М.А. Бейсенби, К.С. Кульниязова
Построение системы управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости в классе однопараметрических структурно-устойчивых
отображений на основе прямого метода Ляпунова
(Евразийский нацональный университет им. Л.Н. Гумилева, г.Астана)
В статье предлагается способ построения системы управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости в классе однопараметрических структурно-устойчивых отображений из теории катастроф. Для исследования робастной устойчивости используется прямой метод Ляпунова.
Исследование устойчивости систем управления при наличии неопределенности в простран- стве параметров (робастная теория) является весьма важным и актуальным направлением на- учных исследований, т.к. позволяет, на этапе проектирования, определить, является ли устой- чивым весь класс рассматриваемых систем. Это позволяет обеспечить безопасное функцио- нирование управляемого объекта, несмотря на то, что в процессе изготовления и эксплуата- ции его параметры хотя и могут отличаться от расчетных, но гарантировано будут отвечать устойчивому поведению этого объекта, т.к. они принадлежат области робастной устойчивости.
Заметим, что разработка методов решения задач робастной устойчивости, является весьма сложной проблемой. Например: устойчивость всех вершинных и реберных матриц семейства не обеспечивает робастной устойчивости всего этого семейства и, поэтому на практике, усилия инженеров и конструкторов направлены на решение конкретных задач [1-3].
Актуальность исследований робастной устойчивости в системах управления диктуется, во- первых, современными потребностями науки и техники и ее приложениями в практических задачах, связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и т.д.; во-вторых, наличием большого числа нерешенных задач, прямо связанных с инженерной практикой. Фактически результаты, полученные в теории робаст- ной устойчивости, позволяют обеспечивать динамическую безопасность управляемых систем на этапе их конструирования и эксплуатации[4,5]. Пусть стационарная система управления описывается уравнением состояния:
dX(t)
dt =AX(t) +Bu(t), X(t)∈Rn, u(t)∈Rn (1) где - матрица объекта управления с неопределенными параметрами размерности n×n, - матрица управления в общем случае размерности n×m, u(t) - вектор-функция управления, заданная в форме структурно-устойчивых отображений.
Как известно [6,7], матрица объекта управления может быть представлена с помощью неособой матрицы в блочно-диагональной форме, а система (1) может быть с помощью невы- рожденного преобразования приведена к каноническому виду. Матрица объекта управления с помощью невырожденной матрицы приводится к блочно-диагональной форме
Ae=P−1AP =diag{Λ, J1, ..., Jm, J10, ..., Jk0} (2) с диагональными квадратными блоками вида
Λ =diag{λ1, ..., λl}, (3)
Ji =
λi 1 . . . 0 0 0 λi . . . 0 0 . . . . 0 0 . . . λi 1 0 0 . . . 0 λi
, Ni×Ni, i= 1, m, (4)
Jj0 =
αj −βj βj αj
, j = 1, k (5)
где λ1, . . . , λl - вещественные простые, λi - вещественные Ni - кратные, λj = αj ±jβj - комплексно-сопряженные собственные значения матрицы объекта управленияA, причем, есте- ственно, что N1+. . .+Nm = L;l+N1+. . .+Nm+ 2k =n. Столбцы неособой матрицы P в каноническом преобразовании (2) определяются собственными векторами матрицыA, правила и алгоритмы вычисления которых изложены, например в [6].
Убедимся, что принятая структура (2) позволяет раздельное управление собственными зна- чениями любого диагонального блока (3)-(6) матрицы Ae и, соответственно, каноническими координатами системы. Для этого уравнение состояния (1) преобразуем к виду:
d(P x)
dt =P AP−1P x+P Bu, или запишем это уравнение в виде:
dxe
dt =Aeex+Bu,e (6)
где ex=P x,Ae=P AP−1,Be =P B.
Выберем закон управления в классе структурно-устойчивых отображений, что позволит повысить потенциал робастной устойчивости системы [8].
Пусть регулятор описывается уравнением:
ui(t) =−fx3i +kixei, i= 1, n (7) или в векторно-матричной форме:
u=−Inxe3+Kex, (8)
где K=
k1 0 · · · 0
0 k2 · · · 0
· · · ·
0 0 · · · kn
,In=
1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
· · · ·
0 0 · · · 1
.
Предположим, что матрица управленияBe имеет диагональную форму:
B=e
be1 0 · · · 0 0 eb2 · · · 0
· · · · 0 0 · · · ben
.
Таким образом, уравнение (1) можно записать в виде:
dex dt =
Λ 0
J 0 J0
ex−BIe nxe3+BKe ex. (9) Систему уравнений (9) можно разбить на три системы канонических объектов:
dXf1
dt = ΛXf1−Bf1IlXf1
3+Bf1KlXf1, (10)
dXf2
dt =JXf2−Bf2ILXf2
3+Bf2KLXf2, (11)
dXf3
dt =J0Xf3−Bf3I2kXf33+Bf3K2kXf3, (12)
где Be1=
eb1 0 · · · 0 0 eb2 · · · 0
· · · · 0 0 · · · ebl
,Be2=
ebl+1 0 · · · 0
0 ebl+2 · · · 0
· · · ·
0 0 · · · ebl+L
,Bf3=
ebl+L+1 0 · · · 0
0 ebl+L+2 · · · 0
· · · ·
0 0 · · · ebn
,
Xf1=
ex1
ex2
... xel
,Xe2=
exl+1
exl+2 ... xel+L
,Xe3=
xel+L+1
xel+L+2 ... exn
,Xe13=
xe31 xe32 ... xe3l
,Xe23=
xe3l+1 xe3l+2 ... xe3l+L
,Xe2=
xe3l+L+1 xe3l+L+2
... ex3n
.
Il, IL, I2k - единичные матрицы размерностиl×l,L×L,2k×2k соответственно,Kl, KL, K2k - диагональные квадратные матрицы коэффициентов размерностиl×l,L×L,2k×2kсоответ- ственно.
Для полной управляемости канонического объекта (10) необходимо и достаточно, чтобы все элементы матрицыBe1 были ненулевыми. Наличие нулевых элементовebi = 0 означает, что соответствующие координаты xei и собственные значения λi неуправляемы, т.е. повлиять на устойчивость этих неуправляемых координат также невозможно.
Группируя управляемые и, если есть таковые, неуправляемые координаты в векторы можно представить (10) в виде:
e˙ X
I 1
e˙ X
II 1
=
Λ1 0 0 Λ2
·
Xe1I Xe1II
+
Be1 0
·U , где Xe˙
II
1 = Λ2Xe1II представляет уравнение состояния неуправляемой части координат системы.
Предположим, что объект полностью управляем или, по крайней мере, неуправляемые ко- ординаты устойчивы. Это представление удобно тем, что в нем уравнения системы распадаются на уравнения l независимых подсистем первого порядка. Полагая все l координат управляе- мыми, приведем уравнение (10) в развернутом виде, т.е. в виде системы уравнений первого порядка относительно компонентов вектора X. Получимe
dex1
dt =λ1xe1−eb1xe31+eb1k1xe1
dex2
dt =λ2xe2−eb2xe32+eb2k2xe2
· · · ·
dexl
dt =λlxel−eblex3l +eblklxel
(13)
Видно, что здесь exi(t) не зависят от xej(t) (при i 6= j). Следовательно, происходит деком- позиция системы- система высокого порядка распадается наlнезависимых подсистем первого порядка. Вследствие этого упрощается расчет процессов в системе.
Исследуем устойчивость канонического объекта (13). Для этого найдем установившиеся (стационарные) состояния системы. Они определяются решением алгебраических уравнений:
−ebixe3is+ (λi+ebiki)xeis= 0, i= 1,2, ..., l. (14) Из (14) получим состояние равновесия
xe1is= 0, i= 1,2, ..., l. (15) Два других стационарных состояния системы (13) определяются из уравнения:
−ebixe2is+ (λi+ebiki) = 0, i= 1,2, ..., l. (16)
Из уравнения (16) определяются следующие установившиеся состояния системы:
xe2,3is =± s
λi
ebi +ki, i= 1,2, ..., l. (17) Робастную устойчивость стационарных состояний (15) и (17) нелинейной системы (13) с законами управления, заданными в форме структурно-устойчивых отображений (7) можно исследовать на основе идей прямого метода Ляпунова. Выберем функцию Ляпунова так, чтобы градиент от нее равнялся вектору скорости системы, взятым с обратным знаком [9], т.е.
gradV(x1, x2, ..., xn) = (eb1xe31−(λ1+eb1k1)ex1,eb2xe32−(λ2+eb2k2)xe2, ...,eblxe3l −(λl+eblkl)exl)
или ∂V
∂xi =ebixe3i −(λi+ebiki)exi, i= 1, l (18) Находим полную производную от функции Ляпунова по времени:
W(X) = dV
dt =gradV ·dX
dt =−[(eb1xe31−(λ1+eb1k1)ex1)2+ (eb2xe32−
−(λ2+eb2k2)xe2)2+...+ (eblex3l −(λl+eblkl)xel)2] (19) Для функции W(X) стационарная точка (13) является критической, т.е.∇W(Xs) = 0. Тогда находим
∂W
∂xi =−2[(ebixe3i −(λi+ebiki)xei)]·[3ebix2i −λi−ebiki], i= 1,2, ..., n В стационарной точке Xs = 0имеем
∂2W(x)
∂xi∂xj
Xs=0
= 0 приi6=j,∂2∂xW2(x) i
Xs=0
=−2(λi+ebiki)2.
Функция W(X) в точке (13) удовлетворяет условиям теоремы Морса [10]. Тогда функция W(X) представима в виде квадратичной формы:
W(X) =−2(λ1+eb1k1)2xe21−2(λ2+eb2k2)2ex22−...−2(λl+eblkl)2xe21 (20) Отсюда видно, что функция будет всегда знакоотрицательной функцией и матрица Гесса для стационарного состояния (13) имеет вид:
HW =
−2(λ1+eb1k1)2 0 · · · 0
0 −2(λ2+eb2k2)2 · · · 0
· · · ·
0 0 · · · −2(λl+eblkl)2
Функцию Ляпунова строим по вектору градиента от функции в виде V(x1, x2, ..., xn) = 1
4eb1ex41−1
2(λ1+eb1k1)xe21+1 4eb2xe42−
−1
2(λ2+eb2k2)xe22+...+1
4eblxe4l −1
2(λl+eblkl)ex2l (21) Функция Ляпунова (21) в точке (13) удовлетворяет всем условиям леммы Морса, т.е.
∇V(Xs) = 0
∂2V
∂xi =ebiex3i −(λi+ebiki)xei
∂2V(x)
∂xi∂xj
X
s=0
= 0 приi6=j, ∂2∂xV(x)2 i
X
s=0
=−(λi+ebiki).
Матрица Гесса для функции Ляпунова, вычисленная в стационарной точке (13) имеет вид:
HV =
−(λ1+eb1k1) 0 · · · 0
0 −(λ2+eb2k2) · · · 0
· · · ·
0 0 · · · −(λl+eblkl)
Тогда, функцию Ляпунова можно представить в виде квадратичной формы:
V(x1, x2, ..., xn) =−(λ1+eb1k1)2xe21−(λ2+eb2k2)2ex22−...−(λl+eblkl)2ex2l (22) Функция V(x1, x2, ..., xn) будет положительно-определенной при выполнении условий:
λi+ebiki <0, i= 1, l (23) При условии λi+ebiki ≥ 0, i = 1, l состояние (13) теряет устойчивость и появляется новое стационарное состояние (15) при условииλi+ebiki >0, i= 1, l
Проверим выполнение условий леммы Морса в точке (15) для функции W(X).
∂2V(x)
∂xi∂xj
X2,3s =±
rλi bi+ki
= 0 приi6=j, ∂2∂xV(x)2 i
Xs3,3=±
rλi bi+ki
=−2(λi+ebiki).
Матрица Гесса в стационарной точке (15) имеет вид: Hv =
2(λ1+eb1k1) 0 · · · 0
0 2(λ2+eb2k2) · · · 0
· · · ·
0 0 · · · 2(λl+eblkl)
.
Функция Ляпунова по теореме Морса после гладкой замены переменных представима в виде квадратичной формы:
V(x1, x2, ..., xn) = 2(λ1+eb1k1)ex21+ (λ2+eb2k2)xe22+
+...+ (λl+eblkl)xe2l. При выполнении условий
(λi+ebiki)>0, i= 1, l (24) функция Ляпунова в точке (15) будет положительно-определенной.
Следовательно, с учетом (17) при выполнении условий (23) стационарное состояние (13), а при выполнении условий (24) стационарное состояние (15) будут асимптотически устойчивыми.
Таким образом, путем выбора закона управления в области канонических переменных в классе структурно-устойчивых отображений с параметрами, подобранными в зависимости от собственных значений матрицы объекта управления , можно придать исходной системе (1) свойства предельной робастной устойчивости, т.е. система становится устойчивой в предельно широкой области изменений неопределенных параметров объекта и устанавливаемых парамет- ров регулятора.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бесекерский В.А., Небылов А.В. Робастные системы автоматического управления.
Москва: Наука, 1983 - 239 с.
2. Кунцевич В.М. Адаптация и робастность в системах управления. //Изв. РАН. Техн. ки- бернетика. 1993. N 2. - C.91-102.
3. Системы автоматического управления объектами с переменными параметрами: Инже- нерные методы анализа и синтеза. //Б.Н.Петров, Н.И.Соколов, А.В.Липатов и др. - М.:
Машиностроение, 1986. - 236 с.
4. Tesi A. Vicino A. Robustness analysis for uncertain dynamical systems with structured perturbations // Proc. of 27-th IEEE Conf. On Decision and Control. Austin, 1988.
5. Siliak D.D. Parameter Space Method for Robust Control Design: A Guided Tour // IEEE Trans. On Automatic Control. 1989/ AC -34. N 7.
6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967 - 367 c.
7. Директор С., Рорер. Введение в теорию систем. М.: Мир, 1974 -356 c.
8. Бейсенби М.А., Ержанов Б.А., Системы управления с повышенным потенциалом робаст- ной устойчивости. - Астана: 2002, - 164с.
9. Бейсенби М.А., Кульниязова К.С. Об одном подходе построения функции Ляпунова для исследования робастной устойчивости систем управления// Труды международного кон- гресса "Нелинейный динамический анализ-2007", Санкт-Петербург: СПбГУ, 2007. - С.74 10. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения .- М.: Мир, 1980.-607с.
Бейсенбi М.Ә.,Кульниязова К.С.
Ляпунов әдiсiн қолдану негiзiнде бiр параметрiлi құрылдық орнықты бейнелеу класында потенциалы жоғары робасты орнықты басқару жүйесiн жасау
Мақалда робасты орнықтылық потенциалы жоғары басқару жүйелерiн бiр параметрiлi құрылымдық-орнықты бей- нелеу сыныбында құрастыру тәсiлi ұсынылады. Робасты орнықтылықты зерттеу үшiн Ляпунов әдiсi пайдаланылды.
Beisenbi M.F., Kulnijozova K.S.
Construction of a contro system of a class of one-parametrical structuraly-steady dispaus with increased potetia of arobust stability by Lyapynov’s methhod
Method of construction of a control systems of a class of one-parametrical structurally-steady displays (catastrophe swallowtail) with the increased potential of robust stability are offered in the given article. For research of robust stability there are used Lyapunov’s method in this work.
Поступила в редакцию 22.04.10 Рекомендована к печати 26.05.10
