«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция
113
УДК 658. 512
АДАМБАЕВ М. Д., АДАМБАЕВ А. А.
КазНТУ им. К.И. Сатпаева, Алматы, Казахстан
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЪЕКТА ВТОРОГО ПОРЯДКА С КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ КРИВОЙ РАЗГОНА
Определим уравнение промышленны объекта по его реакции выхода (t) (рис 1) на скачкообразное изменение входной величины до значения , м/мин; – разность температур, – скорость движения ленты.
Кривая разгона имеет колебательную форму и можно предположить, что искомое уравнение – уравнение второго порядка с комплексными корнями [1]:
. (1) Необходимо вычислить константы , , .
Рисунок 1. К определению уравнения объекта второго порядка с колебательной кривой разгона В этом уравнении , т.к. постоянное времени здесь, в случае колебательной системы, не имеют физического смысла. Уравнение колебательной системы обычно записывается в виде
,
2 0 02 02
2
2
dt k d dt
d (2)
где – коэффициент демпфирования; – собственная частота системы.
Отсюда видна связь между физическими константами , и числами , . Последние введены для удобства вычислений.
Используя результаты данные в [2], сразу напишем решение уравнения:
.
а
t
dt k d dt
d
2 1 2
1 2
2 1 2
) (
1
2 k2 2 1 1
, 1 1
T T
0
0
1
2t
t
k a e
a e a k
k
t
1 21 2
1 2
1
)
2(
«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция
114
Так как объект управления имеет колебательные свойства, то прием вычисления констант, примененный в предыдущей задаче, даст в результате не действительные числа и , а комплексные, т.е
; . (3)
Переходя к действительным количествам, форму записи решения нужно соответственно
преобразовать по формуле Эйлера ( )
(4)
(4) соответствует сложению двух гармоник.
Принципиально можно было бы взять координаты трех произвольных точек их графика , поставив их в решение, вычислить из трех уравнении действительные корни и . Но т.к.
уравнения получаются трансцендентными, то решить их весьма сложно, и поэтому целесообразнее применить прием, рассмотренный в предыдущей задаче.
Для этого возьмем из кривой разгона шесть равноотстоящих на интервал , ординат:
; ; ; ; ; .
Составим систему уравнении для определения коэффициентов промежуточного кубического уравнения
Из нее вычислим ; ; и получим следующее кубическое
уравнение:
Вычислим его корни (один корень заранее известен)
; ; .
Комплексные корни и представим в показательной форме
; .
Далее найдем константы и
1
2
1 j
2
j
cos jsin
ej
arctg t
e a k
t t
e a k
t j j t
t j j t
e a k
j e e j
j a j
k t
t t t
t j t
j
sin 1
1
sin cos
1
sin 2 cos
sin 2 cos
1
2 ] 1 2
[ )
(
2
) ( )
(
)
(t
, kt
5
мин 0
,
0
0
1 29,3
2 69,0
3 84 , 3
4 79,8
5 71 , 1
; 0 3 , 84 0
, 69 3
, 29 0
,
0
B3
B2
B1
; 0 8 , 79 3
, 84 0
, 69 3
,
29
B3
B2
B1
; 0 1 , 71 8
, 79 3
, 84 0
,
69
B3
B2
B1
654,
1 1
B B2 1,12 B3
0 , 366 .
0 366 , 0 12 , 1 654
,
1
23
3
1
509 , 0 327 ,1 0 j
2 0,327 j0,509
3 1
1
20 , 1 5 , 0 1
e j
2
e0,5j1,0
1
2«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция
115
(5)
.
Остается вычислить статический коэффициент передачи . Это легко сделать, подставив в решение дифференциального уравнения координаты произвольной точки кривой разгона и вычисленные константы и . Возьмем, например, точку ,
или ,
откуда найдем .
Искомое численное уравнение колебательного объекта будет иметь вид
(6) где
Собственная частота объекта
(7) Коэффициент демпфирования
. (8)
При распространении этого приема на системы более высокого порядка общая схема метода остается аналогичной.
Литература
1. Васильев Д.В., Чуич В.Г. Системы автоматического управления (примеры расчета ). – М.:
Высшая школа, 1967, 418с.
2. Адамбаев М.Д. Математические методы идентификации.- Алматы: Комплекс, 2005, 179 с.
2 , 0 1 , 5 0
0 , 1 5 , ln 0
1
; 2 , 0 1 , 5 0
0 , 1 5 , 0 ln
1
2 2
2
1 1
1
j j t
T
j j t
T
) 2 , 0
; 1 , 0 (
k
t
t 5
мин
t
129,3
k e t t
t
1 1 cos sin
sin0,2 5
2 , 0
1 , 5 0 2 , 0 cos 1
1 3 ,
29 k e 0,15
70
k м час град
/
2 0,2 0,05 0,05 70
2
dt d dt
d
;
;
;
/
час 0C t минм
; / 224 ,
2
0
1
0
рад мин
45 , 234 0 , 0 2
2 , 0 2
02
1
