ІШКІ ҚЫСЫМ АРҚЫЛЫ ПАЙДА БОЛҒАН ЖАРЫҚШАНЫҢ ЕСЕБІН ШЕТТІК ЭЛЕМЕНТТЕРДІҢ ҮЗІЛІСТІ ЫҒЫСУ ӘДІСІМЕН ШЕШУ

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

Студенттер мен жас ғалымдардың

«Ғылым және білім - 2014»

атты IX Халықаралық ғылыми конференциясының БАЯНДАМАЛАР ЖИНАҒЫ

СБОРНИК МАТЕРИАЛОВ

IX Международной научной конференции студентов и молодых ученых

«Наука и образование - 2014»

PROCEEDINGS

of the IX International Scientific Conference for students and young scholars

«Science and education - 2014»

2014 жыл 11 сәуір

Астана

УДК 001(063) ББК 72

Ғ 96

Ғ 96

«Ғылым және білім – 2014» атты студенттер мен жас ғалымдардың ІХ Халықаралық ғылыми конференциясы = ІХ Международная научная конференция студентов и молодых ученых «Наука и образование - 2014» = The IX International Scientific Conference for students and young scholars «Science and education - 2014».

– Астана: http://www.enu.kz/ru/nauka/nauka-i-obrazovanie/, 2014. – 5830 стр.

(қазақша, орысша, ағылшынша).

ISBN 978-9965-31-610-4

Жинаққа студенттердің, магистранттардың, докторанттардың және жас ғалымдардың жаратылыстану-техникалық және гуманитарлық ғылымдардың өзекті мәселелері бойынша баяндамалары енгізілген.

The proceedings are the papers of students, undergraduates, doctoral students and young researchers on topical issues of natural and technical sciences and humanities.

В сборник вошли доклады студентов, магистрантов, докторантов и молодых ученых по актуальным вопросам естественно-технических и гуманитарных наук.

УДК 001(063) ББК 72

ISBN 978-9965-31-610-4 © Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық

университеті, 2014

2197

[ ] (14) Тогда на основании обобщенного закона Гука определяется поле распределения температурной составляющей напряжения

[ ] . (15)

Теперь можно определить упругих составляющих деформации и напряжения

. (16) [ ]. (17) Поле распределения перемещения распределяется из обобщенного соотношения Коши

∫ . (18) Список использованных источников

1. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. – М.: Мир,1979. – 568 с.

2. Биргер И.А. Прочность. Устойчивость. Колебания: Т.1,3 – М.: Машиностроение, 1968.

3. Ноздрев В. Курс термодинамики. – М.: Мир, 1997. – 247 с.

ӘӨЖ 539.3

ІШКІ ҚЫСЫМ АРҚЫЛЫ ПАЙДА БОЛҒАН ЖАРЫҚШАНЫҢ ЕСЕБІН ШЕТТІК ЭЛЕМЕНТТЕРДІҢ ҮЗІЛІСТІ ЫҒЫСУ ӘДІСІМЕН ШЕШУ

Атшыбай Ғ., Аманжол А.

Академик Е.А. Бөкетов атындағы Қарағанды мемлекеттік университеті, магистранттары Ммех-25, Қарағанды, Қазақстан

Ғылыми жетекшісі – Ә.М.Бабалиев

Бұл мақалада әдістің сипаттамасы ретінде қарапайым мысалды қарастырайық: ішкі қысым әсер ететін жарықшасы бар шексіз дененің есебін қарастырайық. Бұл есеп келесі шарттар бойынша анықталады:

Сурет 1 – Жарықшаның беттеріне түсірілген (қойылған) кернеулер ,

0

xy x, y0, ,

yy p

 x b,y0,

u_y 0, x b, y 0. (1) және де шексіздікте барлық ығысулар мен кернеулер нөлге тең. Салыстырмалы нормаль кернеулерді жарықшаның бойына тарату үшін (яғни, жиынтық ашылу үшін) бұл есептің аналитикалық шешімі келесі формуламен анықталады [1]

2198

2 / 1 2 2/ ) 1

) ( 1 ( ) 2 0 , ( ) 0 , ( )

ˆ ( pb x b

x G u x

u x

u_y  _{y }  _{y }   

. (2)

Қарастырылып отырған есептің сандық шешімін анықтау үшін жарықшаны N кесінділерге бөлеміз, немесе шекаралық элементтер, олардың әрбірі ығысудың қарапайым үзілісі түрінде беріледі. y өсі бойымен бағытталған ығысу компоненті әрбір элементте үзілісті, ал x өсі бойымен бағытталған ығысу компоненті күшке симметрия шарты үзіліссіз болып табылады. Әрбір элементтің шектеріндегі y өсімен бағытталған ығысудың үзілісін тұрақты деп санауға болатындай элементтер кішкентай деп болжайық. Онда (1) есептің шешімінің сандық жуықтауы D_yⁱ(i1,...,N) ығысуының N дискретті үзілістерімен көрсетілуі мүмкін. Бұл N үзілістерінің мәндері N белгісіздері бар N сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу арқылы анықталады [2].

Dy ығысуының үзілістерімен x a,y0 кесіндісінің бойындағы тұрақтымен шақырылған x,y0 нүктелеріндегі _yy нормаль кернеу келесі формуламен анықталады [2].

1 . )

1 ) (

0 ,

( _{2 2}

a D x

x aG _y

yy   



  (3) Егер центрі xx,y0 нүктелеріндегі ұзындығы 2 кесіндісінде үзілісті болса, онда aⁱ (3) келесі түрде жазылады:

) , ( ) (

1 )

1 ) (

0 ,

( _y^j _{j 2 j 2}

j

yy a G D x x a

x    



  (4) мұндағы D_y^j xx^j a^j,y0- кесіндісіндегі ығысулар үзілісі. j элементіндегі ығысулар үзілісімен шақырылған, i элементінің центріндегі кернеу xорнына xⁱ алмастыру жолымен анықталады:

) , ( ) (

1 )

1 ) (

0 ,

( _y^j _{i j 2 j 2}

j i

yy a G D x x a

x    



  (5)

Суперпозиция принципіне сәйкес, барлық N элементтеріндегі ығысудың үзілісімен шақырылған i элементінің центріндегі кернеу мынаған тең







 ^N

i

j y ij i

yy i

yy x A D

1

, )

0 ,

( 

 (6) мұндағы A^ij - әсер ету коэффициенті:

) . ( ) (

) 1

( ^{i j 2 j 2}

j ij

a x

x a A G





 

   (7)

i

yy xxⁱ aⁱ,y0-кесіндісіндегі нормаль кернеу деп қабылдайық. Онда ішкі қысым әсер еткендегі жарық есебінің сандық шешімі N белгісіздері бар N сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу арқылы анықталады:











 ^N

j

j y ij i

yy p A D i N

1

. ,..., 1

 , (8)

Бұл теңдеулерді Dⁱ_y(i1,...,N) қатысты сандық талдаудың стандарттық әдістерімен шешуге болады. Бұл теңдеулерді құруға қолданылған сингулярлық шешім шексіздікте ығысулар нөлге тең болатын талапты автоматты түрде қанағаттандыратындығын ескерейік (1).

Сандық процедураның сипаты ретінде, жоғарыда суреттелген,  0.1,p/G10^3 болғандағы нақты мысалды қарастырайық.

2199

Жарықша бойымен ығысудың үзілістерінің дәл таралуы (2) сәйкес анықталады. 2- суретте нақты шешімнің екі сандық жуықтауы суреттелген.

Сурет 2 – Ығысудың үзілістерін таратуға арналған сандық және аналитикалық шешім ( 0.1,p/G10^3)

Бұл нәтижелер b және G кез келген мәндері үшін жарамды өлшемсіз пішінде (формада) көрсетілген. Бірінші жуықтау (2 (а) сур.) жарықшаның ұзындығын 10 бірдей шекаралық элементтерге бөлу арқылы анықталады, ал екіншісі (2(b) сур.) – 20 шекаралық элементтерге бөлумен. Құрастыру тәсілі бойынша Dⁱ_y үзілісі әрбір элементтің бойында тұрақты. Тәжірибеде, дегенмен, олар xⁱ(i1,...,N) дискретті нүктелеріне жатады деп көрсету ыңғайлы. Онда оларды нақты шешімді сипаттайтын бірқалыпты қисықпен қосуға болады. Бұл амалды ойша орындап, 2-суреттен үзілісті ығысулар әдісінің жарықшаның беттерінің салыстырмалы ығысуларының мәндерін жоғарылатады, бірақ нәтижелер N-ді өлшемі бойынша жоғарылату арқылы нақты шешімге жуықтайды деп қорытындылауға болады.

Сандық процедура. Жарықшаға ішкі қысым әсер еткендегі есеп үшін жоғарыда суреттелген сандық процедураның жинақталуы 3-суретте көрсетілген. Бұл жағдайда жарықша қисықсызықты болуы мүмкін, бірақ біз оны жеткілікті дәлдікпен бір біріне жалғасатын Nэлементтердің жиынтығы түрінде көрсетуіміз мүмкін деп қарастырамыз. Бұл кесінділердің орналасқан жері мен бағыты суретте көрсетілген жалпы x, y координаталық жүйелеріне қатысты анықталады. Егер жарықтың жағалауларына жүктеме қойылған болса (мысалы, p- сұйықтың бірқалыпты қысымы), олар бір-біріне қатысты жылжиды. Үзілісті ығысулар әдісі шындығында пайда болатын салыстырмалы ығысулардың тегіс таралуына дискреттік жуықтауын табуға мүмкіндік тудырады. Бұл дискретті жуықтау 3(а) суретінде суреттелген жарықшаның N ішкі аумақтарға

Сурет 3 – Ығысудың Nқарапайым үзілістерінің көмегімен көрсетілген жарықша қатысты анықталады. Бұл ішкі аумақтардың әрбірі шекаралық элемент болып табылады және ығысудың қарапайым үзілісімен сипатталады.

Ығысудың қарапайым үзілістері 3-суретте көрсетілген n және s жергілікті (локальных) координаталармен анықталады. 3(b) суретте жарықшаның j-ші кесіндісінің ығысуының қарапайым үзілісі ерекшеленген. Бұл элементтегі үзіліс компонеттері s және n бағыттарында

j

Ds және D_n^j арқылы белгілейік. Бұл өлшемдер келесі түрде анықталады:

2200

. , _n^j _n^j _n^j

j s j s j

s u u D u u

D  ^  ^  ^  ^ (9) Бұл анықтамалардағы u_s^j және u_n^j – жарықшаның j-ші элементінің (s) жанама және (n) нормаль ығысулары. + және – n локальді (жергілікті) координатасына қатысты жарықшаның оң және теріс беттері белгіленген.

j

us және u_n^j локальді (жергілікті) ығысулары вектордың екі компонентін көрсетеді.

Жарықшаның (оң және теріс) қандай беті қарастырылып отырғанына қарамастан s және n оң бағыттарында олар оң деп қарастырылады. (9) –ін салдар ретінде егер жарықшаның қарама- қарсы жағалаулары бір-біріне жақындаса ығысудың үзілісінің нормаль компоненті u_n^j оң екендігін аламыз. Сәйкесінше D_s^j жанама компоненті оң беті теріс бетіне қатысты солға қарай орын ауыстырса оң болады деп қорытындылаймыз (3(b) сур. ). Шексіз қатты дененің кез келген нүктесіндегі ығысуы мен кернеуіне ығысудың жеке, қарапайым үзілісіне әсерін элементтің орналасуы мен бағытын ескеру мақсатымен теңдеулерді тиісті өзгерту жолымен анықтауға болады. Мысалы, i-ші элементтің центріндегі жанама және нормаль кернеулер 3(b) сур.) j-ші элементтің ығысуының үзілісінің компонеттері арқылы келесі түрде өрнектелуі мүмкін:















j n ij nn j s ij ns i n

j n ij sn j s ij ss i s

D A D A

D A D A



 ,

, ,...,

1 N

i (10) мұндағы A_ss^ij,… - кернеу үшін әсерлесудің шекаралық коэффициенті. Мысалы, A_ns^ij коэффициенті j-ші элементтің (яғни D_sⁱ 1) бойындағы жанама бағыттағы ығысудың тұрақты бірлік үзілісімен шақырылған i-ші элементтің центріндегі (яғни, _nⁱ) нормаль кернеуді береді.

3(а) суретте суреттелген жарықша туралы есептке орала отырып, жарықшаның бойына әрбір N кесінділерге ығысудың қарапайым үзілістерін орнатайық және (10) қолдана отырып, жазамыз



































N

j

j n ij nn N

j

j s ij ns i

n

N

j

j n ij sn N

j

j s ij ss i

s

D A D

A

D A D

A

1 1

1 1

,





i1,...,N. (11)

Егер_sⁱ және _nⁱ кернеулерінің мәндерін жарықшаның әрбір элементі үшін беретін болсақ, онда (11) қатынасы 2N белгісізі бар, 2Nсызықтық теңдеулер жүйесін құрады, нақтырақ айтқанда ығысудың қарапайым үзілістерінің D_s^j және D_n^j(i1,...,N) белгісіз компоненттерін.

j

Ds және D_n^j үшін шешімдерді анықтағаннан кейін суперпозиция принципін қолдана отырып, дененің кез келген нүктесіндегі ығысуларды және кернеулерді анықтауға болады.

Әсіресе, 3(а) сур. көрсетілген жарықшаның бойындағы ығысулар келесі формулалар түрінде беріледі



































N

j

j n ij nn N

j

j s ij ns i

n

N

j

j n ij sn N

j

j s ij ss i

s

D B D

B u

D B D

B u

1 1

1 1

,

i1,...,N. (12)

2201

N i

P A P

A

P A P

A

N

j

j n ij nn N

j

j s ij ns i

n

N

j

j n ij sn N

j

j s ij ss i

s

,..., 1 ,

1 1

1

1 







































(12’)

мұндағы B_ss^ij,... ығысудың шекаралық әсер ету коэффициенттері. i-ші элементтің бір жағынан екінші жағына ауысуы ығысудың үзілісімен қоса жүретіндіктен, бұл екі жақты (12)- тен әсерлесу коэффициенттерін табу кезінде ажырата білу қажет. Әсерлесу коэффициентерінің матрицасының диогональ элементтері бұл байланыстарда келесі мәндерге ие болатындығы көрсетіледі:

,

0

 _snⁱⁱ

ii

ss B

B







 

 егер

B егер B_ssⁱⁱ _nnⁱⁱ

2 / 1

2 / 1







 0 0 n

n (13)

Басқа коэффициенттер (яғни, i j болғандағы коэффициенттер) үзліссіз, сондықтан (12)-дегіuⁱ_s және u_nⁱ ығысулары, D_sⁱ және D_nⁱ ығысулардың тұрақты үзілістеріне ұшырайды.

(11) теңдеулері (12’) теңдеуімен бірдей түрде жазылады, бірақ олардың арасында маңызды айырмашылық бар:

Сурет 4 – Тұйық контурдың көрінісі

(12’) теңдеулеріндегіP_s^j және P_n^j өлшемдері жалған, ал (11) теңдеулеріндегі D_sⁱ және

i

Dn өлшемдері нақты анықталған физикалық мағынаға ие болады. Алайда, соңғы тұжырым тек зерттеліп отырған аумақтың шекарасы алшақ салынған сызық түрінде берілетін, жарықшаға арналған есептер үшін ғана қолданылатынын ескерейік. Егер де ығысудың барлық қарапайым үзілістері 4-суретте көрсетілгендей шексіз дененің тұйық контурында пайда болатындай байланыстағы жағдайлар қарастырылатын болса, онда шекара екі сызықтан тұрады. Бірінші сызық (n0_) шексіз денедегі шекараның қуыстарын анықтайды, ал екіншісі (n0_) түпкі (соңғы) дененің шекарасын анықтайды. D_sⁱ және

) ,..., 1

(i N

D_nⁱ  ығысулар үзілістерінің компоненттері сәйкес s және n бағыттарындағы бұл екі шекараның салыстырмалы ығысуларын сипаттайды. Дегенмен егер тек екі аумақ та шындығында бірдей есепте қатыспайтын болса, онда бұл өлшемдер жалған болып табылады.

Сонда да олар сыртқы және ішкі есептерді шешуде жалған жүктемелер сияқты қолданыла алады. Іс жүзінде бұл екі есептің шешімі біруақытта табылатындықтан, жалпы жағдайда қатты бүтін ретінде оның тасымалдануы мен айналуының алдын алу үшін ішкі аумақтың кейбір нүктелерінің ығысуларын тиісті түрде белгілеп алу қажет. Ішкі аумақтағы ығысулар осы белгіленген нүктелерге қатысты анықталады, ал сыртқы аумақта олар шексіздіктегі белгіленген (нөлдік) ығысуларға қатысты анықталады.

Мысал. Үзілісті ығысулар әдісін таныстыру ретінде жалған жүктеме әдісімен қарастырылған есептің сандық шешімін көрсетейік: диаметрі бойынша сығылатын дөңгелек дисктің есебі.

2202

Диаметрі бойынша сығылатын дөңгелек диск (ішкі есеп). Бұл есеп В қосымшасында көрсетілген үзілісті ығысулар әдісінің (TWODD)есептеу бағдарламасының көмегімен сандық анықталған [3].

Сурет 5 – Дисктің y өсінің бойындағы кернеуі

Қайта аналитикалық шешімнің екі сандық жуықтауы қарастырылған: біреуі дөңгелек шекараның ширегін көрсету үшін 25 шекаралық элементті қолдану арқылы, ал екіншісі 50 шекаралық элементті қолдану арқылы. Берілген жағдайда шекараның бойымен қандай да бір ығысуды беруге қажеттілік тумайды, өйткені симметрия шарты оның центріне қатысты дисктің орналасуын автоматты түрде белгілейді.

5-суретте дисктің y өсінің бойындағы нүктелердегі _xx және _yy кернеулерінің жуық және нақты мәндерін салыстыру нәтижелері көрсетілген. Екі жағдайда да – N=25 және N=50 болғандағы – сандық нәтижелері аналитикалық шешіммен жақсы қатынаста болып табылады. Үзілісті ығысулар әдісі жалған жүктемелер әдісіне қарағанда дисктің y өсінің бойындағы нақты нәтижелерді беретіндігі анықталады. Дисктің x өсінің бойында есептелінген кернеулер 1-кестедегі аналитикалық шешімдермен салыстырылады. Сандық нәтижелер шамамен алдындағы жалған жүктемелер әдісіндегідей дәлдікпен алынған [3].

1-кесте. Дисктің x өсінің бойындағы кернеулер (TWODD)

x/R



_xx/ _yy/

Қарастыр ылған есеп N = 25

Қарастыр ылған есеп N = 50

Аналитикаы қ шешім

Қарастырыл ған есеп N = 25

Қарастыры л

ған есеп N = 50

Аналитикал ық шешім

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,0385 0,0371 0,0330 0,0271 0,0205 0,0141 0,0087 0,0046 0,0018 0,0003 -

0,0392 0,0376 0,0334 0,0274 0,0207 0,0143 0,0088 0,0046 0,0019 0,0003 -

0,0398 0,0382 0,0339 0,0278 0,0209 0,0144 0,0089 0,0047 0,0019 0,0004 0,0

-0,1177 -0,1147 -0,1063 -0,0937 -0,0786 -0,0628 -0,0474 -0,0334 -0,0212 -0,0107 -

-0,1187 -0,1157 -0,1070 -0,0941 -0,0788 -0,0626 -0,0470 -0,0328 -0,0204 -0,0098 -

-0,1198 -0,1167 -0,1078 -0,0946 -0,0789 -0,0624 -0,0465 -0,0321 -0,0195 -0,0089 0,0 Жоғарыда берілген дөңгелек диск үшін нәтижелерді есептеу кезінде қолданылған ығысудың үзілісінің сол жалған қарапайым компоненттері сыртқы аумақ үшін ұқсас есептің сандық шешімдерін табу үшін де қолданылады. Бұл шекараның екі диаметрлік доғаларында орналасқан _n p нормаль күштері әсер еткендегі және шекараның қалған бөліктері жүктелмеген дөңгелек тесігі бар шексіз дене туралы есеп. Шектелмеген аумақтағы ығысулар

2203

мен кернеулерді TWODD бағдарламасының көмегімен бұл есеп үшін де анықтауға болады, егер нүктелерді дөңгелек шекараның сыртынан таңдайтын болсақ.

Қолданылған әдебиеттер тізімі 1. Снеддон И.Н. Преобразование Фурье. – М.:ИЛ, 1951.

2. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела: Пер.

с англ. – М.:Мир, 1987. – 328 с.

3. Бреббиа К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. – М.: Мир, 1982.

4. Громадка II Т., Лей Ч. Комплексный метод граничных элементов в инженерных задачах: Пер. с англ. – М.: Мир, 1990. – 303 с.

5. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. — М.: Мир, 1984.

УДК 539.3

ИЗГИБ БАЛКИ С УПРУГИМИ ЗАКРЕПЛЕНИЯМИ Ахажанов Сунгат Беркинович

stjg@mail.ru

преподаватель кафедры прикладной математики и информатики КарГУ им. Е.А. Букетова, Караганда, Казахстан

Балка ( - длина, EJ-изгибная жесткость), изображенная на рисунке 1, имеет упругие закрепления в виде горизонтальных балок (b - длина, E₀J_*-жесткость при изгибе). На балку действует сосредоточенная сила P в точке x.

Р

EJ b

E J_{0 *} E J_{0 *}

b







Рисунок 1 – Балка с упругими закреплениями Граничные условия при упругих закреплениях имеют вид [1]:

 

1

 

, 3 ,

3

* 0 3 3 0

0

* 0

3

EJ J E r b

x r X x

J X E

W  Qb     

 

1

 

, _{0 *},

0 0

*

0 EJ

J E s b x s X x J X

E

Mb      

  (1) где верхний (нижний) знак соответствует левому (правому) концу балки.

Расчет заданной балки на действие сосредоточенной силы произведем следующим образом. Разобьем балку на два участкаx и x, и для них запишем уравнения равновесия и их интегралы:

 

x Pu

 

x X^IV 

1)x 2) x