ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методические указания и задания к выполнению расчетно-графических работ для студентов, обучающихся по образовательным программам
6В07111 – «Космическая техника и технологии», 6В07112 – «Космическая инженерия»
Алматы 2022
Некоммерческое акционерное общество
АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ ИМЕНИ ГУМАРБЕКА ДАУКЕЕВА
Кафедра математики и математического моделирования
К а ф е д р а м а т е м а т и к и и м а т е м а т и ч
СОСТАВИТЕЛИ: Василина Г.К., Толеуова Б.Ж. Дифференциальные уравнения: Методические указания и задания к выполнению расчетно- графических работ для студентов, обучающихся по образовательным программам 6В07111 – «Космическая техника и технологии», 6В07112 –
«Космическая инженерия». – Алматы: АУЭС, 2022. – 34 стр.
Методические указания и задания к выполнению расчетно-графических работ по дисциплине «Дифференциальные уравнения» предназначены для студентов, обучающихся по образовательным программам 6В07111 –
«Космическая техника и технологии», 6В07112 – «Космическая инженерия», состоят из двух частей и содержат задания из разделов «Дифференциальные уравнения первого порядка» и «Уравнения высших порядков. Системы дифференциальных уравнений». Решение типового варианта приведено полностью. Приведены некоторые теоретические материалы, необходимые в ходе выполнения заданий. Методические указания составлены в соответствии с учебной программой.
Табл. – 15, библ. назв. – 6.
Рецензент:доцент кафедры ЭТ А.С. Баймаганов
Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества
«Алматинский университет энергетики и связи имени Гумарбека Даукеева » на 2022 г.
© НАО «Алматинский университет энергетики и связи имени Гумарбека Даукеева », 2022 г.
Введение
Математические методы решения задач играют важную роль в инженерно-технических исследованиях и стали необходимой частью любой технической дисциплины. Они необходимы не только для количественного расчета, но и для точного исследования проблемы. Многие технологические процессы, механические задачи описываются с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, так как в описании таких проблем присутствует скорость процесса как один из основных параметров. Все это приводит к необходимости усиления прикладной направленности данного курса и повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов.
Настоящие методические указания посвящены изучению одного из основных разделов математического анализа – теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрены типы обыкновенных дифференциальных уравнений первого и высших порядков, а также систем дифференциальных уравнений, соответствующих программе курса. Для каждого типа приведены основные теоретические сведения, рассмотрены примеры решения дифференциальных уравнений.
Расчетно-графическая работа должна быть решена в отдельной ученической тетради. Все объяснения должны быть лаконичными и ясными для понимания. Вариант задания расчетно-графической работы для каждого студента определяется по списку учебной группы.
1 Расчетно-графическая работа № 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Цель: научить студентов решать обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, задачу Коши, познакомить с видами дифференциальных уравнений и методами их решения.
1.1 Теоретические вопросы
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
2. Общее решение. Общий интеграл. Задача Коши. Частное решение.
Особое решение.
3. Дифференциальные уравнения c разделяющимися переменными.
4. Линейное уравнение. Метод вариации произвольного постоянного (метод Лагранжа), метод Бернулли.
5. Уравнение Бернулли.
6. Уравнение в полных дифференциалах.
1.2 Задания
1. Проверить подстановкой, что функция является решением данного дифференциального уравнения, где C – произвольная постоянная.
Таблица 1
1.1 , 1.2 ,
1.3 , 1.4
1.5 1.6
1.7 1.8 ,
1.9 1.10 ,
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15 1.16
1.17 1.18
1.19 1.20
1.21 , 1.22
1.23 , 1.24 ,
1.25 ,
1.26
1.27 , 1.28
1.29 , 1.30 ,
2. Решить уравнение с разделяющимися переменными.
Таблица 2
2.1 2.2 2.3
2.4 2.5 2.6
2.7 2.8 2.9
2.10 2.11 2.12
2.13 2.14 2.15
2.16 2.17 2.18
2.19 2.20 2.21
2.22 2.23 2.24
2.25 2.26 2.27
2.28 2.29 2.30
3. Найти решение данного уравнения с данными начальными условиями и построить интегральную кривую.
Таблица 3
3.1 3.2
3.3 3.4
3.5 3.6
3.7 3.8
3.9 3.10
3.11 3.12
3.13 3.14
3.15 3.16
3.17 3.18
3.19 3.20
3.21 3.22
3.23 3.24
3.25 3.26
3.27 3.28
3.29 3.30
4. Решить задачу Коши.
Таблица 4
4.1 4.2
4.3 4.4
4.5 4.6
4.7 4.8
4.9 4.10
4.11 4.12
4.13 4.14
4.15 4.16
4.17 4.18
4.19 4.20
4.21 4.22
4.23 4.24
4.25 4.26
4.27 4.28
4.29 4.30
5. Решить линейное уравнение двумя методами:
а) методом вариации произвольного постоянного (метод Лагранжа);
б) методом подстановки (метод Бернулли).
Таблица 5
5.1 5.2
5.3 5.4
5.5 5.6
5.7 5.8
5.9 5.10
5.11 5.12
5.13 5.14
5.1 5.16
5.17 5.18
5.19 5.20
5.21 5.22
5.23 5.24
5.25 5.26
5.27 5.28
5.29 5.30
6. Решить уравнение Бернулли.
Таблица 6
6.1 6.2 6.3
6.4 6.5 6.6
6.7 6.8 6.9
6.10 6.11 6.12
6.13 6.14 6.15
6.16 6.17 6.18
6.19 6.20 6.21
6.22 6.23 6.24
6.25 6.26 6.27
6.28 6.29 6.30
7. Проверить, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и решить его.
Таблица 7 7.1
7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12
7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 7.20 7.21 7.22 7.23 7.24 7.25 7.26 7.27 7.28 7.29 7.30
1.3 Решение типового варианта
1. Проверить подстановкой, что функция , где – произвольная постоянная, является решением дифференциального уравнения
.
Решение Для выполнения задания потребуется производная данной функции:
. Подставим и в данное уравнение:
. Ответ: Указанная функция является решением данного уравнения.
2. Решить уравнение с разделяющимися переменными:
Решение Для решения такого уравнения надо обе его части умножить или
разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входило только
, а в другую – только , и затем проинтегрировать обе части.
При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные и могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.
Делим обе части уравнения на :
После преобразования привели к уравнению с разделенными переменными. Интегрируя обе части, получим общее решение либо общий интеграл данного уравнения:
Таким образом, получили общее решение данного уравнения.
При делении на могло быть потеряно решение , т. е.
Очевидно, что оно является решением уравнения.
Ответ:
3. Найти решение уравнения с начальными условиями
и построить интегральную кривую.
Решение
– общее решение.
Используем начальные условия. Для этого в общее решение подставим
значения :
Таким образом, является частным решением данного уравнения. Построим интегральную кривую.
4. Решить задачу Коши: .
Решение Данное уравнение является уравнением с разделяющимися
переменными. Выполним преобразования:
. Делим обе части уравнения на :
Интегрируем обе части уравнения:
; ;
.
При делении на могли быть потеряны решения и т. е. , откуда и . Очевидно, что
является решением уравнения, а и – нет.
Ответ:
5. Решить линейное уравнение
а) методом вариации произвольного постоянного (метод Лагранжа);
б) методом подстановки (метод Бернулли).
Решение а) По методу Лагранжа сначала решим линейное однородное уравнение,
соответствующее данному линейному неоднородному уравнению путем разделения переменных:
– общее
решение линейного однородного уравнения.
Решение линейного неоднородного уравнения ищем в виде где – неизвестная функция, и найдем его производную.
Подставив
в первоначальное уравнение, ищем неизвестную функцию ,
,
откуда, интегрируя, получим:
Таким образом, .
б) По методу Бернулли в данном уравнении сделаем замену
где – неизвестные функции, :
Функцию выберем так, чтобы второе слагаемое было равно нулю:
Рассмотрим два случая:
а) Данная функция является решением уравнения.
б)
.
Теперь решим уравнение:
,
Таким образом, . Ответ:
6. Решить уравнение: . Решение Данное уравнение является уравнением Бернулли. Решим его пометоду
Бернулли, т. е. решение ищем в виде где –
неизвестные функции, . Подставив в исходное уравнение
вместо и их выражения через и , получим:
После группировки слагаемых в левой части полученного равенства и вынесения общего множителя за скобки, будем иметь:
Функцию найдем как некоторое частное решение уравнения:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и затем интегрируя обе части, получим:
Полагая получим .
При таком выборе функции из уравнения
будем иметь следующее уравнение относительно второй неизвестной функции
или, после несложных преобразований, т. е. подставляя , получим уравнение:
которое является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и затем интегрируя обе части, получим:
,
где – произвольная постоянная,
или
откуда находим:
Заметим, что кроме полученного решения уравнению удовлетворяет функция которая не может быть получена из последнего решения ни
при каком произвольном значении постоянной Таким образом, решения исходного уравнения таковы:
1) при 2) при
Ответ: , где – произвольная постоянная,
7. Проверить, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах и решить его.
Решение Для того чтобы уравнение было уравнением в полных дифференциалах,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
В данном случае имеем
Находим:
Таким образом, выполнено условие значит, данное
уравнение является уравнением в полных дифференциалах, т. е. его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции . Для искомой функции имеем:
(1)
Интегрируя первое из равенств (1) по , считая постоянной, получим:
.
Для определения функции дифференцируем последнее равенство по , считая постоянной, и, с учетом второго из равенств (1), имеем:
Отсюда:
Поэтому:
Все решения данного уравнения запишутся в виде:
Ответ: – общий интеграл, где – произвольная
постоянная.
2 Расчетно-графическая работа№ 2. Уравнения высших порядков.
Системы дифференциальных уравнений
Цель: научить студентов владеть различными методами решения дифференциальных уравнений высших порядков и систем дифференциальных уравнений.
2.1 Теоретические вопросы
1. Уравнениявысших порядков, допускающие понижение порядка.
2. Линейные дифференциальные уравнениявысших порядков.
3. Линейные однородные уравненияс постоянными коэффициентами.
4. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
5. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.Метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов).
6. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
2.2 Задания
1. Решить дифференциальное уравнение второго порядка.
Таблица 8
1.1 1.2 1.3
1.4 1.5 1.6
1.7 1.8 1.9
1.10 1.11 1.12
1.13 1.14 1.15
1.16 1.17 1.18
1.19 1.20 1.21
1.22 1.23 1.24
1.25 1.26 1.27
1.28 1.29 1.30
2. Решить дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка.
Таблица 9
2.1 2.2 2.3
2.4 2.5 2.6
2.7 2.8 2.9
2.10 2.11 2.12
2.13 2.14 2,15
2.16 2.17 2.18
2.19 2.20 2.21
2.22 2.23 2.24
2.25 2.26 2.27
2.28 2.29 2.30
3. Найти частное решение дифференциального уравнения, не содержащего явно независимой переменной.
Таблица 10
3.1 , 3.2 , 3.3
,
3.4 , 3.5 ,
.
3.6 , .
3.7 , 3.8 ,
.
3.9 ,
3.10 , 3.11 , 3.12 ,
3.13 , 3.14 , 3.15 ,
3.16 3.17 , 3.18
,
3.19
3.20 , 3.21
,
3.22 , 3.23 , 3.24
,
3.25 , 3.26 2.27 ,
3.28 , 3.29 , 3.30 ,
4. Решить линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами.
Таблица 11
4.1 4.2 4.3
4.4 4.5 4.6
4.7 4.8 4.9
4.10 4.11 4.12
4.13 4.14 4.15
4.16
4.17
4.18
4.19 4.20
4.21
4.22 4.23 4.24
4.25 4.26 4.27
4.28 4.29 4.30
5. Решить задачу Коши для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами.
Таблица 12
5.1 5.2 5.3
5.4 5.5 5.6
5.7 5.8 5.9
5.10 5.11 5.12
5.13 5.14 5.15
5.16 5.17 5.18
5.19 5.20 5.21
5.22 5.23 5.24
5.25 5.26 5.27
5.28 5.29
.
5.30
6. Решить линейное неоднородное уравнение методом подбора частного решения.
Таблица 13
6.1 6.2
6.3 6.4
6.5 6.6
6.7 6.8
6.9 6.10
6.11 6.12
6.13 6.14
6.15 6.16
6.17 6.18
6.19 6.20
6.21 6.22
6.23 6.24
6.25 6.26
6.27 6.28
6.29 6.30
7. Решить линейное неоднородное уравнение методом вариации произвольных постоянных.
Таблица 14
7.1 7.2
7.3 7.4
7.5 7.6
7.7 7.8
7.9 7.10
7.11 7.12
7.13 7.14
7.15
7.16
7.17 7.18
7.19 7.20
7.21 7.22
7.23 7.24
7.25 7.26
7.27 7.28
7.29 7.30
8. Решить систему дифференциальных уравнений первого порядка.
Таблица 15
8.1 8.2 8.3
8.4 8.5 8.6
8.7 8.8 8.9
8.10 8.11 8.12
8.13 8.14 8.15
8.16 8.17 8.18
8.19 8.20 8.21
8.22 8.23 8.24
8.25 8.26
8.27
8.28 8.29 8.30
2.3 Решение типового варианта.
1. Решить дифференциальное уравнение второго порядка Решение
Для получения общего решения этого уравнения следует два раза проинтегрировать его обе части:
Ответ: общее решение.
2. Решить дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка:
Решение Данное уравнение не содержит искомой функции у, поэтому для его
решения проведем замену:
и
где – новая искомая функция. Тогда данное уравнение примет вид:
или
Разделив переменные, получим:
откуда, интегрируя, будем иметь:
, где –- произвольная постоянная.
Так как , то:
решая которое будем иметь:
После интегрирования получим:
.
Примечание: в процессе деления на мы могли потерять
решения уравнения и . Первое даёт но это
решение находится в общем решении при . Второе равенство невозможно при действительных х.
Ответ: – общее решение.
3. Найти частное решение дифференциального уравнения, не содержащего явно независимой переменной:
, .
Решение: данное уравнение не содержит явно независимой переменной х, поэтому понизим порядок уравнения с помощью замены:
и ,
где – новая неизвестная функция. Тогда данное уравнение примет вид:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его:
Заметим, что в таких задачах, если требуется найти не общее решение, а частное, удобнее определять константы сразу, как только они появляются, а не из общего решения. Поэтому подставим в последнее равенство начальные
условия , , получим:
т.е.
Последнее равенство перепишется так:
или .
Отсюда:
т.е. .
Разделяем переменные и интегрируем:
. Найдём по начальным условиям ,
т.е.
Итак, искомое решение имеет вид:
Ответ:
При решении линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами общее решение зависит от корней характеристического уравнения . Корни удобно вычислять по формуле:
. Возможны три случая:
а) при характеристическое уравнение имеет два действительных различных корня , тогда фундаментальная система решений (т. е. два линейно независимых частных решения) будет:
,
а общее решение – линейная комбинация решений фундаментальной системы:
;
б) при характеристическое уравнение имеет – два одинаковых действительных корня (т.е. один двукратный действительный корень), тогда фундаментальная система решений будет
,
а общее решение – или ;
в) при характеристическое уравнение имеет – два сопряжённых комплексных корня, тогда фундаментальная система решений будет:
,
а общее решение – или
.
4. Решить линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:
. Решение
Составляем характеристическое уравнение:
Находим его корни , которые действительны и различны.
Тогда фундаментальную систему решений (кратко ФСР) образуют функции:
Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения есть линейная комбинация фундаментальных решений, а именно:
Ответ: .
5. Решить задачу Коши для линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами:
.
Решение Составляем характеристическое уравнение и находим корни:
, откуда , – сопряжённые комплексные числа. Так как , т.е. , то фундаментальная система решений будет:
, ,
а общее решение:
Для определения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, подставим эти начальные условия в общее решение и его производную
и решим систему:
или
Таким образом, частное решение имеет вид: .
Ответ: .
6. Решить линейное неоднородное уравнение методом подбора частного решения:
Решение Структура общего решения линейного неоднородного
дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
имеет вид:
,
где – общее решение соответствующего однородного уравнения, –
частное решение неоднородного уравнения.
Метод подбора частного решения применим, только если правая часть уравнения, т. е. функция , имеет специальный вид:
,
где – действительные числа, – многочлены степеней и с действительными коэффициентами. Частные случаи :
1) , ( );
2) , ( );
3) , ( );
4) , ( );
5) , ( );
6) , ( ).
Если имеет вид, указанный выше, то частное решение неоднородного уравнения будет иметь подобную форму:
,
где показатель кратности корня характеристического многочлена соответствующего однородного уравнения ( , если не является корнем характеристического многочлена); ; полные многочлены степени l с неопределёнными коэффициентами (например, если l=0, то ; если l=1,
то ; если l=2, то
и т.д.). Таким образом, для определения частного решения надо найти коэффициенты и . Для этого, подставляя , , в данное уравнение, получим тождество, из которого и будут найдены коэффициенты. Итак, найдено, общее решение соответствующего однородного уравнения известно, как находить, значит задача решена.
В нашем случае характеристическое уравнение
соответствующего однородного уравнения, его корни, = = 1,
следовательно, – общее решение
соответствующего однородного уравнения.
Так как , то , , поскольку не является корнем характеристического
уравнения.
Т. к. m=0, n=0, то l=max(0,0)=0, поэтому .
Подставляя эти значения в формулу
, получим
. Для определения А подставим
, , в данное уравнение:
.
Итак, .
Следовательно,
общее решение.
Ответ: .
7. Решить линейное неоднородное уравнение методом вариации произвольных постоянных:
.
Решение Метод вариации произвольных постоянных применим к любым
линейным неоднородным уравнениям 2-го порядка с постоянными коэффициентами, но он довольно часто приводит к сложным вычислениям, поэтому, если это возможно, лучше решать первым методом, если невозможно, то поступают таким образом: находят общее решение соответствующего однородного уравнения:
,
где и – фундаментальная система решений, а и – произвольные постоянные.
Получив общее решение соответствующего однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения ищут в виде:
(2)
где и являются не постоянными, а функциями независимой переменной , т. е. варьируют константы.
Для определения неизвестных функций и составляется система:
, (i=1,2). Осталось подставить и в (2):
.
В нашем случае – характеристическое уравнение, его
корни , поэтому – общее решение
соответствующего однородного уравнения. Варьируем константы:
. Составим систему:
Умножая первое уравнение на (-1) и прибавляя ко второму, получим:
.
Из первого уравнения получим:
.
Подставляем и в (2):
или
где в первых квадратных скобках общее решение соответствующего однородного уравнения, а во вторых – частное решение данного уравнения, что соответствует структуре общего решения линейного неоднородного уравнения.
Ответ: .
8. Решить систему дифференциальных уравнений
Решение Решим систему методом исключения неизвестных. Заметим, что
складывая почленно уравнения системы, получим:
, откуда:
(3)
Теперь дифференцируем первое уравнение системы и подставляем (3):
,
т. е. получили линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение и находим корни:
, . Тогда:
Так как
, то из первого уравнения найдём :
Ответ:
Список литературы
1. Умнов А.Е., Умнов Е.А. Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: МФТИ, 2020. – 320 с.
2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 2. – М.:
Айрис-пресс, 2015. – 256 с.
3. Письменный Д.Т. Сборник задач по высшей математике. – М.:
Айрис-пресс, 2016. – 592 с.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я., Данко С.П. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Мир и образование, 2020. – 816 с.
5. Kim R.E. Mathematics. Part 2. – Almaty: AUPET, 2021. – 111 p.
6. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика. (учебник для СПО). – М.:
Изд. центр Академия, 2015. – 416 с.
Содержание
Введение...
1 Расчетно-графическая работа № 1. Дифференциальные уравнения первого порядка...
1.1 Теоретические вопросы...
1.2 Задания...
1.3 Решение типового варианта...
2 Расчетно-графическая работа № 2. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Системы дифференциальных уравнений...
2.1 Теоретические вопросы...
2.2 Задания...
2.3 Решение типового варианта...
Список литературы...
4 4 4 4 9 16 16 16 24 33
Сводный план 2022 г., поз. 99
Василина Гулмира Кажымуратовна Толеуова Багила Жаксылыковна
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методические указания и задания к выполнению расчетно-графических работ для студентов по образовательным программам
6В07111 – «Космическая техника и технологии», 6В07112 – «Космическая инженерия»
Редактор: Жанабаева Е.Б.
Специалист по стандартизации: Ануарбек Ж.А.
Подписано в печать_______ Формат 60×84 1/16
Тираж 50 экз. Бумага типографская №1 Объем 2,0 уч.-из. л. Заказ______ цена 1000 тг.
Копировально-множительное бюро некоммерческого акционерного общества
«Алматинский университет энергетики и связи»
050013, Алматы, ул. Байтурсынова, 126/1
