М. Б. Муратбеков, М. Отелбаев

М. Б. Муратбеков, М. Отелбаев У Д К 517.988 Г Л А Д К О С Т Ь И А П П Р О К С И М А Т И В Н Ы Е С В О Й С Т В А Р Е Ш Е Н И Й

О Д Н О Г О К Л А С С А Н Е Л И Н Е Й Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й Т И П А Ш Р Е Д И Н Г Е Р А

В работе рассматривается нелинейный дифференциальный оператор

Lu = ^{— Ди +} д (х, и) и (0.1)

в п р о с т р а н с т в е L²^ L²(R% который при д(х, и) = д(х) является стационар­

ным оператором Шрёдингера. З д е с ь А — о п е р а т о р Лапласа, x = (x^v х², x³)£R³. Нас будет интересовать вопрос существования гладкого решения урав­

нения Lu = f^L²(R³), а т а к ж е поведение д-поперечников по Колмогорову множества

В задаче о гладкости решения уравнения Lu = f £ /_²(R³) нас будет инте­

ресовать вопрос, когда вторые производные функций и(х) принадлежат L²(R³).

Решение такого вопроса является трудным уже в линейном случае [1], [2], если потенциальная функция неограничена. Когда вместо R³ рассматривается ограниченное множество, эта задача хорошо изучена и выяснены типичные трудности, встречающиеся в связи с плохим поведением д (х, и) [3].

Указанную задачу мы решаем сведением к линейному случаю и Дальней­

шим использованием результатов работы [4]. Теоремы о существовании глад­

кого решения используются для получения двусторонних оценок /г-попереч- ников по Колмогорову множества М. Д в у с т о р о н н и е оценки поперечников множеств, связанных с нелинейными уравнениями в R³, по-видимому, в этой работе получены впервые. О значимости наличия оценок, характеризующих аппроксимативные свойства решений, см. [5].

В работе принята двойная нумерация (номер параграфа, номер теоремы, леммы). Введем следующие обозначения: /_)(•) — область определения, / ? ( • ) - область значения, ||-|²— норма элемента Z²= L²(R³), Wi =W^l2(R³) — пространство Соболева со скалярным произведением (•, •) и нормой | | - |^{2 i}/ , /-^{2 1 о с}— м н о ж е с т в о функций, модуль квадрата которых интегрируем локально в R³, С(R³) — про­

странство непрерывных функций с обычный нормой, с^й, с^х, с², ... — различные постоянные числа.

§ 1. Разделимость нелинейного оператора Шрёдингера

Рассмотрим нелинейный оператор Шрёдингера, определенный в L² ра­

венством (0.1) с областью определения D (/_) = {и £Wl '• Lu £ L²\. Следуя Эве р и т т у и Гирцу [1], [2], оператор L назовем разделимым в L², если из u^D(L) следует — A « £ Z² или эквивалентное ему включение д(х, u)u£L². Будем предполагать, что функция д(х, и) полуотраничена снизу. Д л я наших целей, не ограничивая общности, можно с ч и т а т ь д(х, и)>\.

Рассмотрим уравнение /_.« = f£L². Функция u£L² называется слабым ре­

шением уравнения Lu = f, если существует п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь \и^п) ^_W\[\

Наглое такая, что | | и^п — и||²_ ^{1 о с} —• 0, | | L uⁿ — /1|^{2 ] 1 о с}- > 0 при й—>оо.

Л е м м а 1.1. Пусть q(x, и) непрерывна на любом компакте из R³ X R Тогда для любого f^L² существует слабое решение уравнения Lu = /, ко­

торое удовлетворяет неравенству

(0.2)

« " | |

^{C ( W}

+ b | |

^{2 > l}

< c | | / | !

²

,

_(1-1)

где положительная постоянная с не зависит от / .

44

Д о к а з а т е л ь с т в о . П у с т ь q^N(x, и) —функция, равная q (х, и), если q(x, u)<N, и равная N, если q(x, u)>N. Из леммы 1.1 работы' [6] следует,

что уравнение — Au + q^N(x, и)и = /£Ь² имеет решение u^N£W\[\W2,юс-

Линейный оператор L^N, определенный равенством L^Nu =— Аи + q^N(x)и, q^N(х) == q^N(x, u^N(x))> 1, самосопряжен [7]. П о э т о м у уравнение L^Nu = f имеет единственное решение в L², которое совпадает с u^N.

Для доказательства леммы 1.1 воспользуемся известной

Л е м м о й 1.2 [8]. Пусть 0 < q^x (х) <с q²(x); q^x(x), q²(x)£L^2loc(R³). Тогда

I

^{Z-2- 1 IJ2—2}

^ II^•Г

¹

||

²

_

^>2

'

^и любого x^R³ выполнены неравенства | Zf¹ и | (я) <

< (Z-Г¹1 и I) (•*), i = l , 2, (Lf¹\u\)(x)<(Li^l\u\){x), где LT¹ и Lu¹—операторы, обратные к операторам L^x = — А + q^x (х), L² = — А + q² (х) соответственно.

Выбирая q^x(x) = \, q²(х) = q^N(х), получим

\u^N\ = \LK¹f\(x)<(Lu^l\f\)(x)<Lo¹\/\, (1.2) где Lo¹ — оператор, обратный кооператору L⁰ = —А + 1.

Далее, известно, что оператор LQ¹ действует из L² в W\. Поэтому в силу теорем вложения Соболева и соотношений (1.2) имеем ,

II «лг (•*) II с^{№ )}< ^ о II / l b . (1-3) где с⁰ не зависит от N и / . С другой стороны, имеет место оценка

I K b <

^c

i l l / l l 2 > (1-4)

в которой с^х не зависит от N ж /. Д е й с т в и т е л ь н о , составим скалярное про­

изведение (Lu^N, u^N); интегрируя по частям, получим (1.4). Из (1.3) и (1.4) будем иметь \\u^N\\ ³ + ||u^N|^{2> х} < с\ f |², где с = 2 т а х ( с¹, с²). На основании э т о й оценки, стандартно рассуждая, получаем, что можно выбрать подпосле­

довательность « д , такую, что u^N(x) при / V — > о о имеет предел и(х), который является слабым решением уравнения Lu — f ъ. удовлетворяет оценке (1.1).

Лемма доказана.

Т е о р е м а 1.1. Пусть выполнены следующие условия:

1) q(x, и) > 1 — непрерывная функция по совокупности переменных в R³XR;

li) sup sup ^q^^x' ^Сз^ < F(A) < 00, где А —любая конечная величи-

I х-у | < 1 | с,-с, | < А 9 (У, С4)

на, F(А) — непрерывная функция от А.

Тогда: а) существует решение уравнения Lu = f^L² такое, что q(x, и)и, Аи £ L²,

б) если г (х) — непрерывная функция в R³ и для любого К У 0 величина В = sup sup sup \yf^p [\r{t)f dt]¹¹* . ,

конечна, mo r(x)du/dx^t^L^lj(R^s), i = l, 2, 3 (2 < 9 < 00,,/? = — 6/2).

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу леммы 1.1 для уравнения 1м = / 6 ^ 2 су­

ществует решение и ( л ) , удовлетворяющее (1.1). Положим q(x) = q(x, и(х)) и рассмотрим линейное уравнение

Lu = — Аи-\-q(x)u=.f. (1.5) Так как <7 (•*) 6 £², ,^{о с и} # ( • * ) > 1> то оператор I самосопряжен и уравнение

(1.5) имеет единственное решение, которое совпадает с и(х), т. е. u(x)(ⁱD(L).

45

Далее, в силу условий 1 ) , И) теоремы для оператора L выполнены все усло­

вия теоремы 5.1 работы [4]. Следовательно,.оператор L разделим, т. е. | — Ди||² + + \\q(x)u\\² < с(1 Lu\\² + |и11²), где с не зависит от, и£/_) Щ.

П у н к т б) теоремы вытекает из п. а) и теоремы работы [ 4 ] .

§ 2. Оценки поперечников множества М

Обозначим через d^k ^-поперечник по Колмогорову множества М, опреде­

ленного равенством (0.2), в пространстве L²(R^a).

Напомним, что

d^k='mf sup inf \\u — v\\², {Xk} «еж veXk

где infimum берется по всем подпространствам X^k в L² размерности k.

Через N(k) обозначим количество поперечников d^k, больших X > 0, т. е.

функцию распределения d^k.

Основным результатом этого параграфа является следующая

Т е о р е м а 2.1. Предположим, что q (х, и) удовлетворяет условиям 1 ) , ii) теоремы 1.1. Тогда справедливы оценки сдС mes (x:q(x, 0 ) < Л " ' ) <

<N(k) < с²X~~^3/2mes (х: q(х, 0) < с⁰Х^{- 1}) , где с^х и с² — постоянные, вообще го­

воря, зависящие от Т, а с⁰ — постоянное число, не зависящее от q (х, 0).

Д л я доказательства теоремы 2.1 нам необходимо несколько лемм.

Л е м м а 2.1. Пусть функция q(x, и) удовлетворяет условиям i), ii) теоремы 1.1. Тогда найдется такое число К{Т), что MczMcziM, где

Ж = {u£L²(R^a):\\-Au\\l + \\q(x, и)и$<К(Т)}, М= {u£L²(R^B):2(\\-Au\\l + \\q(x, u)ut²)<T}.

Д о к а з а т е л ь с т в о левого включения непосредственно следует из неравен­

ства треугольника.

П у с т ь и £ М . Тогда, как и при доказательстве леммы 1.1, имеем И"и&*.) ⁺ <4-Au + q{x, и)и\\².

Следовательно,

s u p| | M| U „ⁿ < с-Т.

ием ^'

Далее, пользуясь условием ii), для любого и£М имеем

F"¹ (c-T)q(x, 0)<q(x, u(x))<F (с-Т) q (х, 0). (2.1) В силу леммы 1.2 и соотношений (2.1) получаем

\\q(x)L-^l\\^2<\\F(cT)q(x, 0)L-¹\\²<F(c-T)\\q(x, OUo¹!,, (2.2) где L~\ Ц~¹ — операторы, обратные операторам L = — Д + q (х⁰), Z ,⁰= —Д +

+ F~^x(C'T)q{x, 0) соответственно, q(х) = q(х, и(х)), и(х)(^М. Отсюда и из теоремы 1.1 непосредственным вычислением для всех и^М находим

46

\\q(x, u)u\²<F^x(T). (2-3) Из неравенства (2.3) следует, что || — Ли ||2 < || — Дй + q (х, и) и ||2 + | q (х, и) и ||2 <

<F2(T), где F2(T) = Т + Fx ( Г ) . П о э т о м у || - А«||I + ||q(х, и)и(2<К(Т) для всех ц£М, где /^(7") = 2F\{T). Последняя оценка доказывает лемму 2.1.

Л е м м а 2.2. Пусть функция q(x, и) удовлетворяет условиям i), ii) теоремы 1.1. Тогда М<=§, где В = {и £L² (R³): \\ — А Й Ц² + Wq (х, Q)uf² < К^х (Т));

К^х ( Т ) — положительное число, зависящее от 7 , здесь К (Г) < К^х (Т).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Можно у б е д и т ь с я , как и в предыдущем случае, что для всех и£М справедливо | | K |^C(^ < с-К(Т). П о э т о м у для всех и£М верно неравенство (2.1). Если теперь п о л о ж и т ь К^Х{Т) = F²(с• К(Т))• К(Т), то н е т р у д ­ но убедиться в справедливости леммы 2.2.

Л е м м а 2.3. Пусть функция q(x, и) удовлетворяет условиям i), ii) теоремы 1.1. Тогда D = {u£L² (R³): [| — Аи |1 + || q (х, 0 ) и | 1 < К²(Т)} czAf, где К2{Т) — положительное число, зависящее от Т, такое, что 2К2 (Т) < Т.

Эта лемма доказывается точно так же, как и лемма 2.2.

Обозначим через dk, dk соответственно ^-поперечник множества М и k-no- п е р е ч н и к множества В = {и£L2(R3): || — A«||i + \\q(х, 0)и\§ < 1}.

Л е м м а 2.4. Пусть выполнены условия i), ii) теоремы 1.1. Тогда С¹ d^k < d^k <L,cd^k, где с~¹, с зависят от Т.

Д о к а з а т е л ь с т в о следует из свойств поперечников и лемм 2.1 —2.3.

Из определения Л/(Х) легко выводится

Л е м м а 2.5. Пусть N(k) — количество d^k, больших X > 0. Тогда N(c-l) <

< 7 V ( X ) < y V ( c -I. X ) .

Теперь доказываемая теорема 2.1 следует из ,лемм 2.1 — 2.5 и теорем работы [9].

П р и м е р . Возьмем q(x, и) = |х| + |и| + 1. Тогда в силу теоремы 2.1 для функции распределения поперечников множества М = {u^Wl(R³): | — Дм + + q (х, и) и\\² < 1} справедлива оценка c~^ll~⁹¹² < N(k) < еХ~^{9 / 2}.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. E v e r i t t W. Н . , Q i e r t z М. Some p r o p e r t i e s of the domains certain differential o p e ­ r a t o r s // Proc. London M a t h . Soc— 1971.— V. 2 3 . — № 2 . — P . 301—324.

2. E v e r i t t W. H., Q i e r t z M. Some inequalities associated with certain ordinary- differential o p e r a t o r s / / M a t h . Z.— 1972.—V. 126.—№ 4 . — P . 308—326.

З . Л а д ы ж е н с к а я О. А., У р а л ь ц е в а H. H. Л и н е й н ы е и к в а з и л и н е й н ы е у р а в н е н и я э л л и п т и ч е с к о г о т и п а . — М . : Наука, 1973.— 576 с.

4. О т е л б а е в М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических у р а в н е н и й в Я „ / / Т р . Матем. ин-та АН С С С Р . — 1983.—Т. 1 6 1 . — С . 195—217.

5. Т е м а м Р. Уравнение Навье — Стокса.— М.: Мир, 1981.—408 с.

6. Б е р г и б а е в А., М у р а т б е к о в М. Б. Гладкость решений нелинейного стационар­

ного уравненияЦШрёдингера // Применение методов функционального анализа к неклассическим уравнениям математической ф и з и к и . — Н о в о с и б и р с к , 1083-— С. 33—45.

7. Л е в и т а н Б. М., О т е л б а е в М. Об условиях самосопряженности о п е р а т о р о в Ш р ё ­ дингера и Д и р а к а / / Т р . Моск. матем. о-ва.— 1981.—Т. 42.—С. 142—159.

8. К о в а л е н к о В. Ф., С е м е н о в Ю . А. Н е к о т о р ы е вопросы р а з л о ж е н и я по обоб­

щенным собственным функциям оператора Ш р ё д и н г е р а с сильно сингулярными потенциалами //

У М Н . - 1 9 7 8 . - Т . 3 3 . - № 4 . - С . 1 6 - 1 9 .

9. О т е л б а е в М. Теоремы вложения пространств с весом и их применения к изучению спектра оператора Ш р ё д и н г е р а / / Т р . Матем. ин-та АН СССР.— 1 9 7 9 . — Т . 1 5 0 . — С . 265—305.

,г. Д ж а м б у л Поступили первый вариант 12.12.1984

окончательный вариант 12.05.1988

47