М. А. Бейсенби, Г. А. Абитова, А. С. Айнагулова
Построение систем управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости
(Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева, г.Астана, Казахстан)
Рассматривается построение систем управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости для линейных объектов с нелинейными законами управления, заданными в форме однопараметрических структурно устойчивых отображений, которая позволяет проектируемой системе управления предельно увеличить область робастной устойчивости.
Введение и постановка задачи. В настоящее время общепризнано, что большинство реальных систем управления функционирует в условиях той или иной степени неопределенности. При этом неопределенность может быть обусловлена незнанием истинных значений параметров объектов управления и непредсказуемым изменением их во времени.
Поэтому исключительно важную роль в теории управления динамическими объектами играет робастная устойчивость. В общей постановке робастная устойчивость состоит в указании ограничений на изменение параметров системы управления, при которых сохраняется устойчивость. Эти ограничения определяются областью устойчивости по изменяемым параметрам.
Проблеме установления области робастной устойчивости систем управления посвящено большое число работ. В этих работах, например [1] в основном решаются задачи анализа робастной устойчивости линейных систем управления. Настоящая статья посвящена построению систем управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости для линейных объектов с нелинейными законами управления, заданными в форме однопараметрических структурно устойчивых отображений [2], позволяющими проектируемой системе управления предельно увеличить область робастной устойчивости.
Концепция построения системы управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости динамическими объектами базируется на результатах теории катастроф [3, 4], где как основной результат получены основные структурно устойчивые отображения. Они ограничены и непосредственно определяются числом управляющих параметров.
Пусть стационарная система управления описывается уравнением состояния
˙
x=Ax+Bu, y=Cx, x∈Rn, y∈R, (1)
где
A=
0 1 0 · · · 0
0 0 1 . . . 0
. . . .
0 0 0 . . . 1
an −an−1 −an−2 . . . −a1
, B =
1 1 ... 1 1
, C=
1, 0, . . . , 0 0 .
Для простоты рассмотрим частный случай системы со скалярным входным воздействием u(t) ∈ R. Из условия управляемости объекта следует, что номер нулевого элемента вектора B соответствует не управляемой координате. В данном случае предполагается, что все переменные состояния системы ((1)) управляемы и единственной выходной координатой является x1. Это означает, что объект управления матрицей A путем введения в контур управления регулятора, со скалярным законом управления по координате, заданной в форме однопараметрических структурно-устойчивых отображений [2,4] вида
u=−x31+kx1, (2)
может быть переведен в любое заранее заданное положение.
Покажем, что задача (1)-(2) позволяет определить области устойчивости системы управления по изменяемым параметрам и обеспечивает предельно широкую область устойчивости по неопределенным параметрам an.
1. Обычно в реальных системах трудно получить точные значения первых производных, а производные второго и выше порядка практически невозможно измерить. Но необходимо, чтобы скорость изменения выходной координаты и производные более высокого порядка от выходной величины были равны нулю в установившемся состоянии системы.
Систему (1) с учетом (2) можем записать в развернутом виде
dx1
dt =−x31+kx1+x2,
dx2
dt =−x31+kx1+x3, . . . ,
dxn
dt =−x31+ (k−an)x1−an−1x2−. . .−a1xn, y =x1.
(3)
Рассмотрим установившиеся состояния системы
−x31s+kx1s+x2s= 0,
−x31s+kx1s+x3s= 0, . . . ,
−x31s+ (k−an)x1s−an−1x2s−. . .−a1xns= 0.
(4)
Из ((4)) находим стационарные состояния системы (3)
x1s=x2s=...=xns= 0. (5)
Другие стационарные состояния системы (3) будут определяться решением уравнения
−x21s+ (k−an) = 0, x2s=x3s=. . .=xns= 0. (6) При отрицательном k−an(k−an)<0 это уравнение имеет мнимое решение, что не может соответствовать какой-либо физически возможной ситуации. При k−an > 0 уравнение (6) допускает следующие стационарные состояния
x21s=p
k−an, x31s=−p
k−an, x2s=x3s=. . .=xns= 0. (7) Эти состояния (7) системы сливаются с (5) при параметре управления k −an = 0 и ответвляются от него при kan>0.
2. Исследуем устойчивость установившихся состояний (5) и (7) на основе принципа линейной устойчивости [5,1] системы (3). Линеаризованную систему (3) можем представить в виде
˙
x1=bx1+x2,
˙
x2=bx1+x3, . . . ,
˙
xn−1 =bx1+xn,
˙
xn=−(b−an)x1−an−1x2−. . .−a1xn,
(8)
где b=−3 (x1s)2+k.
Cистему (8) преобразуем к одному уравнению n-го порядка. Для этого обозначим 1 = и получим из системы (8):
x1 =x, x2 = dxdt −bx, x3 = ddt2x2 −bdxdt −bx, x4= ddt3x3 −bddt22x−bdxdt −bx, . . . , xn−1 = ddtn−2n−2x −bddtn−3n−3x−bddtn−4n−4x−. . .−bdxdt −bx,
xn= ddtn−1n−1x −bddtn−2n−2x −bddtn−3n−3x −. . .−bdxdt −bx.
(9)
Подставляя эти выражения (9) в последнее уравнение системы (8) получим
dnx
dtn + (a1−b)ddtn−1n−1x+ [a2−(a1+ 1)b]ddtn−2n−2x+...+
+ [an−1−(an−2+an−3+...+a2+a1+ 1)b]dxdt+
+ [an−(an−1+an−2+an−3+...+a2+a1+ 1)b]x= 0.
(10)
Характеристическое уравнение системы (10) представим в виде sn+q1sn−1+q2sn−2+. . .+qn−1s+qn= 0, где
q1=a1−b, q2=a2−(a1+ 1)b, q3 =a3−(a2+a1+ 1)b, . . . , qn−1 =an−1−(an−2+an−3+. . .+a2+a1+ 1)b,
qn−1 =an−(an−1+an−2+an−3+. . .+a2+a1+ 1)b.
Для исследования устойчивости стационарных состояний (5) и (7) системы (3) или (9) можем воспользоваться критерием Гурвица. Необходимое условие устойчивости стационарного состояния (5) системы (3) (приb =k) записывается в виде:
a1−k >0; a2−(a1+ 1)k >0;a3−(a2+a1+ 1)k >0;. . .; an−1−(an−2+an−3+. . .+a2+a1+ 1)k >0;
an−(an−1+an−2+an−3+. . .+a2+a1+ 1)k >0.
(11)
Если 1 > 0,2 > 0, . . . ,n−1 > 0,n > 0, тогда система неравенств (11) всегда будет выполняться при всех отрицательных значениях коэффициента k− ∞< k < 0. Достаточное условие устойчивости стационарного состояния (5) системы (3) требует кроме выполнения условий k <0, выполнения дополнительных условий
ai
ai−1+ai−2+. . .+a2+a1+ 1 > k, i= 1, . . . , n. (12) Для устойчивости стационарного состояния (7) необходимо (приb =–2(k – аn)):
k−an>0;a1+ 2(k−an)>0; a2−(a1+ 1)[−2(k−an)]>0;
a3−(a2+a1+ 1)[−2(k−an)]>0;. . .;
an−1−(an−2+an−3+. . .+a2+a1+ 1)[−2(k−an)]>0;
an−(an−1+an−2+an−3+. . .+a2+a1+ 1)[−2(k−an)]>0.
(13)
Система неравенств (13) всегда будет выполняться при всех k − n > 0, т.е. при k > n. Достаточное условие устойчивости стационарного состояния (7) системы (3) требует выполнения дополнительных условий
ai
2(ai−1+ai−2+. . .+a2+a1+ 1) < k−an, i= 1, . . . , n. (14) Таким образом, показано, что система (1) за счет введения закона управления в форме однопараметрических структурно-устойчивых отображений приобретает свойства робастной устойчивости в широких пределах изменения неопределенного, по крайней мере, параметра an. Оказывается, что состояние x1s =x2s =...=xns= 0 является глобально асимптотически устойчивым при k < 0 и неустойчивым при k > an, а состояния x21s = √
k−an, x2s = x3s = . . . = xns = 0 асимптотически (но не глобально) устойчивы. При k = 0 происходит бифуркация и появляются новые устойчивые ветви. Появляется возможность построить устойчивую систему управления при любом изменении неопределенного параметра an, если выполнены условия (12) и (14).
3.Пример. Рассмотрим сушку материалов – это процесс испарения влаги из материала при непосредственном его контакте с нагретым теплоносителем – агентом сушки.
Пусть, предположим, что процесс сушки обусловлен одновременным влиянием процесса накопления влаги в окружающем паре, который определяется скоростью сушки и характером теплового объекта, представляющего собой инерционное звено первого порядка [6]. Когда скорость сушки изменяется по закону интеграла 1/s, объекту управления соответствует передаточная функция
W0(s) = k0
s(T0s+ 1), (15)
где 0 – постоянная времени, а k0 – коэффициент усиления объекта управления. Эти параметры могут содержать большие неопределенности и могут непредсказуемым образом изменяться в процессе эксплуатации.
В качестве исполнительного устройства в системах управления тепловыми процессами часто используется интегрирующий сервомеханизм с постоянной интегрирования T1, передаточной функцией [6]:
W1(s) = k1
T1s,
где k1 – коэффициент усиления исполнительного механизма.
Рассмотрим задачу исследования устойчивости систем автоматического управления процессом сушки с пропорциональным законом регулирования kp, представленным на рис.
1.
Рисунок 1
Находим передаточную функцию замкнутой системы по управляющему воздействию
Φ(s) = k
T1s2(T0s+ 1) +k, (16) где k=kpk1k0 – коэффициент усиления замкнутой системы.
Находим характеристическое уравнение замкнутой системы
T1T0λ3+T1λ2+k= 0. (17)
Составим матрицу Гурвица по характеристическому уравнению (17)
∆3 =
a1 a0 0 a3 a2 a1 a5 a4 a3
=
T1 T0T1 0
k 0 T1
0 0 k
.
Применяя критерий Гурвица, можем показать, что для системы (16) с характеристическим уравнением (17) условия устойчивости не выполняются при любом значении k (рис. 2, 3), т.е.
∆1 =T1 >0,∆2=−kT0T1>0,приk <0;
∆3 =−k2T0T1 <0,при любом значенииk.
Рисунок 2
Рисунок 3
Таким образом, система (16) – неустойчивая при любом значении k, а постоянные времени Т0 иТ1 по смыслу принимают только положительные значения, т.е. 0 >0 и 1 >0.
Предположим, что задающее воздействие g(t) является постоянным или равным нулю g(t) = 0. Тогда уравнения состояния предельно робастной устойчивой САУ c повышенным потенциалом робастной устойчивости процесса сушки материала относительно отклонений (ошибки) и ее производной можем представить в виде системы дифференциальных уравнений
dx
dt =Ax+Bu, (18)
где
x=
x1
x2
x3
, A=
0 1 0 0 kT0
0
k0
T0
0 0 0
, B=
0
k0
T0
k1
T1
, u=−x31+kpx1,
A – матрица объекта управления, u – скалярная функция управления, – матрица управления.
Предполагается, что координаты процесса сушки 2 и 3 непосредственно управляемы.
Систему (18) можем представить в развернутой форме
dx1
dt =x2,
dx2
dt =−kT0
0x31+kTpk0
9 x1−T1
0x2+kT0
0x3,
dx3
dt =−kT1
1x31+kT1kp
1 x1.
(19)
Системе уравнений (18) или (19) соответствует структурная схема САУ рис. 4.
Рисунок 4
Здесь нелинейная функция (x1) = x31, а закон управления выбран в форме однопараметрической структурно-устойчивой функции
u=−x31+kpx1. Стационарное состояние системы (19) уравнениями
x2s = 0,
−Tk0
0x31s+k0Tkp
0 x1s− T1
0x2s+Tk0
0x3s= 0,
−Tk1
1x31s+k1Tkp
1 x1s= 0.
(20)
Система (20) имеет решение
x11s=x2s=x3s= 0 (21)
и
x2,31s =±p
kp, x2s=x3s= 0. (22)
Стационарные состояния (22) сливаются с (21) при коэффициенте kp = 0 и ответвляются от него при kp >0.
Определим устойчивости стационарных состояний (21) и (22) системы (19), пользуясь принципом устойчивости линеаризованной системы.
dx1
dt =x2,
dx2
dt =−3kT0
0(x1s)2x1+k0Tkp
0 x1−T1
0x2+kT0
0x3,
dx3
dt =−3kT1
1(x1s)2x1+k1Tkp
1 x1.
(23) Для определения устойчивости стационарного состояния (21) имеем
dx1
dt =x2,
dx2
dt = kT0kp
0 x1−T1
0x2+kT0
0x3,
dx3
dt = kT1kp
1 x1.
(24)
Системе уравнений (24) соответствует матрица замкнутой системы
G=
0 1 0
k0kp
T0 −T1
0
k0
T0
k1kp
T0 0 0
и характеристическое уравнение
f(s) =|G−Is|=s3+ 1
T0s2− k0kp
T0 s−k0k1kp
T0T1 = 0. (25)
По критерию Гурвица, необходимыми и достаточными условиями устойчивости будут являться неравенства
∆1 = 1 T0
>0,∆2=
1
T0 1
−kT0k1kp
0T1 −kT0kp
0
=−k0kp T0
1 T0
− k1 T1
>0,
∆3 =
1
T0 1 0
−kT0k1kp
0T1 −k0Tkp
0
1 T0
0 0 −kT0k1kp
0T1
= k20k1kp2 T02T1
1 T0 − k1
T1
>0.
Нетрудно видеть, что для выполнения этих неравенств, прежде всего, необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения (25) были положительными.
Это выполняется при всех отрицательных значениях коэффициента усиления нелинейного регулятора kp(kp <0). При положительности коэффициентов характеристического уравнения нужно еще выполнение дополнительных условий: чтобы определители Гурвица ∆2 и ∆3
были больше нуля требуются, чтобы параметры Т0, Т1 и k1 находились в определенном соотношении и имели произвольные положительные значения не любые, а лишь те, которые бы соответствовали неравенству
1 T0 > k1
T1, (26)
гдеk1/Т1 – коэффициент передачи интегрирующего сервомеханизма.
Для стационарных состояний (22) линеаризованная система (23) преобразуется к виду
dx1
dt =x2,
dx2
dt =−2kT0kp
0 x1−T1
0x2+kT0
0x3,
dx3
dt =−2kT1kp
1 x1.
(27) Системе (27) соответствует матрица
G=
0 1 0
−2kT0kp
0 −T1
0
k0
T0
−2kT1kp
1 0 0
и характеристическое уравнение
s3+ 1
T0s2+ 2k0kp
T0 s+ 2k0k1kp
T0T1 = 0. (28)
Необходимое условие устойчивости выполняется при любом положительном коэффициенте kp(kp >0).
Необходимым и достаточным условием устойчивости системы (27) является положительность определителей Гурвица
∆1= 1 T0
>0,∆2=
1
T0 1
2kT0k1kp
0T1 2k0Tkp
0
= 2k0kp
T0
1 T0
− k1
T1
>0,
∆3 =
1
T0 1 0
2k0Tk1kp
0T1 2k0Tkp
0
1 T0
0 0 2kT0k1kp
0T1
= 4k20k1k2p T02T1
1 T0
−k1
T1
>0.
Отсюда видим, что для устойчивости стационарного состояния (22) необходимо и достаточно, чтобы коэффициент усиления нелинейного регулятора kp был положительным (kp > 0) и выполнение дополнительного условия (26) (рис.5, 6).
Рисунок 5
Рисунок 6
Таким образом, мы видим, что при определенным образом выбранном регуляторе в форме нелинейной структурно-устойчивой функции можно построить САУ процессом сушки устойчивую при любом изменении коэффициента регулятора и объекта. Требуется только выполнение дополнительных условий (26).
ЛИТЕРАТУРА
1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. – М.: Наука, 2002. – 303 с.
2. Бейсенби М.А. Методы повышения потенциала робастной устойчивости систем управления. – Астана, 2011. – 352 с.
3. Постон Г., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. – М.: Мир, 1980.
4. Гильмор Р. Прикладная теория катастроф. Т.1. – М.: Мир, 1981.
5. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. - М.: Мир, 1990.
6. Автоматизация технологических процессов в текстильной промышленности. / Петелин Д.П., Козлов А.Б. и др. – М.: Легкая индустрия, 1980. – 320 с.
Бейсенбi М. А., Абитова Г. А. , Айнагулова А. С.
Үлкен потенциалы бар Робастық орнықтылықты басқару жүйелерiн құрастыру
Потенциалы жоғарылатылған робасты орнықты басқару жүйесiн жасауға мүмкiндiк беретiн, катастрофалар теориясындағы құрылымды-орнықтық бейнелеулер класында параметрлерi анықталмаған объектiлер үшiн басқару заңдылықтарын таңдау жолдары ұсынылады.
Beisenbi M. A. , Abitova G. A. , Ainagulova A. C.
Construction of control system with enhanceable potential to robust stability
An approach to the choice of control laws for objects with uncertain parameters in a class of structurally-sound mappings of catastrophe theory, which allows you to build a system of governance with increased potential for robust sustainability.
Поступила в редакцию 27.04.2012 Рекомендована к печати 30.05.2012
