ЛИТЕРАТУРА
1, Лустенков М.Е. Эллипсоидные шариковые передачи: недостатки и преимущества // Приводная техника. — 2003. — №3(43). — С.2 0- 22. 2. Лустенков М.Е. Ключ для демонтажа ведущих колес грузовых автомобилей ЗИЛ и ГАЗ // Автомобильная промышленность. — 2003,
— №5. — С.24-25.3. Скойбеда А.Т. Детали машин и основы констру
ирования: Учеб. / А.Т. Скойбеда, А.В. Кузьмин, Н.Н. Макейчик; Под общ. ред. А.Т.Скойбеды. — Мн.: Высш. шк., 2000. — 584 с.
У Д К 621941
М.Л. Протасеня, Л.В. Ларченков К ВОПРОСУ РАСЧЕТА ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ
МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПО КОНУСУ Белорусский национальный технический университет
Минск, Беларусь
Прямой усеченный іфуговой конус (рис. 1) высотой Н и радиусами ос
нований: нижнего — г и верхнего — R развернем в плоскость, проходящую через образующую АВ, которая Щ)едставляет из себя сектор ОВВ', дуга ВВ', которого является длиной окружности 2 n tL Радиус сектора — ОВ, цент
ральный угол— у = iTcR/OA,
Из точки А построим спіфаль Архимеда и снова свернем сектор в ко
нус. Получим на поверхности конуса винтов)чо линияю. Расстояние AB=L между двумя точками винтовой линии, расположенными на пересечении ее с этой образующей, — шаг винтовой линии. Отношение L/2tc = р — пара
метр винтовой линии.
Из этого определения следует, что расстояние S между проекциями то
чек М и Mj винтовой линии на горизонтальной плоскости хо,у пропорцио- ігально углу cot между радиусами, проведенными через точки проекций и точку о,, а также отношение SKCOt равно параметру винтовой линии:
S/cot = р = Ь/2п. Проекции точек винтовой линии на горизонтальную плоскость также образуют спираль Архимеда. При движении точки за каж
дый последующий относительно малый промежуток времени At длина прой
денного пути становится больше.
Траекторию движения точки можно записать в виде уравнений:
X = p.cos (Ot; у = p.sin(ot; z = pcot,
229
где р. — переменный радиус оіфужностей при изменении времени t ; t текущая координата времени.
Постоянными величинами являются только р и ш.
Возводя почленно первые два уравнения в квадрат и складывая, полу
чим: х^ + у^ = рЛ Так как величина р. является пременной, то траектория движения точки лежит на круговом конусе, ось его совпадает с осью oZ.
Найдем проекции скорости и ускорения точек. Дифференцируя уравне
ния движения по времени, получим: v^=-PjCDsm(Dt; Vy= р,ш cos ©t; v^=
=шр. Скорость движения точки выразится KaKV=(v^^+Vy^+v^^)®*^
Дифференцируя составляющие уравнений скорости по времени, полу
чим значения ускорений: -p.co^cos (Ot; - p p h i n cot; а^==0. Откуда уско
рение точки будет: а = p.CD^.
230
Скорость точки направлена по касательной к траектории движения ее по конической поверхности. При каждом обороте угол наклона касательной к оси конуса увеличивается. На рис.2 представлен график изменения угла наклона касательной (скорости) в зависимости от оборотов. Но т.к. скорость точки изменяется еще по модулю, то ее касательное ускорение не может быть равным нулю, поэтому оіфеделйм только мгновенные скорости в средней части конуса и в іфайнйх точках А и В, На материальную точку действуют:
сила тяжести F и нормальная сила реакции внутренней поверхности конуса N. Исходя из этих условий находим:
г = v /tg a /g и R = Vg4gct/g, откуда находим скорости движения
V = gr/tga и gR/tga
В данном случае точка движется принудительно и за один оборот (шаг) скорость точки возрастет за счет увеличения радиуса.
Для решения задачи примем р = р^= l/2(R+p), тогда модуль скорости можно выразить через среднее значение радиуса и будет иметь мгновенное значение: v = <о(р^^+р^). В этом случае полное ускорение, равное по моду-
\ m2 ______________-__
ЛЮ а — р^|,оэ*, будет только нормальным усюрением, определяемым по фор
муле: а = = v^/p^, где р^ — радиус кривизны винто:
определяется p^ = v Д = т'(рДр*)/р^о)^ = p^^+pVp^^.
231
Теперь определим реакции в средней части конуса и крайних точках:
Nep= “ “ 1ю^(Рср'+Р*)Рср1/(Рср'+Р')= mp,pO)*=l/2(R+r)mm';
= mco^(r+2Htga); = тгш^.
Из анализа этих формул следует, что существует прямая пропорционал- льная зависимость нормальных сил от изменения радиуса, если силы трения не являются движущими.
Если же имеем дело с телом переменной массы движущейся за счет сил трения, траектория такого движения будет иметь другой вид. К числу про
блем современной механики относятся задачи теории колебаний, динамики твердого тела, теории устойчивости движения, а также механики тел пере
менной массы.
Во всех областях механики все большее значение приобретают задачи, в которых вместо детерминированных, т.е. заранее известных величин, на
пример, действующих сил или законов движения отделных частей, прихо
дится рассматривать вероятностные величины, т.е. в е л и ч и й ^ л я к о т ^ ц х известна лишь вероятность того, что они могут иметьдс или иные значев или их не иметь.
К числу вероятностных величин относится сйлоншая изменяемая сре
да. Это понятие применимо, когда при изучении движения изменяемой среды (жидкость или псевдожидкостъ) можно пренебречь мелекулярной структу
рой среды. К этой задаче не применимы извеогаые принципы Д' Аламбера, Д'Аламбера — Лагранжа и уравнения Лагранжа.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., К ел ь з^ А.С. Теоретичесюя меха
ника в примерах и задачах. Учебное пособи^^для ВТУзов. В 3-х т. Т.!!., динамика — М., Наука, 1991,— 640с. 2.Таргс.М . Краткий курс теоре- таческой механики. — М., Высшая школа, 2001, — 380с. 3. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. — М., Наука, 1969, — 298с.
232
