ТЕХНИКА - dspace.enu.kz

М.А. Бейсенби, Г.А. Абитова, А.С. Айнагулова

Синтез системы управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости

( Евразийский национальный университет имени Л.Н.Гумилева, Астана, Казахстан )

Использованаконцепция повышения потенциала робастной устойчивости систем управления, которая базируется на результатах теории катастроф, где исследованы и классифицированы основные структурно-устойчивые отображения.

Введение и постановка задачи. Для современных задач управления характерны все возрастающая сложность объектов управления, требования высокой эффективности, устойчивости и качества управляемых процессов в условиях многочисленных неопределенностей и неполной информации. При этом неопределенность может быть обусловлена как наличием неконтролируемых возмущений, действующих на объект управления, так и незнанием истинных значений параметров объектов управления и непредсказуемым изменением их во времени. Актуальной является проблема анализа изменения поведения систем при больших конечных изменениях параметров и синтеза законов управления, обеспечивающих в некотором смысле наилучшую защиту от большой неопределенности в знании свойств объекта. Под робастностью понимают способность сохранять устойчивость системы в условиях параметрической или непараметрической неопределенности в описании объектов управления.

В общей постановке исследование системы на робастную устойчивость состоит в указании ограничений на изменение параметров системы управления [1], при которых сохраняется устойчивость.

В данной работе использована, в сущности, концепция повышения потенциала робастной устойчивости систем управления, базирующаяся на результатах теории катастроф [2,3], где исследованы и классифицированы основные структурно-устойчивые отображения. Излагается один из подходов к построению систем управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости для линейных номинальных объектов группами вещественных простых, кратных и комплексно-сопряженных собственных значений, с нелинейным законом управления, заданным в форме однопараметрических структурно-устойчивых отображений [4], придающим системе управления наибольшую устойчивость среди всех возможных структур.

Пусть стационарная система управления описывается уравнением состояния

˙

x=Ax+Bu, x∈Rⁿ, (1)

где А - квадратная матрица коэффициентов n×n; В - матрица управления m×n; x - n - мерный вектор состояния;u - n - мерная вектор-функция управления.

Матрица объекта управленияAможет быть приведена [5,6] с помощью неособой матрицыP, столбцами которой являются собственные функции матрицыA, к блочно-диагональной форме

A˜=P⁻¹AP =diag

Λ, J₁, . . . , J_mJ₁ⁱ, . . . , J_kⁱ , (2) с диагональными квадратными блоками вида

Λ =diag{λ₁, . . . , λ_l}, (3)

J_i=

λ_i 1 . . . 0 0 0 λi . . . 0 0 . . . .

0 0 . . . λ_i 1 0 0 . . . 0 λi

, N_i×N_i, i= 1, m, (4)

J_jⁱ =

α_j −β_j β_j α_j

, j = 1, k, (5)

где λ1, . . . , λ_l - вещественные простые, λi- вещественные, Ni кратные, λj = αj ± jβj - комплексно-сопряженные собственные значения матрицы А, причем очевидно l+N₁ +. . .+ N_m+ 2k=n.

1. Покажем, что принятая структура (2) позволяет раздельное управление каноническими координатами [4] (гармониками) системы (1), соответствующие любому диагональному блоку матрицы A˜. Для этого подобно (1) запишем

x˙˜= ˜A˜x+ ˜Bu=

Λ 0

J 0 J¹

˜ x+

B˜₁ B˜₂ B˜3

u, (6)

где

˜

x=P⁻¹x, A˜=P⁻¹AP, B˜ =P⁻¹B

и при этом размерности матриц B˜1, B˜2 и B˜ и вектор-функции управления u соответствуют размерностям квадратных матриц Λ,J, Jⁱ. На основании (6), приняв B˜₂=0, B˜₃=0 нетрудно убедиться, что можем управлять каноническими координатами (гармониками) системы (1), соответствующими матрице Λ, сохраняя неизменным канонические координаты (гармоники) системы (1), определяемые матрицами J и Jⁱ. Аналогичные результаты можно получить относительно матрицы J или Jⁱ соответственно приняв B˜₁=0, B˜₃=0 или B˜₁=0, B˜₂=0.

Таким образом, дальнейшая задача сводится к последовательному построению предельно устойчивых систем управления для канонических объектов

x˙˜₁= Λ˜x₁+B₁u, (7)

x˙˜2 =Jx˜2+B2u, (8)

x˙˜3=Jⁱx˜3+B3u, (9)

где

˜ x1 =

˜ x₁

˜ x₂

...

˜ x_l

, x˜2 =

˜ x_l+1

˜ x_l+2

...

˜ x_l+L

, L=N1+. . .+Nm, x˜3=

˜ x_l+L+1

˜ x_l+L+2

...

˜ x_n

с матрицами вида (3)-(5). Рассмотрим поочередно задачи (7), (8) и (9).

2. Предположим, что преобразованная матрица управленияВ и соответственно B˜1, B˜2 и B˜₃ в (7), (8) и (9) диагональные. Тогда для полной управляемости канонического объекта (7) необходимо и достаточно, чтобы все диагональные элементы матрицы B˜1 были ненулевыми.

Наличие нулевых элементов ˜bii=0 означает, что соответствующие канонические координаты

˜

x_i неуправляемы.

Систему (7) можем записать в развернутой форме

x˙˜i=λix˜i+ ˜biiui, i= 1, l, (10)

Компоненты вектора-функции управления u, для i = 1, l¯ выберем в виде однопараметрической структурно устойчивой функции, описывающийся уравнением

ui =γi(−˜x³_i +kix˜i), i= 1, l, (11) где γi - выберем из условий ˜bii γi=1.

Отсюда следует, что с учетом (10) и (11) систему (7) в развернутой форме можем представить в виде

x˙˜_i =−˜x³_i + (λ_i+k_i)˜x_i, i= 1, l, (12) Стационарные (установившиеся) состояния системы (12) будут описываться уравнениями

−˜x³_is+ (λ_i+k_i)˜x_is = 0, i= 1, l, (13) Из (13) находим стационарные состояния канонических координат системы (11)

˜

x_1is = 0, i= 1, l, (14)

Другие стационарные состояния будут определяться решениями уравнений

−˜x²_is+λi+ki= 0, i= 1, l, (15) При отрицательном λi+ki уравнение (15) имеет мнимое решение, что не может соответствовать какой-либо реальной ситуации. Таким образом, при λ_i+k_i>0 уравнение (15) допускает следующие пары решений

˜

x^2,3_is =±p

λ_i+k_i, i= 1, l, (16)

т.е. в системе (12) появляются пары дополнительных стационарных состояний.

Устойчивость стационарных состояний (14) и (16) системы (12) определим по линейному принципу устойчивости [7].

x˙˜i =

−3(˜xis)²+λi+ki

x˜i, i= 1, l, (17)

Отсюда стационарные состояния канонических координат (14) системы (17) или (12) глобально асимптотически устойчивы, а дополнительные стационарные состояния (16), появляющиеся при λ_i+k_i>0, i= ¯1, l также будут неглобально асимптотически устойчивыми.

3. Для полной управляемости канонического объекта (8.) необходимо и достаточно, по крайней мере, чтобы все последние диагональные элементы матрицы B˜2, соответствующие N_i-кратным собственным значениям матрицы J при i=1, m¯ , были отличны от нуля. Исходя из практической целесообразности, далее предположим, что все диагональные элементы матрицы B˜2 отличны от нуля, т.е. предполагаем, что все канонические координаты x˜, i=l, l¯+L непосредственно управляемые.

Подобно (10) запишем систему (8) в развернутой форме

x˙˜_i =λ_jx˜_i+ ˜x_i+1+b_iiu_i, j = 1, m, i=l+ 1, l+L, (18)

Компоненты вектора-функции управленияu, для i=l+ 1, l+L задаются

ui =γi(−˜x³_i +kix˜i−x˜i+1), i=l+ 1, l+L, (19) где γi выбираем из условий ˜bii γi=1.

С учетом (18) и (19) систему (8) в развернутой форме представим в виде

x˙˜i =−˜x³_i + (λj+ki)˜xi, j = 1, m, i=l+ 1, l+L, (20)

Стационарные состояния системы (20) определяем из уравнений

−˜x³_is+ (λj +ki)˜xis = 0, j = 1, m, i=l+ 1, l+L, (21)

Система (21) имеет решение

˜

x¹_is = 0, i=l+ 1, l+L, (22)

и

˜

x^2,3_is =±p

λj+ki, j = 1, m, i=l+ 1, l+L, (23) Устойчивость стационарных состояний канонических координат (22) и (23) системы (20) определим аналогично как в разделе 2 по линейному принципу устойчивости.

Стационарные состояния канонических координат (22) системы (20) будут глобально асимптотически устойчивыми, если λj +ki <0, j = 1, n, i=l+ 1, l+L, а дополнительные стационарные состояния (23), появляющиеся при λ_j+k_i >0, j= 1, m, i=l+ 1, l+L, также являются асимптотическим устойчивыми, но не глобально.

4. Для полной управляемости канонического объекта (9) с матрицей Jⁱ вида (5) необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из парных диагональных элементов ˜bii, ˜bi+1,i+1, i=1,¯2k матрицы B˜₃, соответствующие комплексно-сопряженным собственным значениям матрицы Jⁱ, был отличен от нуля. Справедливость этого утверждения очевидна, но для общности мы предполагаем, что все канонические переменные в системе (9) непосредственно управляемы, т.е. предполагаем, что все диагональные элементы матрицы B˜₃ отличны от нуля.

Полученный указанным ранее путем закон управления придает каноническому объекту управления (9) предельную устойчивость, и уравнения состояния и стационарные состояния канонических координат соответственно определяются: ui = γi(−˜x³_i + kix˜i +βjx˜i+1), j = 1, k, i=j+L+ 1, n

или

ui =γi(−˜x³_i +kix˜i−βjx˜i−1), j = 1, k, i=j+L+ 1, n

˙˜

x_i =−˜x³_i + (α_j +k_i)˜x_i, j = 1, k, i=j+L+ 1, n (24)

−˜x³_is+ (α_j+k_i)˜x_is = 0, j = 1, k, i=j+L+ 1, n

˜

x¹_is = 0, i=j+L+ 1, n (25)

и

˜

x^2,3_is =±p

αj +ki, j = 1, k, i=j+L+ 1, n (26) Стационарное состояние (25) системы (24) будет глобально асимптотическим устойчивым, если α_j + k_i<0, j = 1, k; i = j+L+ 1, n, а дополнительные стационарные состояния (26), появляющиеся при α_j +k_i>0, j = 1, k; i = j+L+ 1, n будут также асимптотически устойчивыми, но не глобально.

Таким образом, путем выбора закона управления в области канонических переменных в надлежащем виде, в зависимости от собственных значений матрицы объекта управления А, можем придать исходной системе (1) свойства предельной устойчивости, т.е. система становится устойчивой при любом изменении параметров.

5.Пример. Пусть в уравнении объекта (1)

A=

1 −2 −3 2 2 −1 −7 2 0 2 −8 2 1 0 −7 1

, B =

4 2 0 1

Находим корни характеристического уравнения матрицы A

|λI−A|=λ⁴+ 7λ³+ 21λ²+ 37λ+ 30

λ_1,2=α±jβ=−1±j2, λ₃ =−2, λ₄=−3;

P =

−2 6 1 2

−4 4 1 2

−2 2 1 2

−1 5 2 3

⇒P⁻¹ =

0,25 −0,5 0,25 0 0,25 0 −0,25 0

−2 2 −3 2 1 −1,5 2,5 −1

Преобразованные уравнения состояния записываются в виде

d˜x1

dt =−1˜x₁−2˜x₂+ 0·u₁,

d˜x2

dt = 2˜x₁−1·x˜₂+ 1·u₂,

d˜x3

dt =−2˜x₃−2·u₃

d˜x4

dt =−3˜x4+ 0·u4

Здесь

˜

x=P⁻¹x, A˜=P⁻¹AP =

−1 −2 0 0

2 −1 0 0

0 0 −2 0

0 0 0 −3

; ˜B =P⁻¹B=

0 1

−2 0

Следовательно, канонические координаты (гармоники) x˜₂ и x˜₃ - непосредственно управляемые, а x˜1 и x˜4 - непосредственно неуправляемые. Выберем

u₁ =u₄ = 0, u₂ =γ₂

−˜x³₂+k₂x˜₂−2˜x₁ , u3 =γ3(−˜x³₃+k3x˜3).

Из условий ˜b₂ γ₂=1 и ˜b₃ γ₃=1 находим, что γ₂=1 и γ₃=−¹₂;

Тогда уравнения состояния системы с нелинейным законом управления, заданным в форме структурно устойчивой функции, примет вид

d˜x1

dt =−˜x1−2˜x2, ^d˜_dt^x2 =−˜x³₂+ (k2−1)˜x2, ^d˜_dt^x3 =−˜x³₃+ (k3−2)˜x3, ^d˜_dt^x4 =−2˜x4. Установившиеся состояния канонических объектов описываются уравнением











−˜x1s−2˜x2s = 0,

−˜x³_2s+ (k₂−1)˜x_2s = 0,

−˜x³_3s+ (k₃−2)˜x_3s = 0,

−2˜x4s= 0.

Отсюда находим стационарные состояния системы

˜

x¹_1s= ˜x¹_2s= ˜x¹_3s= ˜x¹_4s= 0,

˜

x^2,3_2s =±√

k₂−1,x˜^2,3_3s =±√ k₃−2,

˜

x^2,3_1s =±√

k2−1,x˜^2,3_4s = 0.

Стационарные состояния системы x˜¹_1s= ˜x¹_2s = ˜x¹_3s= 0 будет асимпто-тически устойчивыми при значении коэффициентов усиления −1 +k₂<0 и −2 +k₂<0, т.е. при любых значениях k₂ < 1 и k₃ < 2. При нарушении этих условий в системе появляются пары устойчивых состояний при −1 +k2 >0 и −3 +k3 >0, т.е. при k2 >1 и k3 >2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. - М.: Наука, 2002. - 303 с.

2. Гильмор Р. Прикладная теория катастроф. Т.1. - М.: Мир, 1981.

3. Постон Г., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. - М.: Мир, 1980.

4. Бейсенби М.А. Методы повышения потенциала робастной устойчивости систем управления. - Астана, 2011. - 352 с.

Бейсенби М.А., Абитова Г.А., Айнагулова А.С.

Басқарманың жүйесiнiң синтезi көтерiңкi әлуетпен робастной тиянаққа

Негiзгi құрылымдық-орнықты бейнелеулерi зерттелген және классификацияланған катастрофалар теориясының нәтижелерiне негiзделген басқару жүйелерiнiң робасты орнықтылығының потенциалын жоғарылату концепциясы қолданылған.

Beisenbi M.A., Abitova G.A., Ainagulova A.S.

Control system synthesis with an increased potential robustny stability

The concept of increase of potential robust stability of control systems which is based on results of the theory of accidents where the basic structurally-stable displays are investigated and classified is used.

Поступила в редакцию 15.10.12 Рекомендована к печати 30.10.12