Исследование повышение потенциала робастной устойчивости систем управления процессом сушки материалов

(1)

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БIЛIМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛIГI МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН MINISTRY OF EDUCATION AND SCIENCE OF THE REPUBLIC OF KAZAKHSTAN

Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ

УНИВЕРСИТЕТI

ЕВРАЗИЙСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Л.Н. ГУМИЛЕВА L.N. GUMILYOV EURASIAN

NATIONAL UNIVERSITY

ХАБАРШЫ

1995 жылдың қантарынан жылына 6 рет шығады

II бөлiм

№ 6 (97) · 2013

ВЕСТНИК

выходит 6 раз в год с января 1995г.

II часть

HERALD

Since 1995

II part

Астана

(2)

УДК 681.5

М.А. Бейсенби, А.М. Бейсембин, Ж.Ж. Ермекбаева

Исследование повышение потенциала робастной устойчивости систем управления процессом сушки материалов

(Евразийский национальный университет им.Л.Н.Гумилева, Астана, Казахстан)

Данная работа посвящена проблемам построения робастной устойчивой системы управления динамическими объектами, с неопределенными параметрами в классе однопараметрических структурно-устойчивых отображений, позволяющих предельно увеличить потенциал робастной устойчивости. Приведен подробный пример, показывающий эффективность применения нелинейных законов управления в системах управления процессом сушки материалов.

Ключевые слова: pобастная устойчивость, динамический объект управления, нелинейный закон управления

В настоящее время общепризнано, что большинство реальных систем управления функционирует в условиях той или иной степени неопределенности. Проблеме исследования систем управления в условиях неопределенности посвящено большое число работ. В работе [1] в основном решаются задачи исследования робастной устойчивости линейных непрерывных и дискретных систем управления. В общей постановке исследование робастной устойчивости состоит в указании ограничений на изменение неопределенных параметров системы управления, при которых сохраняется устойчивость. Эти ограничения определяются областью устойчивости по неопределенным и устанавливаемым параметрам системы.

Универсальным методом исследования устойчивости динамических систем является второй метод А.М. Ляпунова [2,3]. При этом требуется исследовать устойчивость в условиях многочисленных неопределенностей, ограничений и неполной информаций [1,4,5].

В настоящей работе повышение потенциала робастной устойчивости [6,7] исследуется на примере систем управления технологическим процессом сушки материалов в текстильной промышленности [8] в классе однопараметрических структурно-устойчивых отображений [9,10].

Исследование робастной устойчивости системы базируется на геометрической интерпретации теоремы второго метода А.М. Ляпунова [2,3]. Построение вектор-функций Ляпунова [11] производится по градиенту, а антиградиент которой задаются компонентами вектора скорости системы. Области робастной устойчивости получены в виде простейших неравенств по неопределенным параметрам процесса сушки материалов.

Математическое описание работы сушильной установки основана на тепло и влаго обмене между агентом сушки и высушиваемым материалом. Сушильные машины являются в общем случае нелинейными сложными динамическими объектами управления, в которых управляемой координатой являются конечная влажность текстильных материалов после сушки, а управляющими воздействиями-интенсивность подачи влажного материала с некоторой начальной влажностью на вход сушильной машины; скорость перемещения материала в сушильной камере, температура агентов сушки. Параметры модели определяются теплоемкостью материала при различных температурах на входе и выходе сушильного отделения, коэффициентом связи между температурой отходящих газов и температурой материала, отношением количества тепла, запасенного в объекте, к расходу тепла из объекта.

(3)

Как правило эти параметры не известны точно, а во многих случаях их значения в принципе не могут бытьдоступны точному определению, поскольку они могут меняться непредсказуемо в процессе эксплатуаций системы.

В настоящее время доказано, что нелинейным динамическим процессам характерны режим детерминированного хаоса [5,12], который в линеаризованной системе выражается потерей устойчивости.

Рассмотрим сушку материалов – это процесс испарения влаги из материала при непосредственном его контакте с нагретым теплоносителем – агентом сушки.

Пусть, предположим, что процесс сушки обусловлен одновременным влиянием процесса накопления влаги в окружающем паре, который определяется скоростью сушки и характером теплового объекта, представляющего собой инерционное звено первого порядка [8]. Когда скорость сушки изменяется по закону интеграла 1/s, объекту управления соответствует передаточная функция [8].

W₀(s) = k₀ s(T0s+ 1),

где ₀ – постоянная времени, а k₀ – коэффициент усиления объекта управления. Эти параметры могут содержать большие неопределенности и могут непредсказуемым образом изменяться в процессе эксплуатации.

В качестве исполнительного устройства в системах управления тепловыми процессами часто используется интегрирующий сервомеханизм с постоянной интегрирования T1, передаточной функцией [8]

W1(s) = k1

T1s,

где k1 – коэффициент усиления исполнительного механизма.

Рассмотрим задачу исследования устойчивости систем автоматического управления процессом сушки с пропорциональным законом регулирования kp, представленным на рис.

1.

Рисунок 1.- Блок схема системы автоматического управления процессом сушки с пропорциональным законом управления

Находим передаточную функцию замкнутой системы по управляющему воздействию

Φ(s) = k

T₁s²(T₀s+ 1) +k, (1) где k=k_pk₁k₀ - коэффициент усиления замкнутой системы.

Находим характеристическое уравнение замкнутой системы

T₁T₀ς₃+T₁ς₂+k= 0. (2)

Составим матрицу Гурвица по характеристическому уравнению

∆3 =

a₁ a₀ 0 a3 a2 a1

a₅ a₄ a₃

=

T₁ T₀T₁ 0

k 0 T1

0 0 k

.

7

(4)

Применяя критерий Гурвица, можем показать, что для системы (1) с характеристическим уравнением (2) условия устойчивости не выполняются при любом значении k, т.е.

∆1=T1 >0, ∆2=−kT₀T1>0, приk< 0;

∆3=−k²T0T1<0, при любом значенииk.

На рис. 2. приведены графики изменение переменных состояния САУ процессом сушки с пропорциональным законом управления при нахождении параметра k в положительной и отрицательной области изменения значений параметра.

Рисунок 2.- Переходный процесс сушки с пропорциональным законом управления в положительной области изменения неопределенного параметра k

Исследуем устойчивость системы управления с пропорциональным законом управления методам функций Ляпунова. Для этого уравнения САУ представим в пространстве состоянии по передаточной функций системы (1).

dx

dt =Ax+Bu, y=cx где

A=

0 1 0

0 0 1

0 −T₁ −T₁T₀

, B=

0 0 k₀k₁

, u=kpx₁, c=k 1 0 0 k

В развернутой форме уравнения состояния записывается







dx₁ dt =x₂

dx2

dt =x₃

dx₃

dt = +k0k1kpx1−T1x2−T0T1x3

(3)

Исследуем устойчивость системы (3) методом функций Ляпунова. Обозначим компонентов градиента от компонентов вектор-функций [11] через:

∂V1(x1,x2,x3)

∂x1 = 0,^∂V¹^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

2 =−x_2,^∂V¹^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

3 = 0

∂V2(x1,x2,x3)

∂x1 = 0,^∂V²^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

2 =−0,^∂V²^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

3 =−x₃

∂V3(x1,x2,x3)

∂x1 =−k₀k1kpk1,^∂V³^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

2 =T1x2,^∂V³^(x_∂x¹^,x^2,^x³⁾

3 =T0T1x3

Полные производные по времени от компонентов вектор функций Ляпунова будет dV(x)₁

dt =−x²₂,dV2(x)

dt =−x²₃,= dV3(x)

dt =−k₀²k₁²k_p²x²₁−T₁²x²₂−T₀²T₁²x²₃

Полную производную по времени от скалярной функции Ляпунова можем представить в виде суммы

(5)

(V^.(x) = (

.

V1(x) +V^.

2 (x) +V^.

3(x))

dV(x)

dt =−k²₀k²₁k_p²x²₁−(T₁²+ 1)x²₂−(T₀²T₁²+ 1)x²₃,

(4) Из выражений (4) следует, что полное производное по времени от функций Ляпунова является всегда знако-отрицательной функцией.

Компонентов вектор функций Ляпунова получим в виде:

V₁(x) =−¹₂x²₂, V₂(x) =−¹₂x²₃,

V3(x) =−¹₂k0k1kpx²₁+¹₂T1x²₂+¹₂T0T1x²₃ Функцию Ляпунова в скалярной форме представим в виде

V(x) =−1

2k₀k₁k_px²₁+1

2(T₁−1)x²₂+1

2(T₀T₁−1)x²₃, (5) Условия устойчивости системы (3) получим с учетом отрицательной определенности функций (4) из условия положительной определенности квадратичной формы (5), т.е.

−k₀k1kp >0, T1−1>0, T0T1−1>0, k0 >0, k0 >0, k1 >0, kp >0, T0>0, T1>0, (6) Первое неравенство в выражении (6) при положительных значениях k₀ > 0, k₁ > 0, k_p >

0не будет выполняться, т.е. система (3) при пропорциональном законе управления не будет устойчивой.

Исследуем устойчивость системы управления процессом сушки, построенных в классе структурно устойчивых отображений [6,7] методом функции Ляпунова [2,3,10]

Уравнения САУ представим в пространстве состояний

dx

dt =Ax+Bu, y=cx→ где

A=

0 1 0

0 0 1

0 −T₁ −T₁T₀

, B=

0 0 k₀k₁

, u=k_px₁, c=k 1 0 0 k В развернутой форме уравнения состояния записывается







dx1

dt =x₂

dx2

dt =x₃

dx3

dt =−k₀k₁x³₁+k₀k₁k_px₁−T₁x₂−T₀T₁x₃

(7) Находим установившиеся состояния системы (7) :











x2s= 0 x3s= 0 ...

xns= 0

−k₀k1(x³_1s−kpX1s)−T1X2s−T0T1X3s= 0

(8)

Из (8) находим стационарные состояния системы (7) :

x_1s =x_2s =x_3s= 0, x_1s=x_2s =x_3s= 0, (9) Другие стационарные состояния системы (7) будут определяться решением уравнения.

9

(6)

−x²_1s+k_p = 0, x_2s= 0, x_3s= 0

При отрицательном k₁ (k₁<0) это уравнения имеет мнимое решение, что не может соответствовать какой-либо физически возможной ситуаций. Приk₁>0 уравнения допускает следующие стационарные состояния.

x²_1s=p

k_p, x_2s=x_3s= 0, x²_1s=p

k_p, x_2s=x_3s= 0, (10) x³_1s=−p

k_p, x_2s=x_3s= 0, (11)

Эти состояния (10) и (11) системы (7) сливаются с (9) при значений параметра kp = 0и ответвляется от него при k_p>0.

Для исследование робастной устойчивости стационарных состояний (9), (10) и (11) используем основные положения метода функций Ляпунова [2,3,11], находим компонентов вектора градиента.

∂V1(x1,x2,x3)

∂x1 = 0,^∂V¹^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

2 =−x₂,^∂V¹^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

3 = 0

∂V2(x1,x2,x3)

∂x1 = 0,^∂V²^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

2 = 0,^∂V²^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

3 =−x₃

∂V3(x1,x2,x3)

∂x1 =k0k1x³₁−k0k1kpx1,^∂V³^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

2 =T1x2,^∂V³^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

3 =T0T1x3

Полные производные по времени от компонентов вектор-функции Ляпунова будет

dv1(x)

dt =−x²₂,^dv_dt²^(x) =−x²₃, ^dv³_dt^(x) =−k₀²k₁²(x³₁−k_px₁)²−T₁²x²₂−T₀²T₁²x²₃

Или полную производную по времени от скалярной функции Ляпунова можем записать dV(x)

dt =−k²₀k²₁(x³₁−kpx1)²−(T₁²+ 1)x²₂−(T₀²T₁²+ 1)x²₃, (12) Полное производное по времени от функции Ляпунова является знако-отрицательной функцией.

Компонентов функции Ляпунова можем получить в виде

V1(x) =−¹₂x²₂, V2(x) =−¹₂x²₃, V3(x) =−¹₄k0k1x⁴₁−¹₂k0k1kpx²₁+¹₂T0T1x²₃,

Функцию Ляпунова в скалярной форме представим в виде V(x) =1

4k0k1x⁴₁−1

2k0k1kpx²₁+1

2(T0T1−1)x²₃ (13) Условия устойчивости нулевого стационарного состояния(9) получим с учетом отрицательной определенности функций (12) из условия положительной определенности функций (13)

k₀k₁> 0,−k₀k₁k_p> 0,T₁−1> 0, T₀T₁−1> 0

при k0>0, k₁> 0, T₁> 0,T₀> 0 это условие будет выполняться приk0<0, таким образом нулевые состояния равновесия системы будет устойчивой при отрицательных значениях коэффициентаk_p<0, а другие стационарные состояний не существуют.

Исследуем устойчивость стационарного состояния (10) и для этого уравнения состояния процесса сушки (7) в отклонениях относительно стационарного состояния (10) записывается

(7)







dx1

dt =x₂

dx2

dt =x₃

dx3

dt =−k₀k₁x³₁−3k₀k₁p

k_px²₁−2k₀k₁k_px₁−T₁x₂−T₀T₁x₃

Находим компонентов вектора градиента от компонентов вектор-функций Ляпунова.

∂V1(x1,x2,x3)

∂x1 = 0,^∂V¹^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

2 =−x₂,^∂V¹^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

3 = 0

∂V2(x1,x2,x3)

∂x1 = 0,^∂V²^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

2 = 0,^∂V²^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

3 =−x₃

∂V3(x1,x2,x3)

∂x1 =k0k1x³₁+ 3k0k1

pkpx²₁+ 2k0k1kpx1,^∂V³^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

2 =T1x2,^∂V³^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

3 =T0T1x3

Полную производную по времени от вектор-функции Ляпунова получим в виде

.

V(x) = ∂V(x)

∂x dx

dt =−x²₂−x²₃−(k0k1x³₁+ 3k0k1

pkpx²₁+ 2k0k1kpx1)²−T₁²x²₂−T₀²T₁²x²₃ (14) Полная производная(14) от вектор функций Ляпунова является знако-отрицательной функцией.

По градиенту построим функций Ляпунова V(x) =V₁(x) +V₂(x) +V₃(x) =

=−¹₂x²₂− ¹₂x²₃+k0k1x⁴₁+k0k1

pkpx³₁+k0k1kpx²₁+¹₂T1x²₂+¹₂T0T1x²₃=

=k₀k₁x⁴₁+k₀k₁p

k_px³₁+k₀k₁k_px²₁+¹₂(T₁−1)x²₂+¹₂(T₀T₁−1)x²₃, (15) По лемме Мороса эту функцию (15) можем заменить квадратичной формой

V(x) =k0k1kpx²₁+¹₂(T1−1)x²₂+¹₂(T0T1−1)x²₃, V(x) =k0k1kpx²₁+¹₂(T1−1)x²₂+¹₂(T0T1−1)x²₃, (16) Условие положительной определенности функций (15) или (16) получим в виде.

k0k1kp> 0,T₁−1> 0, T₀T1−1> 0, k0>0,k₁>0,k_p>0,T₁>0,T₀>0 (17) Отсюда из (17) получим, что стационарное состояние(10) будет асимптотической устойчивой

Исследуем устойчивость стационарного состояния (11) и для этого случая уравнения состояния в отклонениях записывается







dx1

dt =x2 dx2

dt =x₃

dx3

dt =−k₀k₁x³₁+ 3k₀k₁p

k_px²₁−2k₀k₁k_px₁−T₁x₂−T₀T₁x₃

Находим компонентов вектора градиента от компонентов вектор-функций Ляпунова

∂V1(x1,x2,x3)

∂x1 = 0,^∂V¹^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

2 =−x₂,^∂V¹^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

3 = 0

∂V2(x1,x2,x3)

∂x1 = 0,^∂V²^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

2 = 0^∂V²^(x_∂x¹^,x²^,x³⁾

3 =−x₃

∂V3(x1,x2,x3)

∂x1 =k0k1x³₁−3k0k1

pkpx²₁+ 2k0k1kpx1∂V3(x1,x2,x3)

∂x2 =T1x2∂V3(x1,x2,x3)

∂x1 =T0T1x3

Полную производную по времени от вектор-функции Ляпунова получим в виде 11

(8)

.

V(x) = ∂V(x)

∂x dx

dt =−x²₂−x²₃−(k0k1x³₁+ 3k0k1

pkpx²₁+ 2k0k1kpx1)²−T₁²x²₂−T₀²T₁²x²₃ (18) Полная производная (18) от вектор-функций Ляпунова является знако-отрицательной функцией

По градиенту построим функций Ляпунова V(x) =V1(x) +V2(x) +V3(x) =

=k0k1x⁴₁−k0k1

p kpx³₁+k0k1kpx²₁+¹₂(T1−1)x²₂+¹₂(T0T1−1)x²₃, (19) По лемме Мороса эту функцию (19) заменяем квадратичной формой

V(x) =k0k1kpx²₁+¹₂(T1−1)x²₂+¹₂(T0T1−1)x²₃, V(x) =k0k1kpx²₁+¹₂(T1−1)x²₂+¹₂(T0T1−1)x²₃, (20) Условие положительной определенности функций (19) или (20) получим в виде

k0k1kp> 0,T₁−1> 0, T₀T1−1> 0, k0>0,k₁>0,k_p>0,T₀>0,T₁>0 (21) Отсюда из (21) получим, что стационарные состояние (11) будет асимптотической устойчивой при выполнений условий (21).

Использование однопараметрических структурно-устойчивых отображений для построения систем управления технологическим процессом сушки показывает, что неустойчивая система управления при любом значений неопределенного параметра не только стабилизируется, но и не имеет ограничений на изменение неопределенных параметров процесса сушки.

В практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и других сферах в условиях существенной параметрической неопределенности повышенный потенциал робастной устойчивости является одним из ключевых факторов гарантирующих системе управления от попадания хаотическому движению и гарантирует применимость моделей и надежность работы спроектированных систем управления.

ЛИТЕРАТУРА

1 Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. – М.: Наука, 2002. – 303 с.

2 Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости – М.: Наука, 1967. – 225 с.

3 Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. – М.: Наука, 1966. – 540 с.

4 Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. – М.: Наука, 1977. – 394 с.

5 Nicolis Gr., Prigogine I. Exploring Complexity an Introduction. – New York, 1989. – 238 p.

6 Бейсенби М.А. Методы повышения потенциала робастной устойчивости систем управления. –Астана.: ЕНУ им Л.Н.Гумилева, 2011. – 352 с.

7 Бейсенби М.А. Модели и методы системного анализа и управление детерминированным хаосом в экономике. –Астана.: ЕНУ им Л.Н.Гумилева, 2011. – 201 с.

8 Петелин Д.П., Козлов А.Б. и др. Автоматизация технологических процессов в текстильной промышленности. – М.: Легкая индустрия, 1980. . – 320 с.

9 Постон Г., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. – М.: Мир, 1980. . – 600 c.

10 Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Т.1. – М.: Мир, 1981. . – 400 c.

11 Воронов А.А., Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. – М.: Наука, 1987. . – 312 c.

12 Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. – Наука. Физматлит 1990. . – 269 c.

(9)

REFERENCES

1 Polyak B.T., Shcherbakov P. S. Robastnaya stability and control. – M: Science, 2002. – 303 p.

2 Barbashin E.A. Introduction in the stability theory – M: Science, 1967. – 225 p.

3 Malkin I.G. Theory of stability of movement. – M: Science, 1966. – 540 p.

4 Kurzhansky A.B.Upravleniye and observation in the conditions of uncertainty. – M: Science, 1977. – 394 p.

5 Nicolis Gr. Prigogine I. Exploring Complexity an Introduction. – New York, 1989. – 238 p.

6 Beisenbi M.A.Metody of increase of potential of robastny stability of management systems. – Astana. ENU of the L.N.Gumilyova, 2011. – 352 p.

7 Beisenbi M.A.Modeli and methods of systems analysis and control of the determined chaos in economy. – Astana.:ENU to them L.N.Gumileva, 2011. – 201 pages.

8 Petelin D.P., Kozlov A.B. etc. Automation of technological processes in the textile industry. – M: Easy industry, 1980. – 320 p.

9 Poston G., Stewart I. Catastrophe theory and its applications. – M: World, 1980 . – 600 p.

10 Gilmore R. Application-oriented catastrophe theory. T.1. – M: World, 1981. – 400 p.

11 Voronov A.A., Matrosov V.M.Metod of vectorial functions Lyapunov in the stability theory.

– M: Science, 1987. – 312 p.

12 Loskutov A.Y. Mikhaylov A.S. Introduction in synergetrics. Science. FisMatLit 1990. – 269 p.

Бейсенби М.А., Бейсембин А.М., Ермекбаева Ж.Ж.

Кептiру технологиялық процесстiң робасты орнықты басқару жүйеде потенциалды жоғарлатуды зерттеу

Бұл мақалада басқару жүйелерде нысанның анықталмаған параметрлерiнiң шексiз кең өзгерту аймағында орнықтылықты қамтамасыз ететiн нысандар үшiн құрылымдық-орнықты бейнелеу сыныбында құрастырылған жүйе зерттелген. Бұл жүйе робасты орнықтылық потенциалы жоғары басқару жүйелерi үшiн қарастырылады. Кептiру технологиялық процесстiң негiзiнде басқару жүйесiнiң робасты орнықтылығын зерттеу тәсiлi көрсетiледi.

Түйiн сөздер:Робасттық орнықтылық,Динамиқалық басқару объектi,Бейсызықты басқару заң.

Beisenbi M.A, Beisenbin A.M., Yermekbayeva J.J.

The Research of increase of potential of robust stability control systems for process of drying materials This paper is devoted to the problems of constructing a robust sustainable control system for dynamic objects with a class of one-parameter structurally steady. This research presents some theoretical fundamental and practical example assisting in analyzing of the nonlinear control law in process of drying materials.

Keywords:robust control system, nonlinear control law,dynamic control object.

Поступила в редакцию 23.09.13 Рекомендована к печати 19.10.13

Об авторах:

Бейсенби М. А.-д.т.н., профессор, зав.кафедрой Системного анализа и управления Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева

Бейсенбин А.- магистрант специальность Автоматизация и управление Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева

Ермекбаева Ж. Ж.- доктор PhD, доцент кафедры Системного анализа и управления Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева

13