Некоммерческое

Некоммерческое

акционерное общество

Кафедра математики и

математического моделирования

МАТЕМАТИКА

Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ

для студентов специальности

5В070400 – Вычислительная техника и программное обеспечение Часть 3

Алматы 2018

АЛМАТИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ

СОСТАВИТЕЛИ: Василина Г.К., Сарсенбаева А.К. Математика.

Методические указания и задания по выполнению расчетно-графических работ для студентов специальности 5В070400 – Вычислительная техника и программное обеспечение. Часть 3. – Алматы: АУЭС, 2018. – 22 с.

Представлены методические указания и задания по выполнению расчетно-графической работы №3 дисциплины «Математика» для студентов специальности 5В070400 – Вычислительная техника и программное обеспечение. Представленный материал соответствует разделу «Интегральное исчисление функции одной переменной», предусмотренному учебными планами для студентов указанной специальности.

Приведены основные теоретические вопросы, дано решение типового варианта.

Табл. – 13, библиогр. – 4 назв.

Рецензент: к.ф.-м.н., доцент А.К. Искакова

Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества

«Алматинский университет энергетики и связи» на 2018 г.

© НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2018 г.

Введение

Математика как фундаментальная дисциплина имеет большие возможности для формирования ключевых компетенций специалиста. Данный учебный предмет формирует способность к самообразованию, поиску и усвоению новой информации, умение планировать и адекватно оценивать свои действия, принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях, работать в коллективе и команде, развивает силу и гибкость ума, способность к аргументации и другие качества, необходимые современному специалисту.

В представленной работе даны задания расчетно-графической работы (РГР) №3 по дисциплине «Математика» для студентов специальности

«5В070400 – Вычислительная техника и программное обеспечение». Задания соответствуют разделу «Интегральное исчисление функции одной переменной».

Приведены основные теоретические вопросы программы. Даны основные методические указания в виде формул к решению задач.

Приводится решение типового варианта.

Номер варианта каждого студента определяется по списку группы.

Расчетно-графическая работа выполняется в отдельной тетради. В номере каждого задания число после точки указывает на номер варианта. Например, 1.5 означает «первое задание, 5 вариант».

Расчётно-графическая работа №3. Интегральное исчисление функции одной переменной

Цель: овладеть понятиями первообразной, интеграла и методами интегрирования; уметь применять определенный интеграл к вычислению площадей плоских фигур; получить представление о несобственных интегралах, изучить основные свойства несобственных интегралов и их признаки сходимости.

1 Теоретические вопросы

1. Комплексные числа. Их изображения на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра.

2. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование.

Интегрирование по частям и с помощью замены переменной.

3. Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих

тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.

4. Задачи, приводящие к понятию определенных интегралов. Основные свойства определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.

5. Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям и заменой переменной.

6.Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Основные свойства несобственных интегралов. Признаки сходимости.

7. Приложения определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур. Физические приложения определенного интеграла.

2 Задания расчетно-графической работы

Задание 1. Даны комплексные числа 𝑧₁ и 𝑧₂. Требуется найти:

1) Модуль комплексного числа 𝑧₁. 2) Аргумент комплексного числа 𝑧₁.

3) Представление комплексного числа 𝑧₁ в тригонометрической и показательной формах.

4) Результат сложения комплексных чисел 𝑧₁ и 𝑧₂. 5) 𝑧₂⁵.

6) Произведение 𝑧₁∙ 𝑧₂ в тригонометрической форме.

7) Все комплексные корни уравнения 𝑧³ = 𝑧₂ по формуле Муавра.

1.1 𝑧1 = 8𝑖, 𝑧2 = 8 (𝑐𝑜𝑠𝜋

3+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜋 3)

1.2 z1= −8𝑖, 𝑧2 = 8 (𝑐𝑜𝑠𝜋

4+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜋 4) 1.3 z1 = 27,

𝑧2= 27 (𝑐𝑜𝑠𝜋

6+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜋 6)

1.4 z1= −27, 𝑧2 = 27 (𝑐𝑜𝑠𝜋

2+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜋 2) 1.5 z1 = 3 − 𝑖√3,

𝑧2 = 2√3 (𝑐𝑜𝑠3𝜋

4 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛3𝜋 4 )

1.6 z1= 3 + 𝑖√3, 𝑧2 = 2√3 (𝑐𝑜𝑠2𝜋

3 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛2𝜋 3 ) 1.7 z1− 3 + 𝑖√3,

𝑧2 = 2√3 (𝑐𝑜𝑠2𝜋

3 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛2𝜋 3 )

1.8 z1= −3 − 𝑖√3, 𝑧2 = 2√3 (𝑐𝑜𝑠𝜋

6+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜋 6) 1.9 z1 = −4 + 4𝑖 ,

𝑧2 = 4√2 (𝑐𝑜𝑠𝜋

4+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜋 4)

1.10 z1= 4 − 4𝑖, 𝑧2 = 4√2 (𝑐𝑜𝑠𝜋

3+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜋 3) 1.11 z1 = −4 − 4𝑖,

𝑧2 = 4√2 (𝑐𝑜𝑠 (−3𝜋 4 ) + +𝑖 𝑠𝑖𝑛 (−3𝜋

4 ))

1.12 z1= 4 + 4𝑖,

𝑧2 = 4√2 (𝑐𝑜𝑠 (−2𝜋 3 ) + +𝑖 𝑠𝑖𝑛 (−2𝜋

3 ))

1.13 z1 = 8,

𝑧2 = 8 (𝑐𝑜𝑠𝜋

3+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜋 3)

1.14 z1= −8, 𝑧2 = 8 (𝑐𝑜𝑠2𝜋

3 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛2𝜋 3 ) 1.15 z1 = −27𝑖,

𝑧2 = 27 (𝑐𝑜𝑠 (−𝜋 3) + +𝑖 𝑠𝑖𝑛 (−𝜋

3))

1.16 z1= 27𝑖,

𝑧2 = 27 (𝑐𝑜𝑠5𝜋

6 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛5𝜋 6 )

1.17 z1 = √3 − 3𝑖,

𝑧2 = 2√3 (𝑐𝑜𝑠 (−3𝜋 4 ) + +𝑖 𝑠𝑖𝑛 (−3𝜋

4 ))

1.18 z1= −√3 + 3𝑖, 𝑧2 = 2√3 (𝑐𝑜𝑠 (−5𝜋

6 ) + +𝑖 𝑠𝑖𝑛 (−5𝜋

6 )) 1.19 z1 = √3 + 3𝑖,

𝑧2 = 2√3 (𝑐𝑜𝑠 (−𝜋 2) + +𝑖 𝑠𝑖𝑛 (−𝜋

2))

1.20 z1= −√3 − 3𝑖, 𝑧2 = 2√3 (𝑐𝑜𝑠 (−𝜋

3) + +𝑖 𝑠𝑖𝑛 (−𝜋

3)) 1.21 z1 = 64,

𝑧2 = 64 (𝑐𝑜𝑠𝜋

6+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜋 6)

1.22 z1= −64,

𝑧2 = 64 (𝑐𝑜𝑠5𝜋

6 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛5𝜋 6 ) 1.23 z1 = 64𝑖,

𝑧2 = 64 (𝑐𝑜𝑠 (−2𝜋 3 ) + +𝑖 𝑠𝑖𝑛 (−2𝜋

3 ))

1.24 z1= −64,

𝑧2 = 64 (𝑐𝑜𝑠 (−𝜋 3) + +𝑖 𝑠𝑖𝑛 (−𝜋

3)) 1.25 z1 = −8 + 8𝑖,

𝑧2 = 8√2 (𝑐𝑜𝑠5𝜋

6 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛5𝜋 6 )

1.26 z1= 8 − 8𝑖, 𝑧2 = 8√2 (𝑐𝑜𝑠𝜋

4+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜋 4) 1.27 z1 = −8 + 8𝑖,

𝑧2 = 8√2 (𝑐𝑜𝑠𝜋

3+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜋 3)

1.28 z1= −8 − 8𝑖, 𝑧2 = 8√2 (𝑐𝑜𝑠𝜋

6+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜋 6) 1.29 z1 = 1 + 𝑖,

𝑧2 = √2 (𝑐𝑜𝑠2𝜋

3 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛2𝜋 3 )

1.30 z1= −1 + 𝑖, 𝑧2 = √2 (𝑐𝑐𝑜𝑠𝜋

6+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝜋 6) Задание 2. Найти неопределенный интеграл.

2.1 а) ∫^1−5𝑥_𝑥4 ³𝑑𝑥, б) ∫ 2^𝑥 ∙ 5^𝑥𝑑𝑥, в) ∫_9+𝑥⁵ ₂ 𝑑𝑥

2.2 а) ∫^{√𝑥−3𝑥 √𝑥}

3 +𝑥⁵ 𝑥² 𝑑𝑥, б) ∫ 3^𝑥(5 − 7^−𝑥)𝑑𝑥, в) ∫_5+𝑥⁴ ₂𝑑𝑥,

2.3 а) ∫ 𝑥 √𝑎𝑥³ 𝑑𝑥,

б) ∫ 5^−𝑥(4 − 3^𝑥+1)𝑑𝑥, в) ∫ ^𝑑𝑥

𝑥²+2

2.4

а) ∫(√𝑥 − 2√𝑥³ )²

𝑥 𝑑𝑥,

б) ∫ 7^−𝑥(√7^2𝑥 + 5^𝑥)𝑑𝑥, в) ∫_1−𝑥^𝑑𝑥₂

2.5 а) ∫ ( ³

√𝑥²

3 −^𝑥+2

4√𝑥) 𝑑𝑥, б) ∫ 𝑒^−𝑥(2^𝑥 − 3𝑒^𝑥+3)𝑑𝑥, в) ∫ ^𝑑𝑥

3+𝑥²

2.6 а) ∫ (𝑎¹³− 𝑥¹³)

3

𝑑𝑥, б) ∫(4𝑒^𝑥 ∙ 5^𝑥 − 𝜋^2𝑥)𝑑𝑥, в) ∫_𝑥^𝑑𝑥₂₋₃

2.7 а) ∫ (5𝑥³− ^𝑎

∛𝑥⁵ ) 𝑑𝑥, б) ∫ 3^−𝑥(7 + 2^𝑥+1)𝑑𝑥, в) ∫ ^𝑑𝑥

𝑥²−5

2.8 а) ∫ (^𝑥2

√𝑥+ ^𝑎

𝑥⁴ − 𝑥) 𝑑𝑥, б) ∫(𝑒^𝑥 − 2𝑒^−𝑥)𝑑𝑥, в) ∫ ^𝑑𝑥

𝑥²+25

2.9 а) ∫(√𝑥³− 2𝑥² + 3𝑥⁴)

𝑥 𝑑𝑥,

б) ∫(𝑒^𝑥 + 𝑒^2𝑥)𝑑𝑥, в) ∫ ^𝑑𝑥

25−𝑥²

2.10

а) ∫ (√𝑥 − 1

∛𝑥)

2

𝑑𝑥, б) ∫ 𝜋^𝑥 ∙ 𝑒^𝑥+1𝑑𝑥, в) ∫_𝑥^7𝑑𝑥₂₊₃

2.11

а) ∫ (√𝑥 + 1

√𝑥3 )

3

𝑑𝑥, б) ∫ 𝑒^𝑥 ∙ √2^𝑥𝑑𝑥, в) ∫_𝑥^2𝑑𝑥₂₊₂

2.12 а) ∫ (𝑎𝑥 −^4√𝑥_𝑥2 ) 𝑑𝑥, б) ∫ 5^𝑥 ∙ 3^1−𝑥𝑑𝑥, в) ∫ ^7𝑑𝑥

√𝑥²+9 2.13

а) ∫ (^𝑥

𝑎− √𝑥³ )³𝑑𝑥, б) ∫(5^𝑥 − 5^−𝑥)²𝑑𝑥, в) ∫_√𝑥^5𝑑𝑥₂

−9

2.14

а) ∫^{𝑥3−3√𝑥5− √𝑥}

6

√𝑥 𝑑𝑥, б) ∫(5^𝑥+1+ 5^−𝑥)𝑑𝑥, в) ∫ ^5𝑑𝑥

√𝑥²−16

2.15 а) ∫ 𝑥²∙ √𝑏𝑥⁴ 𝑑𝑥, б) ∫²₂^𝑥_𝑥+1^+3𝑥𝑑𝑥, в) ∫_√𝑥^5𝑑𝑥₂

+16

2.16 а) ∫^{x4−2x−√x}_x2 𝑑𝑥, б)∫^3−x+2x+3

2^x+1 𝑑𝑥, в) ∫ ^5𝑑𝑥

√𝑥²−49

2.17

а) ∫^{(√𝑏𝑥−}

𝑥 𝑏)² 𝑥 𝑑𝑥, б) ∫ 4^𝑥 (7 + 2^−𝑥)𝑑𝑥, в) ∫ ^𝑑𝑥

√𝑥²+49

2.18 а) ∫^(𝑥−1)3

𝑥√𝑥 𝑑𝑥,

б) ∫ 3^−𝑥(4 − 5^𝑥+2) 𝑑𝑥, в) ∫ ^𝑑𝑥

√𝑥²+81

2.19

а) ∫(2x + a)³ x² 𝑑𝑥, б)∫ (3^x2 − 3^−x2)

2

𝑑𝑥, в) ∫_√𝑥^𝑑𝑥₂₋₃₆

2.20

а) ∫^(𝑥−

𝑎 𝑥)²

√𝑥 𝑑𝑥,

б) ∫ 𝑒^𝑥(2^𝑥+1− 5𝑒^3−𝑥)𝑑𝑥, в) ∫ ^𝑑𝑥

√4−𝑥²

2.21

а) ∫(𝑏𝑥 +𝑎 𝑥)²

3√𝑥 𝑑𝑥, б) ∫ 𝜋^2𝑥(¹

2^𝑥− 3^𝑥+1) 𝑑𝑥, в) ∫_√16−𝑥^𝑑𝑥 ₂

2.22 а) ∫^(2𝑥+𝑏)_𝑥3 ³𝑑𝑥, б) ∫ ¹

3^𝑥(𝑒^𝑥+1 + 2𝑒^−𝑥)𝑑𝑥, в) ∫ ^𝑑𝑥

√25−𝑥²

2.23

а) ∫^{(1−𝑏 √𝑥}

3 )³ 𝑥² 𝑑𝑥, б) ∫(𝑒^−𝑥− 𝑒^𝑥) 𝑑𝑥, в) ∫ ^𝑑𝑥

√5−𝑥²

2.24

а) ∫^{(2−𝑎√𝑥}

3)² 𝑥² 𝑑𝑥, б) ∫(𝑒^𝑥 − 2) 𝑑𝑥, в) ∫ ^𝑑𝑥

√81−𝑥²

2.25

а) ∫^{𝑥3−2√𝑥+𝑥 √𝑥}

3

𝑥 𝑑𝑥, б) ∫(𝑒^𝑥 + 2^−𝑥) 𝑑𝑥, в) ∫ ^𝑑𝑥

√12−𝑥²

2.26 а) ∫^(2𝑥+5)_𝑥2 ³𝑑𝑥, б) ∫ 3^𝑥(7 + 2^−𝑥)𝑑𝑥, в) ∫ ^𝑑𝑥

√24−𝑥²

2.27

а) ∫^(𝑥+

1 𝑥)²

4√𝑥 𝑑𝑥,

б) ∫ 2^−𝑥(3 − 5^𝑥+2)𝑑𝑥, в) ∫_√4+𝑥^𝑑𝑥 ₂

2.28

а) ∫^(2−√𝑥

3)³ 𝑥² 𝑑𝑥, б) ∫^{3−𝑥+2𝑥+3}

2^𝑥+1 𝑑𝑥, в) ∫ ^𝑑𝑥

√36+𝑥²

2.29 а) ∫^{(1−𝑏√𝑥)}_𝑥3 ²𝑑𝑥, б) ∫(𝑒^𝑥 + 𝑒^2𝑥)𝑑𝑥, в) ∫_√27−𝑥^𝑑𝑥 ₂

2.30 а) ∫^{𝑥4−2√𝑥+𝑥√𝑥}_𝑥2 𝑑𝑥, б) ∫ ¹

𝑒^𝑥(𝑒^𝑥+1 + 2𝑒^−𝑥)𝑑𝑥, в) ∫ ^𝑑𝑥

√27+𝑥²

Задание 3. Найти неопределенный интеграл.

3.1 ∫(cos 2𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛5𝑥)𝑑𝑥 3.2

∫ 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠²3𝑥

3.3 ∫ 𝑑𝑥

1 − 𝑠𝑖𝑛²5𝑥

3.4 ∫ 𝑐𝑜𝑠²2𝑥𝑑𝑥 3.5 ∫(𝑒^5𝑥 − 4𝑒^𝑥2)𝑑𝑥 3.6

∫(𝑒^4𝑥 − 2𝑒^−3𝑥)²𝑑𝑥 3.7 ∫ sin(2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 3.8

∫2^3𝑥− 3^𝑥 3^2𝑥 𝑑𝑥 3.9 ∫(𝑒^−𝑥+ 5)²

𝑒^𝑥 𝑑𝑥 3.10

∫( √𝑒^{3 𝑥} − 𝑥 ∙ 𝑒²)𝑑𝑥 3.11

∫ 𝑑𝑥

√𝑒^3𝑥

3.12

∫ 𝑑𝑥

√6𝑒^5𝑥−1 3.13

∫(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥)²𝑑𝑥 3.14

∫(cos 𝑥 − sin 2𝑥)²𝑑𝑥 3.15

∫(𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥)²𝑑𝑥 3.16

∫(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥)²𝑑𝑥

3.17

∫ 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛²5𝑥

3.18

∫ 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠²(𝑥

3) 3.19

∫ cos(1 − 5𝑥) 𝑑𝑥 3.20

∫ 𝑠𝑖𝑛²𝑥𝑑𝑥 3.21

∫ 𝑐𝑜𝑠²𝑥𝑑𝑥 3.22

∫ (𝑐𝑜𝑠𝑥

3− 5𝑠𝑖𝑛𝑥 2) 𝑑𝑥 3.23

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥(1 − 5𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 3.24

∫5^2𝑥− 3^−𝑥 2^𝑥 𝑑𝑥 3.25

∫5^2𝑥−1− 5^2−2𝑥

4^𝑥 𝑑𝑥 3.26

∫𝑒^𝑥 − 𝑒^−𝑥 𝑒^2𝑥 𝑑𝑥 3.27

∫𝑒^𝑥+1 + 𝑒^1−𝑥

𝑒^𝑥 𝑑𝑥 3.28

∫(𝑐𝑜𝑠 𝑥

3− 5𝑠𝑖𝑛 𝑥 2)²𝑑𝑥 3.29

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥(1 − 5𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 3.30

∫ 𝑠𝑖𝑛²𝑥𝑑𝑥 Задание 4. Найти неопределенный интеграл.

4.1 ∫ 𝑒^𝑥2 ∙ 𝑥𝑑𝑥 4.2

∫ 𝑒^−𝑥2 ∙ 𝑥𝑑𝑥 4.3 ∫ 𝑒^5𝑥2 ∙ 𝑥𝑑𝑥 4.4

∫ 𝑒^𝑥

2

2 ∙ 𝑥𝑑𝑥 4.5 ∫ 𝑒^𝑥2+3∙ 𝑥𝑑𝑥 4.6

∫ 𝑒^1−3𝑥2 ∙ 𝑥𝑑𝑥 4.7 ∫ 𝑥 ∙ √𝑥²+ 1𝑑𝑥 4.8

∫ 𝑥 ∙ √(𝑥^{3 2} + 3)⁴𝑑𝑥

4.9 ∫ 𝑥𝑑𝑥

√𝑥²+ 9

4.10

∫ 𝑥𝑑𝑥 𝑥²+ 10 4.11

∫ 𝑒^𝑥𝑑𝑥 𝑒^𝑥+ 5

4.12

∫ 𝑒^𝑥 ∙ √3𝑒^𝑥 − 7𝑑𝑥 4.13

∫ 𝑒^𝑥𝑑𝑥

√𝑒^2𝑥 − 5

4.14

∫ 𝑒^𝑥𝑑𝑥 𝑒^2𝑥+ 10 4.15

∫𝑙𝑛²𝑥

𝑥 𝑑𝑥 4.16

∫ 𝑑𝑥 𝑥 ∙ 𝑙𝑛³𝑥 4.17

∫ 𝑑𝑥 𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑥

4.18

∫ 𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥 4.19

∫ 𝑐𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥 4.20

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ √𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 4.21

∫ 𝑒^−𝑥3 ∙ 𝑥²𝑑𝑥 4.22

∫ 𝑒^𝑥𝑑𝑥 𝑒^2𝑥− 4 4.23

∫ 𝑑𝑥

𝑥 ∙ (𝑙𝑛²𝑥 + 1)

4.24

∫ 𝑥 ∙ √(𝑥²+ 3)⁵𝑑𝑥

4.25

∫√𝑙𝑛𝑥

𝑥 𝑑𝑥 4.26

∫ 4^{𝑐𝑜𝑠𝑥}𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 4.27

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥

2 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 4.28

∫ 𝑥²

1 − 𝑥³𝑑𝑥 4.29

∫ 6^𝑥

1 − 6^𝑥𝑑𝑥 4.30

∫ 𝑒^𝑥

(𝑒^𝑥− 1)¹𝑑𝑥

Задание 5. Найти неопределенный интеграл (интегрирование квадратного трехчлена).

5.1 ∫ 𝑑𝑥

𝑥²+ 8𝑥 + 5

5.2 ∫ 𝑑𝑥

𝑥²− 𝑥 + 1

5.3 ∫ 𝑑𝑥

√𝑥²− 6𝑥 + 10

5.4 ∫ 𝑑𝑥

√𝑥²+ 6𝑥 + 11

5.5 ∫ 𝑑𝑥

√𝑥²+ 3𝑥 + 1

5.6 ∫ 𝑑𝑥

√1 + 2𝑥 − 𝑥²

5.7 ∫ 𝑑𝑥

√2 − 2𝑥 − 𝑥²

5.8 ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝑥²+ 2𝑥 + 5

5.9 ∫ 𝑑𝑥

𝑥²− 2𝑥 + 5 5.10

∫ 𝑑𝑥

𝑥²− 𝑥 + 1

5.11

∫ 𝑑𝑥

𝑥²+ 𝑥 + 2

5.12

∫ 𝑑𝑥

𝑥 + (𝑥 + 1)² 5.13

∫ 𝑑𝑥

𝑥²+ 6𝑥 − 1

5.14

∫ 𝑑𝑥

𝑥²+ 4𝑥 + 9

5.15

∫ 𝑑𝑥

𝑥 + 𝑥²+ 3 5.16

∫ 𝑑𝑥

𝑥²− 3𝑥 + 2

5.17

∫ 𝑑𝑥

𝑥²− 𝑥 − 2

5.18

∫ 𝑑𝑥

2𝑥² + 𝑥 − 1 5.19

∫ 𝑑𝑥

𝑥²+ 6𝑥 − 1

5.20

∫ 𝑑𝑥

𝑥²− 4𝑥 + 1

5.21

∫ 𝑑𝑥

√𝑥²+ 6𝑥 − 5 5.22

∫ 1 − 2𝑥

𝑥²− 6𝑥 + 10𝑑𝑥 5.23

∫ 𝑑𝑥

√4 + 3𝑥 − 𝑥²

5.24

∫ 𝑑𝑥

2𝑥² − 3𝑥 + 1 5.25

∫ 𝑑𝑥

5𝑥 − 𝑥² − 6

5.26

∫ 𝑑𝑥

4 + 3𝑥 − 𝑥²

5.27

∫ 𝑑𝑥

√𝑥²− 4𝑥 + 5 5.28

∫ 𝑑𝑥

𝑥²+ 𝑥 + 3

5.29

∫ 𝑑𝑥

𝑥²+ 𝑥 − 3

5.30

∫ 𝑑𝑥

𝑥²+ 8𝑥 + 7 Задание 6. Найти неопределенный интеграл с помощью формулы интегрирования по частям.

6.1 ∫ 𝑥 ∙ 𝑒^2𝑥𝑑𝑥 6.2

∫(𝑥 − 1) ∙ 𝑒^−𝑥𝑑𝑥 6.3

∫(2𝑥 + 5) ∙ 𝑒³𝑑𝑥 6.4 ∫ 𝑥²∙ 𝑒^𝑥𝑑𝑥 6.5

∫ 𝑥 ∙ 3^𝑥𝑑𝑥 6.6

∫ 𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 6.7 ∫ 𝑥 ∙ 𝑙𝑛5𝑥𝑑𝑥 6.8

∫ √𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 6.9

∫(𝑙𝑛𝑥

− 2𝑙𝑛²𝑥)𝑑𝑥 6.10

∫𝑙𝑛𝑥

𝑥² 𝑑𝑥 6.11

∫ 𝑥 ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥𝑑𝑥 6.12

∫ 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

6.13

∫ 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 6.14

∫ 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑𝑥 6.15

∫ 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 2𝑑𝑥 6.16

∫ 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥

3𝑑𝑥 6.17

∫ 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛5𝑥𝑑𝑥 6.18

∫ 𝑥² ∙ 𝑒^−𝑥𝑑𝑥 6.19

∫ 𝑥 ∙ 5^𝑥𝑑𝑥 6.20

∫ 𝑥

2^𝑥𝑑𝑥 6.21

∫ 𝑥²√𝑒^𝑥𝑑𝑥 6.22

∫ 𝑥 ∙ 𝑒^−3𝑥𝑑𝑥 6.23

∫ 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥

3𝑑𝑥 6.24

∫ 𝑥 ∙ 𝑒^𝑥2𝑑𝑥 6.25

∫ √𝑥³ 𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 6.26

∫(𝑥 + 5) 3^𝑥𝑑𝑥 6.27

∫𝑙𝑛𝑥

3√𝑥𝑑𝑥 6.28

∫ 𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑑𝑥 6.29

∫ 𝑥

7^𝑥𝑑𝑥 6.30

∫ 𝑥√𝑒^𝑥𝑑𝑥

Задание 7. Найти неопределенный интеграл, выделив целую часть неправильной дробно-рациональной функции.

7.1 ∫3𝑥²+ 1

𝑥² + 25𝑑𝑥 7.2

∫𝑥² + 2𝑥 + 6

𝑥² − 9 𝑑𝑥 7.3

∫ 𝑥³

𝑥²+ 9𝑑𝑥 7.4 ∫ 𝑥³

𝑥² + 9𝑑𝑥 7.5

∫𝑥² + 1

𝑥² + 5𝑑𝑥 7.6

∫2𝑥²− 2 𝑥²− 16𝑑𝑥 7.7 ∫ 𝑥²+ 1

𝑥² − 25𝑑𝑥 7.8

∫𝑥² + 2

𝑥² − 1𝑑𝑥 7.9

∫𝑥²+ 2𝑥 + 4 𝑥²+ 2𝑥 − 1𝑑𝑥 7.10

∫𝑥² + 2 𝑥² − 1

7.11

∫ 3𝑥²+ 1

𝑥² + 6𝑥 + 25𝑑𝑥 7.12

∫ 𝑥²+ 𝑥 − 2 𝑥²− 8𝑥 + 20𝑑𝑥 7.13

∫ 𝑥² + 2

𝑥² − 6𝑥 + 10𝑑𝑥 7.14

∫𝑥² + 7

𝑥² + 4𝑑𝑥 7.15

∫ 𝑥⁴

𝑥²+ 9𝑑𝑥 7.16

∫ 𝑥² + 2𝑥

𝑥² − 8𝑥 + 25𝑑𝑥 7.17

∫ 𝑥² + 1

𝑥² + 4𝑥 + 5𝑑𝑥 7.18

∫ 𝑥²+ 2

𝑥²− 4𝑥 + 13𝑑𝑥 7.19

∫ 𝑥³

𝑥² − 1𝑑𝑥 7.20

∫ 𝑥⁴

𝑥² + 1𝑑𝑥 7.21

∫ 𝑥³

𝑥³+ 8𝑑𝑥 7.22

∫𝑥² + 3

𝑥² + 9𝑑𝑥 7.23

∫3𝑥²+ 2𝑥 + 1

𝑥² + 25 𝑑𝑥 7.24

∫𝑥²− 4𝑥 + 2 𝑥² − 1 𝑑𝑥 7.25

∫ 𝑥² + 2

𝑥² + 6𝑥 − 1𝑑𝑥 7.26

∫𝑥² + 2𝑥 + 16

𝑥²− 9 𝑑𝑥 7.27

∫𝑥²+ 𝑥 + 1 𝑥² + 5 𝑑𝑥 7.28

∫ 3𝑥²+ 1

𝑥² − 2𝑥 + 26𝑑𝑥 7.29

∫𝑥³ + 2𝑥

𝑥² + 49𝑑𝑥 7.30

∫𝑥²+ 2𝑥 − 3 𝑥² − 9 𝑑𝑥 Задание 8. Найти неопределенный интеграл от правильной дробно- рациональной функции.

8.1 ∫ 𝑑𝑥

(𝑥 − 2)²(𝑥 + 3)

8.2 ∫ (𝑥 + 1)𝑑𝑥 (𝑥 − 3)²(𝑥 + 4)

8.3 ∫ (𝑥 − 1)𝑑𝑥 (𝑥 + 2)²(𝑥 − 3)

8.4 ∫(𝑥 + 1)𝑑𝑥 𝑥²(𝑥 + 3)

8.5 ∫ (𝑥 − 7)𝑑𝑥 (𝑥 − 4)²(𝑥 + 5)

8.6 ∫ (𝑥 − 14)𝑑𝑥 (𝑥 + 2)²(𝑥 + 3) 8.7 ∫ (2𝑥 + 1)𝑑𝑥

(𝑥 + 3)²(𝑥 + 4)

8.8 ∫ (2𝑥 − 1)𝑑𝑥 (𝑥 + 2)²(2𝑥 − 3)

8.9 ∫(2𝑥 + 11)𝑑𝑥 𝑥²(𝑥 + 3) 8.10

∫ (𝑥 − 1)𝑑𝑥 (𝑥 − 2)³(𝑥 + 3)

8.11

∫ 𝑑𝑥

𝑥²(𝑥 + 2)

8.12

∫ 𝑑𝑥

(𝑥 + 1)²𝑥 8.13

∫ (3𝑥 + 1)𝑑𝑥 (𝑥 − 2)²(𝑥 + 1)

8.14

∫ (x²+ 7)dx (x²+ 4)(x − 1)

8.15

∫ dx

x(x²+ 3) 8.16

∫(x²+ 1)dx x(x² + 3)

8.17

∫ 𝑑𝑥 𝑥³+ 1

8.18

∫ 𝑑𝑥 𝑥³ − 8 8.19

∫ 𝑥³𝑑𝑥 𝑥⁴ − 1

8.20

∫ x²dx (x³+ 1)(x + 1)

8.21

∫(4𝑥 + 1)𝑑𝑥 𝑥²(𝑥 + 3) 8.22

∫ (2𝑥 − 7)𝑑𝑥 (𝑥 − 4)³(𝑥 − 5)

8.23

∫ (𝑥 + 12)𝑑𝑥 (𝑥 − 3)³(𝑥 + 4)

8.24

∫ (2𝑥 + 1)𝑑𝑥 (𝑥 − 2)³(𝑥 + 3) 8.25

∫ (3𝑥 − 1)𝑑𝑥 (𝑥 + 2)³(𝑥 − 3)

8.26

∫(𝑥 + 1)𝑑𝑥 (𝑥 + 3)²𝑥

8.27

∫ (3𝑥 − 7)𝑑𝑥 (𝑥 + 5)⁵(𝑥 − 4) 8.28

∫(5𝑥 + 1)𝑑𝑥 𝑥³(𝑥 + 3)

8.29

∫ (2𝑥 − 1)𝑑𝑥 (𝑥 + 4)²(𝑥 − 3)

8.30

∫ (𝑥 − 1)𝑑𝑥 (𝑥 − 3)²(𝑥 + 2) Задание 9. Вычислить определенный интеграл.

9.1

∫ 𝑥⁴𝑑𝑥

2

−1

9.2

∫(√𝑥 − 1)³𝑑𝑥

1

0

9.3

∫ √𝑥 − 2³ 𝑑𝑥

10

3

9.4

∫ 𝑑𝑥

√𝑥²

3

8

1

9.5

∫ sin 2𝑥 𝑑𝑥

𝜋 2

𝜋 4

9.6

∫ 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠²2𝑥

0

−𝜋 8

9.7

∫𝑥 + 2 𝑥 + 1𝑑𝑥

1

0

9.8

∫ 𝑒^−2𝑥+1𝑑𝑥

1

0,5

9.9

∫ln 𝑥 𝑥 𝑑𝑥

𝑒

1

9.10

∫(sin 𝑥)²𝑑𝑥

𝜋 4

0

9.11

∫ 𝑑𝑥

𝑥²+ 2𝑥 + 5

1

−1

9.12

∫ 𝑑𝑥 𝑥²

−1

−2

9.13

∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 1)²

1

0,5

9.14

∫(cos 𝑥)²𝑑𝑥

𝜋 4

0

9.15

∫ 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠²𝑥

2

𝜋 2

0

9.16

∫ [sin𝑥 2

𝜋

0

− cos𝑥 2]

2

𝑑𝑥

9.17

∫ 𝑥²− 1 𝑥⁴ 𝑑𝑥

−0,5

−1

9.18

∫ 𝑑𝑥

√𝑥 + 2

0

−1

9.19

∫ sin²𝑥 𝑑𝑥

0

𝜋 4

9.20

∫ √𝑥 + 1³ 𝑑𝑥

7

0

9.21

∫ 𝑑𝑥 (𝑥 − 1)³

1 2

0

9.22

∫ 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛²𝑥

2

𝜋

𝜋 2

9.23

∫𝑥²+ 1 𝑥⁴

1

1 2

9.24

∫ √𝑥^{4 5}𝑑𝑥

16

0

9.25

∫ 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠²𝑥

4

4𝜋

𝜋

9.26

∫ 𝑡𝑔 𝑥 2𝑑𝑥

𝜋 3

0

9.27

∫ 𝑑𝑥

(2𝑥 + 1)³

1

0,5

9.28

∫ 𝑑𝑥

(4𝑥 + 1)³

1

0,25

9.29

∫ 𝑑𝑥

𝑥²+ 4𝑥 + 5

2

−2

9.30

∫𝑥² + 1 𝑥⁴ 𝑑𝑥

2

1 3

Задание 10. Вычислить интегралы, используя указанную замену переменной.

10.1

∫ 𝑥³∙ 𝑒^𝑥2𝑑𝑥, (𝑥² = 𝑡)

2

0

10.2

∫ 𝑥³ ∙ 𝑒^−𝑥4𝑑𝑥, (𝑥⁴ = 𝑡)

0,5

0

10.3

∫ 𝑥³∙ 𝑒^−𝑥2𝑑𝑥, (𝑥² = 𝑡)

√2

1

10.4

∫ 𝑑𝑥

1 + √2𝑥 − 1, (2𝑥 − 1 = 𝑡²)

3

2

10.5

∫ 𝑑𝑥

𝑥(𝑙𝑛²𝑥 + 1)

𝑒

1

, (ln 𝑥 = 𝑡)

10.6

∫ 𝑑𝑥

3 + 2 cos 𝑥

𝜋 2

0

, (tg 𝑥

2 = 𝑡) 10.7

∫ 𝑑𝑥

𝑥 + √3𝑥 − 2, (3𝑥 − 2

6

1

= 𝑡²)

10.8

∫ 𝑒^−2√𝑥𝑑𝑥, (𝑥 = 𝑡²)

9

4

10.9

∫ √4 − 𝑥²𝑑𝑥, (𝑡 = 2 sin 𝑥)

2

0

10.10

∫ √𝑥² − 1

𝑥 𝑑𝑥, (𝑥 = 1 cos 𝑡)

√2

1

10.11

∫ 𝑑𝑥

𝑒^𝑥+ 𝑒^−𝑥, (𝑒^𝑥 = 𝑡)

ln 3 2

𝑙𝑛 1

10.12

∫ 𝑥𝑑𝑥

√5 + 4𝑥, (5 + 4𝑥 = 𝑡²)

1

−1

10.13

∫ 𝑑𝑥 𝑥𝑙𝑛³𝑥

𝑒²

𝑒

, (ln 𝑥 = 𝑡)

10.14

∫ √9 − 𝑥²𝑑𝑥, (𝑥 = 3 sin 𝑡)

3

0

10.15

∫𝑒^−√𝑥𝑑𝑥

√𝑥

1

0

, (√𝑥 = 𝑡)

10.16

∫ 𝑒^−√𝑥𝑑𝑥

𝑙𝑛²2

1

, (√𝑥 = 𝑡) 10.17

∫ 𝑑𝑥

4 + 3𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝜋 2

0

, (tg 𝑥

2 = 𝑡)

10.18

∫ √𝑥 ∙ 𝑒^−√𝑥𝑑𝑥, (√𝑥 = 𝑡)

4

0

10.19

∫ 𝑥³∙ 𝑒^𝑥2𝑑𝑥, (𝑥² = 𝑡)

1

0

10.20

∫ 𝑥𝑑𝑥

𝑥⁴+ 2𝑥²+ 25, (𝑥² = 𝑡)

√2

0

10.21

∫𝑒^𝑥1𝑑𝑥 𝑥²

1

1 2

, (1 𝑥 = 𝑡)

10.22

∫ 𝑑𝑥 𝑥√𝑙𝑛³𝑥

𝑒²

𝑒

, (ln 𝑥 = 𝑡) 10.23

∫ 𝑑𝑥

𝑥√𝑥² + 1, (1 𝑥 = 𝑡)

1

1

√3

10.24

∫ 𝑑𝑥

𝑒^𝑥+ 2𝑒^−𝑥, (𝑒^𝑥 = 𝑡)

𝑙𝑛2

0

10.25

∫ √1 − 𝑥²𝑑𝑥, (𝑥 = sin 𝑡)

1

0

10.26

∫ 𝑥𝑑𝑥

𝑥⁴+ 12𝑥²+ 225, (𝑥² = 𝑡)

√2

0

10.27

∫ 𝑑𝑥

𝑥√𝑥² + 4, (1 𝑥 = 𝑡)

1

1

√3

10.28

∫ 𝑑𝑥 𝑥√𝑙𝑛⁵𝑥

𝑒²

𝑒

, (ln 𝑥 = 𝑡)

10.29

∫ 𝑑𝑥 𝑥√𝑙𝑛⁵𝑥

𝑒²

𝑒

, (ln 𝑥 = 𝑡)

10.30

∫𝑒^1𝑥𝑑𝑥 𝑥²

1

1 2

, (1 𝑥 = 𝑡)

Задание 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (площадь области D).

11.1

𝐷: {𝑦 ≥ 𝑥² 𝑦 ≤ 4

11.2

𝐷: {𝑦 = √𝑥, 𝑦 = 0 𝑦 = 1, 𝑥 = 4

11.3

𝐷: {𝑦 =1

𝑥, 𝑦 = 0 𝑦 = 1, 𝑥 = 2

11.4

𝐷: { 𝑦 = 3 𝑦 + 𝑥 = −4𝑥

11.5

𝐷: {

𝑦 = 𝑒^−𝑥 𝑦 = 1 𝑥 = ln 3

11.6

𝐷: {

𝑦 = cos 𝑥 𝑦 = 0

−𝜋

2 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 2 11.7

𝐷: {

𝑦 = 𝑠𝑖𝑛² 𝑥 𝑦 = 0 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋

11.8

𝐷: {𝑦 = 𝑥² 𝑦 = 𝑥

11.9

𝐷: {𝑦 = 𝑥² 𝑦 = 𝑥⁴ 11.10

𝐷: {𝑦 = 𝑥² 𝑦 = √𝑥

11.11

𝐷: {

𝑦 = 𝑥² 𝑦 = −𝑥²

𝑦 = 1

11.12 𝐷: {

𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 𝑦 = 1 𝑥 = 0 11.13

𝐷: { 𝑦 = 𝑡𝑔2𝑥 𝑦 = 1, 𝑥 = 0

11.14

𝐷: {

𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑦 = 1 𝑥 = 𝜋 2

11.15 𝐷: {

𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 𝑦 = −1 𝑦 = 0 11.16

𝐷: {

𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑦 = 𝜋

4, 𝑥 = 0

11.17 𝐷: {

𝑦 ≤ 𝑐𝑜𝑠²𝑥 𝑦 ≥ 0 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋

11.18 𝐷: {

𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 𝑦 = √3

𝑥 = 0 11.19

𝐷: {𝑦 = 5 1 + 𝑥² 𝑦 = 1

11.20

𝐷: {

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠²𝑥 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠𝑥

|𝑥| ≤ 𝜋 2

11.21

𝐷: {𝑦 = 9𝑥 𝑦 = √𝑥

11.22

𝐷: { 𝑦 = 𝑥³ 𝑦 = 2√𝑥

11.23

𝐷: {𝑦 = 𝑥² − 1 𝑦 = 𝑥

11.24

𝐷: {𝑦 = 2 − 𝑥² 𝑦 = 𝑥 11.25

𝐷: {

𝑦 = ln 𝑥 𝑦 = − ln 𝑥

𝑥 = 𝑒

11.26 D:{

𝑦 ≤ 𝑐𝑜𝑠²𝑥 𝑦 ≥ 0, 𝑥 ≥ 0

𝑥 ≤ 𝜋

11.27 𝐷: {

𝑦 = 𝑐𝑜𝑠²𝑥 𝑦 = 0

−𝜋

2 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 2 11.28

𝐷: {

𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑦 = 1 𝑥 = 𝜋 2

11.29

𝐷: {

𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑦 = 1 𝑥 = 𝜋 2

11.30 𝐷: {

𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑦 = 𝜋

4, 𝑥 = 0

Задание 12. Вычислить несобственный интеграл (либо доказать его расходимость).

12.1

∫ 𝑑𝑥

3𝑥²+ 1

+∞

0

12.2

∫ 𝑑𝑥

𝑥√𝑥 + 1

+∞

3

12.3

∫ 𝑑𝑥

𝑥²− 6𝑥 + 13

+∞

−∞

12.4

∫ 𝑥𝑑𝑥

𝑥²+ 9

+∞

−1

12.5

∫ 𝑑𝑥

𝑥(1 + 𝑙𝑛𝑥)

+∞

1

12.6

∫ 𝑥𝑑𝑥

𝑥⁴+ 2𝑥²+ 5

+∞

1

12.7

∫ 𝑥𝑒^−𝑥2𝑑𝑥

+∞

0

12.8

∫ 𝑑𝑥

9𝑥² + 1

+∞

0

12.9

∫ 𝑥𝑒^𝑥𝑑𝑥

+∞

0

12.10

∫ 𝑥𝑒^𝑥𝑑𝑥

0

−∞

12.11

∫ 𝑥²𝑒^−𝑥𝑑𝑥

+∞

0

12.12

∫ 𝑥𝑒^−𝑥2𝑑𝑥

+∞

−1

12.13 ∫₀^+∞𝑥³𝑒^−𝑥2dx 12.14

∫ 𝑥²𝑒^𝑥3𝑑𝑥

0

−∞

12.15

∫ 𝑒^−√𝑥𝑑𝑥

+∞

−∞

12.16

∫ 𝑑𝑥

𝑥²− 4𝑥 + 13

+∞

−∞

12.17

∫ 𝑥𝑑𝑥

√3𝑥² + 1

+∞

−∞

12.18

∫ 𝑥𝑑𝑥

𝑥²+ 2𝑥 + 2

+∞

0

12.19

∫ 𝑥𝑒^3𝑥𝑑𝑥

0

−∞

12.20

∫ 𝑑𝑥

𝑥(𝑥 + 1)

+∞

1

12.21

∫ 𝑑𝑥

𝑥²− 6𝑥 + 10

+∞

0

12.22

∫ 𝑥

√9𝑥²+ 2

+∞

−∞

𝑑𝑥 12.23

∫ 𝑥𝑒^−𝑥

2

2𝑑𝑥

+∞

−∞

12.24

∫ 𝑥𝑒^2𝑥𝑑𝑥

−1

−∞

12.25

∫ 𝑥 + 1

√4 + 𝑥²

+∞

0

𝑑𝑥 12.26

∫ 𝑥𝑒^3𝑥𝑑𝑥

0

−∞

12.27

∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 1 + 𝑥² 𝑑𝑥

+∞

1

12.28

∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥

+∞

2

12.29

∫ 𝑑𝑥

𝑥²+ 𝑥

+∞

1

12.30

∫ 𝑑𝑥

𝑥²− 4𝑥 + 13

+∞

−∞

Задание 13. Вычислить несобственный интеграл (или установить расходимость).

13.1

∫ 𝑑𝑥

√𝑥

1 0

13.2

∫ 𝑑𝑥

√1 − 𝑥

1 0

13.3

∫ 𝑑𝑥 𝑥²

2 0

13.4

∫ 𝑑𝑥 𝑥√𝑥

1 0

13.5

∫ 𝑑𝑥

√2 − 𝑥

2 0

13.6

∫ 𝑑𝑥

√𝑥 + 3

1

−3

13.7

∫ ln 𝑥 𝑑𝑥

1 0

13.8

∫ ln 2𝑥 𝑑𝑥

𝑒/2 0

13.9

∫ 𝑑𝑥

3𝑥 + 2

0

−2

13.10

∫ 𝑑𝑥

√𝑥 + 1

3

−1

13.11

∫ 𝑑𝑥

√𝑥 + 1

3

0

−1

13.12

∫ 𝑑𝑥

√𝑥⁴

3

1 0

13.13

∫ 𝑑𝑥

√(𝑥 − 1)⁴

3

1 0

13.14

∫ 𝑑𝑥

√(𝑥 + 1)⁴

3

0

−1

13.15

∫ 𝑑𝑥

√(𝑥 + 1)²

3

0

−1

13.16

∫ x ln 𝑥 𝑑𝑥

0,5 0

13.17

∫ 𝑒^−√𝑥𝑑𝑥

√𝑥

1 0

13.18

∫ 2^−√𝑥𝑑𝑥

√𝑥

1 0

13.19

∫ 𝑑𝑥

√4 − 𝑥

4 0

13.20

∫ 𝑑𝑥

√𝑥³

2 0

13.21

∫ 𝑑𝑥 𝑥³

1 0

13.22

∫ 𝑒^12√𝑥𝑑𝑥

√𝑥

1 0

13.23

∫ 𝑑𝑥 𝑥³

0

−1

13.24

∫ 𝑑𝑥

√(𝑥 − 2)²

3

2 0

13.25

∫ 𝑑𝑥

𝑥³− 5𝑥²

1 0

13.26

∫ 𝑑𝑥

𝑥²− 4𝑥 + 3

2 0

13.27

∫ 𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠²2𝑥

𝜋/4 0

13.28

∫ 𝑑𝑥

𝑥 ln 𝑥

1/2 0

13.29

∫ 𝑡𝑔²𝑥 𝑑𝑥

𝜋/2 0

13.30

∫ 𝑑𝑥

√(𝑥 − 1)²

3

2 0

3 Решение типового варианта

Задание 1. Даны комплексные числа

𝑧₁ = 9 − 9𝑖 и 𝑧₂ = 9 (𝑐𝑜𝑠^𝜋

4+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛^𝜋

4).

Требуется найти:

1) Модуль комплексного числа 𝑧₁. 2) Аргумент комплексного числа 𝑧₁.

3) Представление комплексного числа 𝑧₁ в тригонометрической и показательной формах.

4) Результат сложения комплексных чисел 𝑧₁ и 𝑧₂. 5) 𝑧₂⁵.

6) Произведение 𝑧₁∙ 𝑧₂ в тригонометрической форме.

7) Все комплексные корни уравнения 𝑧³ = 𝑧₂ по формуле Муавра.

Решение:

1) Если комплексное число в алгебраической форме имеет вид: 𝑧 = 𝛼 + 𝑖 𝛽 = (𝛼, 𝛽) ⇒ 𝑧₁ = 9 − 9𝑖 = (9, −9), где 𝛼 = 9, 𝛽 = −9, то модуль комплексного числа 𝑧₁ вычисляется по следующей формуле:

|𝑧| = √𝛼²+ 𝛽², т.е. |𝑧₁| = √9² + (−9)² = 9√2.

2) Аргумент комплексного числа 𝑧₁: 𝜑 = arg(𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝛽

𝛼 ⇒ 𝜑₁ = arg(𝑧₁) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔−9

9 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1 = −𝜋 4. 3) В тригонометрической и показательной формах комплексное число имеет вид

𝑧 = 𝛼 + 𝑖 𝛽 = |𝑧|(cos 𝜑 + sin 𝜑) = |𝑧|𝑒^𝑖𝜑 ⇒ 𝑧₁ = 9 − 9𝑖 = 9√2 (cos( −^𝜋₄) + sin(−^𝜋

4)) = 9√2𝑒^−𝜋4𝑖. 4) Результат сложения комплексных чисел 𝑧₁ и 𝑧₂:

𝑧₂ = 9 (𝑐𝑜𝑠^𝜋

4+ 𝑖 𝑠𝑖𝑛^𝜋

4) = 9 (^√2

2 + 𝑖 ^√2

2), 𝑧₁+ 𝑧₂ = 9 − 9𝑖 + 9 (√2

2 + 𝑖 √2

2 ) = (9 + 9√2

2 ) + 𝑖 (−9 + 9√2 2 ) ≈

≈ 15,36 − 2,63𝑖.

5) Для вычисления 𝑧₂⁵ будем использовать формулу Муавра:

𝑧^𝑛 = |𝑧|^𝑛(cos 𝑛𝜑 + sin 𝑛𝜑) = |𝑧|^𝑛𝑒^𝑖𝜑𝑛; 𝑧₂⁵ = (9√2)⁵(𝑐𝑜𝑠^5𝜋

4 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛^5𝜋

4) = (9√2)⁵(−^√2

2 − 𝑖 ^√2

2).

6) Произведение 𝑧₁∙ 𝑧₂ в тригонометрической форме вычисляется следующим образом:

𝑧₁∙ 𝑧₂ = |𝑧₁||𝑧₂|(cos(𝜑₁+ 𝜑₂) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜑₁+ 𝜑₂)), 𝑧₁∙ 𝑧₂ = 9√2 ∙ 9 (cos (−𝜋

4+𝜋

4) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (−𝜋 4+𝜋

4)) =

= 81√2(𝑐𝑜𝑠0 + 𝑖𝑠𝑖𝑛0) = 81√2.

7) Все комплексные корни 𝑧 = √𝑧³ 2 уравнения 𝑧³ = 𝑧₂ по формуле Муавра

𝑛√𝑧

= √|𝑧|^𝑛 (𝑐𝑜𝑠𝜑 + 2𝜋𝑘

𝑛 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜑 + 2𝜋𝑘

𝑛 ) , 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1,

√𝑧2

3 = √9√2³ (𝑐𝑜𝑠 𝜋

4+ 2𝜋𝑘

3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜋

4+ 2𝜋𝑘

3 ) , 𝑘 = 0,1,2.

Распишем полученные корни для заданных 𝑘:

𝑘 = 0: 𝑧₂= √9√2³ (𝑐𝑜𝑠 𝜋 4

3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜋 4

3) = √9√2³ (𝑐𝑜𝑠 𝜋

12+ 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜋 12) ; 𝑘 = 1: 𝑧₂ = √𝑧³ 2 = √9√2³ (𝑐𝑜𝑠

𝜋 4+2𝜋

3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛

𝜋 4+2𝜋

3 ) = √9√2³ (𝑐𝑜𝑠^9𝜋

12 + 𝑖𝑠𝑖𝑛^9𝜋

12) ; 𝑘 = 2: √𝑧³ ₂ = √9√2³ (𝑐𝑜𝑠

𝜋 4+ 4𝜋

3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜋 4+ 4𝜋

3 )

= √9√2³ (𝑐𝑜𝑠17𝜋

12 + 𝑖𝑠𝑖𝑛17𝜋 12 ).

Задания 2, 3 решим с помощью непосредственного интегрирования, т.е.

с использованием правил интегрирования, тождественных преобразований подынтегральных функций и таблицы основных интегралов.

Задание 2. а) найти неопределенный интеграл ∫^{(𝑎− √𝑥3 )2}

𝑥³ 𝑑𝑥.

Решение: ∫^{(𝑎− √𝑥}

3 )²

𝑥³ 𝑑𝑥 = ∫^{𝑎2−2𝑎 √𝑥}

3 + √𝑥^{3 2}

𝑥³ 𝑑𝑥 = ∫ (^𝑎_𝑥²₃−^{2𝑎 √𝑥}

3

𝑥³ + ^√𝑥2

3

𝑥³ ) 𝑑𝑥 =

= ∫ (𝑎²𝑥⁻³ − 2𝑎𝑥⁻⁸³ + 𝑥⁻⁷³) 𝑑𝑥 = 𝑎²∫ 𝑥⁻³𝑑𝑥 − 2𝑎 ∫ 𝑥⁻⁸³ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥⁻⁷³ 𝑑𝑥 =

= −𝑎²𝑥⁻²

2 +6𝑎𝑥⁻⁵³

5 −3𝑥⁻⁴³ 4 + 𝐶;

б) найти неопределенный интеграл ∫^52𝑥₅⁻³_𝑥 ^𝑥𝑑𝑥 . Решение: ∫^{52𝑥−3𝑥}

5^𝑥 𝑑𝑥 = ∫ (^52𝑥

5^𝑥 −^3𝑥

5^𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 5^𝑥𝑑𝑥 − ∫ (³

5)^𝑥𝑑𝑥 =

= 5^𝑥

ln 5−(3 5)

𝑥

ln3 5

+ 𝐶;

в) найти неопределенный интеграл ∫ ( ⁶

𝑥²+9+ ¹²

𝑥²−9) 𝑑𝑥.

Решение: ∫ (_𝑥2⁶₊₉+ ¹²

𝑥²−9) 𝑑𝑥 =

= 6 ∙1

3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥

3+ 12 ∙ 1

2 ∙ 3ln |3 − 𝑥

3 + 𝑥| + 𝐶 = 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥

3+ 2 ln |3 − 𝑥

3 + 𝑥| + 𝐶.