Построение системы управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости

робастной устойчивости М.А.Бейсенби, А.М.Бейсембин

Предлагается подход к выбору законов управления для объектов с неопределенными параметрами в классе структурно-устойчивых отображений из теорий катастроф, позволяющий построить систему управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости.

Введение и постановка задачи. В настоящее время общепризнано, что большинство реальных систем управления функционирует в условиях той или иной степени неопределенности. При этом неопределенность может быть обусловлена незнанием истинных значений параметров объектов управления и непредсказуемым изменением их во времени. Поэтому исключительно важную роль в теории управления динамическими объектами играет робастная устойчивость.

Проблема робастной устойчивости является одной из наиболее актуальных в теории управления и представляет большой практический интерес. В общей постановке она состоит в указании ограничений на изменения параметров системы, при которых сохраняется устойчивость.

Ясно, что эти ограничения определяются областью устойчивости по неопределенным параметрам объекта и устанавливаемым параметрам устройства управления (регулятора).

Известные методы [1] построения систем управления объектами с неопределенными параметрами в основном посвящены определению робастной устойчивости системы с заданной структурой с линейными законами управления или безынерционными нелинейными (релейными) характеристиками и не позволяют проектировать системы управления с достаточно широкой областью робастной устойчивости в условиях большой неопределенности параметров объекта управления и дрейфа их характеристики в больших пределах.

В настоящее время отсутствуют научные положения по разработке и исследованию систем управления с достаточно широкой областью робастной устойчивости.

В [2] особое внимание уделено динамическим системам, в которых рассматриваются развитие процессов самоорганизаций физико-химических и биологических системах. Модели этих систем представляется в форме структурно-устойчивых отображений из теории катастроф [3,4] и исследуется как универсальная математическая модель развития и самоорганизации в живой природе. Поэтому представляет определенный интерес в условиях большой неопределенности построить систему автоматического управления в классе структурно-устойчивых отображений, с математическими моделями сопутствующих сложному поведению системы [5], а именно имеющие множество одновременно устойчивых решений.

Настоящая статья посвящена актуальным проблемам построения робастной устойчивой системы управления линейными динамическими

объектами, с неопределенными параметрами с подходом к выбору законов управления в классе однопараметрических структурно-устойчивых отображений [5], позволяющих предельно увеличить потенциал робастной устойчивости и показателей качества системы управления.

Концепция построения системы управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости динамическими объектами базируется на результатах теории катастроф [3,4], где как основной результат получены основные структурно устойчивые отображения. Они ограничены и непосредственно определяются числом управляющих параметров.

Пусть стационарная система управления описывается уравнением состояния

R y R x cx y bu Ax

x  ,  ,  ⁿ,  , (1) где

0 0 , , 0 , 1 , 1 1 1 1

, 1 0

0 0

. 0 1

0 0

0 0

1 0

1 2

1





































c b

a a

a a A

n n

n

.

Для простоты рассмотрим частный случай системы со скалярным входным воздействием u(t)R. Из условия управляемости объекта следует, что номер нулевого элемента вектора b соответствует не управляемой координате. В данном случае предполагается, что все переменные состояния системы (1) управляемы и единственной выходной координатой является x₁. Это означает, что объект управления матрицей A путем введения в контур управления регулятора, со скалярным законом управления по координате, заданной в форме однопараметрических структурно-устойчивых отображений [5] вида

1 3

1 kx

x

u  , (2) может быть переведен в любое заранее заданное положение.

Покажем, что задача (1)-(2) позволяет определить области устойчивости системы управления по изменяемым параметрам и обеспечивает предельно широкую область устойчивости по неопределенным параметрам а_n.

1. Обычно в реальных системах трудно получить точные значения первых производных, а производные второго и выше порядка практически невозможно измерить. Но необходимо, чтобы скорость изменения выходной

координаты и производные более высокого порядка от выходной величины были равны нулю в установившемся состоянии системы.

Систему (1) с учетом (2) можем записать в развернутом виде

.

, )

(

, , ,

1

1 2

1 1 3

1

3 1 3 1 2

2 1 3 1 1

x y

x a x

a x a k dt x

dx

x kx dt x

dx

x kx dt x

dx

n n

n n















































 











 (3)

Рассмотрим установившиеся состояния системы

. 0 )

(

, , 0

, 0

1 2

1 1

3 1

3 1 3 1

2 1 3 1































 s ns

n s n s

s s s

s s s

x a x

a x a k x

x kx x

x kx x













 (4)

Из (4) находим стационарные состояния системы (3)

x_1s  x_2s  ... x_ns 0. (5) Другие стационарные состояния системы (3) будут определяться решением уравнения

0 ,

0 )

( _{2 3}

2

1       

x_s k a_n x _s x_s  x_ns . (6) При отрицательном k – an (k – an) < 0 это уравнение имеет мнимое решение, что не может соответствовать какой-либо физически возможной ситуации. При k – a_n > 0 уравнение (6) допускает следующие стационарные состояния

0 ,

, ₁³ _{2 3}

2

1_s  ka_n x_s  ka_n x _s x _s  x_ns 

x  . (7) Эти состояния (7) системы сливаются с (5) при параметре управления k – an = 0 и ответвляются от него при k – an > 0.

2. Исследуем устойчивость установившихся состояний (5) и (7) на основе принципа линейной устойчивости [5,1] системы (3).

Линеаризованную систему (3) можем представить в виде











































, )

(

, , , ,

1 2

1 1 1

1

3 1 2

2 1 1

n n

n n

n n

x a x

a x a b x

x bx x

x bx x

x bx x

 















(8)

где b = –3(x1s)² + k.

Cистему (8) преобразуем к одному уравнению n-го порядка. Для этого обозначим х1 = х и получим из системы (8):

. ,

, , ,

, ,

3 3 2

2 1

1

4 4 3

3 2

2 1

2 2 3

3 2 4

2 3 2

1

dt bx bdx dt

x bd dt

x bd dt

x x d

dt bx bdx dt

x bd dt

x bd dt

x x d

dt bx bdx dt

x bd dt

x x d

dt bx bdx dt

x x d

dt bx x dx x x

n n n

n n

n n

n n n

n n

n n













































































(9)

Подставляя эти выражения (9) в последнее уравнение системы (8) получим

 

 



( ... 1)



0.

) 1 ...

(

...

) 1 ( )

(

1 2 3

2 1

1 2 3

2 1

2 2 1

1 2 1 1





































































x b a a a

a a a

dt b dx a

a a

a a

dt x b d

a dt a

x b d dt a

x d

n n n n

n n n

n n n

n n

n

(10)

Характеристическое уравнение системы (10) представим в виде

,

1 0

2 2 1

1     

 ^{n n} _{n n}

n qs q s q s q

s 

где

. ) 1 (

, ) 1 (

, , ) 1 (

, ) 1 ( ,

1 2 3

2 1 1

1 2 3

2 1

1

1 2 3 3 1

2 2 1

1

b a a a

a a a q

b a a a

a a

q

b a a a q b a a q b a q

n n n n n

n n n

n







































































Для исследования устойчивости стационарных состояний (5) и (7) системы (3) или (9) можем воспользоваться критерием Гурвица.

Необходимое условие устойчивости стационарного состояния (5) системы (3) (при b = k) записывается в виде:

. 0 ) 1 (

; 0 ) 1 (

;

; 0 ) 1 (

; 0 ) 1 (

; 0

1 2 3

2 1

1 2 3

2 1

1 2 3 1

2 1





























































k a a a

a a a

k a a a

a a

k a a a k a a k a

n n n n

n n n







(11)

Если а₁ > 0, а₂ > 0, …, а_n-1 > 0, а_n > 0, тогда система неравенств (11) всегда будет выполняться при всех отрицательных значениях коэффициента k (–∞ < k < 0). Достаточное условие устойчивости стационарного состояния (5) системы (3) требует кроме выполнения условий k < 0, выполнения дополнительных условий

. , , 1 1 ,

1 2 2

1

n i

a k a a

a

a

i i

i 

  









 _



(12)

Для устойчивости стационарного состояния (7) необходимо (при b = –2(k – аn)):

. 0 )]

( 2 )[

1 (

; 0 )]

( 2 )[

1 (

;

; 0 )]

( 2 )[

1 (

; 0 )]

( 2 )[

1 (

; 0 ) (

2

; 0

1 2 3

2 1

1 2 3

2 1

1 2 3

1 2 1



















































































n n

n n n

n n

n n

n

n n

n

a k a

a a

a a a

a k a

a a

a a

a k a

a a

a k a

a a

k a a

k





 (13)

Система неравенств (13) всегда будет выполняться при всех k – аn > 0, т.е. при k > аn. Достаточное условие устойчивости стационарного состояния (7) системы (3) требует выполнения дополнительных условий

. , , 1 ) ,

1 (

2 _{1 2 2 1} k a i n

a a a

a

a

n i

i

i 

   









 _



(14) Таким образом, показано, что система (1) за счет введения закона управления в форме однопараметрических структурно-устойчивых отображений приобретает свойства робастной устойчивости в широких пределах изменения неопределенного, по крайней мере, параметра an. Оказывается, что состояние x_1s  x_2s  ... x_ns 0 является глобально асимптотически устойчивым при k < 0 и неустойчивым при k > an, а состояния x₁²_s  ka_n, x_2s x_3s x_ns 0 асимптотически (но не глобально) устойчивы. При k = 0 происходит бифуркация и появляются новые устойчивые ветви. Появляется возможность построить устойчивую систему управления при любом изменении неопределенного параметра an, если выполнены условия (12) и (14).

Литература

1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. – М.: Наука, 2002. – 303 с.

2 Gregoire Nicolis, Ilya Prigogine. Exploring Complexity an Introduction. – New York (1989).

2. Бейсенби М.А. Методы повышения потенциала робастной устойчивости систем управления. – Астана, 2011. – 352 с.

3. Постон Г., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. – М.: Мир, 1980.

4. Гильмор Р. Прикладная теория катастроф. Т.1. – М.: Мир, 1981.

5.Бейсенби М.А. Методы повышения потенциала робастной устойчивости систем управления. – Астана, 2011. – 352 с.