ЗАДАЧА НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕОГРАНИЧЕННОГО ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ СТЕПЕНЕЙ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА И ПЕРЕСТАНОВОЧНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Л.Н. ГУМИЛЕВ АТЫНДАҒЫ ЕУРАЗИЯ ҰЛТТЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

Студенттер мен жас ғалымдардың

«Ғылым және білім - 2014»

атты IX Халықаралық ғылыми конференциясының БАЯНДАМАЛАР ЖИНАҒЫ

СБОРНИК МАТЕРИАЛОВ

IX Международной научной конференции студентов и молодых ученых

«Наука и образование - 2014»

PROCEEDINGS

of the IX International Scientific Conference for students and young scholars

«Science and education - 2014»

2014 жыл 11 сәуір

Астана

УДК 001(063) ББК 72

Ғ 96

Ғ 96

«Ғылым және білім – 2014» атты студенттер мен жас ғалымдардың ІХ Халықаралық ғылыми конференциясы = ІХ Международная научная конференция студентов и молодых ученых «Наука и образование - 2014» = The IX International Scientific Conference for students and young scholars «Science and education - 2014».

– Астана: http://www.enu.kz/ru/nauka/nauka-i-obrazovanie/, 2014. – 5830 стр.

(қазақша, орысша, ағылшынша).

ISBN 978-9965-31-610-4

Жинаққа студенттердің, магистранттардың, докторанттардың және жас ғалымдардың жаратылыстану-техникалық және гуманитарлық ғылымдардың өзекті мәселелері бойынша баяндамалары енгізілген.

The proceedings are the papers of students, undergraduates, doctoral students and young researchers on topical issues of natural and technical sciences and humanities.

В сборник вошли доклады студентов, магистрантов, докторантов и молодых ученых по актуальным вопросам естественно-технических и гуманитарных наук.

УДК 001(063) ББК 72

ISBN 978-9965-31-610-4 © Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық

университеті, 2014

2084

,

так как по свойству функции Грина и

. Так же по лемме 1 [2] .

, так как функция является дважды дифференцируемой функцией.

Проверим третье условие

.

Здесь , так как функция

является дважды дифференцируемой функцией. Также по лемме 1 . Проверим четвертое условие

.

Здесь , так как функция

является дважды дифференцируемой функцией. Также по лемме 1 . Теорема полностью доказана.

Список использованных источников

1. Кангужин Б.Е., Анияров А.А. Корректные задачи для оператора Лапласа в проколотом круге // Матем. заметки. – 2011. – 89:6. – С. 856–867.

2. Кангужин Б.Е., Анияров А.А., Берикханова Г.Е. Конечномерные возмущения задачи Дирихле с многоточечными краевыми условиями // Вестник КарГУ. Серия математика. – Караганда: КарГУ, 2010. – №2. – С.60-72.

УДК 517.5

ЗАДАЧА НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ НЕОГРАНИЧЕННОГО

ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ СТЕПЕНЕЙ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА И ПЕРЕСТАНОВОЧНЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

Биличенко Роман Олегович bilichenkoroma@rambler.ru

Доцент кафедры математического анализа и теории функций Днепропетровского национального университета им. О. Гончара,

Днепропетровск, Украина Научный руководитель – В.Ф. Бабенко



( , , , )



2< , > ( , , , ), 0

>

,

< _{1 1 0 0}  ₁  _{0 0 1} 

 f   G x y x y f  G x y x y 



^{x y}

  

^{f d d f}

 

^{x y}

G , , , ,  ,

























^{( , ,} 0^, 0⁾



⁰

G x y x y 1



G⁽x^,y^,x0^,y0⁾



²



, , ,

  

, 0

1 



 





















 G x y f d d

    



 G x y   f   dd y

x

u( , ) , , , ,



, , ,

  

, 2< , >



( , , , )



0

= )

( _{2 1 2 0 0}

2  



 









y x y x G f

d d f

y x G

W         





, , ,

  

, 0

2 



 





















 G x y f d d

    



 G x y   f   dd y

x

u( , ) , , , ,



^{( , ,} ₀^, ₀⁾



⁰

2 G x y x y 





, , ,

  

, 2< , >



( , , , )



0

= )

( _{3 1 3 0 0}

3  



 









y x y x G f

d d f

y x G

W         





, , ,

  

, 0

3 

























 G x y f d d

    



 G x y   f   dd y

x

u( , ) , , , ,



^{( , ,} ₀^, ₀⁾



⁰

3 G x y x y 



2085

Задача о наилучшем приближении неограниченного оператора ограниченными линейными операторами на классе элементов банахова пространства впервые появилась в 1965 году в работе С.Б. Стечкина [1]. В своей работе [2] 1967 года Стечкин дал постановку задачи и решил ее для операторов дифференцирования невысоких порядков.

Приведем постановку задачи Стечкина. Пусть X,Y– банаховы пространства, Y

X

A: → — некоторый оператор с областью определения D( )A ⊂X; S(N) – множество линейных ограниченных операторов T:X →Y, нормы которых не превышают числа N >0;

( )_A D

Q⊂ — некоторый класс элементов. Величина

( )N ( ) ^Y

E = inf supAx-Tx

∈Q N x

∈S T

(1) называется величиной наилучшего приближения оператора A множеством ограниченных операторов S(N) на классе Q.

Задача Стечкина наилучшего приближения оператора A на классе Q состоит в вычислении величины _E( )_N и нахождения экстремального оператора, т.е. оператора, реализующего нижнюю грань в правой части (1) (подробнее о задаче Стечкина см. также [3]).

Через L^r_2,2( )R , r∈N, обозначим пространство всех функций x∈L₂( )R , (r-1)-я производная которых локально абсолютно непрерывна и x^{( )r} ∈L₂( )R .

В 1968 году Л.В. Тайков [4] рассмотрел задачу Стечкина для оператора дифференцирования в следующей ситуации. Для x∈L^r_2,2( )R , k,r∈N, k < и числа r N >0 положим

( )

( ) ( )

( )R x C

N T x

U

r

T - x sup inf

= ^k

≤1

≤N

2

. (2)

Задача состоит в вычислении величины U_N и нахождении экстремального оператора, на котором в (2) достигается нижняя грань.

Л.В. Тайков установил, что для заданного числа N =ah^-k-12, h>0, где ,

2 1 + sin 2 2

2 1 -

= -

2

r r k

k a r

 справедливо равенство U_N =bh^r-k-12, где

. 2

1 + sin 2 2

2 1

= +

2

r r k

b k



Заметим, что эта задача эквивалентна задаче приближения неограниченного функционала x^{( )k} ( )0 на классе x∈L^r_2,2( )R : x^{( )r} ≤1 ограниченными функционалами.

Также Л.В.Тайковым получены неулучшаемые неравенства для x∈L^r_2,2( )R , оценивающие равномерную норму k-ой производной через L₂-нормы x и x^{( )r} , в аддитивной и мультипликативной формах. Приведем это неравенство в аддитивной форме.

Для любого h>0

^{( )}

( ) ( )

( ) ( ).

≤ +

2 2

2 1 - k - r 2

1 - -k

R L r R

R L C

k ah x bh x

x (3)

В 1990 году А.Ю. Шадрин [5] получил аналог неравенства Тайкова для периодических функций.

Пусть H — гильбертово пространство со скалярным произведением

(

x,y

)

и нормой

2086

(

,

)

¹²

= x x

x , A — линейный самосопряженный оператор в H, _D( )_A — область его определения, Q= x∈D

( )

A^r : A^rx ≤1 для r∈N. Для f ∈H , x∈D

( )

A^r и k∈N, k < , r положим F_f ( )x =

(

A^kx,f

)

.

В работе В.Ф. Бабенко и Р.О. Биличенко [6] показано, что для любого x∈D

( )

A^r и 0

> справедливо точное неравенство:

( )

(

,

)

+ , +

≤ 1 ₂ ^{2 2}

2

∫

^{d E f f x A x}

t x t

F ^r

R

r t k

f 

 (4) а также показано, что из неравенства (4) следует неравенство Л.В.Тайкова (3). Здесь E_t– разложение единицы, соответствующее самосопряженному оператору A (подробнее см. [7]).

Нами получено решение задачи наилучшего приближения функционала ( )x

(

A x f

)

F_f = ^k , линейными ограниченными операторами на классе

( )

: ≤1

= x∈D A A x

Q ^{r r} , что является обобщением результата Тайкова. Получены следующие результаты:

Теорема 1. Пусть k,r∈N, k < , r A — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H, f ∈H , числа N и h>0 связаны соотношением

( )

∫

^,

) + 1

= ( _{2 2}

2

R

r t k

f f E ht d

N t .

Тогда справедливо равенство

( ) ( )

( )

(

,

)

. )

+ 1

= ( -

sup inf

=

∫

2 2

+ 2

1 ∈ , ≤

∈ R

r t k r f

Q g x H

N g d E f f

ht h t

x g x F U

Теорема 2. Пусть k,r∈N, k < , r A — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H, f ∈H . Для любого x∈D

( )

A^r и h>0справедливо неравенство

( )

^{( )}

( ) (

,

)

.

) + 1 + ( ) ,

+ 1

≤ (

,

∫ ∫

2 2

2 2

2 + 2

x f f E ht d

x t A f f E ht d

h t f x A

R

r t k r

R

r t k r k

Неравенство обращается в равенство дл элемента

∫

^.

+

= 1 ₂

R

r t k

h dE f

ht x t

Пусть H — гильбертово пространство, A₁,A₂,...,A_n — линейные неограниченные попарно перестановочные операторы в H(см., например, [8, §6.5]), D

( )

A_i ,i=1,...,n – соответствующие их области определения. Согласно спектральной теории (подробнее см.

[7], [9]) существует единая спектральная мера E в H, которая называется совместным разложением единицы операторов A_i, i=1,...,n, определенная на борелевских подмножествах в Rⁿ, такая, что

∫

=

Rn

s i

i sdE

A ,i=1,...,n, s=

(

s₁,...,s_n

)

. Для



ⁿ

( )

i

Ai

D x

1

=

∈

( )

∫

^{... , .}

=

... ² ₁² ₂^{2 2}

2 1

Rn

s n

nx s s s d E x x

A A A Кроме того,

2087

∫

=

Rn

s m i m

i s dE

A , m∈N. Для любого



ⁿ

( )

i

k iⁱ

A D x

1

=

∈ , k_i ∈N, i=1,...,n и любого f ∈H можем записать

(

^{A A A x f}

)

^{s sk s}_n^{k d}

(

^E_s^{x f}

)

R k k

n k

k _n

n

n , = ... ,

... ^{1 2}

2 1

2 1 2

1

∫

^.

Для чисел r₁,..,r_n∈N и ₁,...,_n >0 определим класс Q элементов пространства H следующим образом

( )

: ≤1 .

= ∈

1

= =1

∑

2



ⁿ

i

n

i

r i i r

iⁱ Aⁱ

A D x

Q 

Для f ∈H и k₁,...,k_n∈N, k_i <r_i,i=1,...,n положим

( )

( ) n ( )

i

r i k

n k

f x f A A ⁿx x D Aⁱ

F

1

=

1 ... , ∈ .

,

= ¹

Нами рассмотрена задача наилучшего приближения функционала F_f на классе Q линейными ограниченными функционалами, т.е. задача, состоящая в отыскании величины

( )x g( )x F

U _f

Q g x H

N =g inf sup -

1 ∈ , ≤

∈ , N >0.

Для операторов A₁,A₂,...,A_n и соответствующего им разложения единицы E_s и заданного элемента f ∈H определим функцию _( )_{h , h>0}, следующим образом

( ) d

(

E f f

)

s h

s

h _s

n

i

r i i n

i k i

i i

, )

+ 1 (

=

2 1

= 2 1

= 2

∑

∏



 .

Положим также

( ) d

(

E f f

)

s h

s s

h _s

n

i

r i i n

i

r i i n

i k i

i i i

, )

+ 1 (

=

2 1

= 2 1

= 2 1

= 2

∑

∑

∏





 .

Нами доказаны следующие две теоремы.

Теорема 3. Пусть k_i,r_i∈N, k_i < r_i, i=1,...,n, A_i — неограниченные попарно перестановочные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве H, f ∈H , числа N и h>0, связанны соотношением _{N =}( )_h . Тогда справедливо равенство

( )- ( ) = ( ). sup

inf

=

1 ∈ , ≤

∈ F x g x h h

U _f

Q g x H

N g 

Теорема 4. Пусть k_i,r_i∈N, k_i < r_i, i=1,...,n, A_i — неограниченные попарно перестановочные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве H. Тогда для любого



ⁿ

( )

i

r iⁱ

A D x

1

=

∈ и любого h>0 справедливо неравенство:

(

... ,

)

= ^{( )}

∑

+ ^{( )} .

1

=

2 2

1

2

1A A x f h h A x h x

A

n

i

r i i k

n k

k _n   _i  (5) Неравенство (5) обращается в равенство для элемента

2088

. +

1

=

∑

∏

1

= 2 1

= 2

f dE s

h s

x _s

n

i

r i i n

i k i h

i i



Список использованных источников

1. Стечкин С. Б. Неравенства между нормами производных произвольной функции //

Acta sci. math. – Т. 26, № 3-4. – 1965. – С. 225–230.

2. Стечкин С. Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Матем. заметки. – Т.

1, № 2. – 1967. – С. 137–148.

3. Арестов В. В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи матем. наук. – Т. 51, № 6. – 1996. – С.

89–124.

4. Тайков Л. В. Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования // Матем. заметки. – Т. 4, № 2. – 1968. – С. 233–238.

5. Шадрин А. Ю. Неравенства типа Колмогорова и оценки сплайн-интерполяции для периодических классов W₂^m // Матем. заметки. – Т. 48, № 4. – 1990. – С. 132–139.

6. Бабенко В. Ф., Биличенко Р.О. Неравенство типа Тайкова для самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве // Труды ИПММ НАН Украины. – № 21. – 2010. – С. 11–19.

7. Ахиезер Н. И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. – М.: Изд-во Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1966. – 544 с.

8. Бирман М. Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Учеб. пособие. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. – 264 с.

9. Березанский Ю. М, Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ. Курс лекций. – К.: Вища школа, 1990. – 600 с.

УДК 512.51

ОЦЕНКА ПРИБЛИЖЕНИЯ УГЛОМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ПОЛИНОМАМИ ПО СИСТЕМЕ УОЛША

Боранбаева Әсел Сайынқызы aselsaynovna_91@mail.ru

Магистрант 2 курса механико-математического факультета ЕНУ им Л.Н.Гумилева, Астана, Казахстан

Научный руководитель – А.Н Бокаев Пусть { } - система Уолша в нумерации Пэли [1].

Пусть

̂ ∫ ̅̅̅̅̅̅̅̅ – коэффициенты Фурье-Уолша функций [ ] и

∑

∑

и ∑ ̂

ядро Дирихле, ядро Фейера по системе Уолша и частичные суммы ряда Фурье-Уолша