PDF dspace.enu.kz

ЗАДАЧИ

ПО МАТЕМАТИКЕ

УРАВНЕНИЯ

И НЕРАВЕНСТВА

С П Р А В О Ч Н О Е ПО СО БИЕ

(Щ

т

Ь ОС КВ А «НАУК А»

1 Л А В Н А Я Р Е Д А К Ц И Я

<1- ИЗ ИК О- МА ТЕ МА ТИ ЧЕС КОЙ Л И Т Е Р А Т У Р Ы 1 9 8 7

Б Б К 22.1 31 5 У Д К 51

К о л л е к т и в а п т о р о п

В А В И Л О В В . В ., М Е Л Ь Н И К О В И . И . , О Л Е Х Н И К С . Н ., П А С И Ч Е Н К О П . И .

З а д а ч и по м а т е м а т и к е . У р а в н е н и я и н е р а в е н с т в а . С п р а в о ч н о е п о со б и е. В а в и л о в В. В. , М е л ь н и к о в И. И . , О л е х - 11 и к С . Н . , П а с и ч е н к о П . И . — М .: Н а у к а . Г л . р е д . ф н з .-м а т . л и т ., 1 9 8 7 .— 24 0 с.

С о д е р ж и т с п р а в о ч н ы е с в е д е н и я по м ето д ам р е ш е н и я у р а в н е ­ ни й и н е р а в е н с т в с о д н и м н е и зв е с т н ы м : с о д е р ж а щ и х з н а к а б с о ­ л ю т н о й в е л и ч и н ы , и р р а ц и о н а л ь н ы м , п о к а за т е л ь н ы м и л о г а р и ф м и ­ ч е с к и м . С о д е р ж и т з а д а ч и , п р е д л а г а е м ы е на в с т у п и т е л ь н ы х э к з а м е ­ н а х . М е то д ы и л л ю с т р и р у ю т с я п р и м е р а м и .

Т е с н о п р и м ы к а е т к с п р а в о ч н о м у п особи ю а в т о р о в « З а д а ч и по м а т е м а т и к е . А л ге б р а » (о б ъ я в л е н о в т е м п л а п е 8 7 № 4 9 п о д н а з в а ­ нием « З а д а ч и по м а т е м а т и к е д л я п о д г о т о в и т е л ь н ы х о т д е л е н и й » ).

Д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о п о в т о р е н и я к у р с а а л г е б р ы , д л я с л у ш а ­ т е л е й п о д г о т о в и т е л ь н ы х о т д е л е н и й в у зо в , а т а к ж е д л я п о с т у п а ю ­ щ и х в в у з ы .

И л . 12.

Р е ц е н з е н т

д о к т о р ф и зи к о -м а т е м а т и ч е с к и х н а у к М . К . П о т а п о в

:

0 1 7 0 2 0 7 0 0 0 0 — 188

0 5 3 (0 2 )-8 7 К Б -4 2-9-87 © Издательство «Наука».

Главная редакция фнзнко-математической литературы, 1987

О Г Л А В Л Е Н И Е

П р е д и с л о в и е ... 4

Г л а в а 1. Э к в и в а л е н т н ы е у р а в н е н и я и н е р а в е н с т в а . . . 5

§ 1. Р а в н о с и л ь н ы е у р а в н е н и я ... 5

§ 2. Р а в н о с и л ь н ы е н е р а в е н с т в а ... 21

Г л а в а 2. У р а в н е н и я с о д н и м н е и з в е с т н ы м ... 34

§ 1. У р а в н е н и я , с о д е р ж а щ и е з н а к а б с о л ю т н о й в е л и ч и н ы 31 § 2. И р р а ц и о н а л ь н ы е у р а в н е н и я ... 49

§ 3 . П о к а з а т е л ь н ы е у р а в н е н и я ... 80

§ 4. Л о г а р и ф м и ч е с к и е у р а в н е н и я ... 9G Г л а в а 3. Н е р а в е н с т в а с од н и м н е и з в е с т н ы м ... 128

§ 1. Н е р а в е н с т в а , с о д е р ж а щ и е з н а к а б с о л ю тн о й в е л и ч и н ы 128 § 2. И р р а ц и о н а л ь н ы е н е р а в е н с т в а ... 144

§ 3. П о к а з а т е л ь н ы е н е р а в е н с т в а ... 161

§ 4. Л о г а р и ф м и ч е с к и е н е р а в е н с т в а ... 180

О т в е т ы ... 213

Д о п о л н е н и е . Н е к о т о р ы е з а д а ч и , п р е д л а г а в ш и е с я на п и с ь м е н н ы х в с т у п и т е л ь н ы х э к з а м е н а х по м а т е м а т и к е в М Г У им . М . В . Л о м о н о с о в а ... 233

П Р Е Д И С Л О В И Е

Н л с т о я щ а я к н и га п р е д с т а в л я е т собой с п р а в о ч н о е п од об и е, с о ­ д е р ж а щ е е с и с т е м а т и ч е с к о е и з л о ж е н и е м етодов р е ш е н и я у р а в н е н и й н н е р а в е н с т в с о д н и м н еи зв е стн ы м : и р р а ц и о н а л ь н ы х , л о г а р и ф м и ­ ч е с к и х и п о к а з а т е л ь н ы х у р а в н е н и й и н е р а в е н с т в , а т а к ж е у р а в н е ­ ни й и н е р а в е н с т в , с о д е р ж а щ и х з н а к а б с о лю тн о й в е л и ч и н ы .

Т е о р е т и ч е с к у ю о с н о в у с о с т а в л я ю т п о н я т и я р а в н о с и л ь н о г о п е ­ р е х о д а и э к в и в а л е н т н о с т и д в у х у р а в н е н и й п ли н е р а в е н с т в .

В н а ч а л е к а ж д о г о п а р а г р а ф а п р и в о д я т с я к р а т к и е т е о р е т и ч е ­ с к и е с в е д е н и я , зат ем на р е ш е н и я х т и п о в ы х з а д а ч р а з б и р а ю т с я р а з л и ч н ы е м ето д ы р е ш е н и я у р а в н е н и й и ли н е р а в е н с т в . Д а л е е р а с ­ с м а т р и в а ю т с я м етоды р е ш е н и я у р а в н е н и й и л и н е р а в е н с т в , з а в и с я ­ щ и х о т п а р а м е т р а . В к о н ц е п а р а г р а ф а и м ею тс я з а д а н и я и у п р а ж ­ н е н и я на о т р а б о т к у п р и в е д е н н ы х м етодов р е ш е н и я .

Д л я б о л ее п о л н о го у с в о е н и я м а т е р и а л а в к н и ге д а н ы з а д а ч и р а з л и ч н о й т р у д н о с т и .

К н и г а т есн о п р и м ы к а е т к п о со б и ю а в т о р о в « З а д а ч и п о м а т е ­ м а т и к е . А л г е б р а » , в к о т о р о м и з л о ж е н ы м етоды р е ш е н и я р а ц и о ­ н а л ь н ы х у р а в н е н и й , н е р а в е н с т в и си сте м .

Г Л А В Л 1

Э К В И В А Л Е Н Т Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я И Н Е Р А В Е Н С Т В А

§ 1. Р авноси льн ы е уравнения

Д в а у р а в н е н и я

/ і (*) =- сц (-V) и / 2 (.V) = go (х) (1)

н а з ы в а ю т с я р а в н о с и л ь н ы м и (э к в и в а л е н т н ы м и), е с л и с о в п а д а ю т м н о ­ ж е с т в а в с е х их р е ш е н и и и л и о б а о н и пе и м ею т р е ш е н и и .

И з о п р е д е л е н и я р а в н о с и л ь н о с т и у р а в н е н и й с л е д у е т , что в м есто т о г о , чтобы р е ш а т ь д а н н о е у р а в н е н и е , м о ж н о р е ш а т ь у р а в н е н и е , е м у р а в н о с и л ь н о е .

П о н я т и е р а в н о с и л ь н о с т и о б л а д а е т с в о й с т в о м т р а н з и т и в н о с т и , т . е. е с л и у р а в н е н и е / (х) = g (х) р а в н о с и л ь н о у р а в н е н и ю а ( х ) —

— Р (,v) и у р а в н е н и е а (х) = (х) р а в н о с и л ь н о у р а в н е н и ю гп ( х ) —

— р ( х ) , т о у р а в н е н и е f ( x ) — g ( x ) р а в н о с и л ь н о у р а в н е н и ю т ( х ) - -

= р ( х ) .

З а м е н а у р а в н е н и я е м у р а в н о с и л ь н ы м у р а в н е н и е м и л и з а м е н а у р а в н е н и я ем у р а в н о с и л ь н о й с о в о к у п н о с т ь ю у р а в н е н и й ( н е р а в е н с т в , си сте м ) н а з ы в а е т с я р а в н о с и л ь н ы м пере ход ом .

П р и м е р 1. а) У р а в н е н и е х = 1 р а в н о с и л ь н о у р а в н е н и ю У х - 1, т а к к а к ч и с л о 1 я в л я е т с я к о р н е м к а ж д о г о у р а в н е н и я , а д р у г и х к о р н е й ни о д н о из э т и х у р а в н е н и й не и м е е т ;

б) у р а в н е н и я х ( х — 1) — 0 и х ( х — 1) ( х — 2) — 0 не я в л я ю т с я р а в н о с и л ь н ы м и , т а к к а к ч и с л о 2 я в л я е т с я к о р н е м о д н о го у р а в н е ­ н и я и не я в л я е т с я к о р н е м д р у г о г о у р а в н е н и я .

В о п р е д е л е н и и р а в н о с и л ь н о с т и д в у х у р а в н е н и й н и ч е го не г о ­ в о р и т с я об О Д З э т и х у р а в н е н и й . Т а к , п р и в е д е н н ы й в ы ш е п р и ­ м е р п о к а з ы в а е т , ч т о э к в и в а л е н т н ы е у р а в н е н и я м о г у т и м е т ь р а з ­ л и ч н ы е о б л а с т и д о п у с т и м ы х з н а ч е н и й : в п. а) у р а в н е н и е х 1 и м е е т в к а ч е с т в е О Д З м н о ж е с т в о в с е х д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л , в то в р е м я к а к у р а в н е н и е У х - 1 — м н о ж е с т в о н е о т р и ц а т е л ь н ы х д е й с т ­ в и т е л ь н ы х ч и с е л . П р и м е р б) п о к а з ы в а е т , ч т о , х о т я О Д З у р а в н е ­ н и й ( м н о ж е с т в о в с е х д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л ) с о в п а д а ю т , но у р а в н е ­ н и я м о г у т и не б ы т ь р а в н о с и л ь н ы м и .

П р и р е ш е н и и у р а в н е н и й в м е с то п о н я т и я р а в н о с и л ь н о с т и у р а в ­ н е н и и ч а с т о п о л ь з у ю т с я п о н я т и е м р а в н о с и л ь н о с т и у р а в н е н и и иа м н о ж е с т в е : д в а у р а в н е н и я н а з ы в а ю т с я р а в н о с и л ь н ы м и н а м н о ж е­

ст ве А , е с л и с о в п а д а ю т м н о ж е с т в а всех их к о р н е й , п р и н а д л е ж а ­ щ и х м н о ж е с т в у А , и л и о н и о б а не и м ею т р е ш е н и й па этом м н о ­ ж е с т в е .

У р а в н е н и я м о гу т не б ы т ь р а в н о с и л ь н ы м и , по б ы т ь р а в н о с и л ь ­ ны м и н а н е к о т о р о м м н о ж е с т в е . П р и м е р о м м о г у т с л у ж и т ь у р а вне-

6 гл. 1.

Э КВ И В А Л Е Н Т Н Ы Е У РАВНЕН ИЯ И НЕРАВЕНСТВА

н и я

х = 1 и | * | = 1 ,

к о т о р ы е р а в н о с и л ь н ы н а м н о ж е с т в е п о л о ж и т е л ь н ы х ч и с е л , н о н е я в л я ю т с я р а в н о с и л ь н ы м и .

Г о в о р я т , ч т о у р а в н е н и е р а в н о с и л ь н о д а н н о й с о в о к у п н о с т и у р а в н е н и й ( н е р а в е н с т в , с и с т е м ) н а м н о ж е с т в е А , е с л и м н о ж е с т в о в с е х к о р н е й у р а в н е н и я , п р и н а д л е ж а щ и х А, с о в п а д а е т с м н о ж е с т ­ в о м в с е х р е ш е н и й с о в о к у п н о с т и у р а в н е н и й ( н е р а в е н с т в , с и с т е м ) , п р и н а д л е ж а щ и х м н о ж е с т в у А .

П р и м е р 2 . Я в л я ю т с я л и у р а в н е н и е

(*2 + х -|- 1) (З х + 4) (— 7 х + 2) (2л:— V ~ 5 ) (— 12* — 16) = 0

и с о в о к у п н о с т ь у р а в н е н и й

З х- } - 4 = 0 , — 7 * + 2 =

0,

^{2 * — / 5 =}

0,

^{— 1 2 * — 1 6 = 0}

р а в н о с и л ь н ы м и н а м н о ж е с т в е в с е х д е й с т в и т е л ь н ы х ч и с е л ? Р е ш е н и е . П о с к о л ь к у

*2 + * + ! = ( * + 1 / 2 ) ? + 3 /4 ,

т о п р и л ю б о м * с п р а в е д л и в о н е р а в е н с т в о * 2 + * + 1 > 0 . Т а к и м о б р а з о м , д а н н о е у р а в н е н и е р а в н о с и л ь н о у р а в н е н и ю

(Зх +

4)

( — 7 * + 2 ) ( 2 * — } / ” 5 ) ( — 1 2 * — 1 6 ) = 0 .

Л ю б о й к о р е н ь э т о г о у р а в н е н и я о б р а щ а е т в н у л ь х о т я б ы о д и н и з в х о д я щ и х в н е г о м н о г о ч л е н о в , т . е . я в л я е т с я к о р н е м х о т я б ы о д н о г о и з у р а в н е н и й д а н н о й с о в о к у п н о с т и . Н а о б о р о т , л ю б о й к о ­ р е н ь с о в о к у п н о с т и у д о в л е т в о р я е т д а н н о м у у р а в н е н и ю . П о э т о м у у р а в н е н и е и с о в о к у п н о с т ь у р а в н е н и й р а в н о с и л ь н ы .

П р и м е р 3 . Я в л я ю т с я л и у р а в н е н и е

3 logs I — * | = log3 х 2

и с о в о к у п н о с т ь у р а в н е н и й

* + 1 = 0, * — 1 = 0,

х

= 0

р а в н о с и л ь н ы м и и а О Д З д а н н о г о у р а в н е н и я ?

Р е ш е н и е . О б л а с т ь ю д о п у с т и м ы х з н а ч е н и й д а н н о г о у р а в н е ­ н и я я в л я е т с я м н о ж е с т в о / ? \ { 0 } . Н а э т о м м н о ж е с т в е д а н н а я с о в о ­ к у п н о с т ь и м е е т д в а к о р н я : * х = — 1 и * а =1. О б а э т и ч и с л а , и т о л ь к о о н и , я в л я ю т с я к о р н я м и у р а в н е н и я . П о э т о м у д а н н о е у р а в ­ н е н и е и с о в о к у п н о с т ь у р а в н е н и й р а в н о с и л ь н ы н а О Д З у р а в н е н и я .

Е с л и д л я д а н н о й п а р ы у р а в н е н и й ( 1 ) л ю б о й к о р е н ь п е р в о г о у р а в н е н и я я в л я е т с я к о р н е м в т о р о г о у р а в н е н и я , т о в т о р о е у р а в н е ­ н и е н а з ы в а е т с я

следствием

п е р в о г о у р а в н е н и я , п р и э т о . м п и ш у т

f t (х) = g i (*) = > / 2 (х) = g 2 (*).

Е с л и з а м е н и т ь у р а в н е н и е е г о с л е д с т в и е м , т о м н о ж е с т в о р е ш е н и й в т о р о г о у р а в н е н и я б у д е т с о д е р ж а т ь в с е к о р н и и с х о д н о г о у р а в н е ­ н и я и п о м и м о н и х м о ж е т с о д е р ж а т ь е щ е н е к о т о р ы е ч и с л а , н а з ы ­ в а е м ы е

посторонними корнями

и с х о д н о г о у р а в н е н и я . П о э т о м у , е с л и в п р о ц е с с е р е ш е н и я о т у р а в н е н и я п е р е ш л и к е г о с л е д с т в и ю ,

§ 1. РА ВНО СИ ЛЬНЫ Е У Р А В Н Е Н И Я 7

то п к о н ц е р е ш е н и я н е о б х о д и м о ещ е п р о п е с ти и с с л е д о в а н и е к о р ­ ней (н а п р и м е р , с д е л а т ь п р о в е р к у ) и о т о б р а т ь т е н з н и х , к о т о р ы е я в л я ю т с я р е ш е н и я м и и с х о д н о го у р а в н е н и я .

Т а к , н а п р и м е р ,

V x ^ l

=

Y

=>

а-2 — 1

- .V»

— 1

.

Р е ш и в в т о р о е у р а в н е н и е , н а й д е м х± — — 1, л'2 = 0 , х :1 ---1, о д н а к о чи сл о 0 не я в л я е т с я к о р н е м п е р в о г о у р а в н е н и я .

Э т о т п р и м е р п о к а з ы в а е т , что п о с т о р о н н и й ( д л я п е р в о г о у р а в ­ н е н и я ) к о р е н ь = 0 п о я в и л с я в с л е д с т в и е т о г о , чт о О Д З в т о р о г о у р а в н е н и я с т а л а ш и р е О Д З п е р в о г о у р а в н е н и я . О д н а к о р а с ш и р е ­ ни е О Д З у р а в н е н и я п р и п е р е х о д е к е го с л е д с т в и ю п р о и с х о д и т не в сег д а (см . п р и м е р 16)).

П р о ц е с с р е ш е н и я у р а в н е н и я к а к п р а в и л о с о с т о и т в п о с л е д о ­ в а т е л ь н о й з а м е н е у р а в н е н и я б о л е е п р о с т ы м у р а в н е н и е м и л и в з а ­ м ен е сто с о в о к у п н о с т ь ю у р а в н е н и й ( н е р а в е н с т в , с и с т е м ). Д е л а я н е к о т о р ы е п р е о б р а з о в а н и я в о д н о й и л и в о б е и х ч а с т я х у р а в н е н и я , п о л у ч а е м н о в о е у р а в н е н и е , к о т о р ы м з а м е н я е м и с х о д н о е у р а в н е н и е .

П о к а ж е м н а п р и м е р а х , ч т о о д н и и т е ж е п р е о б р а з о в а н и я у р а в ­ н е н и я м о г у т п р и в о д и т ь к у р а в н е н и ю , к а к р а в н о с и л ь н о м у , т а к и н е р а в н о с и л ь н о м у д а н н о м у .

П р и м е р 4 . У р а в н е н и е

п о сл е п р и в е д е н и я п о д о б н ы х ч л е н о в в л е в о й е г о ч а с т и з а м е н я е т с я у р а в н е н и е м

7 — 2 х — 1 1 —i x ,

ем у не р а в н о с и л ь н ы м . Д е й с т в и т е л ь н о , ч и с л о 2 я в л я е т с я е д и н с т ­ в е н н ы м к о р н е м у р а в н е н и я 7 — 2,v — 1 1 — 4л: и не я в л я е т с я к о р н е м и с х о д н о го у р а в н е н и я .

П р и м е р 5 . У р а в н е н и е

5 + 2* + J L - _ ^ = 2 6 - *

п о с л е п р и в е д е н и я п о д о б н ы х ч л е н о в з а м е н я е т с я у р а в н е н и е м 5 -{— 2.v — 2 6 — х ,

е м у р а в н о с и л ь н ы м . Д е й с т в и т е л ь н о , ч и с л о 7 я в л я е т с я е д и н с т в е н ­ н ы м к о р н е м к а к у р а в н е н и я 5 - |- 2 л ' = 2 6 — х , т а к и и с х о д н о г о у р а в ­ н е н и я .

П р и м е р 6. У р а в н е н и е

х — 1

п о с л е с о к р а щ е н и я л е в о й е г о ч а с т и на о б щ и й м н о ж и т е л ь д-—-1 з а ­ м е н я е т с я у р а в н е н и е м х-+- 1 — 2, не р а в н о с и л ь н ы м и с х о д н о м у . Д е й ­ с т в и т е л ь н о , ч и с л о 1 я в л я е т с я е д и н с т в е н н ы м к о р н е м с л е д с т в и я , н о н е я в л я е т с я к о р н е м и с х о д н о г о у р а в н е н и я .

8 ГЛ. 1. Э К В И В А Л Е Н Т Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я И НЕРАВЕНСТВА П р и м е р 7. У р а в н е н и е

п о сл е с о к р а щ е н и я л е в о й ч а с т и н а общ и й м н о ж и т е л ь х— I, з а м е ­ н я е т с я у р а в н е н и е м * + 1 = 5, р а в н о с и л ь н ы м и сх о д н о м у . Д е й с т в и ­ т е л ь н о , ч и с л о 4 я в л я е т с я е д и н с т в е н н ы м к о р н е м к а к у р а в н е н и я ,v-{— 1 — 5 , т а к и и с х о д н о го у р а в н е н и я .

П р и м е р 8. У р а в н е н и е

а-— 1 — G— 2 х

п о сл е в о з в е д е н и я о б е и х ч а с т е й в к в а д р а т з а м е н я е т с я у р а в н е н и е м (а— I ) - — (б — 2а) 2, ем у пе р а в н о с и л ь н ы м . Д е й с т в и т е л ь н о , е д и н с т в е н ­ н ы й к о р е н ь и с х о д н о го у р а в н е н и я — чи сл о 7 /3 — я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я ( х— 1)2 = ( 6 —2а) 2, по к о р е н ь это го у р а в н е н и я — ч и с л о 5 — ие я в л я е т с я р е ш е н и е м и с х о д н о го у р а в н е н и я .

П р и м с р 9. У р а в н е н и е

V 7 + 1 - }л 2 ^ х

п о сл е в о з в е д е н и я о б еи х ч а стей в к в а д р а т з а м е н я е т с я у р а в н е н и е м .V + 1 = 2 — А',

р а в н о с и л ь н ы м и с х о д н о м у . Д е й с т в и т е л ь н о , чи сл о х/с я в л я е т с я е д и н ­ с т в е н н ы м к о р н е м к а к у р а в н е н и я * + 1 = 2 — * , т а к и и с х о д н о го у р а в н е н и я .

У т в е р ж д е и и я о р а в н о е и л ь н о е т и у р а в и с и и й.

1. У р а в н е н и я / ( * ) = £ ( * ) и / ( * ) — £ ( * ) — 0 р а в н о с и л ь н ы . 2. У р а в н е н и я f ( x ) — g ( x ) 11 / (*) + а ~ g (*) + а р а в н о с и л ь н ы д л я л ю б о го ч и сл а а .

3. У р а в н е н и я / ( * ) = / ' (*) и a f {х) — а ц (х) р а в н о с и л ь н ы д л я л ю б о го ч и сл а а Ф 0.

4. У р а в н е н и я a ?U ) = a s {х) (а > 0 , а ф 1) и f ( x ) - - g ( x ) р а в н о ­ с и л ь н ы .

5. П у с т ь ф у н к ц и и ; / — / ( * ) и y = g ( x ) н е о т р и ц а т е л ь н ы н а н е ­ к о т о р о м м н о ж е с т в е А . Т о гд а на это м м н о ж е с т в е у р а в н е н и я / (*) =

= g ( x ) и f " (а) = g n (*) ( / i £ N ) р а в н о с и л ь н ы .

6. П у с т ь ф у н к ц и и у - - - / ( * ) и y — g { x ) п о л о ж и т е л ь н ы н а н е к о ­ то р о м м н о ж е с т в е А . Т о гд а н а этом м н о ж е с т в е А у р а в н е н и я log,, f (х) lo g e g (а) {а > 0 , а Ф 1) и / (а) = g (а) р а в н о с и л ь н ы . В ч а с т н о с т и , е с л и Ь > 0, то у р а в н е н и я a /l(x ) — b н к (*) - - log„ b р а в н о с и л ь н ы .

7. П у с т ь ф у н к ц и я у - гр (а) о п р е д е л е н а и н е о б р а щ а е т с я в н у л ь ни в о д н о й т о ч к е м н о ж е с т в а Л , с о д е р ж а щ е м с я в О Д З у р а в н е н и я f ( x ) — g(* ). Т о г д а па м н о ж е с т в е А у р а в н е н и я / (а) =

= g (а) и / (а) <р (*) = g (а) ф (*) р а в н о с и л ь н ы . М н о ж е с т в о А м о ж е т с о в п а д а т ь с О Д З у р а в н е н и я / (а) = g (а).

У т в е р ж д е и и я о с л е д с т в и и.

1°. У р а в н е н и е f'ln (*) — g~ n (a) ( / ; £ N ) я в л я е т с я с л е д с т в и е м у р а в н е н и я / (а) — g (а) .

2°. У р а в н е н и е f (а) = g (х) я в л я е т с я с л е д с т в и е м у р а в н е н и я log« f (а) - loga g (а) (а > 0 , а ф 1).

3°. У р а в н е н и е / (а) = g (а) ф (а) я в л я е т с я с л е д с т в и е м у р а в н е ­ н и я / (а)/ф (а) - g (а) .

§ 1. РАВН О СИ ЛЬНЫ Е У Р А В Н Е Н И Я

9

4°. У р а в н е н и е f ( x ) = g ( x ) я в л я е т с я с л е д с т в и е м у р а в н е н и я / (*)-{-/» ( x ) = g ( х ) - \ - П (х ).

5°. С о в о к у п н о с т ь у р а в н е н и и / (х) — О,

8 (х) = О

я в л я е т с я с л е д с т в и е м у р а в н е н и я / (.v) g (х) — 0 .

П р и м е р 10. Я в л я ю т с я л и у р а в н е н и я

! 7 , 10 о , Ю , - О

х г 7 "■ ‘)х— 1= 8 ~ х г ТУ ^ ~ 1 11 -г 7 ^ 8—х

р а в н о с и л ь н ы м и ?

Р е ш е и и е . В т о р о е у р а в н е н и е п о л у ч е н о и з п е р в о г о у р а в н е ­ н и я п р и б а в л е н и е м к о б е и м его ч а с т я м о д н о г о и т о г о ж е в ы р а ж е ­ н и я — 9^ — j - . к о т о р о е п е о п р е д е л е н о п р и х — 1 /2 . Э т о о з н а ч а е т , что ч и сл о 1/2 н е м о ж е т б ы т ь к о р н е м п е р в о г о у р а в н е н и я , но м о ж е т б ы ть к о р н е м в т о р о г о . Л е г к о п р о в е р и т ь , ч т о ч и с л о 1/2 я в л я е т с я к о р н е м в т о р о г о у р а в н е н и я .

И т а к , к о р е н ь в т о р о г о у р а в н е н и я х = \ / 2 н е я в л я е т с я к о р н е м п е р в о г о у р а в н е н и я . С л е д о в а т е л ь н о , д а н н ы е у р а в н е н и я н е я в л я ю т с я р а в н о с и л ь н ы м и ?

П р и м е р 11. Я в л я ю т с я л и у р а в н е н и я 2( х — 10)

х2— ІЗх-1-ЗО

х 2 — 1 5 х -]-5 0 — 0 р а в н о с и л ь н ы м и ?

Р е ш е н и е . Р е ш и м п ер в о е у р а в н е н и е . О с в о б о ж д а я с ь о т з н а ­ м е н а т е л я , т . е. у м н о ж а я обе ч а с т и и с х о д н о г о у р а в н е н и я н а в ы р а ­ ж е н и е х 2 — 1 З х -]-3 0 , п о л у ч а е м у р а в н е н и е

2 х — 2 0 = х 2 — 1 З х -I- 3 0.

М н о ж е с т в о в с е х к о р н е й э т о г о у р а в н е н и я с о с т о и т и з д в у х чи се л : х х 10 и х 2 — 5 . В р е з у л ь т а т е п р о в е д е н н о г о п р е о б р а з о в а н и я м о гл и п о я в и т ь с я п о с т о р о н н и е к о р н и ; п о э т о м у н е о б х о д и м о с д е л а т ь п р о ­ в е р к у . О н а п о к а з ы в а е т , чт о ч и с л о х 1 = - 1 0 н е я в л я е т с я к о р н е м и с х о д н о г о у р а в н е н и я , а ч и с л о х 2 ---5 я в л я е т с я е г о к о р н е м , т . е.

п е р в о е у р а в н е н и е и м е е т е д и н с т в е н н ы й к о р е н ь х 5.

У р а в н е н и е х 2 — 15 х 5 0 — 0 и м е е т д в а р е ш е н и я : x t 5 и х 2 - - 1 0 . С р а в н и в а я м н о ж е с т в о к о р н е й д а н н ы х у р а в н е н и и , п о л у ­ ч а ем : в т о р о е у р а в н е н и е я в л я е т с я с л е д с т в и е м п е р в о г о .

П р и м е р 12. Я в л я ю т с я л и у р а в н е н и я

У х 2 - } -х — 5 = Y ~ x— 1 и х 2 - |- х — 5 х — 1 р а в н о с и л ь н ы м и ?

Р е ш е н и е . М н о ж е с т в о в с е х к о р н е й в т о р о г о у р а в н е н и я с о с т о и т нз д в у х ч и с е л : х х — 2 и х 2 — — 2 . П р о в е р к а п о к а з ы в а е т , чт о ч и с л о — 2 не п р и н а д л е ж и т О Д З п е р в о г о у р а в н е н и я и п о э т о м у н е м о ж е т б ы т ь е г о к о р н е м ; с л е д о в а т е л ь н о , э т и у р а в н е н и я не р а в н о с и л ь н ы .

10 ГЛ. I. Э К В И В А Л Е Н Т Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я И НЕРАВЕНС ТВА В т о р о е у р а в н е н и е п р и м е р а 12 п о л у ч е н о н з п е р в о г о в о з в е д е ­ н и ем в к в а д р а т , п о э т о м у в т о р о е у р а в н е н и е е с т ь с л е д с т в и е п е р ­ в о г о . П р и эт о м д а н н ы е у р а в н е н и я р а в н о с и л ь н ы и а О Д З п е р в о г о у р а в н е н и я .

П р и м е р 13. Я в л я ю т с я л и у р а в н е н и я

2 \ л х - \ ~ 5 = х - \ - 2 и 4 (л-- | - 5) = (.VИ- 2)~

р а в н о с и л ь н ы м и ?

Р е ш е н и е . М н о ж е с т в о в с е х к о р н е й в т о р о г о у р а в н е н и я с о ­ с т о и т и з д в у х ч и се л : 4 и —І. О д н а к о ч и с л о — 1 не я в л я е т с я к о р н е м п е р в о г о у р а в н е н и я ; п о э т о м у д а н н ы е у р а в н е н и я не я в л я ю т с я р а в н о с и л ь н ы м и . П р и это м ч и с л о — 4 у д о в л е т в о р я е т у с л о в и ю . V ^ — 5, т . е. в х о д и т в О Д З п ер в о го у р а в н е н и я ; с л е д о в а т е л ь н о , эт и у р а в н е н и я не я в л я ю т с я р а в н о с и л ь н ы м и на О Д З п е р в о г о у р а в ­ н е н и я . О н и р а в н о с и л ь н ы , н а п р и м е р , на м н о ж е с т в е .v^S :— 2, т а к к а к н а это м м н о ж е с т в е ч и с л о 4 я в л я е т с я е д и н с т в е н н ы м к о р н е м к а к п е р в о г о , т а к и в т о р о г о у р а в н е н и я .

П р и м е р 14. Я в л я ю т с я л и у р а в н е н и я

lg [ х -— 4) = lg ( 4 * — 7) и х'“ — 4 — 4.v— 7 р а в н о с и л ь н ы м и ?

Р е ш е н и е. М н о ж е с т в о в с е х к о р н е й в т о р о г о у р а в н е н и я с о ­ с т о и т и з ч и с е л х± — 3 и А'2 — 1. О д н а к о ч и с л о 1 ие я в л я е т с я к о р ­ нем п е р в о г о у р а в н е н и я , и п о э т о м у д а н н ы е у р а в н е н и я не я в л я ю т с я р а в н о с и л ь н ы м и .

Э т о т п р и м е р п о к а з ы в а е т , чт о п е р е х о д о т у р а в н е н и я lo g a /(.v) =

= log

a g

(х ) (гд е а > 0, а == 1) к у р а в н е н и ю / ( * ) =

g

(* ), в о о б щ е г о в о р я , не п р и в о д и т к р а в н о с и л ь н о м у у р а в н е н и ю , а п р и в о д и т т о л ь к о к его с л е д с т в и ю ; п о э т о м у п р и п о т е н ц и р о в а н и и у р а в н е н и я н е о б х о д и м о с д е л а т ь п р о в е р к у .

У р а в н е н и е lo g a / (х) — lo g tf g (х) р а в н о с и л ь н о н а с в о е й О Д З у р а в н е н и ю

f(x)

⁼

g(x).

П о э т о м у у р а в н е н и я lg (.v~ — 4) — lg ( 4 х — 7) и х - — 4 х — ‘\ х — 7 р а в н о с и л ь н ы н а О Д З п е р в о г о у р а в н е н и я , с о ­ с т о я щ е й из в сех .V > 2.

П р и м е р 15. Д а н ы д в а у р а в н е н и я :

/1 (х ) f a ( x ) / і (х ) / і (х) Н~ / з (х ) к (X )' П ( Х ) к ( х Г к ( х ) + П ( Ху

а) П р и к а к о м у с л о в и и в т о р о е у р а в н е н и е е с т ь с л е д с т в и е п е р ­ в о го ?

б) П р и к а к о м у с л о в и и п е р в о е у р а в н е н и е е с т ь с л е д с т в и е в т о ­ рого?

в) П р и к а к о м у с л о в и и э т и у р а в н е н и я р а в н о с и л ь н ы ?

Р е ш е н и е , а) П у с т ь л-0 — к о р е н ь п ер в о го у р а в н е н и я , т . е.

с п р а в е д л и в о ч и с л о в о е р а в е н с т в о

f 1 ( * b ) __к (Л'о ) . / з (-v«) “ f \ ( * о ) ’ о т с ю д а п о л у ч а е м р а в е н с т в о

/і (*о) /4 (-v0) = ^h (-v0) ^Һ (*о)‘

П р и б а в и м к о б е и м ч а с т я м э т о г о р а в е н с т в а ч и с л о f i ( л ' 0 ) / 2 ( д * 0 ) . П о л у ч и м

/ i (-v0) ( f ‘i (-Vo) f l (-vo)) — f2 (-V«) ( ji (-Vq) - p fa (-Vo)) •

П о с к о л ь к у f 2 (д'о) Ф 0 , т о п р и / « (л'о) + f i (д'о) Ф 0 и м е е т м е с т о р а в е н с т в о

/1 (-Vp) __ f 1 (л'о) ~ r / з (Xq) f 2( - V o ) / 2 ( - V o ) H " f i ^{( - V o )}

Э т о р а в е н с т в о о з н а ч а е т , ч т о ч и с л о х 0 я в л я е т с я к о р н е м в т о р о г о у р а в н е н и я . П о э т о м у , е с л и н и о д н и н з к о р н е і і п е р в о г о у р а в н е н и я н е я в л я е т с я к о р н е м у р а в н е н и я ( - V ) - г f i

(х)

^{= 0 , т о} в т о р о е у р а в ­ н е н и е я в л я е т с я с л е д с т в и е м п е р в о г о у р а в н е н и я .

б ) П у с т ь д ' о — к о р е н ь в т о р о г о у р а в н е н и я , т . е . с п р а в е д л и в о ч и с л о в о е р а в е н с т в о

Ы-Ур) U (- Уо)-гЫ-Уо)

/ 2 ( - V o ) /2 (Д'о) 'і - f i ( - V o ) Т о г д а и м е е м р а в е н с т в о

fi ( - V o ) (/ 2 ( . V0H - / 4 ( . V o ) ) = / 2 ( - V o ) (fi ( . V0H - / 3 ( - V o ) ) , и л и

f1 ( - V o ) f i ( - V o ) = / 2 ( - V o ) f3 ( A' o ) •

П о э т о м у п р и f i ( a ' o ) 5= 0 ( н а п о м н и м , ч т о / 2 ( . v 0 ) Ф 0 ) и м е е м

f j ( X0) / 3 ( . V p ) / 2 ( - V o ) f i ( - V o ) '

Э т о о з н а ч а е т , ч т о ч и с л о д ' 0 я в л я е т с я к о р н е м п е р в о г о у р а в н е н и я . Т а к и м о б р а з о м , е с л и н и о д и н н з к о р н е й в т о р о г о у р а в н е н и я н е я в л я е т с я к о р н е м у р а в н е н и я / . i ( . v ) = 0 , т о п е р в о е у р а в н е н и е я в ­ л я е т с я с л е д с т в и е м в т о р о г о у р а в н е н и я .

в ) О б ъ е д и н я я р е з у л ь т а т ы , п о л у ч е н н ы е в п . п . а ) и б ) , п о л у ­ ч а е м : д а н н ы е у р а в н е н и я э к в и в а л е н т н ы , е с л и л ю б о й к о р е н ь п е р ­ в о г о у р а в н е н и я п е я в л я е т с я к о р н е м у р а в н е н и я / 2 (х) f.x (х) = 0 и л ю б о й к о р е н ь в т о р о г о у р а в н е н и я н е я в л я е т с я к о р н е м у р а в н е н и я

f i ( x ) = 0.

П р и м е р 1 6 . Д а н ы д в а у р а в н е н и я :

/ (.v) = S (х) и t g / (a-) = (а -).

а ) М о г у т л и б ы т ь п о т е р я н ы к о р н и в р е з у л ь т а т е п е р е х о д а о т п е р в о г о у р а в н е н и я к о в т о р о м у ?

б ) М о г у т л и п о я в и т ь с я п о с т о р о н н и е к о р н и п р и э т о м п е р е х о д е ? Р еш ен и е. П о к а ж е м , ч т о п р и п е р е х о д е о т п е р в о г о у р а в н е ­ н и я к о в т о р о м у в о з м о ж н ы и п о т е р я к о р н е й , и п р и о б р е т е н и е п о ­ с т о р о н н е г о к о р н я .

а ) П у с т ь f (х) — a r c s i n . v , g (х) = 2 a r c s i n • . Т а к к а к ч и с л о 1 я в л я е т с я к о р н е м у р а в н е н и я

a r c s i n х — 2 a r c s i n — £ — , ( 2 )

V 2

$ 1. РАВН О СИ ЛЬНЫ Е У Р А В Н Е Н И Я Ц

12 ГЛ. 1. Э К В И В А Л Е Н Т Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я И Н Е Р А В Е Н С Т В А п о н е я в л я е т с я к о р н е м у р а в н е н и я

t g ( a rc s in а') = t g [ 2 a r c s i n — (3)

V У 2 J

т о п р и п е р е х о д е о т у р а в н е н и я (2) к у р а в н е н и ю (3) п р о и зо ш л а п о т е р я к о р н я х — 1.

б) П у с т ь f (х) — х , g ( x ) = 2x . Т а к к а к чи сл о я я в л я е т с я к о р ­ нем у р а в н е н и я t g x — t g - 2л:, но не я в л я е т с я к о р н е м у р а в н е н и я х = 2 х , то при п е р е х о д е о т у р а в н е н и я х — 2 х к у р а в н е н и ю t g x =

= t g 2 x б ы л п р и о б р е т е н к о р е н ь х — л .

О б р а щ а е м в н и м а н и е н а ч а с т о в с т р е ч а ю щ у ю с я о ш и б к у п ри р еш е н и и у р а в н е н и и , с о с т о я щ у ю в то м , что ф о р м а л ь н о и с п о л ь з у ю т ­ с я ф о р м у л ы , б е з у ч е т а у с л о в и й их п р и м е н и м о сти , и в р е з у л ь т а т е п р о и с х о д и т с у ж е н и е и ли р а с ш и р е н и е о б л а с т и д о п у с т и м ы х з н а ч е ­ н и и и сх о д н о го у р а в н е н и я и т е м сам ы м в о з м о ж н а п о т е р я к о р н е й и л и п о я в л е н и е п о сто р о н н и х .

Т а к , н а п р и м е р , п ри п е р е х о д е о т у р а в н е н и я

У 2 х 2 — х — 6 = 3 (4)

к у р а в н е н и ю

У 7 ^ 2 У 2 х+ 3 - 3 (5)

т е р я е т с я к о р е н ь — 5 /2 . П о т е р я к о р п я п р о и с х о д и т в р е з у л ь т а т е н е п р а в и л ь н о г о п р и м е н е н и я ф о р м у л ы у ab = У \ а | У \ b \ { a b ^ 0 ).

Ф о р м у л а ) /Л( 2 х -|- 3 ) ( х — 2) = V ^ 2 x -f-3 У х — 2 в е р н а т о л ь к о п р и х 2, т . е. п р и за м е н е у р а в н е н и я (4) у р а в н е н и е м (5) т е р я ю т с я к о р н и и з о б л а с т и х < — 3 /2 . П о э т о м у н е л ь з я с ч и т а т ь , ч то у р а в н е ­ н и е р е ш е н о , к о г д а н а й д е н о е д и н с т в е н н о е р еш ен и е — ч и с л о 3 — у р а в н е н и я У х — 2 У 2 х - |- 3 — 3.

П р и м е р 17. Я в л я ю т с я л и у р а в н е н и я

2 t g х _

1 — t g s x t g x 9 t £ x

t g 2 x — Ctg X = 0 И —:---т-r,---- 7 7 ^ = ° р а в н о с и л ь н ы м и ?

Р е ш е н и е . М н о ж е с т в о в с е х р еш ен и й п е р в о г о у р а в н е н и я с о ­ с т о и т и з т р е х с е р и й р е ш е н и й

Х/{ k £ Z,

Я .

х т = -g-+я т , t n £ Z ,

* Jt . ry

x:n = — — j-я//., n £ Z,

и з к о т о р ы х с е р и я р е ш е н и й х / . — п / 2 - \ - л / г ( k £ Z) не я в л я е т с я р е ш е ­ ни ем в т о р о г о у р а в н е н и я (не в х о д и т в его О Д З ). П о э т о м у д а н н ы е у р а в н е н и я ие я в л я ю т с я р а в н о с и л ь н ы м и . О н и не р а в н о с и л ь н ы на О Д З п е р в о го у р а в н е н и я , но р а в н о с и л ь н ы на О Д З в т о р о г о у р а в ­ н е н и я , м н о ж е с т в о м в с е х р еш е н и й к о т о р о г о я в л я ю т с я п о с л е д н и е д в е с е р и и р е ш е н и й п е р в о го у р а в н е н и я .

П р и м е р 18. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

lo g o * 2 = 2. (6)

Р е ш е м и е.

П е р в ы ii с и о с о б. О Д З у р а в н е н и я е с т ь л ю б о е х Ф 0. П р и ­ м е н я я ф о р м у л у logo * 2 - - 2 logo х (х > 0 ), п о л у ч а е м у р а в н е н и е 2 l o g o * - -2, о т к у д а н а х о д и м . v —‘2.

П р о д е л а н н о е п р е о б р а з о в а н и е п о з в о л и л о р е ш и т ь у р а в н е н и е (G) т о л ь к о на ч а с т и его О Д З , а и м ен но д л я п о л о ж и т е л ь н ы х х , гд е с п р а в е д л и в а ф о р м у л а lo g 2 х - 2 log2 х . Н а м н о ж е с т в е х < 0 у р а в ­ н ен и е пе р е ш а л о с ь ; п о э т о м у н е л ь з я с ч и т а т ь н а й д е н н ы й к о р е н ь ед и н с т в е н н ы м р е ш е н и е м у р а в н е н и я (6).

Р е ш и м у р а в н е н и е на м н о ж е с т в е х < 0. П о с к о л ь к у ;с < 0 ФФ ФФ (— х) > 0 и

l o g o X 2 — l o g o ( — .v ) “ — 2 l o g o ( — a ) , то д л я

x

< 0 п о л у ч и м у р а в н е н и е

2 l o g o

(— x) =

^{2 ФФ l o g o}

^(— x) —

¹

^,

о т к у д а н а х о д и м

x

⁼ — 2 . Э т о т к о р е н ь у д о в л е т в о р я е т у с л о в и ю . v < 0 . Н а к а ж д о м н з д в у х м н о ж е с т в О Д З д е л а л и с ь р а в н о с и л ь н ы е п р е о б р а з о в а н и я , п о э т о м у у р а в н е н и е (6) и м е е т д в а к о р п я хл — 2 и х 2 — — 2.

В т о р о й с п о с о б . У ч и т ы в а я с п р а в е д л и в о с т ь р а в е н с т в а lo g х? = 2 lo g I х I п р и л ю б о м х Ф 0 , им еем

(6) ФФ 2 l o g o | х | — 2 ФФ l o g o | х | — 1 ФФ | х | = 2 ФФ [ XX Z V 2 ’

Т р е т и й с п о с о б . У р а в н е н и е l o g 2 f (х) = l o g o g (а) р а в н о ­ с и л ь н о с и с т е м е

( /(-*)> 0,

I f ( x ) = g ( x ) . К р о м е т о г о , 2 — l o g o 4.

П о э т о м у

Г х — 2, ( б ) ФФ l o g o л-2 — I o g 2 4 <=> х ~ — 4 ФФ (.V— 2 ) ( х - ! - 2 ) — 0 ф ф _____^

Т а к и м о б р а з о м , р е ш е н и е м и с х о д н о г о у р а в н е н и я я в л я ю т с я х і — 2 и л'о = — 2.

П р и м е р 19. Р е ш и т ь у р а в н е н и е

У Т \ Т \ = х — \-. (7)

Р е ш е н н е.

П е р в ы й с п о с о б . О Д З у р а в н е н и я (7) з а д а е т с я у с л о в и е м х 5 > — 11. У ч и т ы в а я , что

/

(х)

-

g(-V) Г±> Г- (х) = g- (X

),

им еем

(7 ) х -{-11 х~ — 2 х + 1 ФФ а-2 — За- — 10 —- 0 ФФ

ФФ (* — 5) (* -{ -2 ) = 0 ФФ

§ 1. РАВНО СИЛЬНЫ Е У Р А В Н Е Н И Я 13

14 ГЛ. 1. Э К В И В А Л Е Н Т Н Ы Е У Р А В Н Е Н И Я И Н ЕР АВЕНСТВА Т а к и м о б р а з о м , р е ш е н и я и с х о д н о г о у р а в н е н и я с о д е р ж а т с я с р е ­ д и ч и с е л л'х = 5 и Ао = — 2.

П р е ж д е чем с д е л а т ь п р о в е р к у , о б р а т и м в н и м а н и е ч и т а т е л я н а ч а с т о в с т р е ч а ю щ у ю с я о ш и б к у . П е р е х о д я о т д а н н о г о у р а в н е н и я к е го с л е д с т в и ю , н а х о д я т к о р н и . З а т е м п р о в е р я ю т , в х о д я т л и н а й д е н н ы е к о р н и в О Д З и с х о д н о г о у р а в н е н и я . Т е к о р п и , к о т о р ы е н е в х о д я т в О Д З , о т б р а с ы в а ю т , а о с т а л ь н ы е (в х о д я щ и е в О Д З и с х о д н о г о у р а в н е н и я ) в ы п и с ы в а ю т в о т в е т . В это м и с о с т о и т о ш и б к а . Н е л ь з я о г р а н и ч и т ь с я п р о в е р к о й п р и н а д л е ж н о с т и н а й д е н ­ н ы х к о р н е й О Д З у р а в н е н и я . Н е о б х о д и м о п р о в е р я т ь, у д о в л е т в о р я ю т л и к о р н и с л е д с т в и я , в х о д я щ и е в О Д З исх одного у р а в н е н и я , с а м о м у и с х о д н о м у у р а в н е н и ю . Э то п о д т в е р ж д а е т с я д а н н ы м п р и м е р о м .

Д е й с т в и т е л ь н о , о б а к о р п я с о в о к у п н о с т и у д о в л е т в о р я ю т О Д З , но ч и с л о 5 у д о в л е т в о р я е т у р а в н е н и ю (7 ), а ч и с л о — 2 не у д о в ­ л е т в о р я е т е м у . И т а к у р а в н е н и е (7) и м еет е д и н с т в е н н ы й к о р е н ь В т о р о й с п о с о б . У р а в н е н и е У а(а) = р (а) р а в н о с и л ь н о с и сте м е

т а к к а к Р2 (а) ^ 0 , и р а в е н с т в о а (а) — Р2 (а) н а к л а д ы в а е т н а а (а ) у с л о в и е н е о т р и ц а т е л ь н о с т и .

Р е ш а я р а в н о с и л ь н ы м п е р е х о д о м у р а в н е н и я т и п а (7), м о ж н о не н а х о д и т ь О Д З э т о г о у р а в н е н и я , но о б я з а т е л ь н о н а к л а д ы в а т ь у с л о в и е н е о т р и ц а т е л ь н о с т и ф у н к ц и и р (а ).

У ч и т ы в а я э т о , д л я д а н н о г о п р и м е р а им еем

Р е ш е н и е .

П е р в ы й с п о с о б . О Д З у р а в н е н и я (8) з а д а с т с я у с л о в и е м х 2 ( а — 1 ) ^ 0 , т. е. е с т ь х = 0 и а ^ 1. Р а зо б ь е м О Д З на д в е ч а с т и : а = 0 и а ^ 1.

Е с л и а = 0, то у р а в н е н и е (8) п р е в р а щ а е т с я в в ер н о е ч и с л о в о е р а в е н с т в о . Т а к и м о б р а з о м , ч и с л о 0 — р е ш е н и е у р а в н е н и я (8).

Е с л и * 5 г 1 , т о I АI = а и У А'2 (а — 1) — а У х— 1; п о это м у у р а в н е н и е (8) п р и н и м а е т в и д а У х—1 — х . В э т и х у с л о в и я х л е ­ в у ю и п р а в у ю ч а с т и п о с л е д н е г о у р а в н е н и я м о ж н о р а з д е л и т ь на х . Т о г д а и м еем у р а в н е н и е У х— 1 = 1, к о т о р о е р а в н о с и л ь н о у р а в ­ н е н и ю а = 2 .

О б ъ е д и н я я н а й д е н н ы е р е ш е н и я у р а в н е н и я (8 ), н а о б е и х ч а с ­ т я х его О Д З п о л у ч и м Ах = 0 и х 2 = 2— р е ш е н и я у р а в н е н и я (8).

f Ж ^ о ,

1 « (а) = р 2 (а) ,

За— 10 — 0 ^

И т а к , а = 5 — е д и н с т в е н н о е р е ш е н и е у р а в н е н и я (7).

П р и м е р 2 0 . Р е ш и т ь у р а в н е н и е

у X й (А— 1) = |* |.

₍₃₎

§ 1. РАВНО СИ ЛЬНЫ Е У Р А В Н Е Н И Я

15

В т о р о й с п о с о б . У р а в н е н и е У а (л-) = р (х) р а в н о с и л ь н о с и с т е м е

\ а (*) = р - (.v)і

П о о п р е д е л е н и ю м о д у л ь ч и с л а е с т ь в е л и ч и н а н е о т р и ц а т е л ь н а я , с л е д о в а т е л ь н о ,

(8) ФФ х~ ( * - 1) = х - фф *2 ( а — 2) = 0 ФФ [ * = £ Т р е т и й с п о с о б . П о с к о л ь к у

f(x) = g ( x ) => f 1 (x) = g-(x),

(8) х~ ( х — 1) = л 2 ФФ .V2 (.V — 2) = 0 ФФ Г х = 0 , L х = 2.

П р и р е ш е н и и у р а в н е н и я и с п о л ь з о в а л с я п е р е х о д к с л е д с т в и ю , п о это м у н а д о д е л а т ь п р о в е р к у . П о д с т а в л я я х = 0 и х = 2 в и с х о д ­ ное у р а в н е н и е , п о л у ч а е м в е р н ы е ч и с л о в ы е р а в е н с т в а ; с л е д о в а ­ т е л ь н о , х — 0 и х = 2— к о р н и у р а в н е н и я (8 ).

П р и м е р 2 1 . Р е ш и т ь у р а в н е н и е

У х — 2 (х 2— kv-}- 3) = 0.

(9)

Р е ш е н и е .

П е р в ы й с п о с о б . У р а в н е н и е р 3 (х) — 0 е с т ь с л е д с т в и е у р а в н е н и я р ( х ) = 0; п о э т о м у

(9) = > (.v — 2) (х - —4 х-j- 3 )а = 0 ФФ (х — 2) (х — 3 )- ( х — 1)- = 0 ФФ х = 1, ФФ х — 2 ,

х — 3 . П о с к о л ь к у у р а в н е н и е (0) р е ш а л о с ь п е р е х о д о м к с л е д с т в и ю , т о н е о б х о д и м о с д е л а т ь п р о в е р к у . П р о в е р к о й у с т а н а в л и в а е м , ч т о ч и с л о 2 и ч и с л о 3 я в л я е т с я р е ш е н и е м у р а в н е н и я (9 ), а ч и с л о 1 не я в л я е т с я его к о р н е м .

В т о р о й с п о с о б . У ч и т ы в а я , ч т о с о в о к у п н о с т ь у р а в н е н и й

Г

/ 0» я в л я е т с я с л е д с т в и е м у р а в н е н и я f ( x ) g ( x ) = 0 , и м еем

1. 8 (х) = О

(9) => У х —2 = 0,

х 2 — 4 л : + 3 = 0ФФ Г х = 2,

[

(х — 3

3) ( х — 1) = 0

х — 2 , х = 1 , х — 3 . Д е л а я п р о в е р к у , у с т а н а в л и в а е м , что х і — 2 ii а*2 = 3 — к о р н и у р а в н е н и и (9 ).

Т р е т и й с п о с о б . Н а х о д и м О Д З у р а в н е н и я (9). О н а з а ­ д а е т с я у с л о в и е м х ^ 2 . У ч и т ы в а я , что у р а в н е н и е f ( x ) g ( x ) = 0

( О Д З а (х) g (X)), р а в н о с и л ь н о с и с т е м е -! Г / ( х ) = 0, им еем

{ I 8 (л

1G ГЛ. 1. Э К В И В А Л Е Н Т Н Ы Е У Р А ВН Е Н И Я И Н ЕРАВЕНСТВА

(х) = 0,

( х 2,

(9) ФЬ

\ Г У х — 2 — О ФФ

Г

X Z X2 & \ х - 3

11*-«*+з-о 1 *х- 1 L*-3-

С л е д о в а т е л ь н о , м н о ж е с т в о в с е х р е ш е н и и у р а в н е н и я (9) со с т о и т н з ч и се л 2 и 3.

З А Д А Н И Е I

1. Н а й т и о б л а с т ь д о п у с т и м ы х з н а ч е н и и у р а в н е н и я :

1) }/" J IT T lg (9 -2 x ) = 0; 2) - 4 - ^ + - 7 1

* + 3 1 у х л . з х 2 -Ь 5 х 6 ' 2. Я в л я ю т с я л и у р а в н е н и я р а в н о с и л ь н ы м и :

1) 7х— 1 = 2 х + 1 и (7х— 1) У 2х2 + 11 = (2x-j-1) У ^{2х* + 11;}

2) ( 5 х — 1)2 = (Зх + 5)2 и 5 х — 1 — Зх + 5?

3. П р и в е с т и п р и м е р , к о г д а у р а в н е н и я в и д а f (х) = 0 и f (х) g (х) = О 1) р а в н о с и л ь н ы ;

2) п е р в о е у р а в н е н и е я в л я е т с я с л е д с т в и е м в т о р о г о ; 3) в т о р о е у р а в н е н и е я в л я е т с я сл ед с тв и ем п е р в о го . 4. Я в л я ю т с я л и р а в н о с и л ь н ы м и у р а в н е н и я : 1) / (х) — 0 и У Щ = 0 ; _________

2) Y f (х) У g (х) = 0 и У ! (х) g (х) = 0;

3) / (х) = 0 и V f ( x ) = 0?

5. К а к о е и з д в у х у р а в н е н и и е с т ь с л е д с т в и е д р у г о г о : О f ( x ) g ( x ) = a, / (х) — a / g (х );

2) f (х) — 0, / (х) 10/ <А> = 0 ; 3) / (х) — 0, s in / (х) = 0?

З А Д А Н И Е 2

1. Н а й т и о б л а с т ь д о п у с т и м ы х з н а ч е н и й у р а в н е н и я :

1) У х ^ 9 —У7 с Г

1

4 х 2 4 - 21

- х 2 - ) - х — 1 X -I -I

2. Я в л я ю т с я л и р а в н о с и л ь н ы м и у р а в н е н и я :

п о ъ с о 2 х —3 5 — 2 х

I) 2 х —3 = 5 — 2 х и --- ; 2) — х + 6 = 3 х — 4 и 3. К а к о е н з у р а в н е н и й

Һ (х) Һ (4

1 ’

х + 6 ) (х* -(- 7) = (З х — 4) (X2 -1-7)?

/а (х) U (х)

и л и /х (х) (х) = /о (х) / з (х)