О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ГИЛЬБЕРТА И СОПРЯЖЕННЫХ ФУНКЦИЯХ

УДК 517.51

О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ГИЛЬБЕРТА И СОПРЯЖЕННЫХ ФУНКЦИЯХ

Мухамбетов М.К.

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана Научный руководитель – д.ф.-м.н., профессор Бокаев Н.А.

Для функции ϕ( x)преобразование Гильберта определяется равенством [1]

) . ( lim1

) (

|

|

0 dy

y y x x f

H

y

∫

→ ≥

= −

ε

π

ε

ϕ

В теории детерминированных динамических объектах иногда удобно рассматривать комплексные процессы

) ( ) ( )

(t = f t +if₁ t ψ

где ψ(t)- аналитическая функция комплексной переменной

^t + ⁱ τ

. Можно показать, что тогда имеют место следующие соотношения:

∫

∞

∞

− −

= 1 ( ) ,

)

( ¹ τ

τ τ

π t ^d

t f

f

∫

^∞

∞

− −

−

= 1 ( ) ,

)

1( τ

τ τ

π t ^d

t f

f (1)

Функции f(t) и f₁(t) называются парой преобразований Гильберта. В данных формулах имеются в виду главные значения несобственных интегралов.

Преобразование Фурье функции ϕ ∈L₁(R)определяется равенством

∫

∞

∞

−

= ( ) − , )

ˆ(ω ϕ t e ^iωtdt ϕ

Теорема 1. Для преобразования Фурье функций f(t) и f₁(t) имеет место равенство







<

−

= >

0 ),

ˆ(

0 ),

ˆ( ) ˆ (

1

ω ω

ω ω ω

при f

i

при f

f i

Теорема 2. Пусть

⁼

∫

^{∞ +}

∫

^∞

0 0

sin ) 1 ( cos

) 1 (

)

( ω ω ω

ω π ω

π ^a ω ^{td b td}

t

f (2)

⁼

∫

^{∞ −}

∫

^∞

0 0

1 1 ( )sin

cos ) 1 ( )

( ω ω ω

ω π ω

π ^b ω ^{td a td}

t

f

(3) тогда сопряженная функция определяется следующим равенством

) ( )

1(t Hf t

f =

Пример 1. Рассмотрим функцию отсчетов t t t

f

0

sin 0

)

(

ω

=

ω

В этом случае имеем

2 sin 2 )

(

0 0 2

1 t

t t

f

ω

ω

−

= Действительно,

∫

∫

∫

∫

∫

∞

−

∞

−

−

∞ +

∞ +

−

∞

∞

−

∞

∞

−

∞

∞

−

−

=

− −

= +

=

) (

) 0 ( )

(

) 0 (

0 0 0

0 0

0

0

0 0

0

sin 2

1 sin

2 1

) sin(

2 ) 1 sin(

2 cos 1

) sin (

ω ω

ω ω ω

ω ω

ω

ω

ω

ω ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω

x dx dx x

x x

t dt dt t

t dt t

t t a t

Таким образом,







− < <

=

ω ω ω ω ω

π ω

прочих при

a при 0 )

( ₀ ^{0 0}

0 ) (ω =

b так как f(t) в выражении четная функция.

Пример 2. Пусть f(t) прямоугольный импульс





 − < <

=

t прочих при

t T при T

t f

0

2 1 2

) ( тогда

2 ln 2 ) 1

1( T

t t T t

f

+

= −

π

Действительно, согласно (1)

∫

− −

−

= ²

2 1

) 1 (

T

Tt t d

f

τ

τ π

Рассмотрим три случая:

1. 2

t>T

2. 2 2

t T T < <

−

3. 2

t<T

В первом случае имеем

2 ln 2 ) 1

1 ln(

)

(

|

2

2

1 T

t t T t

t f

T

T +

= −

−

=

−

π

π τ

аналогично рассматриваются остальные случаи.

Литература

1. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. – М.: Изд.-во «Мир», 1973. - 343 с.

Айзинов М.М. Избранные вопросы теории сигналов и теории цепей. – М.: Изд.-во

«Связь», 1971. – 349 с.