УДК 517.984
КРИТЕРИЙ -САМОСОПРЯЖЕННОСТИ НЕОБРАТИМОГО ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
Жаңбыров А.
Южно-Казахстанский государственный университет им. М.О.Ауезова, Шымкент
Научный руководитель – д.ф.-.м.н., доцент Шалданбаев А.Ш.
1. Рассмотрим в пространстве = 0,1 оператор Штурма-Лиувилля
= − " ; ∈ 0,1 1
= 0 + 0 + 1 + 1 = 0 = 1,2 2
с двумя = 1,2 линейно независимыми краевыми условиями, где = 1,2; = 1,2,3,4 - произвольные комплексные постоянные.
Это означает, что хотя бы один из миноров
∆ = − , = 1,2,3,4 3 граничной матрицы
# $, 4 отличен от нуля.
Область определения оператора обозначим через % , т.е.
% = & ∈ ' 0,1 ∩ ' 0,1 = 0) = 1,2 5 Пусть + – оператор формально сопряженный к оператору , т.е. такой оператор,
что ∀ ∈ % и . ∈ % + имеет место формула
, . = , +. ,
где % + – область определения сопряженного оператора + , . , . – скалярное
произведения пространства 0,1 , определенное формулой 0, 1 = 2 0 1̅
4 5 , ∀0, 1 ∈ 0,1
Через 6 обозначим оператора внутреннего отклонения
67 = 7 1 − , ∀ ∈ 0,1 , 7 ∈ 0,1 6 Постановка задачи. При каких условиях на коэффиценты имеет место формула
6 = +6. 7 Определение. Операторов Штурма-Лиувилля, удовлетворяющих условию (7) , назовем 6- самосопряженными.
2. Основной результат
Теорема 1. Для необратимого оператора Штурма-Лиувилля (1)-(2) с двумя =
1,2 линейно независимыми краевыми условиями, формула
6 = +6 7 имеет место тогда и только тогда, когда
∆: = ; <∆ , ∆: = ; <∆ , ∆: = ;<∆ , ∆: = ;<∆ , ∆: = ; <∆ , где 0 ≤ > < 2@, а оператор 6 определен формулой (6).
Литература
1. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. – М.: Наука, 1983. – 176 с.
2. Кальменов Т.Ш., Шалданбаев А.Ш. О структуре спектра краевой задачи Штурма- Лиувилля на конечном отрезке времени // Известия АН РК, серия физ.-мат. 2000.
№3. – С. 29-34.
3. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. – Киев: Наука думка, 1977. – 329 с.
Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. –Харьков, 1939. – 717 с.
