атау – 14, кесте – 10

Коммерциялық емес акционерлік қоғам

Математика және математикалық үлгілеу кафедрасы

КОМПЬЮТЕРЛІК МАТЕМАТИКА

6В07111 - «Ғарыштық техника және технологиялар»

мамандығы студенттеріне арналған есептеу-сызба жұмыстарды орындау бойынша әдістемелік нұсқаулықтар мен тапсырмалар

Алматы 2020

ҒҰМАРБЕК ДАУКЕЕВ атындағы АЛМАТЫ

ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ

БАЙЛАНЫС УНИВЕРСИТЕТІ

ҚҰРАСТЫРУШЫЛАР: Астраханцева Л.Н., Байсалова М.Ж.

Компьютерлік математика. 6В07111 - «Ғарыштық техника және технологиялар» мамандығы студенттеріне арналған есептеу-сызба жұмыстарды орындау бойынша әдістемелік нұсқаулықтар мен тапсырмалар.

- Алматы: АЭжБУ, 2020. - 44 б.

6В07111 - «Ғарыштық техника және технологиялар» мамандығы студенттеріне арналған есептеу-сызба жұмыстарды орындау бойынша әдістемелік нұсқаулықтар мен тапсырмалар «Компьютерлік математика»

пәнінің «Математикалық логика элементтері» және «Типтік үлестірімдер»

тараулары бойынша №1, №2 есептеу-сызба жұмыстарынан тұрады.

Бағдарламаның теориялық сұрақтары енгізілген. Типтік нұсқаның шешімі келтірілген.

Әдеб. атау – 14, кесте – 10.

Пікір беруші: ММҮ кафедрасының аға оқытушысы Абдулланова Ж.С.

«Ғұмарбек Даукеев атындағы Алматы энергетика және байланыс университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2020 ж. жоспары бойынша басылды

 «Ғұмарбек Даукеев атындағы Алматы энергетика және байланыс университеті» КеАҚ, 2020 ж.

Кіріспе

«Компьютерлік математика» пәні математикалық логика, ықтималдықтар теорияларының элементтері мен олардың әртүрлі құрылымдарын зерттейтін математиканың бөліміне арналған. Оның ақпараттық технологиялар мен компьютермен байланысты қолданыстары көп.

Бұл пәнді студент оқып, үйренген соң математикалық модельдерді құра білу, қолайлы математикалык әдістер мен есептер шешімінің алгоритмін таңдай алу қабілеті болу керек.

1 Есептеу-сызба жұмыс №1. Математикалық логика элементтері Мақсаты: математикалық логиканың негізгі ұғымдарымен таныстыру, олардың қасиеттері мен кейбір қолдануларын қарастыру.

1.1 Теориялық сұрақтар

1 Тұжырымдар логикасының негізгі ұғымдары. Тұжырымдар, негізгі логикалық қисаптар (операциялар).

2 Логикалық айнымалылар және формулалар. Логикалық қисаптар мен формулалардың ақиқаттық кестесі.

3 Логика алгебрасының функциялары. Логика функцияларының берілу тәсілдері.

4 Формулалардың эквиваленттілігі. Логика алгебрасының негізгі эквивалентті қарым қатынастар.

5 Логикалық функциялардың толық жүйесі. Логикалық функцияларды ДҚФ, КҚФ келтіру.

6 Мүлтіксіз ДҚФ және КҚФ (МДҚФ және МКҚФ).

7 ДҚФ класында минимизациялау. Карно картасы.

8 Коммутациялық сұлбалар.

9 Екі жақтылық. Буль алгебрасы және жиындар теориясы.

1.2 Есептік тапсырмалар

1. Формуламен берілген f(x,y) функциясын:

а) ақиқаттық кестесімен;

б) бірлік және нөлдік жиынтықтармен;

в) мәндерінің векторымен жазу керек.

№ f(x,y) № f(x,y)

1.1 _{(xy)(x y)} 1.2 _{(xy)(x y)} 1.3 _{(x y)(x y)} 1.4 (x y)(x y) 1.5 (x y)(xy) 1.6 (x y)(x y)

1.7 (x| y)(x y) 1.8 _{(x y)(yx)} 1.9 _{(x y)(x y)} 1.10 _{(xy)(x y)} 1.11 _{x(y(x y))} 1.12 _{x(y(x| y))} 1.13 x(y(x y)) 1.14 x(y|(x y)) 1.15 _{x(y(x y))} 1.16 x(y(xy)) 1.17 x(y(xy)) 1.18 x(y(yx)) 1.19 _{(x y)|(x y)} 1.20 (x| y)(x y) 1.21 _{(x y)(x y)} 1.22 _{(x y)(yx)} 1.23 _{(x y)|(x y)} 1.24 _{(x y)(x y)} 1.25 _{x(y(yx))} 1.26 x|(y(x y)) 1.27 x(y|(xy)) 1.28 (x y)|(x y) 1.29 x(y(xy)) 1.30 y(x|(x y))

2. Логикалық қисаптардың орындалу реті туралы келісуді қолданып f(x,y) формуласында жақшаларды қою керек. Формуланы тек теріске шығару, конъюнкция және дизъюнкция қисаптары көмегімен жазу керек; осы формуланы қысқарту керек.

№ f(x,y) № f(x,y)

2.1 x yxy 2.2 _{xyx y}

2.3 xy|x y 2.4 xyxy

2.5 _{x yx y} 2.6 _{x yx y}

2.7 x y xy 2.8 yx| yx

2.9 xyxy 2.10 x| yx y

2.11 _{x yx y} 2.12 _{x yx y}

2.13 _{x y|x y} 2.14 _{x yx y}

2.15 x yx y 2.16 x| yx y

2.17 _{x yx| y} 2.18 x y|xy

2.19 xy xy 2.20 _{xy x y}

2.21 x yx y 2.22 x yx y

2.23 _{x y yx} 2.24 x y|x y

2.25 _{x yx y} 2.26 _{x yx y}

2.27 _{x y x y} 2.28 _{xy x y}

2.29 x|yx y 2.30 _{x yx y}

3. f₁(x,y,z) және f₂(x,y,z) формулаларын эквиваленттілікке тексеру керек:

а) ақиқаттық кестесі көмегімен;

б) формулаларды эквивалентті түрлендіру көмегімен МДҚФ немесе МКҚФ-ке келтіру арқылы.

№ f₁(x,y,z) f₂(x,y,z)

3.1 x



yz

 

xy

 

 xz



3.2 x|(yz) (x| y)(x|z)

3.3 x



yz

 

x y

 

 x z



3.4 x



yz

 

x y

 

 x z



3.5 x



yz

 

x y

 

 x z



3.6 x(y|z)



x y



|(x z)

3.7 x



yz





x y

 

 x z



3.8 x(y|z)



x y



|(x z)

3.9 x



yz

 

x y

 

 x z



3.10 x



yz

 

x y

 

 xz



3.11 x



yz

 

x y

 

 xz



3.12 x(y|z)



x y



|(xz)

3.13 x



yz

 

^{x y}

 

^{ xz}



3.14 x|(yz) (x| y)(x|z) 3.15 x(y|z)



xy



|(xz)

3.16 x



yz

 

xy

 

 xz



3.17 x



yz

 

x y

 

 x z



3.18 x|(y z) (x| y)(x|z) 3.19 x



yz

 

x y

 

 xz



3.20 x



yz

 

x  y

 

 x  z



3.21 ^x



^{y z}

 

xy

 

 xz



3.22 _x(y|z)



^x ^y



^|(x^z)

3.23 x(y|z)



x y



|(xz)

3.24 x



yz

 

xy

 

 xz



3.25 x



yz

 

x y

 

 x z



3.26 x(y|z)



x y



|(x z) 3.27 x



yz





x y

 

 x z



3.28 x(y|z)



x y



|(x z)

3.29 x



yz

 

x y

 

 x z



3.30 x



yz

 

x y

 

 xz



Берілген f(A,B,C) функциясы үшін:

4. Ақиқаттық кестесін.

5. ДҚФ-ке келтіру.

6. МДҚФ құру керек.

7. Карно картасы көмегімен минималды ДҚФ.

8. Минималды ДҚФ-тан КҚФ-ке көшу керек.

9. МКҚФ табу керек.

10. Карно картасы бойынша минималды КҚФ табу керек.

№ f(A,B,C) № f(A,B,C)

1



^AB



^



^{C  A}



²

_

_{A B}

_

_

_

_CA

_

3 _{((AB)C)B} 4



A B







CA



5



^AB



^



^CA



⁶



AB







CA



7

 

^AB 



^C^A



8 (A|B)(CA) 9 (A|B)(C B) 10 _{(CA)(B| A)} 11 (A|B)(C A) 12 (C A)(A|B) 13 (CA)(A|B) 14

 

^AB



^C



^B

15

  

^{AB C}



^{B 16 (AB)(C B)}

17

 

^AB



^C



^{B 18}

 

^AB



^C



^B

19 _{((AB)|C)B} 20 _{(AB)(CA)} 21

 

^AB



^C



^{B 22} A B 

_

C B

_

23

 

^AB



^C



^{B 24}

 

^AB



^C



^{ B}

25 (AB)(C B) 26 (A|B)(C B) 27 ((AB)C) A 28 (A B)C  A)

29

 

^AB



^C



^{B 30}

^

^AB

^

^

^

^{C B}

^

11. Берілген сұлба бойынша ауыстырып-қосқыш функциясын құрып, оны қысқарту керек. Қысқартылған функцияның сұлбасын салу керек.

11.1

11.2

x y

y

x ^y

x

z x

x

y y

z

11.3

11.4

11.5

11.6

11.7

11.8

11.9

z y

x x

z y x

y x

z y

y z

y

z

z y x

y

x _y

z

x

y z

x

x x y

y

z

y z

x

y

x

y

z y

x z

z

x y

y y

x z

z

11.10

11.11

11.12

11.13

11.14

11.15

a b c

b a

c

b a

c

a b

c

a

b

c

y

z

x ^y

x z

a

b c

a

c

b

x y

y x

x y

11.16

11.17

11.18

11.19

11.20

11.21

x y

z

y

x

z

x

y

z

x

x ^y

a

b c

c a

x y

y

x ^y

x

x ^y

x z z

x ^y z

y x

z y z x z

11.22

11.23

11.24

11.25

11.26

11.27

11.28

z

x

x

y y

z

z y

x x

z y x y

z

z y x

y

x _y

z

x

y z

x

x x y

y

z

y z

x

y

x

y

z y

x z

z

x y

y y

x z

z

11.29

11.30

1.3 Типтік варианттың шешуі

1. Берілген f(x,y) = ^{x }



^{y(x y)}



функциясын:

а) ақиқаттық кестесімен;

б) бірлік және нөлдік жиынтықтармен;

в) мәндерінің векторымен жазу керек.

Шешуі:

а) f(x,y) = ^x



^{y(x y)}



функциясыныңақиқаттық кестесі:

x y _{x x y y(x y)} f(x,y)

0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 1

б) бірлік жиынтығы: 1=f(0,0)=f(1,1); нөлдік жиынтығы: 0=f(0,1)=f(1,0);

в)мәндерінің векторы: (1001).

2. Логикалық қисаптардың орындалу реті туралы келісуді қолданып f(x,y)= x yx y формуласында жақшаларды қою керек. Алынған формуланы тек теріске шығару, конъюнкция және дизъюнкция қисаптары көмегімен жазу керек; осы формуланы қысқарту керек.

Шешуі: логикалық қисаптардың орындалу реті сұлбасы бойынша:



^,(^,|,^),^,^,(^,⁾



, біздің формулада жақшалар былай қойылу керек:

y x y

x   = (x y)(x y).

Алынған формуланы қысқартамыз: (x y)(x y) = | 15, 16 | = y

x y

x   = | 6 | = (x y)(x y)= | 1 | = y x xy= | 5 | = y x.

y x

x ^z

y

y z

x y

y x

x y

Түрлендіруде 40 беттегі анықтама материалдағы формула нөмірі көрсетілген.

Формуланы қысқарту деп айнымалы саны аз енетін формуланы алуды түсінеміз.

3. f₁(x,y,z)=x(yz) және f₂(x,y,z)= (xy)(xz) формулаларын эквиваленттілікке тексеру керек:

а) ақиқаттық кестесі көмегімен;

б) формулаларды эквивалентті түрлендіру көмегімен МДҚФ немесе МКҚФ-ке келтіру арқылы.

Шешуі:

а) f₁(x,y,z) және f₂(x,y,z) ақиқаттық кестесі:

x y z ^{y z} f1 xy _xz

f2

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 0 1 1 1 1

0 1 0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 1 0

1 1 0 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1

) , ,

1(x y z

f және f₂(x,y,z) формулаларының баған мәндері тең болғандықтан, бұл формулалар эквивалентті;

б) логикалық қисаптардың белгілі қасиеттерін қолданып, алдымен формуланы ДҚФ – дизъюнктивті қалыпты формаға, содан соң тарқату заңын пайдаланып мүлтіксіз дизъюнктивті қалыпты формаға (МДҚФ) келтіреміз:

) , ,

1(x y z

f =x(y z)= | 15 | = x yz = | ДҚФ,10 а | =

=xyxyxyz xyz= xyz xyz xyz xyz xyzxyz= | 4 | =

= xyz xyz xyzxyzxyz - МДҚФ;

) , ,

2(x y z

f = (xy)(xz)= | 15 | = (x y)(x z)= | 3 | =

= xx xz yx yz= | 4,10 a | = xy xy xzy xzy yxz yxz yzx yzx =

= |1,10a | = xyz xyzxyz xyz xzy xzy yxz yxz yzx  yzx= | 1,4 | =

= xyz xyz xyzxyzxyz- МДҚФ.

Егер ауыстырымдылық заңды басқаша қолдансақ – «жақшаны ашпай», ал «жақша сыртына шығарсақ», онда түрлендіру қысқа болады:

) , ,

2(x y z

f = (xy)(xz)= | 15 | =

= (x y)(x z)= | 3 | =x yz= | 10a | =…=xyz xyz xyz xyzxyz. Екі формуланың МДҚФ-ы тең болғандықтан, бұл формулалар эквивалентті.

4. Берілген f(A,B,C)(AB)(CB) функциясы үшін ақиқаттық кестесін құру керек.

Шешуі:

) (

) (

) , ,

(A B C A B C B

f     функциясы үшін ақиқаттық кестесі:

A B C B AB CB f

0 0 0 1 0 0 1

0 0 1 1 0 1 0

0 1 0 0 1 1 0

0 1 1 0 1 0 0

1 0 0 1 1 0 0

1 0 1 1 1 1 0

1 1 0 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 1

5. Берілген f(A,B,C)(AB)(CB) функцияны ДҚФ-ке келтіру келтіру керек.

Шешуі:

) (

) (

) , ,

(A B C A B C B

f     = | 15,16 | = (AB  AB)(CBCB) = | 6 | =

= AB  AB(CBCB)= AB  AB(CBCB) =

=(A B)(A B)(CBCB)= | 3 | =(AA AB  AB BB)(CBCB)=

= | 9,3 | = ABCB ABCB ABCB ABCB = | 4,9 | = ABC  ABC - ДҚФ (әрі МДҚФ).

6. Берілген f(A,B,C)(AB)(CB) функциясы үшін МДҚФ табу керек.

Шешуі: функцияның ақиқаттық кестесі бойынша оның бірлік жиынтығын жазамыз: 1 f(0,0,0) f(1,1,1). Енді f(x₁,x₂,,x_n) функциясының баған мәнінде қанша бір болса, МДҚФ-да сонша конъюнкт бар болатындығы белгілі. Әрбір бірлік жиынтығының нөлдері мен бірлеріне (₁,₂,,_n) барлық айнымалылардың конъюнктасы сәйкес келеді, мұнда егер _i 0 болса, онда x_i терістеуімен, ал егер _i 1 болса, онда өзгеріссіз жазылады.

Сонымен, біздің формуланың МДҚФ-ы екі конъюнкттың дизъюнкциясынан тұрады: f  ABC  ABC ( таңбасы алынып тасталынған). Айта кетелік, МДҚФ алдыңғы пунктте элементар түрлендіру әдісімен де алынған болатын.

7. Берілген f(A,B,C)(AB)(CB) функциясы үшін Карно картасын құру керек; Карно картасы көмегімен минималды ДҚФ табу керек.

Шешуі: үш айнымалылы функцияның Карно картасы 2³ 8 ұяшықтан тұратын кесте болады (үш айнымалылы функцияның 0 мен 1 мүмкін

жиынтықтар санына тең). Көрші ұяшықтар бір айнымалы мәніне ерекшеленетіндей жолдар мен бағандар айнымалының мәніне немесе терісіне сәйкес келеді. Минималды ДҚФ алу үшін функцияның МДҚФ-ң әрбір конъюнктасы Карно картасының сәйкес ұяшығында бірмен белгіленеді:

Минималды ДҚФ алу үшін тік және көлденең жолдарда қатар тұрған бірлерді блоктарға біріктіру керек, олар 2, 4 және т.б. ұяшықтардан тұрады (блокқа бұрышта тұрған бірлерді де біріктіруге болады). Біздің Карно картасында тек екі бірлік бар, олар блокқа бірікпейді, сондықтан минималды ДҚФ МДҚФ-қа тең: f  ABC  ABC.

8. Берілген f(A,B,C)(AB)(CB) функциясы үшін минималды ДҚФ-тан КҚФ-ке көшу керек.

Шешуі: элементар түрлендіру көмегімен, логикалық қисаптар қасиеттерін пайдаланып (тік жақшада формула нөмірі көрсетілген), формуланы КҚФ-ке түрлендіреміз:



f ABC  ABC= | 7 | =ABC  ABC = | 6 | = ABC ABC = )

( )

(A B C  ABC = | 3 | =

= AA AB ACBA BBBCCACBCC = | 9, 8, 6 | =

= AB ACBABCCACB = | 6 | =

=(A B)(AC)(AB)(BC)(A C)(B C)- КНФ.

9. Берілген f(A,B,C)(AB)(CB) функциясы үшін МКҚФ табу керек.

Шешуі: тарқату заңын қолданып, алдыңғы пунктте алынған КҚФ-ты МКҚФ-ке келтіреміз:



f (AB)(AC)(A B)(BC)(AC)(B C)= | 10a | =





























 ) ( ) ( ) ( ) ( )

(A B C A B C A C B A C B A B C































(A B C) (B C A) (B C A) (A C B) (A C B) )

( )

(B C A  B C A

 =|1,4 | =(A B C)(AB C)(A BC)







(A B C) (ABC)(A B C)- МКҚФ.

Енді, ереже бойынша ақиқаттық кестесінде f мәндер бағанында қанша нөлдер болса, сонша МКҚФ-те дизъюнкт болады. Әрбір нөлдік жиынтықтың

) , , ,

(₁ ₂ _n нөлдері мен бірлерінің орнына келесі дизъюнкт сәйкес келеді:

егер _i 1 болса, онда айнымалы терісімен, ал егер _i 0болса, онда теріске шығарылмай айнымалының өзі алынады. Алынған МКҚФ:



f (A B C)(AB C)(A BC)(ABC) )

( )

(A BC  A B C

 .

10. Берілген f(A,B,C)(AB)(CB) функциясы үшін Карно картасы бойынша екі әдіспен минималды КҚФ табу керек.

Шешуі: бірінші әдіс: минималды КҚФ алу үшін минималды ДҚФ алған сияқты Карно картасын қолдануға болады. Бұл картада айнымалыларды олардың терістеріне айырбастау керек және керісінше; бос жерлерге 0 қойып, 1 алып тастау керек. Содан соң картада 2 немесе 4-тен тұратын көрші нөлдік ұяшықтарды максималды блоктарға біріктіру керек. Біздің жағдайда екі айнымалылы қысқартылған дизъюнкттерге 2 ұяшықтан 3 блок сәйкес келеді.

Айта кетелік, ұяшықтарды қалауымызшы таңдауымызға болады. Біз варианттардың бірін таңдап алдық.

Бұл карта бойынша формуланың минималды КҚФ:

) (

) (

)

(A C A B B C

f       .

Екінші әдіс: кәдімгі Карно картасында МКҚФ-тың дизъюнкттарына сәйкес келетін ұяшықтарға нөлдерді қойып шығамыз. Содан соң 2 немесе 4- тен тұратын көрші нөлдік ұяшықтарды максималды блоктарды белгілеу керек Функцияның МКҚФ-ы



f (AB C)(AB C)(A BC)(ABC) )

( )

(A BC  A B C

 болғандықтан, Карно картасында белгіленген

блоктар мына түрде болады

Сонымен, Функцияның МКҚФ-ы: f (AC)(AB)(BC). Бұл блоктарды бірінші жағдайдағы МКҚФ түрінде алу үшін топтастырдық. Басқа блоктарды топтастырсақ, басқа МКҚФ алар едік.

11. Берілген сұлба бойынша ауыстырып-қосқыш функциясын құрып, оны қысқарту керек. Қысқартылған сұлбаны салу керек.

Шешуі: берілген сұлба бойынша ауыстырып-қосқыш функциясын құрамыз

) (

) ) ) (((

) (

) , ,

(x y z x y x y z z x y z

f          .

Бұл функцияны қысқарту үшін екі әдіс қолданамыз. Элементар түрлендіру әдісі бойынша:

) , , (x y z

f = | 3 | = (x y)((xz yz)z)xyz= | 5 | =(x y)zxyz=

=^{3 (x yxy)z  12 }(x yx)z 8,9 1z 8 z. Көрнекілік үшін  таңбасы алынып тасталынған.

Карно картасы көмегімен минимизациялау үшін алдымен МДҚФ алу керек:

z xy z z y z x y x

f (  )(   ) = | 5 | = (^x ^y)^z ^xyz= | 3 | = xz yzxyz =

= | 10a | = xzyxzyyzxyzxxyz= | 1, 4 | = x yzx yzxyzxyz- МДҚФ.

Карно каптасында конъюнкттарды бірлермен белгілейміз, қатар тұрған бірлерді блоктарға біріктіріп минималды ДҚФ аламыз.

Минималды ДҚФ: f z_.

Қысқартылған формулаға келесі сұлба сәйкес келеді:

1.4 Анықтама материалы. Логикалық операциялар және олардың ақиқаттық кестесі

1. Конъюнкция – (x y), оқылуы «x және y».

2. Дизъюнкция – ( x y), оқылуы «x немесе y».

3. Отрицание (инверсия) – (x), оқылуы « x емес».

4. Импликация - (xy), оқылуы «егер х, онда у».

5. Эквиваленция – (xy), оқылуы «тек егер у болғанда ғана х».

6. Шеффер штрихы – (x y), конъюнкцияның терісі ретінде анықталады, оқылуы «x және y емес».

7. Пирс стрелкасы – (x y), дизъюнкцияның терісі ретінде анықталады, оқылуы «x немесе y емес».

8. Сақиналы қосынды – (x y), эквиваленцияның терісі ретінде анықталады, оқылуы «немесе х, немесе у».

x y _x x y x y xy x y x y x y xy

0 0 1 0 0 1 1 1 1 0

0 1 0 1 1 0 1 0 1

1 0 0 0 1 0 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1 0 0 0

Негізгі эквивалентті қарым-қатынастар (заңдар) 1 Ауыстырымдылық

(коммутативтік)

x y y

x   x y y x

2 Ассоциативтік (x y) zx(yz) (x y) zx(yz) 3 Үлестірімділік

(дистрибутивтік) x(yz)(x y)(x z) x(y z)(x y)(x z)

4 Идемпотенттік xxx xx x

5 Сіңіру заңы x(x y)x x(x y)x

6 Де-Морган заңы x yx y x yx y

7 Екі рет теріске шығару x x 8 Константалар

қасиеті

0 0 1







 x

x x

x x

x







 0

1 1 9 xx0- қарама-

қайшылық заңы

1

 x

x - жойылған үшінші заңы

Басқа да пайдалы эквивалентті қарым-қатынастар 10 Жапсыру заңы (x y)(x y)x 10а Тарқату заңы x(x y)(x y)

11 Жалпыланған жапсыру (x z)(y z)(x y)(xz)(yz) 12 x(x y)x y x(x y)x y

13 x(x y)x y x(x y)x y

14 (xy)x y ^{x y(xy)(yx)(xy)(xy) xyxy}

15 xy xy x y x y

16 xy xy

Логикалық қисаптардың орындалу ретінің сұлбасы:

 ^{ , (  , |,  ),  ,  , (  ,  )} 

. Бұл сұлбада қисаптардың таңбасы кему ретімен орналасқан, ал дөңгелек жақшаларда бірдей мәнділері көрсетілген. Логикалық қисаптардың орындалу ретінің сұлбасын былай құруға болады:

Бұл сұлбада жоғары орналасқан таңба төмен орналасқан таңбаға қарағанда күші басым, бір деңгейдегілер – күштері бірдей.

2 Есептеу-сызба жұмыс 2 Типтік үлестірімдер.

Мақсаты: ықтималдық теориясы жаппай кездейсоқ құбылыстарға тән заңдылықтарды зерттейді. Ол математикалық статистика айналысатын кең ауқымды қолданбалы есептерге теориялық негіз болып табылады.

Ықтималдық әдістері ғылымның салаларында қолданылатын әдістердің қатарында жатады.

2.1 Теориялық сұрақтар

1 Ықтималдық теориясы пәні. Кездейсоқ оқиғалар, жиілік. Ықтимал- дықтың статистикалық және геометриялық анықтамалары.

2 Элементар оқиғалар кеңістігі. Оқиғалар алгебрасы. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы.

3 Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремалары. Шартты ықтимал- дық. Тәуелді және тәуелсіз оқиғалар.

4 Толық ықтималдықтар формуласы. Байес формуласы.

5 Тәжірибенің қайталануы. Бернулли формуласы.

6 Лапластың аймақтық және интегралдық теоремасы. Лаплас функциясы. Пуассона формуласы.

7 Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалар. Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім заңы. Биномдық үлестірім, Пуассон үлестірімі.

8 Интегралдық үлестірім функциясы (үлестірім функциясы), қасиеттері, графигі.

9 Дифференциалдық үлестірім функциясы (үлестірім тығыздығы), қасиеттері, графигі.

10 Кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары. Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалардың математикалық үміті (күтімі).

11 Дискретті және үзіліссіз кездейсоқ шамалардың дисперсиясы және орта квадраттық ауытқуы.

12 Үлестірімнің алғашқы және орталық моменттері, асимметрия, эксцесс, мода, медиана.

2.2 Есептік тапсырмалар

1 Сызғыш пен ұштағыштан тұратын N кеңсе тауарлары бар, олардың ішінде M сызғыш. Табу керек:

а) сызғыштың қатысты жиілігін;

б) кеңсе тауарларынан алынған барлық m өнімнің сызғыш болу ықтималдығын;

в) кеңсе тауарларынан алынған m өнімнің ішінде m₁ ұштағыш болу ықтималдығын.

1 Кесте

№ N M m m₁ № N M m m₁

1.1 100 25 10 8 1.16 70 8 5 3

1.2 90 15 12 7 1.17 75 9 8 4

1.3 85 10 7 4 1.18 85 6 5 2

1.4 80 9 5 3 1.19 90 12 7 4

1.5 95 15 9 3 1.20 87 10 8 3

1.6 70 10 9 5 1.21 100 30 15 5

1.7 80 15 7 5 1.22 90 20 9 3

1.8 90 10 6 4 1.23 95 15 10 4

1.9 75 10 8 4 1.24 85 10 7 2

1.10 100 20 10 7 1.25 90 12 6 3

1.11 90 10 8 5 1.26 85 10 5 2

1.12 80 7 5 3 1.27 75 8 5 3

1.13 95 10 8 5 1.28 100 15 9 4

1.14 96 12 7 1 1.29 80 10 7 4

1.15 89 13 5 2 1.30 85 7 5 2

2 Жәшікте төрт түрлі жеміс бар. Алма саны n₁, алмұрт - n₂, апельсин - n₃, мандарин - n₄. Кез келген ретпен m жеміс алдынды. Алынған жемістердің

арасында m₁-і алма, m₂- алмұрт, m₃- апельсин, m₄- мандарин (m₁+ m₂+ m₃+ m₄= m) болу ықтималдығын табу керек.

К е с т е 2

№ n₁ n₂ n₃ n₄ m₁ m₂ m₃ m₄

2.1 1 2 3 4 1 1 2 1

2.2 2 2 4 2 1 1 1 2

2.3 2 3 4 1 1 2 3 1

2.4 1 4 2 3 1 2 1 2

2.5 4 2 2 2 3 1 2 1

2.6 3 2 3 2 2 1 3 1

2.7 5 1 2 2 3 1 1 1

2.8 2 5 2 1 1 3 1 1

2.9 4 2 3 2 2 1 2 1

2.10 3 3 4 2 2 1 1 2

2.11 2 3 3 3 1 2 3 1

2.12 1 3 4 3 1 2 2 1

2.13 2 3 4 2 1 2 3 2

2.14 1 2 3 5 1 1 2 3

2.15 2 3 4 2 1 2 2 1

2.16 3 2 2 4 2 1 1 1

2.17 4 3 2 3 2 1 2 1

2.18 3 3 4 2 2 1 2 2

2.19 2 4 5 1 2 2 3 1

2.20 3 4 3 2 2 2 3 2

2.21 2 5 2 3 1 3 1 2

2.22 4 4 2 2 2 2 2 1

2.23 2 7 2 1 1 5 2 1

2.24 3 1 6 2 2 1 3 1

2.25 1 3 3 2 1 3 1 1

2.26 1 4 2 2 0 2 1 1

2.27 2 3 1 3 1 2 0 1

2.28 3 1 2 3 0 1 1 2

2.29 3 2 3 1 2 2 2 0

2.30 2 2 2 3 1 1 1 2

3 Дүкенге үш зауыттан 1000 құралдар келіп түсті: n₁ құрал бірінші зауыттан, n₂- екіншіден, қалғаны үшіншіден. Бірінші зауыттың құралдарының ішінде m₁% жарамсыз, екіншіде - m₂% жарамсыз, үшіншіде - m₃% жарамсыз. Бір құрал сатып алынды.

а) оның жарамсыз болуы;

б) сатып алынған құрал жарамсыз болып шықты. Оның i–ші зауытта жасалыну оқиғасының ықтималдығын табу керек ( i =1,2,3).

3 К е с т е

№ n₁ n₂ m₁ m₂ m₃ i

3.1 100 250 7 8 5 1

3.2 430 180 5 4 7 2

3.3 170 540 6 5 8 3

3.4 650 120 10 9 8 2

3.5 400 180 7 10 5 1

3.6 120 380 10 6 9 2

3.7 270 340 9 5 4 3

3.8 430 120 10 7 6 2

3.9 360 120 5 10 8 1

3.10 420 210 8 7 6 1

3.11 370 130 10 6 5 2

3.12 410 200 5 10 8 3

3.13 280 510 10 6 5 3

3.14 710 120 2 10 4 3

3.15 460 240 5 9 7 1

3.16 520 220 5 8 7 1

3.17 270 410 10 5 9 2

3.18 250 140 8 7 4 2

3.19 190 380 5 9 30 1

3.20 290 610 6 3 3 2

3.21 270 430 10 6 4 2

3.22 280 360 7 10 9 1

3.23 520 110 5 7 10 1

3.24 240 290 9 8 4 3

3.25 310 410 7 2 5 3

3.26 520 110 3 6 7 2

3.27 280 310 9 8 4 2

3.28 400 320 4 5 8 1

3.29 350 240 9 8 7 1

3.30 190 520 5 2 4 3

4 n тәжірибе жүргізілді. Әрбір тәжірибеде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы p-ға тең. А оқиғасы:

а) k₁ рет;

б) k₂ реттен кем емес;

в) k₃ реттен артық емес;

г) ең болмағанда бір рет пайда болу оқиғаларының ықтималдығын табу керек.

4 К е с т е

№ n k₁ k₂ k₃ p № n k₁ k₂ k₃ p

4.1 4 2 3 2 0.9 4.16 5 3 4 2 0.8

4.2 4 3 3 2 0.8 4.17 4 3 3 1 0.7

4.3 5 4 4 2 0.7 4.18 4 2 3 2 0.6

4.4 5 3 3 2 0.6 4.19 5 3 4 1 0.5

4.5 6 5 5 1 0.5 4.20 6 4 5 2 0.4

4.6 6 4 4 1 0.4 4.21 7 5 6 2 0.3

4.7 7 5 5 2 0.3 4.22 8 3 7 2 0.2

4.8 7 4 4 1 0.2 4.23 8 4 7 1 0.3

4.9 8 4 7 2 0.3 4.24 7 5 6 2 0.4

4.10 8 3 6 1 0.4 4.25 6 3 5 2 0.5

4.11 7 4 6 2 0.5 4.26 5 2 4 1 0.6

4.12 7 5 6 1 0.6 4.27 4 2 3 2 0.7

4.13 6 3 4 2 0.7 4.28 5 3 3 3 0.8

4.14 6 2 4 2 0.8 4.29 6 4 4 2 0.9

4.15 5 4 4 1 0.9 4.30 7 5 6 1 0.9

5 Құрылғыны әрбір іске қосқанда оның «жаңылу» ықтималдығы р-ға тең. Құрылғыны n рет іске қосты. Оның ішінде k «жаңылу» болу ықтималдығын табу керек.

5 К е с т е

№ р n k № р n k № р n k

5.1 0.002 1000 7 5.11 0.01 200 8 5.21 0.004 500 9 5.2 0.003 1000 7 5.12 0.01 300 8 5.22 0.005 600 9 5.3 0.004 1000 7 5.13 0.02 200 8 5.23 0.01 400 9 5.4 0.005 1000 7 5.14 0.01 500 8 5.24 0.01 500 9 5.5 0.006 1000 7 5.15 0.02 300 8 5.25 0.01 600 9 5.6 0.007 1000 7 5.16 0.01 700 8 5.26 0.007 1000 9 5.7 0.008 1000 7 5.17 0.02 400 8 5.27 0.008 1000 9 5.8 0.009 1000 7 5.18 0.01 900 8 5.28 0.009 1000 9 5.9 0.01 1000 7 5.19 0.02 500 8 5.29 0.01 1000 9 5.10 0.011 1000 7 5.20 0.011 1000 8 5.30 0.012 1000 9

6 Әрбір тәжірибеде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы p-ға тең. n тәжірибесінде А оқиғасы

а) дел k₂ рет;

ә) k₁-ден k₂-ге дейін;

б) k₂-ден артық;

в) k₁-ден кем

пайда болу ықтималдығы табу керек.

6 К е с т е

№ n k₁ k₂ p № n k₁ k₂ p

6.1 100 80 90 0.8 6.16 100 90 95 0.6 6.2 100 85 95 0.8 6.17 100 62 82 0.6 6.3 100 70 95 0.8 6.18 100 50 70 0.8 6.4 100 83 93 0.7 6.19 100 55 75 0.8 6.5 100 50 60 0.7 6.20 100 45 80 0.8 6.6 100 65 75 0.7 6.21 100 40 60 0.8 6.7 100 70 80 0.7 6.22 100 35 70 0.3 6.8 100 40 50 0.6 6.23 100 50 80 0.3 6.9 100 65 80 0.75 6.24 100 40 65 0.3 6.10 100 70 85 0.75 6.25 200 45 75 0.4 6.11 100 78 92 0.75 6.26 200 100 150 0.4 6.12 100 20 60 0.7 6.27 200 80 170 0.4 6.13 100 30 85 0.7 6.28 300 150 180 0.8 6.14 100 40 79 0.7 6.29 400 100 190 0.6 6.15 100 80 95 0.6 6.30 400 200 295 0.7

7 Дискретті кездейсоқ шама Х үлестірім заңдылығымен берілген.

а) оның үлестірім функциясын F(x), оның сызбасын салу керек;

б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, модасын;

в) Х –тің (a;b) интервалына түсу ықтималдығы табу керек.

7 К е с т е

№ Х х₁ х₂ х₃ х₄ х₅ х₆ а b

Р р₁ р₂ р₃ р₄ р₅ р₆

7.1 Х 0 1 2 4 6 9 -2 7

Р 0.05 0.15 0.3 0.25 0.15 0.1

7.2 Х -3 -2 -1 0 2 4 -1 3

Р 0.15 0.3 0.02 0.14 0.08 0.31

7.3 Х 1 2 3 5 7 8 -3 6

Р 0.3 0.14 0.16 0.1 0.2 0.1

7.4 Х -4 -3 -2 0 1 2 0 1

Р 0.2 0.08 0.23 0.27 0.12 0.1

7.5 Х 1 2 4 5 7 9 3 8

Р 0.19 0.21 0.06 0.14 0.12 0.28

7.6 Х -1 0 2 3 5 7 -4 4

Р 0.26 0.14 0.07 0.2 0.03 0.3

7.7 Х -2 -1 0 3 5 7 1 6

Р 0.18 0.09 0.01 0.2 0.22 0.3

7.8 Х 1 2 4 5 6 8 0 6

Р 0.3 0.17 0.13 0.1 0.2 0.1

7.9 Х 1 2 3 4 7 9 5 8 Р 0.11 0.29 0.06 0.14 0.17 0.23

7.10 Х 0 1 2 3 7 9 4 8

Р 0.06 0.14 0.3 0.25 0.15 0.1

7.11 Х -3 -2 0 1 2 4 -1 3

Р 0.15 0.3 0.01 0.14 0.19 0.21

7.12 Х -1 0 3 5 7 8 1 6

Р 0.25 0.14 0.16 0.1 0.2 0.15

7.13 Х -4 -3 -2 0 2 4 -1 3

Р 0.2 0.07 0.24 0.26 0.13 0.1

7.14 Х -3 -1 0 3 4 7 -2 6

Р 0.12 0.09 0.01 0.2 0.28 0.3

7.15 Х -1 0 1 3 7 8 2 6

Р 0.06 0.14 0.15 0.2 0.3 0.15

7.16 Х -2 -1 0 1 2 7 -3 5

Р 0.17 0.09 0.01 0.3 0.23 0.2

7.17 Х 1 2 3 5 6 7 0 4

Р 0.1 0.14 0.16 0.1 0.2 0.3

7.18 Х -3 -1 0 3 5 6 -2 4

Р 0.16 0.09 0.01 0.3 0.24 0.2

7.19 Х 1 2 5 6 7 8 3 6

Р 0.2 0.15 0.12 0.13 0.3 0.1

7.20 Х -1 0 2 4 7 8 1 5

Р 0.23 0.18 0.12 0.2 0.1 0.17

7.21 Х 1 2 4 5 6 8 0 7

Р 0.3 0.14 0.16 0.03 0.2 0.17

7.22 Х -4 -3 -1 0 1 3 -2 2

Р 0.2 0.03 0.24 0.26 0.17 0.1

7.23 Х 1 2 3 4 7 9 0 8

Р 0.17 0.23 0.09 0.11 0.12 0.28

7.24 Х 0 1 3 5 7 8 2 6

Р 0.2 0.14 0.16 0.12 0.3 0.08

7.25 Х -5 -3 -2 0 1 3 -4 2

Р 0.2 0.06 0.21 0.29 0.14 0.1

7.26 Х 1 2 3 5 8 9 4 7

Р 0.18 0.22 0.05 0.15 0.12 0.28

7.27 Х 1 3 4 5 7 8 2 6

Р 0.3 0.16 0.14 0.01 0.2 0.19

7.28 Х -5 -3 -1 0 1 3 -4 2

Р 0.1 0.03 0.14 0.36 0.17 0.2

7.29 Х 0 2 3 4 6 8 1 7

Р 0.26 0.14 0.05 0.15 0.12 0.28

7.30 Х -1 0 2 3 7 8 1 6

Р 0.21 0.16 0.14 0.1 0.2 0.19

8 Үзіліссіз кездейсоқ шама Х үлестірім функциясымен F(x) берілген.

Табу керек:

а) оның үлестірім тығыздығын f(x);

б) математикалық үмітін, дисперсиясын, орта квадраттық ауытқуын, модасын, медианасын;

в) Х –тің (a;b) интервалына түсу ықтималдығы табу керек.

F(x) және f(x) сызбасын салу керек.

8 К е с т е

№ F(x) А b № F(x) а b

8.1

2

0, 0

,0 5

25

1, 5 x

x x

x

 

  



 

1 4 8.16

2

0, 0

,0 7

49

1, 7 x

x x

x

 

  



 

4 5

8.2

2

0, 0

,0 3

9

1, 3 x

x x

x

 

  



 

1 2 8.17

2

0, 3

0, 25( 3) ,3 5 1, 5

x

x x

x

 

   

 



2 4

8.3

3

0, 0

,0 1

1, 1 x

x x

x

 

  

 



0,5 1 8.18

2

0, 0

,0 1

1, 1 x

x x

x

 

  

 



0,2 0,9

8.4 0,

2

cos , 0

2 1, 0

x

x x

x





  



   



 



4

 1

8.19

0, 0 sin ,0

2

1, 2

x

x x

x





 

  



 



-6

 6



8.5

2

0, 3

( 3) ,3 4

1, 4 x

x x

x

 

   

 



2 4 8.20

2

0, 1

,1 2

2 2

1, 2 x x x

x x

 

   



 

0 1,5