Модифицированная модель бозонной струны с явной координатной зависимостью

О.В. Разина, Н.С. Серикбаев

Модифицированная модель бозонной струны с явной координатной зависимостью

(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Астана, Казахстан )

В данной статье мы рассмотрели обобщенную модель бозонной струны с потенциалом и эквивалентную форму действия с явной координатной зависимостью, где L=−T K(Z, x^µ) является лагранжианом, а K является функцией своих

аргументов и зависит не только от Z, но и от координаты x^µ. Получили уравнения движения струны и условия связей для рассматриваемых действий.

1. Введение

В шестидесятых годах прошлого столетия четыре основных взаимодействия — сильное, слабое, электромагнитное и гравитационное — рассматривались совершенно по-разному.

Несмотря на то, что методы квантовой теории поля успешно использовались в квантовой электродинамике и теории слабого взаимодействия, для описания сильных взаимодействий применялись совсем другие подходы. Гравитация в то время едва ли могла считаться частью

физики элементарных частиц.

Классическая теория релятивистских струн является основой для построения квантовой теории струн, аналогично тому как классическая механика (или классическая теория поля)

является основой для формулировки квантовой механики (или квантовой теории поля).

Понятие об одномерном объекте (струне), движущемся, вообще говоря, в D - мерном пространстве-времени, является естественным обобщением понятия о точечном объекте

(частице)[1].

Объединение двух фундаментальных теорий современной физики, квантовой теории поля и общей теории относительности, в рамках единого теоретического подхода является одной из

важнейших нерешенных проблем. Эти две теории, вместе взятые, воплощают всю сумму человеческих знаний о наиболее фундаментальных силах природы. Квантовая теория поля,

например, добилась необычайного успеха в объяснении физики микромира вплоть до расстояний, не превышающих 10⁻¹⁵ см. Общая теория относительности (ОТО), с другой стороны, не имеет себе равных в объяснении крупномасштабного поведения космоса, давая

красивое и захватывающее объяснение происхождения самой Вселенной. Вместе эти две теории могут объяснить поведение материи и энергии в большом диапазоне величин в 40

порядков, от субъядерной до космологической области [1].

В идеале хотелось бы создать единую теорию поля, объединяющую эти две фундаментальные теории:

Единая теория поля

Квантовая теория поля Общая теория относительности

Хотя квантовая теория поля и ОТО кажутся совершенно несовместимыми, последние два десятилетия интенсивных теоретических исследований показали, что скорее всего все зависит

от калибровочной симметрии. В частности, использование локальных симметрий в теориях Янга–Милса привело к огромному успеху в борьбе с расходимостями квантовой теории поля и в объединении законов физики элементарных частиц в элегантном и исчерпывающем подходе.

Проблема заключалась, однако, в том, что даже мощных симметрий калибровочной теории Янга–Милса и общей ковариантности уравнений Эйнштейна оказалось недостаточно для

получения свободной от расходимостей квантовой теории гравитации.

В настоящее время наибольшие надежды на действительно единое и свободное от расходимостей описание этих двух теорий возлагаются на теорию суперструн. Суперструны

обладают намного большим набором калибровочных симметрий, чем любая другая физическая теория; возможно даже, что этот набор достаточен для устранения расходимостей квантовой теории гравитации. Симметрии теории суперструн не только

включают симметрии ОТО и теории Янга–Милса, они также содержат в качестве подмножеств симметрии супергравитации и теорий Великого Объединения [2].

2. Обобщенная модель с потенциалом

В статье [3] мы рассмотрели модели бозонных струн с неканоническим кинетическим членом, где лагранжиан имел вид L=−T√

−hK(Z) и K зависело только от Z. Где h=det(h_αβ), T

— постоянный множитель (необходимый для того, чтобы поле X^µ имело размерность длины), который оказывается равным натяжению струны. Здесь

Z = 1

2h^αβ∂_αx^µ∂_βx_µ. (1)

Так как α, β = 0,1 выражение (1) можно записать в виде Z= 1

2(h⁰⁰x˙^µx˙_µ+h⁰¹x˙^µx⁰_µ+h¹⁰x^0µx˙_µ+h¹¹x^0µx⁰_µ) = 1

2( ˙x²−x⁰²), (2) где точка означает дифференцирование по τ, а штрих дифференцирование по σ и

компоненты метрики h_αβ имеют вид h_αβ =η_αβ =

1 0 0 −1

, (3)

где ηαβ двумерная метрика пространства Минковского.

В данной работе действие для бозонной струны возьмем в виде S =−T

Z

dσ dτ√

−h K(Z, x^µ), (4) где K является функцией своих аргументов и зависит не только от Z, но и от координаты

x^µ.

Уравнения движения и условия связи в этом случае запишутся следующим образом K_ZZ[( ˙x^νx¨_ν−x^0νx˙⁰_ν) ˙x^µ−( ˙x^νx˙⁰_ν−x^0νx⁰⁰_ν)x^0µ] +K_Z(¨x^µ−x^00µ)−K_x^µ = 0, (5)

˙

x²+x⁰² = 0, (6)

˙

xx⁰= 0. (7)

3. Вывод уравнения движения

Чтобы получить уравнения движения найдем вариацию действия (4) относительно координаты x^µ

δS=−T Z

dσ dτ√

−h[KZδZ+Kx^µδx^µ] =

=−T Z

dσ dτ√

−h[(K_ZZ_∂αx^µδx^µ)_α+ (K_ZZ_∂βx^µδx^µ)_β− (8)

−(K_ZZ[Z_αZ_∂αx^µ+Z_βZ_∂βx^µ] +K_Z[(Z_∂αx^µ)_α+ (Z_∂βx^µ)_β]−K_x^µ)δx^µ].

Из (8) уравнения движения примут вид

KZZ[ZαZ_∂αx^µ+Z_βZ_∂βx^µ] +KZ[(Z_∂αx^µ)α+ (Z_∂αx^µ)_β]−Kx^µ = 0 (9) или

K_ZZ[ ˙ZZ_x˙^µ+Z⁰Z_x^0µ] +K_Z[(Z_x˙^µ)_τ+ (Z_x^0µ)_σ]−K_x^µ = 0, (10) С учетом (2) уравнения движения примут вид

KZZ[( ˙x^νx¨ν−x^0νx˙⁰_ν) ˙x^µ−( ˙x^νx˙⁰_ν−x^0νx⁰⁰_ν)x^0µ] +KZ(¨x^µ−x^00µ)−Kx^µ = 0. (11)

4. Условия связей

Уравнения движения (11) должны быть дополнены условиями связей

T_αβ = 0. (12)

Формула для нахождения тензора энергии-импульса имеет вид T_αβ =−2

T

√1

−h δS

δh^αβ. (13)

Найдем вариацию действия (4) относительно h^αβ δS_hαβ =−T

Z

dσ dτ[Kδ√

−h+√

−hδK]. (14)

Для оценки вариации действия, полезны следующие формулы

δh=−h h_αβδh^αβ (15)

откуда следует, что δ√

−h=−1 2

√−h h_αβδh^αβ (16) и

δK =K_ZδZ =K_ZZ_hαβδh^αβ. (17) Следовательно (14) примет вид

δS_hαβ =−T Z

dσ dτ√

−h[−1

2h_αβK+KZZ_hαβ]δh^αβ. (18) Тензор энергии–импульса (13) в нашем случае примет вид

Tαβ = 2KZZhαβ −hαβK =∂αx^µ∂βxµKZ−hαβK. (19) Из (12) и (19) следует

T00=∂0x^µ∂0xµKZ−h00K= 0, (20) T11=∂1x^µ∂1xµKZ−h11K= 0, (21) T10=∂1x^µ∂0xµKZ−h10K= 0, (22) T₀₁=∂₀x^µ∂₁x_µK_Z−h₀₁K = 0 (23) или учитывая (2)–(3) условия связей (20)–(23) примут вид

T₀₀= ˙x²K_Z−K = 0, (24)

T₁₁=x⁰²K_Z+K= 0, (25)

T₀₁=T₁₀= ˙x^µx⁰_µK_Z = 0. (26) Из (24)–(25) получим

T00+T11= ( ˙x²+x⁰²)KZ = 0. (27) Из (26) и (27) следуют условия связи

˙

x²+x⁰² = 0, (28)

˙

xx⁰ = 0. (29)

5. Эквивалентная форма действия с координатной зависимостью

Для релятивистской бозонной струны Намбу и Гото предложили действие, которое пропорционально площади мировой поверхности в пространстве–времени, заметаемой

струной в процессе ее движения [4]

S =−T Z

dτ dσ√

−g, (30)

где g – детерминант матрицы gik, который отрицателен, так как gik имеет сигнатуру (+, –).

Квадрат интервала между двумя близкими событиями, различающимися координатами dxⁱ, в евклидовом пространстве задается формулой [5]

ds² = ˙x²dτ²+ 2x⁰xdσdτ˙ +x⁰²dσ²=g₀₀dτ²+ 2g₀₁dτ dσ+g₁₁dσ², (31) где g00= ˙x², g01= ˙xx⁰, g11=x⁰². Из (31) следует

g=

˙ x² xx˙ ⁰

˙ xx⁰ x⁰²

= ˙x²x⁰²−( ˙xx⁰)². (32) Действие Намбу-Гото, описывающее струну

S =−T Z

dτ dσp

( ˙xx⁰)²−x˙²x⁰². (33) В статье [3] мы рассмотрели действие Намбу–Гото, где лагранжиан имел вид L=−T K(Z) и

K зависело только от Z. В данной статье возьмем действие в виде S=−T

Z

dτ dσK(Z, x^µ), (34)

где K является функцией своих аргументов и зависит не только от Z, но и от координаты x^µ. Здесь

Z =√

−g= q

g₀₁² −g00g11=p

( ˙xx⁰)²−x˙²x⁰². (35) Уравнения движения в этом случае запишутся следующим образом

K_ZZ[( ˙x^νx¨_ν−x^0νx˙⁰_ν) ˙x^µ−( ˙x^νx˙⁰_ν−x^0νx⁰⁰_ν)x^0µ] +K_Z(¨x^µ−x^00µ)−K_x^µ = 0, (36) Чтобы получить уравнения движения для релятивистской струны из вариационного

принципа, будем варьировать действие (34). В результате получим δS=

Z dτ dσ

∂L

∂x˙^µδx˙^µ+ ∂L

∂x^0µδx^0µ+ ∂L

∂x^µδx^µ

= 0, (37)

где L=−T K(Z, x^µ) является лагранжианом. Используем формулу Стокса (или формулу Грина)

Z dτ dσ

∂Q

∂τ −∂P

∂σ

= I

(P dτ +Qdσ). (38)

Преобразуем уравнение (37) к следующему виду δS =

I

∂L

∂x˙^µdσ− ∂L

∂x^0µdτ

δx^µ− Z

dτ dσ ∂

∂τ ∂L

∂x˙^µ

+ ∂

∂σ ∂L

∂x^0µ

− ∂L

∂x^µ

δx^µ= 0. (39)

Из (39) получаем уравнения движения

∂

∂τ ∂L

∂x˙^µ

+ ∂

∂σ ∂L

∂x^0µ

− ∂L

∂x^µ = 0 (40)

и граничные условия I

∂L

∂x˙^µdσ− ∂L

∂x^0µdτ

δx^µ= 0. (41)

Запишем уравнения движения (40) подставив туда лагранжиан

∂

∂τ (K_ZZ_x˙^µ) + ∂

∂σ(K_ZZ_x^0µ)−K_x^µ = 0 (42) или

KZZ[ ˙ZZx˙^µ+Z⁰Zx^0µ] +KZ[(Zx˙^µ)τ + (Zx^0µ)σ]−Kx^µ = 0. (43) На решения системы уравнений (43) обычно накладываются два условия

˙

x²+x⁰²= 0, xx˙ ⁰= 0 (44) или, что эквивалентно,

( ˙x±x⁰)² = 0. (45)

С геометрической точки зрения условия (44) означают, что на мировой поверхности струны выбрана изометрическая или конформноплоская система криволинейных координат τ, σ. В

теории релятивистской струны эти условия называют ортонормированной калибровкой.

Запишем уравнения движения (43) подставив туда (35)

KZZ[( ˙x^νx¨ν −x^0νx˙⁰_ν) ˙x^µ−( ˙x^νx˙⁰_ν−x^0νx⁰⁰_ν)x^0µ] +KZ(¨x^µ−x^00µ)−Kx^µ = 0. (46) Мы получили систему уравнений, состоящую из уравнения движения (46) и условий

ортонормированной калибровки (44) аналогичную системе (5)–(7)

KZZ[( ˙x^νx¨ν −x^0νx˙⁰_ν) ˙x^µ−( ˙x^νx˙⁰_ν−x^0νx⁰⁰_ν)x^0µ] +KZ(¨x^µ−x^00µ)−Kx^µ = 0. (47)

˙

x²+x⁰² = 0, (48)

˙

xx⁰ = 0. (49)

6. Заключение

В данной статье мы рассмотрели обобщенную модель бозонной струны с потенциалом и эквивалентную форму действия с явной координатной зависимостью, где L=−T K(Z, x^µ) является лагранжианом, а K является функцией своих аргументов и зависит не только от

Z, но и от координаты x^µ. Получили уравнения движения струны и условия связей для рассматриваемых действий. В обоих случаях получили аналогичные результаты, что подтверждает правильность полученных уравнений движения струны. При сравнении результатов полученных в данной статье и в статье [3] можно сделать выводы о том, что при добавлении в функцию K зависимости от координаты x^µ — в уравнениях движения струны

появляется дополнительный член, а уравнения связей остаются без изменений.

ЛИТЕРАТУРA

1. Каку М. Введение в теорию суперструн. М.:Мир. – 1999. – 623 с.

2. Бринк Л., Энно М. Принцип теории струн. М.:Мир. – 1991. – 296 с.

3. Разина О.В., Ержанов К.К. Модели бозонных струн с неканоническим кинетическим членом // Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева. – Серия естественно-технических наук. – 2011.

(принята в печать)

4. Барбашов Б.М., Нестеренко В.В. Модель релятивистской струны в физике адронов. М.:

ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ. – 1987. – 176 с.

5. Разина О.В.Уравнения движения точечной частицы и релятивистской струны //

Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева. – Серия естественно-технических наук. – 2010. – №6(79). – c. 255-258.

Разина О.В., Серикбаев Н.С.

Айқын координаталық тәуелдiлiк түрiндегi бозондық iшектiң модификацияланған моделi Бұл жұмыста бiз бозондық iшектiң потенцалы бар жалпыланған моделiн және айқын координаталық тәелдiлiгi бар

әсердiң эквиваленттi формасын қарастырдық, мұнда L=−T K(Z, x^µ) лагранжиан, ал K өз аргументтерiнiң функциясы және ол тек Z-ке ғана емес, сонымен қатар x^µ координатасына да тәелдi. Қарастырылып отырған әсерлер

үшiн байланыс шартын және iшектiң қозғалыс теңдеуiн алдық.

Razina O.V., Serikbayev N.S.

A modified model of the bosonic string with an explicit coordinate dependence

In this paper we consider a generalized model of the bosonic string with the potential and equivalent form of the action with the explicit coordinate dependence, where L=−T K(Z, x^µ) is Lagrangian and K is a function of its arguments and depends

not only on Z, but also on the coordinate x^µ. Get Equations of motion of the string and conditions ties for consideration of action.

Поступила в редакцию 12.10.2011 Рекомендована к печати 18.10.2011