ИНВОЛЮЦИЯЛЫ ІІ-ші РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ ҮШІН СПЕКТРАЛДЫ ЕСЕПТІҢШЕШІМІ

УДК 517.927.25

ИНВОЛЮЦИЯЛЫ ІІ-ші РЕТТІ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ ҮШІН СПЕКТРАЛДЫ ЕСЕПТІҢ ШЕШІМІ

Алтыбаева А.

М. Əуезов атындағы Оңтүстік Қазақстан мемлекеттік университеті, Шымкент Ғылыми жетекші – ф.-м.ғ.д. Сəрсенбі Ə.М.

Келесі түрдегі инволюциялы дербес туындылы

^u

t

( ) ^x , ^t = ^u

xx

( ) − ^x , ^t − α ^u

xx

( ) ^x , ^t

(1)

теңдеуді

u

( )

x^,0 = ϕ⁽x^), u′⁽−^1,t⁾ = ^0, u′

( )

^1,t = ⁰ ϕ′⁽−¹⁾ = ^0, ϕ′⁽¹⁾ = ⁰ (2) шеттік шарттарымен қарастырайық.

Фурье əдісін пайдаланып спектральді шеттік есепке келеміз:

( ) ( ) ( )





′ =

=

′ −

′′ = +

′′−

−

0 ) 1 ( , 0 1

) ( X

X

x X x X x

X α λ

(3) (3) теңдеуінің жалпы шешімі мына түрде жазылады:

^X

( )

^{x C x C}

(

α

)

^x

λ α

λ

+ + −

= −

sin 1

cos 1 ₂

1 (4)

Характеристикалық теңдеуді құрып, меншікті мəндерін табамыз.

∆( ) = 1 − 1 − −(1 + ) −(1 + )

− 1 − 1 − −(1 + ) −(1 + )

= 0

Бірінші сериялы меншікті мəнге, яғни = ( + ) (−(1 + ))-ға сəйкес меншікті функция = + . Екінші сериялы меншікті мəнге, яғни = ( ) (1 − ) - ға сəйкес меншікті функция = ( ) . (1) –(2) есебінің шешімі мына түрде жазылады.

^u

( )

^{xt C e ( ) k x D}k^{e( ) ( )k t k x} k

t k

k π π α

π π

π α

π

2 sin cos

, ¹

0

2 1 ²

2

∞ −

=

+



 



 +

−  +



 



 +

=

∑

(5) Енді α=2 болсын. Берілген есептің бастапқы шарты болатын функция ретінде

3 2

) 1 ( )

( x = − x ϕ

функциясын алайық. Бұл функция -1 жəне 1 нүктелерінде екінші ретті туындысымен бірге 0-ге тең болатыны белгілі. Есептеу арқылы мына өрнекті аламыз.

x k k

x k

k

k

) 5 , 0 ) cos(

1 2 (

) ) 1 2 ( 10 ( ) 1 18432 ( )

(

0

7

2 +

+ + +

−

− −

=

∑

^∞

=

ϕ

Қарастырып отырған есептің (5) түріндегі формальді шешімін құрамыз.

( )

^{e ( ) ( ) k x}

k t k

x

u ^{k t}

k

k

) 5 , 0 ) cos(

1 2 (

) ) 1 2 ( 10 ( ) 1 18432 (

, ^{0,5 1}

0

7

2 2

+ + + +

−

− −

= ^{∞ − + +}

∑

= ^α (6)

>0

t жағдайында (6)-шы қатар жинақталмайды. Алынған нəтижелерді теорема түрінде жазамыз.

Теорема 1. Егер _α нақты жəне

α

<1 ^{болса, онда (1) жəне (2) есептің жалғыз} шешімі бар. Ал

α

>1 болса есептің шешімі болмайтындай бастапқы шарт табылады.

Əдебиеттер

1. Wiener J. Generalized Solutions of Functional Differential Equations // The University of Texas- Pan American-USA. 1993.

Линьков А.В. Обоснование метода Фурье для краевых задач с инволютивным отклонением //Вестник СамГУ. – 1999. – №2. – С.60-66.