Екінші ретті сызықтық жай дифференциалдық теңдеу үшін қойылған Коши есебін жуықтап шешу

(1)

1464

0 2

2

2 iX X

в четырехмерном пространстве, где – A 1,0,0,0 , B 0, 2,0,0, C 2,0,0,0

четырехмерные числа, A – невырожденное число. Для решения данного квадратного уравнения выполним вышеуказанные несложные операции:

1 , 0 ,1

,

0

₂ ₃ ₄

1 , 0 cos₂ 1, sin₂ 0, cos₂ 1, sin₂ 0,

. 0 ,

0 , 0 ,1

,1 , 0 , 4 , 0 ,

4

₁ ₂ ₃ ₄

Найдем значения

Y

_i

. 0 0 0

4

, 0

4 0 0

, 0 4 0 0

, 0 0 0 4

1 3

2

1 Y Y Y

Y

После несложных вычислений находим решения

X

_i:

, 0 0 1 1

X1 ,

0 1 1 0

X2 ,

0 1 1 0 X3

0 0 1 1 X4 .

Подставляя найденные решения в систему (*) удостоверяемся в выполнении равенства, что подтверждает правильность решения.

Список использованных источников

1. Маукеев Б.И., Абенов М.М. Начальные главы теории функций бикомплексного переменного. – Алматы.: ТОО «МТИА», 2003, -58 с.

ӘОЖ 519.62

ЕКІНШІ РЕТТІ СЫЗЫҚТЫҚ ЖАЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ ҮШІН ҚОЙЫЛҒАН КОШИ ЕСЕБІН ЖУЫҚТАП ШЕШУ

Сәбитбек Айдана Сәбитбекқызы, Төлеу Нұргүл Сайлаубекқызы

[email protected]

Қорқыт Ата атындағы Қызылорда мемлекеттік университеті инженерлі- экология факультетінің 3-курс студенттері, Қызылорда, Қазақстан

Ғылыми жетекшісі – физ.-матем. ғыл. канд., доцент Т.Б.Ділман

Тәуелсіз айнымалысын, белгісіз , , , вектор-функциясы мен оның бірінші ретті , , , туындысын байланыстыратын тең- деуді бірінші ретті жай дифференциалдық теңдеулер системасы деп атайды. Бірінші ретті жай дифференциалдық ⃗⃗ ( , , ) теңдеулер системасын немесе

( , , ) , , ̅̅̅̅̅

деп белгілейді [1, 2], мұндағы ⃗⃗ , , , – берілген вектор-функция. Дербес жағ- дайда, бірінші ретті туындыларға қарағанда шешілген жай дифференциалдық теңдеулердің

𝑓 ( , )

нормаль системасы немесе 𝑓( , , , ), , ̅̅̅̅̅ қарастырылады, мұнда 𝑓 ( , ) 𝑓( , ), , 𝑓 ( , ) – берілген вектор-функция, – нормаль система- ның реті.

(2)

1465

Бірінші ретті туындыларға қарағанда шешілген жай дифференциалдық теңдеулердің нормаль системасы үшін қойылған Коши есебі:

{ 𝑓 ( , ), ,

мұндағы , – берілген сан, , , , – берілген вектор. Коши есебінде көрсетілген бастапқы шарттардың барлығын қанағаттандыратын жай дифференциалдық тең- деулердің нормаль системасының шешімін табу керек [3, 4].

Теорема (Нормаль система үшін қойылған Коши есебі шешімінің бар және жалғыз болуы туралы). Егер тұйық ̅ облысындағы үздіксіз 𝑓 , , , , ̅̅̅̅̅ функциялары- ның , , айнымалылары бойынша шектелген дербес туындылары бар және

, , , , ̅

болса, онда нормаль система үшін қойылған Коши есебінің шешімі бар және жалғыз.

Егер , , … , деп белгілесе, онда ретті ту- ындыға қарағанда шешілген жай дифференциалдық теңдеу үшін қойылған Коши

{

𝑓( , , , , ),

, , ,

есебін нормаль система үшін қойылған мына Коши есебіне келтіруге болады:

, , ... ... ...

𝑓( , , , ),

, , … ,

Демек, реттіжайдифференциалдықтеңдеугеқойылғанКошиесебінжуықтапшешуәдіс- терінормальсистемағақойылғанКошиесебіүшінбаяндалады[4, 5].

Аналитикалық әдістер кейбір Коши есебінің дәл шешімін тапқанымен сол есептің жуық шешімін ғана табатын сандық әдістердің қолданылу аумағы кеңірек. Атап айтқанда, дәл шешімі табылмай тұрған есептерді тек сандық әдіспен жуықтап шешуге болатыны белгілі.

Жоғарыда қарастырылған айырымдық схемаға ұқсас етіп Коши есебі үшін Рунге-Кутта әдісінің формулаларын былай жазады:

, _, ( _, _, _, _,) , ̅̅̅̅̅, , , ,

мұнда

, 𝑓( , _,, _,, , _,),

, 𝑓 ( , _, _,, _, _,, , _, _,),

, 𝑓( , _, _,, _, _,, , _, _,) Егер, дербес жағдайда, болса, онда мына

{

𝑓 , , , 𝑓 , , , ,

Коши есебі үшін Рунге-Кутта (1) айырымдық схемасы былай жазылады { ^,

_, ( _, _, _, _,),

, _, ( _, _, _, _,),

мұндағы

(3)

1466

, 𝑓( , _,, _,), _, 𝑓 ( , _,, _,),

, 𝑓 ( , _, _,, _, _,),

, 𝑓( , _, _,, _, _,),

, 𝑓( , _, _,, _, _,)

Мысал. Екіншіреттісызықтықжайдифференциалдықтеңдеуүшінқойылған

, , Коши есебін Рунге-Кутта әдісімен жуықтап шешу керек.

Егер , деп белгіленсе, онда берілген Коши есебінің орнына мына нормаль система үшін қойылған

{

,

, ,

Коши есебін алады.

Соңғы есепте

𝑓 , , ,

𝑓 , ,

болғасынтеориябойыншаберілгенКошиесебініңшешімібаржәнежалғыз[5]. СондаРунге- Куттаәдісініңайырымдықсхемасы (1) формулатүріндежазылып, коэффициенттері (3) өр- нектерменанықталады. Қадамды , депалып, ; , кесіндісіндегіесептеунәтижеле- рінмынатөмендегітаблицағатолтырамыз:

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

1 0,8951 0,7802 0,6537 0,5117 0,3463 0,1420 0,1326 z -1 -1,0979 -1,2027 -1,3337 -1,5198 -1,8138 -2,3226 -3,2774

Есептеулерді жеңілдету мақсатында Maple компьютерлік есептеу жүйесі қолданылды.

Maple:

(4)

1467

(5)

1468

(6)

1469

і і і

1. . ., . . і і ің . 2- і . –

: і і , 2001, 287 .

2. . . і ің і. – : , 1998, 148 .

3. . . і і. – : Print S, 2009, 193 .

4. . ., і . . і . – : і , 2014, 540 .

5. і . ., і . . і . – : , 2017, 320 .

517.958

,

-

4 -

. . [email protected]

– . ., . .- . ., .

[1].

,

[2], [3].

( , )

r r u v

_P _∑ _.

∑

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)