Построение модальной предельно робастных устойчивых систем управления

(1)

Построение модальной предельно робастных устойчивых систем управления

М.А.Бейсенби

Введение. В отличие от широко известного подхода к постановке и решению задач управления в условиях неопределенности [1,2], в соответствии с которым определяются ограничения на изменение параметров номинальной системы управления, при которых сохраняется устойчивость. В данной работе использована, в сущности, концепция предельной робастной устойчивости, базирующаяся на результатах теории катастроф [3. 4]. Излагается один из подходов к построению предельно робастной устойчивой системы управления для линейных объектов группами вещественных простых, кратных и комплексно-сопряженных собственных значений, с нелинейным законом управления, заданным в области канонических координат системы в форме однопараметрической структурно устойчивой функции [5,6], придающим системе управления предельную робастную устойчивость среди всех возможных структур.

Пусть состояния номинальной системы управления описывается уравнением

x^  Ax Bu , (0.1)

где А - квадратная матрица коэффициентов n n ; В - матрица управления

m n ; x - n-мерный вектор состояния; u - неизвестная m-мерная вектор- функция управления.

Матрица объекта управления A может быть приведена с помощью неособой матрицы P, столбцами которой являются собственные функции матрицы A, к блочно-диагональной форме [7,8]

^A^~ ^ ^{P AP}^1 ^ ^diag



^^{, , ,}^J¹ ^ ^{J J}^m ¹ⁱ^{, ,}^ ^J^kⁱ



(0.2) с диагональными квадратными блоками вида

^{ } ^diag



₁, ,l



(0.3)

(2)

J_j =



j j

1 0 0

0 0 0

0 0 1

0 0 0

. . . . . .

. . . . . . .

. . . . . .

, N_j  N_j j1,m ; (0.4)

J_jⁱ = ^_^j _^^j

j j

 , j1,k. (0.5)

где ₁, , _l - вещественные простые, _j - вещественные, N_j кратные,

_j _j j_j - комплексно-сопряженные собственные значения матрицы А, причем очевидно l N ₁  N_m2k  n.

1. Покажем, что принятая структура (0.2) позволяет раздельное управление каноническими координатами (гармониками) системы (0.1), соответствующие любому диагональному блоку матрицы A^~. Для этого подобно (0.1) запишем

^~^ ^{~~ ~} ^~

~

x Ax Bu J ~

J x

B B B

    u

 0

0 ¹

1 2 3

(1.1) где

^~x  P x^1 , A^~ P AP^1 , B^~ P B^1

и при этом размерности матриц B B~ , ~₁ ₂ и B^~₃ и вектор-функции управления u соответствуют размерностям квадратных матриц , ,J Jⁱ. На основании (1.1), приняв B^~₂  0, B~₃  0 нетрудно убедиться, что можем управлять каноническими координатами системы (0.1), соответствующими матрице , сохраняя неизменным канонические координаты системы (0.1), определяемые матрицами J и Jⁱ . Аналогичные результаты можно получить относительно матрицы J или Jⁱ, соответственно приняв B^~₁ 0,

B~₃  0 или B^~₁ 0, B^~₂  0. Таким образом, дальнейшая задача сводится к последовательному построению предельно робастных устойчивых систем управления для канонических объектов

(3)

~ ~

x₁  x₁B u₁ (1.2)

~ ~

x₂  Jx₂ B u₂ (1.3)

~ ~

x₃  J xⁱ ₃B u₃ (1.4) где

^~x₁ =

~

~ . . .

~ x x

x_l

1 2

, ^~x₂ =

~

~ . . .

~ x x

x

l l

l L



 1 2

, L N₁  N_m, ^~x₃ =

~

~ . . .

~ x x

x

l L l L

n

 

  1 2

,

с матрицами вида (0.3) - (0.5). Рассмотрим поочередно задачи (1.2), (1.3) и (1.4).

2. Предположим, что преобразованная матрица управления В и соответственно B^~₁, B~₂ и B^~₃ в (1.2), (1.3) и (1.4) диагональные. Тогда для полной управляемости канонического объекта (1.2) необходимо и достаточно, чтобы все диагональные элементы матрицы B^~₁ были ненулевыми. Наличие нулевых элементов b^~_ii= 0 означает, что соответствующие канонические координаты ^~x_i неуправляемы.

Выбирая компоненты вектора-функции управления u, для i1,l в виде u_i  _i( ~x_i³k x_{i i}~ ), _i 1/ ,b_ii i1,l (2.1)

Систему (1.2) в развернутой форме можем представить

~ ~ ( )~

x_i   x_i³ _i k x_i _i, i1,l (2.2) Стационарные (установившиеся) состояния системы (2.2) будут описываться уравнениями

~x_is³ (_i k x_i)~_is 0, i1,l (2.3)

Из (2.3) находим стационарные состояния канонических координат системы (2.2).

~x₁_is 0, i1,l (2.4)

(4)

и

~ ^,

x_is^{2 3}   _i k_i , i 1,l (2.5),

Устойчивость стационарных состояний (2.4) и (2.5) системы (2.3) можем исследовать по линейному принципу устойчивости [9, 10].

 

~ (~ ) ~

x_i  3 x_is ²_i k x_i _i, i 1,l (2.6)

Отсюда стационарные состояния канонических координат (2.4) системы (2.3) глобально асимптотически устойчивы, если _i k_i 0, i1,l, а дополнительные стационарные состояния (2.5), появляющиеся при

_i  k_i 0, i1,n , также будут неглобально асимптотически устойчивыми.

3. Для полной управляемости канонического объекта (1.3.) необходимо и достаточно, по крайней мере, чтобы все последние диагональные элементы матрицы B^~₂, соответствующие N_i- кратным собственным значениям матрицы J при i1,m, были отличны от нуля. Исходя из практической целесообразности, далее предположим, что все диагональные элементы матрицы B^~₂ отличены от нуля, т.е. предполагаем, что все канонические координаты ^~x_i, i  l 1, l L непосредственно управляемые.

Компоненты вектора-функции управления и, для i l 1,l L задаемся

u_i  _i( ~x_i³k x_{i i}~ x~ )_i_₁ _i1/ ,b_ii , i  l 1,l L , (3.1) Систему (1.3) с учетом (3.1) представим в развернутой форме

^~x^_i   ^~x_i³ (_j k x_i)~_i, j1,m, i  l 1,l L (3.2) Стационарные состояния системы (3.2) определяем из уравнений ~x_is³ (_j k x_i)~_is  0, j1,m, i  l 1,l L (3.3)

Система (3.3) имеет решение

^~x_is¹ 0, i l 1,l L (3.4) и

~ ^,

x_is^{2 3}   _j k_i , j1,m, i l 1,l L (3.5)

(5)

Устойчивость стационарных состояний канонических координат (3.4) и (3.5) системы (3.2) определим аналогично как в разделе 2 по линейному принципу устойчивости.

Стационарные состояния канонических координат (3.4) будут глобально асимптотически устойчивыми, если _j  k_i 0, j1,n,

i l 1,l L , а дополнительные стационарные состояния (3.5), появляющиеся при _j k_i 0, j1,m, i j 1,l L , также являются асимптотический устойчивыми, но не глобально.

4. Для полной управляемости канонического объекта (1.4) с матрицей

Jⁱ вида (0.5) необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из парных диагональных элементов b_ii, b_i_{ }₁_,_i ₁_,, i1 2, k матрицы B^~₃, соответствующие комплексно-сопряженным собственным значениям матрицы Jⁱ, был отличен от нуля. Справедливость этого утверждения очевидна, но для общности мы предполагаем, что все канонические переменные в системе (1.4) непосредственно управляемы, т.е. предполагаем, что все диагональные элементы матрицы B^~₃ отличены от нуля.

При выборе указанным ранее путем закон управления для канонического объекта (1.4) уравнения состояния и стационарные состояния канонических координат соответственно определяются :

u_i  _i( ~x_i³k x_{i i}~ _{j i}x~ )_₁ , j1,k, i   j L 1,n, если j- нечетный или

u_i  _i( ~x_i³k x_{i i}~ _{j i}x~ )_₁ , j1,k, i   l L 1,n, если j- четный

~ ~ ( )~

x_i   x_i³ _j k x_i _i, j 1,k, i   l L 1,n (4.1)

~x_is³(_jk x_i)~_is  0, j1,k, i  l L 1,n

~x_is¹  0, i  l L 1,n (4.2) и

~ ^,

x_is^{2 3}  _j k_i , j1,k , i   l L 1,n (4.3)

(6)

Стационарное состояние (4.2) системы (4.1) будет глобально асимптотически устойчивым, если _jk_i  0, j1,k; i   l L 1,n, а дополнительные стационарные состояния (4.3), появляющиеся при _j k_i 0,

j1,k; i   l L 1,n, будут также асимптотически устойчивыми, но не глобально.

Таким образом, путем выбора закона управления в области канонических переменных в надлежащем виде, в зависимости от собственных значений матрицы объекта управления А, можем придать исходной системе (0.1) свойства предельной робастной устойчивости, т.е.

система становится устойчивой при любом изменении параметров объекта управления и регулятора.

Список литературы

1. Siliak D.D. Parameter Space Method for Robust Control Design: A Guided Tour // IEEE Trans. On Automatic Control. 1989/ AC -34. N 7.

2. Vidyasagar M. Control System Synthesis: A Factorisation Approach.: The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1985.

3. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения .- М.: Мир, 1980.

4. Томпсон Дж., Майкл Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике.

- М.: Мир, 1985.

5. Бейсембин М.А. Робастно устойчивые нелинейные системы первого и второго порядка. Труды Института проблем информатики и управления.

Алматы, 1996.

6. Бейсенби М.А. Об одном подходе к построению робастной устойчивой системы управления. Материалы Международной научно-практической конференции. Современные проблемы информатики, управления и соз- дания информационных технологий и систем. Алматы, 1997.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

8. Директор С., Рорер. Введение в теорию систем. М.: Мир, 1974.

9. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного.- М.: Мир, 1990.

(7)

10. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования.

/Под ред. В.В.Солодовникова.- М.: Машиностроение. Кн. 1.- 1967.