к а з ы в а е т , что Ах = 0 — п о с т о р о н н и й к о ­ р ен ь у р а в н е н и я (б), а х 3 ~ — 1 у д о в л е т в о р я е т ем у .

Т а к и м о б р азо м , у р а в н е н и е (6) и м еет е д и н с т в е н н ы й к о р е н ь х = — I .

П р и м е р 19. Р е ш и т ь у р а в н е н и е y w = 2 = \ / ' 2 ^ 7 i .

Р е ш е н и е . Р е ш а я н е р а в е н с т в о 2— a 3 5 s 0, н а х о д и м О Д З и с ­ х о д н о г о у р а в н е н и я : х х £ . 2 .

П р а в а я ч а с т ь и с х о д н о г о у р а в н е н и я п р и л ю б о м х н з О Д З я в ­ л я е т с я н е о т р и ц а т е л ь н ы м ч и с л о м , п о это м у а - — 2 5 .-0 , т . е . | x | 5 s И з неравенств a 2 и | а | 5 : У 2 следует, что все корни и с х о д н о г о у р а в н е н и я м о гу т б ы т ь т о л ь к о с р е д и ч и с е л — У 2 . В о з в е д и обе ч а сти и с х о д н о г о у р а в н е н и я в ш е с т у ю с т е п е н ь , п о л у ч и м е г о с л е д с т в и е : (а- — 2 )2 = ( 2 —а3)3, т. е. у р а в н е н и е

а® — 6а® 4 - а1 + 1 2а3 — 4х2 — 4 = 0 , к о т о р о е п р е о б р а з у е м и за п и ш е м сл е д у ю щ и м о б р а з о м :

А4 (А5 - |- 1) — 6а« -I- 12А3 — 4 ( 1 - 1 - А2) = 0 .

Т а к и м о б р а з о м , с л е д с т в и е м и с х о д н о го у р а в н е н и я я в л я е т с я с и с т е м а :

І А* (А5 - | - 1) — 6а ° + 12А3 — 4 ( 1 + А2) = 0 ,

\ х < - У 2 .

Э т а с и с т е м а не и м еет р е ш е н и й , т а к к а к п ри а « й :—

У

2 все с л а ­ га е м ы е в л е в о й ч а сти у р а в н е н и я это й си сте м ы о т р и ц а т е л ь н ы .

И т а к , у р а в н е н и е , д а н н о е в у с л о в и и з а д а ч и , р е ш е н и й не и м еет.

ГІ р и м е р 2 0. Р е ш и т ь у р а в н е н и е У 2~-\-~х -{- У 2 — х

2

/ 2 + а — У 2 — а _ х ‘

6 0 г л . 2. У Р А В Н Е Н И Я С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫ М

§ 2. И РРА Ц И О Н АЛ Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я 61 Р е ш е н и е . Р е ш и в с и с т е м у н е р а в е н с т в

(

2 + x S s О, 2 — .V О,

X'

ф

О,

У"2 + х — У 2 ^ ф О,

н ай д ем О Д З у р а в н е н и я — п р о м е ж у т к и — 2 < < ; х < 0 и 0 < х С 2.

У м н о ж а я и с х о д н о е у р а в н е н и е на в ы р а ж е н и е х ( у г 2-\-х—

— у г 2 — х ) , п о л у ч и м у р а в н е н и е

х (

V 2 + ~x

+

V T = T x) = 2 ( У 2 + 1 - У ~ х

) ,

я в л я ю щ е е с я с л е д с т в и е м и с х о д н о г о . П е р е н о с я все ч л е н ы э т о г о у р а в н е н и я в л е в у ю ч а с т ь и г р у п п и р у я с л а г а е м ы е , п о л у ч а е м у р а в ­ н е н и е

У І ^ х (х + 2) — У х + 2 (2 — х) = 0.

П а О Д З и с х о д н о г о у р а в н е н и я имеем:

2 + х =

V & + & = У 2~ х У ~ х

2 —х =

У (2 — х)-= У 2 ^ 1 УТ^~х\

п о это м у у р а в н е н и е

У Т ^ х ]/* 2 + х (У 2 + х — У 2 ^ х ) 0

я в л я е т с я с л е д с т в и е м и сх о д н о го . О н о им еет к о р н и : Xj = — 2, ,v2 =

= 0, х я = 2.

К о р е н ь х 2 = 0 не п р и н а д л е ж и т О Д З и с х о д н о г о у р а в н е н и я . Н е п о с р е д с т в е н н о й п о д с т а н о в к о й к а ж д о г о из чи се л x i = — 2 и х 3 = 2 в и с х о д н о е у р а в н е н и е , у б е ж д а е м с я , что м н о ж е с т в о всех его р еш ен и и с о с т о и т нз д в у х ч и с е л : (— 2) и 2.

Э т о у р а в н е н и е м о ж н о р е ш и т ь д р у г и м сп о со б о м . Н а й д е м О Д З у р а в н е н и я : — 2 < S x < 0 , 0 < x « s ; 2 . Д о м н о ж а я ч и с л и т е л ь и з н а ­ м е н а т е л ь л е в о й ч а с т и и с х о д н о г о у р а в н е н и я на в ы р а ж е н и е У 2 + 5 + У 2 — х, п о л у ч и м

2 х + 2 У 2 -1-х У 2 — х -!- 2 — х 2

2 + х — 2 + х “ х 1

г. е. у р а в н е н и е

2 + У Т + х У 2 ^ х 2

X X *

У м н о ж и в обе его ч а с т и н а х , п о л у ч и м у р а в н е н и е

2 +

У 2 + х У

2 ^ х

=

2,

я в л я ю щ е е с я с л е д с т в и е м и с х о д н о го у р а в н е н и я .

К о р н и э т о г о у р а в н е н и я : х, = — 2 и х 3 = 2. П о д с т а н о в к о й к а ж ­ дого из к о р н е й и и с х о д н о е у р а в н е н и е у с т а н а в л и в а е м , ч ю о н и у д о в л е т в о р я ю т ем у .

6 2 ГЛ. 2. У Р А В Н Е Н И Я С ОДНИМ Н ЕИ ЗВЕС ТНЫ М

Ф о р м у л ы , п р н м е н я е м ы е п р и р е ш е н и и и р р а ц и- о н а л ь н ы х у р а в н е н л й. П у с т ь j и g — н е к о т о р ы е ф у н к ц и и , / e £ N . Т о г д а :

~ 1. y r y i = y r s , / ^ о , е ^ о . 2. У Г f 2f / s = У fig* / 5 :0 , g > о.

3.

¹

1

¹

y~g - У Wg, g ^ o.

4.

y iT g

⁼

y m i y v s i

^.

tg 5

^{= o,}

g

фo.

5- y j g = y \ T \ y r g \ , f g ^o.

П р и м е н я я л ю б у ю из э т и х ф о р м у л ф о р м а л ь н о (б ез у ч е т а у к а ­ з а н н ы х о г р а н и ч е н и й ), с л е д у е т и м еть и в и д у , что О Д З л е в о й и п р а в о й ч а с т е й к а ж д о й и з н и х м о гу т б ы ть р а з л и ч н ы м и . Н а п р и м е р , в ы р а ж е н и е V f V g о п р е д е л е н о п р и / 5 : 0 и £ 5 =0 , а в ы р а ж е н и е V f g— к а к ПР Н / 5 = 0 , £ 5 : 0 , т а к и п р и ftST-0 , g ^ 0 .

Д л я к а ж д о й из ф о р м у л 1 — 5 (б ез у ч е т а у к а з а н н ы х о г р а н и ­ чен и й ) О Д З п р а в о й ее ч а с т и м о ж е т б ы ть ш и р е О Д З л е в о й . О т ­ с ю д а с л е д у е т , что п р е о б р а з о в а н и я у р а в н е н и я с ф о р м а л ь н ы м и с п о л ь ­ з о в а н и е м ф о р м у л 1 — 5 « с л е в а — н а п р а в о » ( к а к о н и н а п и с а н ы ) п р и в о д я т к у р а в н е н и ю , я в л я ю щ е м у с я с л е д с т в и е м и с х о д н о г о . В эт о м с л у ч а е м о гу т п о я в и т ь с я п о с т о р о н н и е к о р н и и с х о д н о г о у р а в н е н и я ; п о это м у о б я з а т е л ь н ы м э т а п о м в р еш ен и и и с х о д н о г о у р а в н е н и я я в л я е т с я п р о в е р к а .

П р е о б р а з о в а н и я у р а в н е н и й с ф о р м а л ь н ы м и с п о л ь з о в а н и е м ф о р м у л 1 — 5 « с п р а в а — н а л е в о » н е д о п у с т и м ы , т а к к а к в о з м о ж н о с у ж е н и е О Д З и с х о д н о го у р а в н е н и я , а с л е д о в а т е л ь н о , и п о т е р я к о р н е й . Т а к , н а п р и м е р , е с л и з а м е н и т ь у р а в н е н и е У (* — 2) (2 x 4 -3 ) =

= 3 ( О Д З : * < ; — 3 /2 , л '5 = 2 ) у р а в н е н и е м V * — 2 V ^ x-{-3 = 3 ( О Д З : * 5 : 2 ) , то б у д е т с у ж е н а О Д З и с х о д н о г о у р а в н е н и я и п о ­ т е р я н к о р е н ь х = — 5 /2 .

П р и м е р 21. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

» ^ Г Г = ( * + 5 ) ] / ^ •

Р е ш е н и е . И с п о л ь з у я ф о р м у л ы 4 и 5, п о л у ч и м у р а в н е н и е V Y 7 + T T( V \ ^ = H - ( * + 5 ) у ) = 0

,

я в л я ю щ е е с я с л е д с т в и е м и с х о д н о го . Р е ш е н и е э т о г о у р а в н е н и я с в о ­ д и т с я к р еш ен и ю с о в о к у п н о с т и у р а в н е н и и

/Г 7 + Т Т = о , \ r\ jz rij— —i± L = -= o .

у \ х — 1 I

И з п е р в о г о у р а в н е н и я э т о й с о в о к у п н о с т и н а х о д и м *і = — 1.

И з в т о р о г о с л е д у е т , что | * — 1 | = * - } - 5 , о т к у д а н а х о д и м * 2 = — 2.

Т а к и м о б р а з о м , к о р н я м и д а н н о г о у р а в н е н и я м о гу т б ы ть т о л ь ­ к о ч и с л а (— 1) и (— 2 ). П р о в е р к а п о к а з ы в а е т , что о б а н а й д е н н ы х к о р н я у д о в л е т в о р я ю т д а н н о м у у р а в н е н и ю .

§ 2. И РРА Ц И О Н АЛ Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я ₆₃

П р и м е р 22. Решить уравнение

У 2 — х _ 2 — х У 2 + х

Р е ш с н н е. Р е ш а я с и с т е м у н е р а в е н с т в ( 2 — х > 0 ,

\ х + 2 > О,

н а й д е м О Д З д а н н о г о у р а в н е н и я — п р о м е ж у т о к — 2 < x s = r 2 .

У 2=~х tn 2- х

П о л о ж и в t = - —^ = г , п о л у ч и м = п о э т о м у д а н н о е У

2 + .’

у р а в н е н и е м о ж ем з а п и с а т ь в ви д е t = r~.

К о р н я м и э т о г о у р а в н е н и я я в л я ю т с я / | = 0 и / 2 = 1 . С л е д о в а т е л ь н о , с о в о к у п н о с т ь у р а в н е н и й

^ - * - 0 . Г 2 -

V 2 + x V 2 + х

т. е. с о в о к у п н о с т ь

у 2-— х = 0 , У 2 ^ 5 = У 2 + Х,

я в л я е т с я с л е д с т в и е м д а н н о г о у р а в н е н и я . Р е ш а я э т у с о в о к у п н о с т ь , н ах о д и м ее к о р н и : х г = 2 и х 2 = 0.

О б а к о р н я п р и н а д л е ж а т п р о м е ж у т к у — 2 < х - < ^ 2 ; п о д с т а н о в ­ кой чи се л 0 и 2 в и с х о д н о е у р а в н е н и е у б е ж д а е м с я , что о н и я в ­ л я ю т с я его к о р н я м и .

И т а к , м н о ж е с т в о в с е х р еш ен и й и с х о д н о го у р а в н е н и я с о с т о и т и з д в у х ч и с е л : *х = 2 и х 2 = 0.

Н е к о т о р ы е п р е о б р а з о в а н и я п р и в о д я т к т о м у , что О Д З п о л у ­ че н н о го у р а в н е н и я не с о д е р ж и т н е к о т о р о й ч а с т и О Д З и с х о д н о го у р а в н е н и я и к т о ж е в р е м я и м еет ч а с т ь , не с о д е р ж а щ у ю с я в О Д З и с х о д н о г о у р а в н е н и я . Д е л а я т а к и е п р е о б р а з о в а н и я , м о ж н о п о л у ­ ч и т ь у р а в н е н и е , с р е д и к о р н е й к о т о р о г о н е т н е к о т о р ы х к о р н е й и с­

х о д н о г о у р а в н е н и я и в т о ж е в р е м я с р е д и к о р н е й п о л у ч е н н о г о у р а в н е н и я с о д е р ж а т с я п о с т о р о н н и е е г о к о р н и .

Н а п р и м е р , е с л и р а с с м а т р и в а т ь у р а в н е н и е У 2 + 1 + У ~ Х

^ 2_

У 2 + х

—

У

2-

к а к п р о п о р ц и ю и, и с п о л ь з у я с в о н с т в о п р о п о р ц и и — — - jс = >

а — 1> с — d

==>-—;— = z —— i— з а м е н и т ь е г о у р а в н е н и е м Ь + а d -j- с

у 2 - х

2

^х

У 2 + І 2 + х’ {0)

64 ГЛ. 2. УРА В Н Е Н И Я С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫ М

то из д в у х к о р н е й х х = 2 и х 2 = 0 у р а в н е н и я (8) (см. п р и м е р 22) к о р е н ь *1 — 0 я в л я е т с я п о с т о р о н н и м д л я у р а в н е н и я (7) (см . п р и ­ м ер 2 0 ), а к о р е н ь х 3 = — 2 у р а в н е н и я (7) не с о д е р ж и т с я с р е д и к о р н е й у р а в н е н и я (8).

Ч т о б ы и з б е ж а т ь п о те р и к о р н е й и п о я в л е н и я п о с т о р о н н и х к о р н е й , ц е л е с о о б р а з н о р е ш а т ь у р а в н е н и е м етодом р а в н о с и л ь н о г о п е р е х о д а , т. е. р е ш а т ь у р а в н е н и е т о л ь к о на е го О Д З , з а м е н я я у р а в н е н и е р а в н о с и л ь н ы м . Е с л и ж е л а е м о е п р е о б р а з о в а н и е у р а в н е ­ н и я и л и е г о ч л е н о в на всей О Д З с д е л а т ь н е л ь з я , т о н а д о р а з ­ б и т ь О Д З у р а в н е н и я на ч а с т и и н а к а ж д о й нз э т и х ч а с т е й р е ш и т ь у р а в н е н и е . З а т е м , о б ъ е д и н я я м н о ж е с т в а р еш е н и й у р а в н е н и я н а всех ч а с т я х О Д З у р а в н е н и я , п о л у ч и м м н о ж е с т в о в с е х р е ш е н и й у р а в н е н и я .

Н а п р и м е р , р еш и м у р а в н е н и е (7) м етодом р а в н о с и л ь н о г о п е р е ­ х о д а (р а с с м а т р и в а я у р а в н е н и е (7) к а к п р о п о р ц и ю и п е р е х о д я к у р а в н е н и ю (8), я в л я ю щ е м у с я его п р о и зв о д н о й п р о п о р ц и е й ).

О Д З у р а в н е н и я (7) е с т ь м н о ж е с т в о в с е х х и з д в у х п р о м е ж у т ­ к о в: — 2 ^ х < 0 и 0 < х ^ 2 . Н е п о с р е д с т в е н н о й п о д с т а н о в к о й x t = —2 и д.'о = 2, п р и н а д л е ж а щ и х О Д З у р а в н е н и я (7 ), у б е ж д а е м с я , что э т и ч и с л а я в л я ю т с я е го к о р н я м и . Н а о с т а в ш е й с я ч а с т и О Д З , т. е. на и н т е р в а л а х —2 < х < 0 и 0 < х < 2, у р а в н е н и е (7) р а в ­ н о с и л ь н о у р а в н е н и ю (8).

Р е ш е н и я х 3 = 0 и х 4 = 2 у р а в н е н и я (8) не п р и н а д л е ж а т н и о д н о м у и з и н т е р в а л о в — 2 < х < 0 и 0 < х < 2 ; п о это м у н а р а с ­ с м а т р и в а е м о й части О Д З у р а в н е н и е (7) р еш ен и й не им еет. Т а к и м о б р а з о м , м н о ж е с т в о в сех р е ш е н и й у р а в н е н и я (7) с о с т о и т н з д в у х ч и с е л : x t = — 2 и х2 = 2.

П р и м е р 23. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

( х — 3) (х + 1 ) - ) - 3 (х — 3) у f ± i _ 2 8 = 0 . (9) ДС _)— 1

Р е ш е н и е. Р е ш а я н е р а в е н с т в о ^ ^ 0 , н а х о д и м О Д З у р а в ­ н е н и я (9): — 1 и х > 3.

Н а О Д З у р а в н е н и я имеем:

и

п о это м у у р а в н е н и е (9) р а в н о с и л ь н о с о в о к у п н о с т и си стем

(х — 3) ( х + 1 ) — 3 У ( х + 1 ) (х — 3) — 28 = 0 , х > 3,

( х — 3) ( х + 1 ) 4 - 3 У ( х — 3) ( х 4 - 1 ) — 2 8 = 0 . О б о з н а ч и м ( = У ( х — 3) ( x - f - 1). П о с к о л ь к у

§ 2. И РР А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я _{6 5}

/ Ч - З / — 28 = ( Н - 7 ) (/ — 4 ),

т о п о л у ч е н н а я с о в о к у п н о с т ь с и с т е м р а в н о с и л ь н а с о в о к у п н о с т и Г

•3) (х + 1 )-И )= 0 ,

л- > 3,

( V (х - 3) ( х + I ) + 7) ( Y (л- - 3) (х -|- 1) - 4 ) - - 0 . Н а О Д З и с х о д н о г о у р а в н е н и я V ( x —3) ( х - |- 1) + 7 > 0 и

( х— 3) (д:—1—1) —|— 4 > 0 ; п о эт о м у из п о с л е д н е й с о в о к у п н о с т и с и ­ с тем с л е д у е т , что

L

( 9 ) 4 *

Г ( .V С — 1,

У ( Х - З ) (х -[- 1) = 7, х > 3,

L I Y i x — 3 ) (х-\-1 ) = 4

I х < — 1,

■\ ( х — 3) ( x -j- 1) = 4 9 , I х > 3,

\ ( х— 3) ( х —J- 1) = 16 Г

ФФ L

( * < - 1 ,

\ х — 2 х— 52 = 0 ,

{ *

> 3 ,

- — 2а-- 19 = 0/

У р а в н е н и е а-2— 2а- — 5 2 = 0 и м еет д в а к о р н я : х і = 1 - j -1 ^ 5 3 и л'о = 1 — 1 ^ 5 3 , нз к о т о р ы х т о л ь к о Л'2 у д о в л е т в о р я е т у с л о в и ю а'з

< — 1. У р а в н е н и е а'- — 2 х—19 = 0 и м е е т т а к ж е д в а к о р н я : х я —

= 1 - | - 2 | /А5 и a'i = 1—2 ) ^ 5 , из к о т о р ы х т о л ь к о х 3 у д о в л е т и о р я е т у с л о в и ю х > 3.

И т а к , м н о ж е с т в о в с е х р е ш е н и й у р а в н е н и я (9) с о с т о и т нз д в у чи се л : 1 — 1 ^ 5 3 и 1 2 ] ^ 5 .

П р и в е д е м д р у г о е р е ш е н и е у р а в н е н и я (9).

О Д З у р а в н е н и я (9) з а д а е т с я с о в о к у п н о с т ь ю д в у х н е р а в е н с т в : I

V х — 3 т о г д а у - — х < — 1 п х > 3 . О б о з н а ч и м у = ( х— 3)

- - ( х— 3) (а-- р 1), и у р а в н е н и е (9) м о ж н о з а п и с а т ь в в и д е у - . - \ - З у — 28 = 0.

П о с к о л ь к у у - - \ - З у— 2 8 = ( у - \ - 7 ) ( у— 4 ), т о п о л у ч е н н о е у р а в н е ­ н и е и м е е т д в а к о р н я : у і — — 7 и //« = 4. С л е д о в а т е л ь н о , у р а в н е ­ н и е (9) р а в н о с и л ь н о с о в о к у п н о с т и д в у х у р а в н е н и й :

(х — 3) ] / ^{А--Һ 1} ( х- • 3 ) ] / ^ = 4 .

В ы р а ж е н и е н е о т р и ц а т е л ь н о ; на О Д З у р а в н е н и я и м еем : х — 3 > 0 п р и х > 3 и х — 3 < 0 п р и х-~ < 1— 1. П о э т о м у у р а в н е ­ н и е (9) н а е г о О Д З р а в н о с и л ь н о с о в о к у п н о с т и д в у х си сте м :

/ х ^ — 1, [ х > 3,

\ а-- —2 а — 5 2 = 0 , \ х 2 —2а- — 19 = 0.

3 За дачи по математике. Уравнения и неравенства

Р е ш а я п о л у ч е н н у ю с о в о к у п н о с т ь с и с т е м , н а х о д и м м н о ж е с т в о в с е х к о р н е й у р а в н е н и я (9) — ч и с л а 1 — / 5 3 и

П р и м е р 24. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

у — \ - у 7 = 1 = (10)

Р е ш е н и е . Р е ш а я н е р а в е н с т в о х'2— l ^ O , н а х о д и м О Д З у р а в н е н и я (10) — п р о м е ж у т к и — со < x s £ — 1 и l « s : x < - f - o o . Н е ­ п о с р е д с т в е н н о й п о д с т а н о в к о й к а ж д о г о из ч и с е л ** = — 1 и х 2 = 1 в у р а в н е н и е (10) у б е ж д а е м с я , ч т о о н и не я в л я ю т с я е г о к о р н я м и . Н а о с т а в ш е й с я ч а с т и О Д З у р а в н е н и я им еем У х'1 — 1 > 0 ; п р и

это м : _____ ________ _____

е с л и х < — 1, т о У х - f 1 = — У ( х + 1)'~ п У х— 1 =

= _ J / ( F T T ] - 2: _____ ________ _ _____

е с л и * > 1 , т о У х- \ - 1 = У ( х ~ г 1)“ и У х — 1 =

= у т г -л ғ . ______

С л е д о в а т е л ь н о , н а э т о й ч а с т и О Д З , р а з д е л и в н а У х- — 1 о бе ч а с т и у р а в н е н и я (1 0 ), и м еем р а в н о с и л ь н у ю е м у с о в о к у п н о с т ь д в у х с и с т е м :

( ^{- m + v m - -} ( ^{m - v w r ' -}

(ID

Д л я к а ж д о г о х нз п р о м е ж у т к о в — со < .v < — 1 и 1 < х < + о о

\ f x - \ - \

в ы р а ж е н и е у —— - п о л о ж и т е л ь н о ; п о э т о м у , о б о з н а ч и в t =

/ ~ x - f l . л ■§ f х — 1 1

= I / | , п о л у ч и м , ЧТО I > 0 И у — р ү = — » У ч и т ы в а я , что

бб ГЛ. 2. У Р А В Н Е Н И Я С ОДНИМ НЕИ ЗВЕС ТНЫ М

' > 0 . * > < > , / 5 - 1

— / + \ Ц = \ " \ — 1 = 0 2

и

I 1 >

о, ^ ( / > о, ^ , / 5 + 1

\ / — 1 / / = 1 * 9 \ t z — t — 1 = 0 ^ 1 - 2

им еем : с о в о к у п н о с т ь си сте м (11) р а в н о с и л ь н а с о в о к у п н о с т и си сте м

х < —1, Г X > 1,

Г. / Ғ Г Г У ъ - 1 I -f> S x + T _ У 5 -Ь 1

У X — 1 2 ’ [ У х - 1 ~ 2

т . е . с о в о к у п н о с т и

' X <

— 1,

f X >

1,

„ „ „то ( ^ - - 1 у _ 9 _ 4 К В - „ . ( £ g _ + i y =

= 9 + 4 / Т .

П р и с f i 1 и м еем :

* ' I' = с ФФ X - j- I = СХ — С ФФ 1 - |- С = X (с — I ) ФФ

§ 2. И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я 6 7

О т с ю д а п о л у ч а е м , чт о ч и с л а ХХ = 1 + - --- — --- 7 = 1

(9 — 4 |/* 5 ) — 1 8 — 4 / 5 4 — 2 / * 5

4 + 2 / Т 4 + 2 К б " _ / Т

— > Н5 — 20 п _ 4 — 2

(9 + 4 5 ) — 1 8 + 4 / 5 * 2 1 ^ 5 + 4

2 / " б " — 4 , 2 ' / б " — 4 _ К б

— * “Г 2 0 — 16 “г 4 — 2

я в л я ю т с я к о р н я м и с о о т в е т с т в у ю щ и х у р а в н е н и и с и с т е м п о с л е д н е й с о в о к у п н о с т и . Т а к и м о б р а з о м , у р а в н е н и е (10) р а в н о с и л ь н о с о в о ­ к у п н о с т и с и сте м

( х < — 1, { X > I ,

\ х = _ / * Г / 2 , \ х = / " б " / 2 ;

с л е д о в а т е л ь н о , м н о ж е с т в о в с е х _ р е ш е н н й у р а в н е н и я (10) с о с т о и т из д в у х ч и с е л : - / 5 / 2 и / ' 5 / 2 .

У р а в н е н и е в и д а

* У Ш = е { х ) , « 6 N , р а в н о с и л ь н о с и с т е м е

/ S (*)

5* о,

I f ( x ) = g 2n (*)*

П р и м е р 25. Р е ш и т ь у р а в н е н и е У 4 — 6 х — х? = х + 4 .

Р е ш е н и е . Д а н н о е у р а в н е н и е р а в н о с и л ь н о с и с т е м е I * + 4 5 * 0 ,

\ 4 — 6 х — х 2 = (х + 4 )2, т . е. си сте м е

( х 5 і — 4 , I А’а Нf 7 х + 6 = 0 ,

Р е ш а я у р а в н е н и е x 2 - f - 7 x - |- 6 = о, н а й д е м д в а е г о к о р н я : х і = — 1 и л'о — — 6. У с л о в и ю .л -5= — 4 у д о в л е т в о р я е т т о л ь к о х х — — I.

С л е д о в а т е л ь н о , е д и н с т в е н н ы м к о р н е м и с х о д н о г о у р а в н е н и я я в л я е т с я ч и с л о (— 1).

П р и м е р 26. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

У х + Ъ + У 2 Т + & = 7. (12)

Р е ш е н и е . Р е ш а я с и с т е м у н е р а в е н с т в I х - } - 5 ^ г 0 ,

\ 2л+ 8 5і0, н а х о д и м О Д З у р а в н е н и я (1 2 ): х> ^ — 4. И м еем :

П 2 ) ф ф І --- --- ф ф

\ х + 5 + 2 У х + б У 2 х + 8 + 2 х + 8 = 49 л J х ^ — 4,

^ \ 2 У (х + 5) ( 2 х -|- 8) = 3 (12 — л) ^

• « / « к . 4,

\ 4 ( * - | - ’5 ) ( 2 ; с + 8 ) = 9 ( 1 2 — х ) 2 * ** Ш х + 113 °- Р е ш а я у р а в н е н и е х 2 — 2 8 8 л -j- 1136 = 0, н а х о д и м его к о р н и : х х = 284 и Хо = 4. У с л о в и ю — 4 * ^ х С Л 2 у д о в л е т в о р я е т т о л ь к о л 2 = 4 . С л е ­ д о в а т е л ь н о , x = 4 — е д и н с т в е н н ы й к о р е н ь у р а в н е н и я (12).

П р и м е р 2 7 . Р е ш и т ь у р а в н е н и е

У Ь х + 7 — У 2 7 + 3 = У З х + 4 . (13)

Р е ш е н и е . Р е ш а я с и с т е м у н е р а в е н с т в ( 5 x + 7 S s O ,

\ 2x + 3 S s O , { З х + 4 3 * 0 , н а х о д и м О Д З у р а в н е н и я : x i s — 4 /3 . И м еем :

( 1 3 ) Ф » « |

J — 4 /3 ,

^ \ Ъх + 7 = 2 х + 3 -|- 2 У ( 2 х + 3) ( З х + 4) + З х + 4 ^

^ j х 5-- 4 /3 ,

\ У {2 х + 3) (З х + 4) = 0.

О т с ю д а н а х о д и м , что Xj = — 4 /3 — е д и н с т в е н н ы й к о р е н ь у р а в н е ­ н и я (13).

С м е ш а н н у ю с и с т е м у , с о с т о я щ у ю и з у р а в н е н и я и н е р а в е н с т в , р а ц и о н а л ь н о р е ш а т ь с л е д у ю щ и м о б р а з о м : н е р е ш а я с и с т е м у н е р а ­ в е н с т в , р е ш и т ь у р а в н е н и е э т о й с и с т е м ы , а з а т е м и с с л е д о в а т ь , к а ­ к и е и з к о р н е й у д о в л е т в о р я ю т всем у с л о в и я м си сте м ы , а к а к и е н е у д о в л е т в о р я ю т .

68 г л . 2. У Р А В Н Е Н И Я

с

О ДНИМ Н ЕИ ЗВЕС ТН Ы М

§ 2. И Р РА Ц И О Н АЛ Ь Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я _{6 9} П р и м е р 2 8 . Р е ш и т ь у р а в н е н и е

V 2х~ — Н - У х - — З х — 2 = У 2х* + 2 х + 3 + У " х * — х + 2. (14) Р е ш е н и е . П е р е п и ш е м у р а в н е н и е (14) т а к и м о б р а з о м , чтобы п о с л е в о з в е д е н и я в к в а д р а т о б е и х его ч а с т е й п о л у ч и т ь р а в н о с и л ь ­ н ое у р а в н е н и е , б о л е е п р о с т о е , чем в о с т а л ь н ы х с л у ч а я х :

У 2.v- - 1 — У х2 — х + 2 = У 2 х - -!- 2 х + 3 — У х * — З х — 2.

У ч и т ы в а я , ч то л е в а я и п р а в а я ч а с т и п о с л е д н е г о у р а в н е н и я д о л ж н ы бы ть о д н о в р е м е н н о л и б о н е о т р и ц а т е л ь н ы м и , л и б о н е п о л о ж и т е л ь н ы ­ м и , и в о зв о д я о б е его ч а с т и в к в а д р а т , п о л у ч и м р а в н о с и л ь н у ю ем у с и с т е м у , с о с т о я щ у ю и з у р а в н е н и я и с о в о к у п н о с т и д в у х с и сте м н е р а в е н с т в :

( 2 х 2 — 1 — 2 У 2 х - — 1 У х 2 — х -I- 2 -|- х 2 — х + 2 =

І = 2 х - + 2 х + 3 — 2 У 2 х 2 + 2 х + 3 У х~ — З х — 2 + х 2 — З х — 2 ,

' у 2 х ~ — 1 У х - — х — 2 = У 2 х - - j - 2 х - J -3 У х - — З х — 2, Г ( X2 X---3 5 = 0 ,

I х г + 5 х + 5 5= 0,

^ х 2 — З х — 2 ^ 0,

it к о т о р а я п о сл е у п р о щ е н и и п р и н и м а е т в и д

Э т а с и с т е м а р а в н о с и л ь н а со в о к у п н о с т и , д в у х си сте м : Г ( (2х~ — 1) (х 2 — х + 2 ) = (2 х 2 + 2 х 4 - 3) (х 2— З х — 2 ),

I О ..2 1 п

j 2 х 2 — 1 5= 0,

< х2 -[- х — 3 ^ О,

1 х 2 - J - 5 х - j - 5 ^ 0 , ( х 2 — З х — 2 s * 0 ,

2 х 2 — 1 5 = 0 , I х 2 5 х 5 ^ 0, I. х 2 — З х — 2 ^ = 0 ,

(15)

I (2 х 2 — 1) (х 2 - х + 2) = (2 х 2 Н~ 2 х + 3) (х 2 — З х — 2),

I <-‘2 \ Q П

(16) { Х- — З х — 2 2 * 0 .

И м еем :

(2 х 2 — 1) (х 2 — х + 2) = (2 х 2 + 2 х 4 3) (х2 — З х — 2) ФФ ФФ X3 4 - 5 х 2 7 х4 2 = 0 ФФ

= 0.

— 3 - |- У ~ 5 - 3 - / 5

К о р н и Хі = — 2 , л--» = ---Г)--- и А'з = --- --- у р а в н е ­ н и я с и с т е м ы (15) не у д о в л е т в о р я ю т е й , т а к к а к x t = — 2 н е у д о в -

/ 5 — 3

л е т в о р я е т у с л о в и ю х - - \ - х —3 ^ 0 , А'2 = --- --- н е у д о в л е т в о р я е т

_]/"5

__ 3

у с л о в и ю 2 х2 — 1 ^ 0 , х 3 = --- ^ --- н е у д о в л е т в о р я е т у с л о в и ю х ~- j-5 ,v -]-5 5 s 0. П о э т о м у _ снстем а (15) не и м е е т р е ш е н и й .

— З - f У 5 - 3 - / 5

К о р н и .to = ---—--- и а'з = ---2--- у р а в н е н и я с и с т е м ы / " 5 — 3

(16) н е у д о в л е т в о р я ю т е й , т а к к а к а2 — --- - --- н е у д о в л е т в о р я -

_]/” 5_з

е т у с л о в и ю 2а'2— 1 ^ : 0 , .v3 — — ---н е у д о в л е т в о р я е т у с л о в и ю х - - \ - х —3 « s : 0 , а к о р е н ь х х — — 2 у д о в л е т в о р я е т всем у с л о в и я м си с т е м ы (16).

И т а к , с о в о к у п н о с т ь си сте м (15) и (1 6 ), а с л е д о в а т е л ь н о , н у р а в ­ н е н и е (14) и м ею т е д и н с т в е н н ы й к о р е н ь А'х — — 2.

П р и м е р 29. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

V а-4 3 - 4 / а = Т 4 К а -1-8 — 6 У 7 = 1 = 1. ' (17) Р е ш е н и е . О б о з н а ч и в У х— 1 — / , им еем ^ 0 и х = / 2 -}- 1.

П р о и з в е д я з а м е н у н е и з в е с т н о г о в у р а в н е н и и (1 7 ), п о л у ч и м

f 1 ^ 0 , . ^

\ У Р —

4/ -1-4 4-

У

/2 —6/-|-9=1 ^

\ /Э й 0, \ t ^ O ,

/ ( Т = 2 р + Я Г = 3 F = 1 ^ \ | / — 2 | 4 - | / — 3 ] = 1 ^