ЕКІНШІ РЕТТІ ЖАЙ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ЕРКІН КООРДИНАТТАР ЖҤЙЕСІНДЕ ШЕШУ

УДК 51

ЕКІНШІ РЕТТІ ЖАЙ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ЕРКІН КООРДИНАТТАР ЖҤЙЕСІНДЕ ШЕШУ

Жамалбекова А.А., Аипенова А.С.

Магистрант, Әл-Фараби атындағы Қазақ Ҧлттық Университеті,

Алматы Ғылыми жетекші - ф.-м.ғ.д., профессор Кангужин Б.Е.

18

Екінші реттегі жай теңдеулерді сандық тәсілдермен шешуді қарастырамыз:

 d ² u du

  a(x)  f (x),0  x  1

dx² (*)

 dx

 u(0)  u(1)  0



есебі берілсін делік. Мҧндағы a(x),f(x)C²



0,1



.

Егер де еркін координаттар x  x(q) тҥрінде берілсін десек, (*)теңдеуі жаңа q координатасында

 d ( 1 du )  a(x) du  f



x(q)





dq  dx dq

тҥрінде жазылады, мҧндағы 

dq dx

- тҥрлендіру Якобияны.

x  x(q) функциясын табу ҥшін

 ( x

)  0,0  q  1

q q

x(0)  0, x(1)  1

есебін қарастырамын, мҧндағы (x) - басқару функциясы. Мысалы:



du ²



¹2

 1  .

 dx ^

 

Бҧл жағдайда есептеу тор нҥктелері u(x) функциясының градиенттері ҥлкен ӛзгеру аралығына шоғырланады.

dx   du ²  ¹²dx

 dq  const, ^1  dx   dq ^{ const}

1

2 12

 du 

1  ^  const  S₀ 

 dx ^

0  _

u(x) график ҧзындығы

x_i  x(q_i ), q_i ih

Сонымен (*) есебін шығару ҥшін, параметрлік q координатасында біркелкі қадам h - қа тең есептеу торын пайдаланамыз.

Есептеу формулалары мынадай болады:

19

 

1 

u

i1

 u

i

  u 

q,i

 f_i _i , i  1, N 1

  ^

   k  1  h

  2 _q

 ^ui1  u_i

 ^uq,i 

h





q_i  ih, i  0, N , Nh  1

 x

k 1 x

  ₁  k

 ^{k } 2 h



u₀  0, u _N  0



 x

i1 x

i1 

i 2h

 

  k  ^{1 xq,i }

 2 q  0, i  1, N 1

x

0

 0, x

N

  1

Осы теңдеулер жҥйесінің шешімдерін табу ҥшін мынадай итерациялық алгоритм қарастырылады:

n1 n  ^{n1 n1 n1 n1} ^{n1 n1 n1 n1}

u_k  u_k  ^u_{k 1  u}

k u_k ^uk 1 u

k 1 u k

x

k 1 x

k 1 f (x ^n1 )

 _{n1 n1}  _n1  

 h

 n1 

h 2h

k

x

k 1  x_k x_k ^{xk 1} 

k  1, N 1

n1 n1

 0

^u0  0, u _N x_k^n1  x_kⁿ 1 [ ⁿ (x ^n1  x ^n1 )  ⁿ (x ^n1 x ^n1 )]

 h 2 ^{k 1}2 k 1 ^{k k1}2 k ^{k 1} k  1, N 1

n1 n1

 1 ^x0  0, x_N

xk0  (kh)

(kh)  0 .

Әдебиеттер 1.

Самарский А.А. Теория разностных схем. - М., Наука, 1989.