УСЛОВИЕ СУММИРУЕМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ a - МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ

УДК 517.51

УСЛОВИЕ СУММИРУЕМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ α - МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ

Муканов А.Б.

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана Научный руководитель – д.ф.-м.н., профессор Нурсултанов Е.Д.

Пусть α∈(0,1], 0 < p,q _{≤ +∞} .

Определение 1 Будем говорить, что последовательность a = {a_k}^∞_k=1 принадлежит дискретному пространству Лоренца l_p,q , если для 0< p<_∞ и 0< q < _∞ имеет

. 1 <

= a

1

1

* 1

, ∞



























∑

^∞ 

=

q

k

q k p q

lp k a k

для 0< p≤∞,

q = ∞

полагаем

∞ =sup < ∞

a ^*

1

, k

p p k

l k a ,

где {a_k^*}^∞_k=1 - невозрастающпая перестановка последовательности a ={a_k}^∞_k=1.

При

p = q

это пространство совпадает с дискретным пространством Лебега, которое обозначается через l_p .

Хорошо известна теорема Боаса (см. [1], §6).

Теорема А. Пусть 1< p< ∞ , 1< q < ∞ и ϕ( x) - положительная, убывающая интегрируемая функция, имеющая ряд Фурье

a

_k

kx

k

π 2 cos

0

=

∑

^{∞ . Тогда} ϕ ∈Lpq тогда и только

тогда, когда

a = { a

_k

}

^∞_k=0∈

l

_p′,q.

В этой работе мы ослабим условие монотонности функции. Для этого нам потребуются дробные интегралы и производные в смысле Римана-Лиувилля. Более подробно о дробных интегралах и производных смотрите [2].

Определение 1. Пусть ϕ(x)∈L₁(0,1) . Интеграл

1,

<

) , (

) ( )

(

= 1 ) )(

(

₁ ¹ ₁

dt x

x t x t

I

α x

ϕ

α

ϕ α

₋

− Γ

∫

−

где α>0, называется правосторонним интегралом дробного порядка α . Определение 2. Для функции f( x), заданной на отрезке [0,1], выражение

) , (

) ( )

(1

= 1 ) )(

(

₁^{α 1} _α

α t x

dt t f dx x d

f

−Γ −

∫

x −

D−

называется правосторонней дробной производной порядка _α , 0<α<1^.

Определение 3. Пусть 0<α<1^. Неотрицательная функция f :[0,1]→R называется

α -монотонной (принадлежит классу

M

_α), если

0 ) )(

( D

₁^α₋

f x ≥

для почти всех x∈[0,1] .

Замечание. При α=0 ^класс

M

0 рассматривается как класс неотрицательных на [0,1]

функций, а при α =1 ^класс M 1 - как класс неотрицательных невозрастающих функций.

Для введенных классов справедливо следующее свойство:

Лемма 1. Пусть 0≤α <β ≤1. Тогда M_β ⊂ M_α.

Основным результатом работы является следующая теорема Теорема 1. Пусть α∈(0,1], ¹ _{< p < ∞}

α ,

= 1

′ −

p

p p

, 1_≤ q _{≤ ∞} , а интегрируемая

функция f имеет ряд Фурье

, 2 cos

0

=

kx a

_k

k

∑

^∞

π

причем

f ∈ M

_α. Тогда для того, чтобы a∈l_p,q, необходимо и достаточно ,

<

2

1

2 0

=

 ∞

























 − ′

∑

∞

q q p k k

k

f

где

ds s f f

k

k =2k ² ( )

2

∫

0⁻

Условие на параметр p является существенным.

Теорема 2. Пусть α_∈(0,1) и

α

< 1

<

1 p . Тогда существует такая функция f , что

q p

n f l

a ( )∉ _, , но

 ∞

























 − ′

∑

∞ ^{2 <}

1

2 1

=

q q p k k

k

f

Литература

1. R.P. Boas Jr., Integrability theorems for trigonometric transforms, Ergebnisse der Math.

Band 38, 1967.

2. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1978.

Дьяченко М.И., Нурсултанов Е. Д. Теорема Харди-Литтлвуда для тригонометрических рядов с _α -монотонными коэффициентами // Матем. сб.– 200:11 (2009). –С. 45-60.