Вариационный модуль непрерывности и коэффициенты двойных рядов Фурье-Хаара

Т.Б. Ахажанов

Вариационный модуль непрерывности и коэффициенты двойных рядов Фурье-Хаара

(Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, г.Астана)

В работе вводится понятие вариационного модуля непрерывности для функций двух переменных, приводится оценка суммы коэффициентов двойного ряда Фурье-Хаара через вариационный модуль непрерывности и доказываются теоремы об абсолютной сходимости рядов, составленных из коэффициентов двойных рядов Фурье-Хаара.

Известно, что понятие p- вариации функций одной переменной было введено С.Винером [1] , для функций двух переменных рассмотрено в работе [2] . Приведем необходимое определение.

Пусть функция f(x, y) определена на квадрате [0,1]² и ξ ={x₀ < x₁ < ... < x_n = 1}, η = {y₀ < y1 < ... < yn = 1}-разбиение квадрата [0,1]². Вариационной суммой порядка p функций f(x, y) по разбиеннию ξ,η назовем величину (1≤ p≤ ∞)

ℵ^p_ξ,_η(f) =

n

X

k=1 m

X

l=1

|f(x_k, y_l)−f(xk−1, y_l)−f(x_k, yl−1) +f(xk−1, yl−1)|^p

!1/p

.

Вариационным модулем непрерывности ω_1−1/p(f, δ₁, δ₂) дробного порядка 1 − ¹_p для функции f(x, y) называется величина

ω1−1/p(f, δ1, δ2) = sup

|ξ|≤δ1

|η|≤δ2

ℵ^p_ξ,η(f), (1) где |ξ|= max

1≤k≤n(x_k−xk−1),|η|= max

1≤l≤m(x_l−xl−1).

Будем говорить, что f ∈V_p[0,1]²,1≤ p ≤ ∞, если V_p f,[0,1]²

≡ω_1−1/p(f,1,1)<∞, и что f ∈ Cp[0,1]², 1 ≤ p < ∞, если lim

δ1→0 δ2→0

ω1−1/p(f, δ1, δ2) = 0. Свойства вариационного модуля непрерывности для функций одной переменной были исследованы А.П. Терехиным ( cм. [3],[4]).

Модулем непрерывности ω(f, δ₁, δ₂) для функции f(x, y) называется величина ω(f, δ1, δ2) = sup

0<h1≤δ1 0<h2≤δ2

|f(x+h1, y+h2)−f(x, y+h2)−f(x+h1, y) +f(x, y)|.

Функции системы Хаара на [0,1) задаются так : h0(x) = 1 при x ∈ [0,1); если же n= 2^k+j, k∈P =N ∪ {0}, 0≤j <2^k и ∆^(k)_j =

hj 2^k,^j+1₂k

,то

hn(x) =







2^k/2, x∈∆^(k+1)_2j

−2^k/2, x∈∆^(k+1)_2j+1 0, x∈[0,1)\∆^(k)_j (см.[5]).

Двумерную систему Хаара определим равенством: hm,n(x, y) = hm(x)hn(y),(x, y) ∈ [0,1)².

Коэффициенты Фурье-Хаара функции двух переменных определяются равенством:

an1,n2(f) =R₁

0

R₁

0 f(x, y)hn1(x)hn2(y)dxdy, n1, n2 ∈N.

В данной работе исследуется вопрос: при каких условиях, накладываемых на вариационный модуль непрерывности дробного порядка функций двух переменных имеет место сходимость ряда

∞

X

m=1

∞

X

n=1

|a_mn(f)|^β, β >0

где a_mn(f)-коэффициенты Фурье-Хаара функции f. Для случай функций одной переменной такие вопросы рассматривались С.С. Волосивецом [6].

Нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть f ∈V_p[0,1]², 1≤ p <∞ и 0< δ₁, δ₂ <1. Тогда имеет место неравенство ω(f, δ₁, δ₂)_Lp ≤ω_1−1/p(f, δ₁, δ₂)δ

1 p

1δ

1 p

2.

Эта лемма является аналогом соответствующей леммы из работы [5], доказанной для случая функций одной перменной, для функций двух переменных доказательство проводится аналогично одномерному случаю.

В следующей теореме приводится оценка коэффициентов Фурье-Хаара функций двух переменных через вариационный модуль непрерывности порядка (1−1/p).

Теорема 1. Пусть f ∈C_p[0,1]², 1< p <∞ и a_n1,n2(f) =R1 0

R1

0 f(x, y)h_n1(x)h_n2(y)dxdy, n1, n2∈N.

Тогда верно неравенство





2^k1+1−1

X

i=2^k1

2^k2+1−1

X

i=2^k2

|a_ij(f)|^p





1 p

≤ω1−1/p

f, 1

2^k1, 1 2^k2

2^{−k1+2k2−2}. (2) Доказательство. Используя определение функции Хаара h_n1,n2(x, y) = h_n1(x)h_n2(x) при n1= 2^k1 +m1,n2 = 2^k2+m2, имеем

a_n1,n2(f) = Z 1

0

Z 1 0

f(x, y)h_n1(x)h_n2(y)dxdy=

=

Z ^m1+1

2k1 m1 2k1

Z ^m2+1

2k2 m2 2k2

f(x, y)hn1(x)hn2(y)dxdy =

= 2^k1+2k2

Z ^2m1+1

2k1+1 m1 2k1

Z ^2m2+1

2k2+1 m2 2k2

f(x, y)dxdy−

Z ^m1+1

2k1 2m1+1

2k1+1

Z ^2m2+1

2k2+1 2m2+1

2k2

f(x, y)dxdy−

−

Z ^2m1+1

2k1+1 m1 2k1

Z ^m2+1

2k2 2m2+1 2k2+1

f(x, y)dxdy+

Z ^m1+1

2k1 2m1+1 2k1+1

Z ^m2+1

2k2 2m2+1

2k2+1

f(x, y)dxdy

! . Далее заменяя пременные с учетом сдвига аргументов получим

an1,n2(f) = 2^k1+2k2

Z ^2m1+1

2k1+1 m1 2k1

Z ^2m2+1

2k2+1 m2 2k2

f(x, y)dxdy−

Z ^m1+1

2k1 2m1+1

2k1+1

Z ^2m2+1

2k2+1 2m2+1

2k2

f(x+ 2^−k1−1, y)dxdy−

−

Z ^2m1+1

2k1+1 m1 2k1

Z ^m2+1

2k2 2m2+1

2k2+1

f(x, y+ 2^−k2−1)dxdy+

+

Z ^m1+1

2k1 2m1+1

2k1+1

Z ^m2+1

2k2 2m2+1 2k2+1

f(x+ 2^−k1−1, y+ 2^−k2−1)dxdy

!

=

= 2^k1+2k2

Z ^2m1+1

2k1+1 m1 2k1

Z ^2m2+1

2k2+1 m2 2k2

(f(x, y)−f(x+ 2^−k1−1, y)−

−f(x, y+ 2^−k2−1) +f(x+ 2^−k1−1, y+ 2^−k2−1))dxdy

.

Теперь на основании неравенства Гельдера и леммы 1 имеем (здесь ¹_p +¹_q = 1) a_n1,n2(f)≤2^k1+2k2

Z

∆^(k_2m¹⁺¹⁾

1

Z

∆^(k_2m²⁺¹⁾

2

|(f(x, y)−f(x+ 2^−k1−1, y)−

−f(x, y+ 2^−k2−1) +f(x+ 2^−k1−1, y+ 2^−k2−1))|^pdxdy ¹_p

1 2^k1+k2+2

¹

q

≤

≤2^k1+2k2











 sup

h1≤ 1 2k1+1 h2≤ 1

2k2+1

Z

∆^(k_2m¹⁺¹⁾

1

Z

∆^(k_2m²⁺¹⁾

2

|∆₂(f, x, y, h1, h2)|^pdxdy













1 p

1 2^k1+k2+2

¹

q

≤

≤2^k1+2k2V_p

f, m₁

2^k1,m₁+ 1 2^k1

,

m₂

2^k2,m₂+ 1 2^k2

×

×

1 2^k1+k2+2

¹_q 1 2^k1+k2+2

¹_p

=

= 2^k1+2k2V_p

f, m₁

2^k1,m₁+ 1 2^k1

,

m₂

2^k2,m₂+ 1 2^k2

1 2^k1+1

¹_q+_p¹ 1 2^k2+1

¹_q+¹_p

=

= 2^k1+2k2Vp

f,

m1

2^k1,m1+ 1 2^k1

,

m2

2^k2,m2+ 1 2^k2

1 2^k1+1

1 2^k2+1

=

= 2^{k1+2k2−k1−k2−2}Vp

f,

m1

2^k1,m1+ 1 2^k1

,

m2

2^k2,m2+ 1 2^k2

=

= 2^{−k1+2k2−2}V_p

f, m₁

2^k1,m₁+ 1 2^k1

,

m₂

2^k2,m₂+ 1 2^k2

,

Отсюда

|a_n1,n2(f)|^p ≤2^{−p2(k1+k2)−2p}

Vp

f,

m1

2^k1,m1+ 1 2^k1

,

m2

2^k2,m2+ 1 2^k2

p

. (3)

Зададим ε >0. Для каждого m₁ = 0,1, ...,2^k1 −1 и m₂ = 0,1, ...,2^k2 −1 найдется разбиение ξm1 и ηm2 квадратов

hm1

2^k1,^m₂¹k⁺¹1

i и

hm2

2^k2,^m₂²k⁺¹2

i

(см (1))такое, что

ℵ^p_ξ

m1,ηm2(f)p

≥

V_p^p

f, m₁

2^k1,m₁+ 1 2^k1

,

m₂

2^k2,m₂+ 1 2^k2

p

− ε

2^k1−k2, (4) Обьединяя все эти разбиения квадрата [0,1]² диаметра не больше ¹

2^k1 , ¹

2^k2 соответственно и, суммируя неравенства вида (3), получим

2^k1+1−1

X

i=2^k1

2^k2+1−1

X

i=2^k2

|a_ij(f)|^p ≤ω_1−1/p^p

f, 1 2^k1, 1

2^k2 −ε

2^{−k1+2k2p−2p},

и поскольку ε можно сделать произвольно малым,то неравенство (2) доказано. Теорема 1 доказано.

В случае функций одной переменной подобная оценка коэффициентов Фурье-Хаара получена в [6].

В следущий теореме приводятся достаточные условия сходимости двойых рядов, составленных из коэффициентов Фурье-Хаара.

Теорема 2. Пусть f ∈ Cp[0,1]², 1 < p < ∞ и an1,n2(f) = R1 0

R1

0 f(x, y)hn1(x)hn2(y)dxdy, n₁, n₂∈N.

1) Пусть β >0, p≥β. Тогда при условии сходимости ряда

∞

X

m=1

∞

X

n=1

(mn)^−β2−βpω_1−1/p^β

f, 1 m,1

n

сходится ряд

∞

X

m=1

∞

X

n=1

|a_mn(f)|^β

2) Пусть β >0, p≥β, γ > ¹_p +¹₂ , γ∈R. Тогда при условии сходимости ряда

∞

X

m=1

∞

X

n=1

(mn)^γ−1p−12ω^p_1−1/p

f, 1 m,1

n

сходится ряд

∞

X

m=1

∞

X

n=1

(mn)^γ|a_mn(f)|<∞ Доказательство.Расмотрим случай 1).

C помощью неравенства Гельдера и теоремы 1 имеем

2^k+1−1

X

m=2^k 2^l+1−1

X

n=2^l

|a_mn(f)|^β ≤





2^k+1−1

X

m=2^k 2^l+1−1

X

n=2^l

|a_mn(f)|^βpβ





β p 



2^k+1−1

X

m=2^k 2^l+1−1

X

n=2^l

1





1−^β

p

=

= (2^k2^l)¹⁻

β p





2^k+1−1

X

m=2^k 2^l+1−1

X

n=2^l

|a_mn(f)|^ββp





β p

≤(2^k+l)¹⁻

β

p2^{(−k+l2 −2)β}ω_1−1/p^β

f, 1 2^k, 1

2^l

=

= 2^(k+l)

1−^β

p−^β

2

ω_1−1/p^β

f, 1 2^k, 1

2^l

.

Cуммируя обе стороны полученного неравенства, имем

∞

X

k=0

∞

X

l=0





2^k+1−1

X

m=2^k 2^l+1−1

X

n=2^l

|a_mn(f)|^β



≤C

∞

X

k=0

∞

X

l=0

2^(k+l)

1−^β

p−^β

2

ω^β_1−1/p

f, 1 2^k, 1

2^l

∞

X

k=1

∞

X

l=l

|a_mn(f)|^β ≤C

∞

X

k=0

∞

X

l=0

2^(k+l)

1−^β

p−^β

2

ω^β_1−1/p

f, 1 2^k, 1

2^l

∞

X

m=1

∞

X

n=1

(mn)⁻

β 2−^β_p

ω_1−1/p^β

f, 1 m,1

n

=

=C

∞

X

k=0

∞

X

l=0

2^m+1−1

X

k=2^m

2ⁿ⁺¹−1

X

l=2ⁿ

(kl)⁻

β p−^β₂

ω^β_1−1/p

f, 1 k,1

l

≥

≥

∞

X

m=0

∞

X

n=0

2^−(n+m)2^−β2−βpω^β_1−1/p

f, 1 2^m, 1

2ⁿ

2^(n+m)=

=

∞

X

m=0

∞

X

n=0

2^(n+m)

1−^β₂−^β_p

ω_1−1/p^β

f, 1 2^m, 1

2ⁿ

Отсюда

∞

X

m=1

∞

X

n=1

(mn)^−β2−βpω_1−1/p^β

f, 1 m,1

n

<∞

∞

X

m=1

∞

X

n=1

|a_mn(f)|^β <∞

Теперь расмотрим случай 2)

2^k+1−1

X

m=2^k 2^l+1−1

X

n=2^l

(mn)^γ|a_mn(f)|^β ≤





2^k+1−1

X

m=2^k 2^l+1−1

X

n=2^l

|a_mn(f)|^p





1 p



2^k+1−1

X

m=2^k 2^l+1−1

X

n=2^l

(mn)^γq





1 q

≤

≤

2^(k+1)γq2^(l+1)γq2^(k+l)1_q

ω_1−1/p^β

f, 1 2^k, 1

2^l

2^{−k+l2 −2}=

= 2^γ−22^(k+l)

γ+¹_q−¹

2

ω_1−1/p^β

f, 1 2^k, 1

2^l

2^{−k+l2 −2} .

Cуммируем обе стороны

∞

X

k=0

∞

X

l=0





2^k+1−1

X

m=2^k 2^l+1−1

X

n=2^l

(mn)^γ|a_mn(f)|^β



≤

≤

∞

X

k=0

∞

X

l=0

2^γ−22^(k+l)

γ+¹_q−¹

2

ω_1−1/p^β

f, 1 2^k, 1

2^l

2^{−k+l2 −2}

∞

X

m=1

∞

X

n=1

(mn)^γ|a_mn(f)| ≤C

∞

X

m=1

∞

X

n=1

(mn)^γ−1p−12ω_1−1/p^β

f, 1 m,1

n

Теорема 2 доказано.

Теорема 2 является распространением на двумерный случай соответствующей теоремы из работы [6].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Wiener N. The gudratic variation of a function and its Fourier coefficients .// Маssachusetts J.

of Math. 1924 . - V 3. P. 72-94.

2. Clarkson J.A., Adams C.R. On definitions of bounded variation for functions of two variables . // Trans. Amer. Math.Soc. 1933. - N 35. 824-854.

3. Терехин А.П. Приближение функций ограниченной p вариации. // Математика. 1965. -

№2.- С. 171-187.

4. Терехин А.П. Функции ограниченной p вариации с данным порядком модуля p- непрерывности // Математические заметки. 1972. Т.12. N 5. С. 523-530.

5. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. // - М.:Наука, 1984.-С.1-554.

6. Волосивец С.С. Приближение функций ограниченной p-вариации полиномами по системам

Хаара и Уолша. // Математические заметки. 1993. Т.53. №6. С. 11-21.

Ахажанов Т.Б.

Варациялық үзiлiсiздiк модулi және екi еселi Фурье-Хаар қатарларының коэфициенттерi

Бұл жұмыста екi айнымалы функциялар үшiн вариациялық үзiлiсiздiк модулiнiң түсiнiгi енгiзiледi жәнеде екi еселi Фурье-Хаар қатарларының коэфициенттерiнiң қосындысы үзiлiсiздiк модулi арқылы бағаланады және Фурье-Хаар коэфициенттерiнен құралған қатарлардың абсолюттiк жинақталу теоремалары дәлелденген.

Аkhachanov T.B.

Variational modulus of continuity and coefficients of the double Fourier-Haar series

In this paper the notion of variational modulus of continuity of a function in two variables is introduced. An estimate of the sum of the coefficients of the of double Fourier-Haar series via the variational modulus of continuity is given. Theorems on absolute convergence of series containing the coefficients of double Fourier-Haar series are proved.

Поступила в редакцию 12.10.10 Рекомендована к печати 30.10.10