Кейбір дифференциалдық операторлардыың қисынды тарылуының вольтерлік болуы туралы

, яғни , теңдеулер жүйесінің шешімдерінің жиыны кӛпмүшеліктерімен анықталған V аффиндік кӛпбейнелік болады. Яғни

параметризациямен берілген қисық аффиндік кӛпбейнелік болады.

(б) Алдымен кез келген кӛпмүшелікті

(1) түрде жаза алатынымызды кӛрсетейік. Мұндағы сақинасының қандай да бір кӛпмүшеліктер, ал r тек х-тен ғана тәуелді кӛпмүшелік. Айталық, f = болсын. Онда биномиалды формула бойынша

= ,

g,q - қандай да бір кӛпмүшеліктер. Осыдан

= ,

қандай да бір кӛпмүшеліктер. Яғни (1) шарты орындалады. кӛпмүшелігі түрдегі мономдардың R-сызықты комбинациясы болғандықтан (1) шарттың орындалатындығы айқын.

- кӛпмүшеліктің жіктелуі болсын. r=0 болатындығын дәлелдеу үшін V қисықтың параметризациясын қолданамыз. V-да f нӛлге тең болғандықтан, онда

.

Осыдан - нӛлдік кӛпмүшелік. Онда . Лемма 1 бойынша . Сондықтан, .

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. D.Cox, J.Little, D. O’Shea. Ideals, Varities, and Alghorithms (third edition) // Springer, 2007, 687 p.

2. Винберг Э.Б. Начала алгебры. – М.: МЦНМО, МК НМУ, «УРСС», 1998, 192 c.

УДК 517.946

КЕЙБІР ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ОПЕРАТОРЛАРДЫЫҢ ҚИСЫНДЫ ТАРЫЛУЫНЫҢ ВОЛЬТЕРЛІК БОЛУЫ ТУРАЛЫ

1Берикбай Мирахан, ²Бахытжан Шайзат, ³Ыдырыс Жәнібек

1bmirazhan@mail.ru, ²b.shaizat@yandex.ru, ³zhanibek888@ymail.ru

Л.Н.Гумилев атындағы ЕҰУ механика-математика факультетінің магистранттары, Астана, Қазақстан

Ғылыми жетекшісі – ф.-м.ғ.к. Райхан М.

Кейбір дифференциалдық операторлардың ӛзіндік мән мен ӛзіндік функцияға байланысты болған қисынды тарылуларының спектралдық қасиеттерін зерттеу үшін, алдымен сол ӛзіндік мәндердің бар болуын яғни, вольтерлік емес екеніне кӛз жеткізуге керек болады. [1] жұмыста жалпы абстрактті операторлардың қисынды тарылулары мен кеңеюлері туралы негізгі нәтижелер алынған. Осы [1] жұмыстағы негізгі нәтижелерге сүйене отырып, [2] жұмыста бірінші ретті дифференциалдық оператордың вольтерлік қисынды тарылулары

. ,

3 2

4 1

x y f

x z f







 0

) , , ( ) , ,

( ₂

1 x y z  f x y z 

f zx⁴  yx³ 0

2 1, f f ) , ,

(t t³ t⁴ V R³

] , , [x y z R f 

r x z h x y h

f  ₁(  ³) ₂(  ⁴)

2 1,h

h R[x,y,z]





y z x





y z

x x^(x³(yx³))^(x⁴(zx⁴))^  x^(x^3 g(yx³))((x^4 q(zx⁴))





y z

x h₁(yx³)h₂(zx⁴)x^{34}

2 1,h

h f R[x,y,z]





y z x

r x z h x y h

f  ₁(  ²) ₂(  ³)



^t,t3,t4





^{, ,}



^{0 0 ( )}

0 f t t² t³   r t )

(t

r yx³,zx⁴  I(V)

) (

, ⁴

3 z x I V

x

y   yx³,zx⁴ I(V)

тек кейбір xd



0d 1



нүктелеріндегі Коши есебі болатындығы кӛрсетілген. [3] жұмыста y

) x ( q dx y

) d y (

l  

2

2 операторының вольтерлік қисынды тарылулары үшін критерии жасалынған. Бұл жұмыста біз [3] жұмыстағы негізгі нәтижені пайдаланып, нақтылы мысалдар кӛрсетеміз.

Тӛмендегі дифференциальдық ӛрнекпен берілген L^~ максимальды операторының қисынды тарылуы L -ді қарастырайық:

 

1

2 2

,

y ) x ( q dx y

) d y (

l  

мұндағы,

q ( x )

- ұзіліссіз комплекс мәнді функция. Барлық L₂(0,1) -де анықталған кері оператор тӛмендегідей болады:

. dt ) x ( ) t ( f ) x ( s dt ) x ( ) t ( f ) x ( c f L f

L^{ } _c^{ }



^{ }



^{1 }

0

2 1

0

1 1

1

Мұндағы c(x), s(x)KerL^{~ ,}

L

_c- операторы x0 нүктесіндегі Коши есебі мен анықталған, )

, ( L ) x ( ), x

( _{2 2} 01

1  

 элементтері осы тарылуды бірден-бір болатынын анықтайды. L операторының анықталу облысы келесі жиын түрінде жазылады:

 

 

_^













































1

0

2

1 2

2 01 0

dt ) t ( ) t ( y ) t ( q ) t ( y

) ( y , dt ) t ( ) t ( y ) t ( q ) t ( y y(0)

), , ( W y(x) : ) x ( y ) L ( D

''

' 1

0 ''

Келесі ұйғарым барлық вольтерлі қисынды тарылуды анықтауға арналған.

Теорема 1. (1) арқылы анықталған максималды оператор

L ~

-дің q

 

x 0 болған кездегі

қисынды тарылуы

L

-волтерлік болуы үшін

 

^



¹



²

   

^{1 }

 

^{ }

 

^{ 1}

   

^{2 }



^

 

^

0 1 0

x

dt x

t t x

t x t t

ф x     ,0x1 болуы қажетті және

жеткілікті, мұндағы ₁

   

t ,₂ t L₂

 

0,1 .

Осы жұмыста біз



₁

( t )  a

₁

t

³

 a

₂

t

²

 a

₃

t  a

₄,



₂

( t )  b

₁

t

³

 b

₂

t

²

 b

₃

t  b

₄ дербес жағдайын алып қарастырамыз. Ол үшін ₁

 

x пен ₂

 

x - ті жоғарыдағы Ф₀

 

x 0 теңдігіне қойып,белгісіз коэффиценттерді анықтсақ тӛмендегідей теңдеулер жүйесін аламыз.





































































































































0 60

30 20

15 30

20 15

12

0 ) 1 (

60 ) 1 ( 60 ) 1 3

( 20 ) 1 4

2 ( 15 ) 20 10

4 ( 3 ) 15 5

3 ( 4

, 0 )

2 2

3 ( ) (

) 2

( ) 2 (

) 2 2

3 1 (

0 ) 2 (

3 ) 3 (

2 ) 1 ( 2 ) 3 1 (

0 2

6 ) 1 2 ( 3 ) 2 1 (

0

0

3 4 3

4 4

3 2 4

3 1 4

3 2

1 4

3 1 2

3 3 2

1 4 1 3 2 2 1 3 3 2

1 3 2

1 4

4 3

1 4

2 1 1

2 1

3

3 2 1

4 4

1 3

2 1

1 2 2 1

a a

a a

b b

b b

a b b

a a

a b a

a b b

b b

a b

b b a

a b b

b a b b a b b a b b

a a a

a b

a a

b b

b a b

a a

b

b a b a b

a a

b b

b a b a

Осы жүйені ―Mathematica‖ бағдарламалық пакетінің кӛмегімен шешеміз.

Solve[{a1*b2-a2*b1 0,b1 0,b2*(1+2*a3)+3*a1*(2*b4-1)-6*a4*b1-2*a2*b3 0,b3*(1- 3*a1)+2*a2*(b1-1)-

2*a1*(b2+3*b4)+3*b1*(a3+2*a4) 0,b4*(1+3*a1+2*a2+2*a3)+a1*(b2+2*b3)- a3*(2*b1+b2)+a2*(b3-b1)-a4*(3*b1+2*b2+2*b3)-a3 0,4*a2*(3*b1-5*b3-15*b4)- 3*a1*(4*b2+10*b3+20*b4)+15*b1*(2*a3+4*a4-1)+20*b2*(a3+3*a4-1)+60*a4*(b3-1)-

60*b4*(a3+1) 0,12*b1+15*b2+20*b3+30*b4+15*a1+20*a2+30*a3+60*a4 0},{a1,a2,a3,a4,b1,b 2,b3,b4}]

Solve::svars: Equations may not give solutions for all "solve" variables.

- -1-b2²)/(2 b2)},{a1 -

(b4/(- -b4²)/(-

Осы шешімдер жиынындағы мәндерді таңдап алу арқылы нақтылы коэффиценттерді белгілейміз.

1)

a

₁

 0

,

a

₂

 0

,

2 1

3

 

a

,

2 2

4

4

1 b a  b



1

 0

b

,

b

₃

 0

,

2 2 2

4

2

1 b b   b



1

 0

a

,

a

₂

 0

,

2 1

3

 

a

,

2 1

4

 a

1

 0

b

,

b

₂

 1

,

b

₃

 0

,

b

₄

  1

Осыдан



₁

( t )  a

₁

t

³

 a

₂

t

²

 a

₃

t  a

₄ ,



₂

( t )  b

₁

t

³

 b

₂

t

²

 b

₃

t  b

₄ болғандықтан

2 1 2 ) 1

1

( x   x 



;



₂

( x )  x

²

 1

. Осы



₁

( x )

пен



₂

( x )

-ті

 ^{ }



¹

0

1

( ) ) ( )

0

( y x x dx

y 

,

^{ } 

¹

^{ }

0

2

( ) ) ( )

0

( y x x dx

y 

шектік шарттарға қойып есептесек ,

) 0 2 ( ) 1 1 2 ( ) 1 0 2 ( ) 1 2 ( ) 1 0 2 ( 1

) 2 (

) 1 1 )(

2 ( ) 1

1 )(

2 ( ) 1 0 (

1 0

1

0 1 0 1

0

y y

y x

y y

dx x y x

x y dx x

x y y



 



 





 



 



 

  

) 1 ( ) 0 ( )

0

( y y

y    











 







 





 

 







 



 

1

0 1

0 1 0

1

0 1 0 2

1

0

2

) ( 2 ) 1 ( 2 ) 0 ( )

( 2 ) ( 2 ) 0 (

) ( 2 ) ( ) 1 (

) 1 )(

( )

0 (

dx x y y

y dx x y x

y x y

dx x x y x

y x

dx x

x y y





 

¹

0

) ( )

1 ( ) 0

( y y x dx

y

,

 



 







 







 



 





 

 











¹

0 1

1 0

0

( 0 ) ( 1 ) ( )

) ( ) 1 ( 2 ) 0 ( )

( ) 1 ( ) 0 (

) 1 ( ) 0 ( )

0 (

dx x y y

y

dx x y y

y dx

x y y

y

y y

y

Енді

 

 





 







 







 







1

0 1

0

) ( ) 1 ( ) 0 (

) ( ) 1 ( 2 ) 0 (

dx x y y

y

dx x y y

y

y

y 

есебінің вольтерлік екенін кӛрсетеміз .

y y   



теңдеуінің жалпы шешімі



 x c  ^x c

x

y sin

cos )

( 

₁



₂ , енді

 ( x ) 

анықтауышты есептейміз ,

y  ( x )   c

₁

 sin  x  c

₂

cos  x

болса ,онда

0 ,

0 sin cos )

0

( c

₁

c

₂

c

₁

y     



 

2 2

1

sin 0 cos 0

) 0

( c c c

y          

.

sin ,

cos )

1

(

_{1 2}



 c  c

y  

, )

( sin )

cos ( 2 ) 0

(

₁

1

0 2

1

c y x dx c

c

y   ^  _ ^   

2 1

0 2

1

sin ( )

cos )

1 ( ) 0

( y c c y x dx c

y    ^  _ ^   

 



 



























0 )

( cos

sin ) 1 (

0 )

sin ( 2 ) cos 2 1 (

1

0 1

2

1

0 2

1

dx x y c

c

dx x y c

c

 





 

cos 0 sin ) 2

1 sin )(

cos 2 1 sin (

1 cos

sin cos 2

2 1 )

(     





 

 







 



 



  x

2 1 2 1

1

  

 ( x ) x

,



₂

( x )  x

²

 1

болғанда, минималды оператордың кеңеюі болмаған, яғни шеттік есеп болмаған волтерлік қисынды тарылуларын алдық. Сонымен екінші ретті

дифференциалдау операторымен анықталған максималды оператор

L ~

-дің волтерлік қисынды тарылуларын бӛліп алдық.

Қолданылған әдебиеттер тізімі

1. Отелбаев М., Кокебаев Б.К., Шыныбеков А.Н. К теории сужения и расширения операторов. // Изв. АН КазССР. Сер.физ. – мат, № 5, 1982, С. 24–26.

2. Отаров Х.Т. Спектральные свойства корректно и везде разрешимых расширений и сужений обыкновенных дифференциальных операторов //

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Алматы. 1986.

3. Бияров Б.Н. О спектральных свойствах корректных сужений и расширений одного класса дифференциальных операторов // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Алматы. 1989.

УДК 517.95

ҤШІНШІ РЕТТІ НҦҚСАНДЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ ЖАЙЛЫ Ескабылова Жулдыз Бериковна

juli_e92@mail.ru

Л.Н.Гумилев атындағы ЕҰУ Іргелі математика кафедрасының магистранты, Астана, Қазақстан

Ғылыми жетекшісі – Қ.Н. Оспанов Келесі

 

( ) " ( )

''

' r x y f x

y

Ly   (1) үшінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеуін қарастырайық. Мұндағы x(,),

r

- нақты мәнді функция, ал f L₂(,), L₂(,) - нормасы

2 / 1 2

2 ( ) 





^







dx x y y

болатын гильберт кеңістігі.

Егер yL₂(,) функциясы үшін үш рет үзіліссіз дифференциалданатын және финитті функциялардың

  y

n ^_n1 тізбегі табылып, n шексіз ӛскенде lim 0

2

 

 y_n y

n ,

0

lim  2



 Ly_n f

n қатыстары орындалса, онда y (1) теңдеуінің шешімі деп аталады.

Үшінші ретті дифференциалдық теңдеулерге ақпаратты сақтап қалуға қабілетті ортада ӛтетін процестерді зерттеу есептері, жиектік қабат теориясының модельдік есептері келтіріледі [1,2]. Осы кезге дейін шексіз аралықтағы үшінші ретті сызықты дифференциалдық теңдеулердің ішіндегі кӛптеп қарастырылғаны

) ( )

'' (

' q x y f x

y

Ly  

түріндегі теңдеу, бұл жерде q

 

x 1 деп есептеледі. Оған байланысты кейбір зерттеулер мен басқа да әдебиеттерге сілтемелер кӛптеген мақалаларда [3] келтірілген.

   





 



  _

 

  ( , ) ( ,0)

) 0 , ( ) , 0 0 (

, max sup _{2 2} ,sup _{2  2}



 L x L x L L

x v

p p v p v

деп белгілейік. Мұндағы p және v нормалар мағыналы болатын функциялар. Жұмыста мына тұжырым дәлелденген.