Нечеткая синтетическая оценка по многим параметрам

Д.А.Тусупов, Л.Л. Ла, А.А. Муханова

Нечеткая синтетическая оценка по многим параметрам

(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан )

Предлагается двухуровневая, многофакторная модель нечеткой синтетической оценки, модифицированная для решения задачи оценки стоимости объектов недвижимости.

Введение

Метод нечеткой синтетической оценки применяется при решении различных задач в которых требуется дать целостную оценку некоторому объекту, характеризующемуся многими разнородными признаками. Примерами могут служить оценка противопожарной безопасности зданий, определяющаяся многими критериями, такими как, например, расположение средств эвакуации, огнеупорность элементов конструкции, противопожарное оборудование, и каждый критерий, в свою очередь, будет оцениваться атрибутами, которым зачастую невозможно дать числовую характеристику. Другим примером, может служить оценка качества речной воды характеризующая химическими, биологическими факторами и др. [1],[2].

Преимущество данного метода заключается в том, что им могут пользоваться эксперты, не обладающие ни математическими, ни какими либо другими специальными вычислительными навыками. В результате его применения, получают не численные, а качественные значения оценок, такие как: “очень хорошее качество”, “не хорошее” и т.д. Таким образом, применение метода нечеткой синтетической оценки приводит к нечеткой классификации объектов на классы “очень хорошее качество”, “не хорошее” и т.д.

В работе предлагается использовать данный метод, для оценки объектов недвижимости, на стоимость которых оказывают влияние множество различных, разнородных факторов и атрибутов.

Напомним определение метода нечеткой синтетической оценки [1]. Введем необходимые понятия и определения.

Определение 1. [3] Нечетким подмножеством F множества M назовем отображение µ_F :M →[0,1].

Значение µ_F(x) интерпретируется как степень принадлежности элемента x множеству F.

Обозначим

V_n^m ={A|A=||a_i,j||_n×m,0≤a_i,j ≤1,i=1,...,n}.

Определение 2. [3] Нечеткая классификация K n-элементного множества M = {S₁, ..., S_n} на m классов задается матрицей A_K ∈V_n^m.

Элементы a_i,j матрицы A_K будем интерпретировать как степень принадлежности S_i j- му классу. Будем говорить, что классификация K задается матрицей AK, а матрица AK определяет классификацию K. Класс j представляет собой нечеткое множество, определяемое функцией принадлежности µ_j(S_i) =a_i,j.

Пусть M = {S₁, ..., S_t} - конечное множество оцениваемых объектов. Объекты S = (x₁, ..., x_n) ∈ Rⁿ являются векторами размерности n. Говорим, что S определяется n признаками или атрибутами. Величина xi выражает количественное значение i-го признака объекта S. В реальных задачах, различные признаки характеризуют различные свойства объекта и определяются в различных единицах измерения. Например, рулон ткани S = (x1, ..., x4) может определяться 4-кой признаков: шириной, длиной рулона, ценой за 1 метр ткани и прочностью окраски, характеризующейся, например, двумя величинами: прочная, и непрочная. Напомним определение лингвистической переменной. Лингвистическая переменная это переменная, значениями которой могут быть не только числа, но и слова и словосочетания естественного или искусственного языка.

Смысл каждого лингвистического значения выражается в виде нечеткого подмножества универсального множества [4]. Или более формально.

Определение 3. [4] Лингвистическая переменная характеризуется набором (X,T(X),U,G,M), в котором X – название переменной; T(X) – терм множество переменной X, т.е. множество лингвистических значений переменной X, причем каждое из таких значений является нечеткой переменной x˜ со значениями из универсального множества U c базовой переменной u; G синтаксическое правило, порождающее названия x˜ значений переменной X; M – семантическое правило, которое ставит каждой переменной x˜ ее смысл M(˜x), т.е. нечеткое подмножество M(˜x)универсального множества U .

Пусть Ui ⊂ R, i = 1, ..., n - конечные сегменты множества действительных чисел.

S = (x1, ..., xn), где xi ∈ Ui. Пусть T(V) = {v₁, ..., vm} – множество лингвистических значений переменной V , смысл которых задается нечеткими подмножествами {µ₁, ..., µ_m}, относительно которой мы оцениваем объект S. Будем говорить, что объект S оценивается относительно лингвистической переменной V по n признакам. Задачей метода нечеткой синтетической оценки, является определение качественного значения оценки объекта S, выраженное словами естественного языка. Оно будет соответствовать лингвистическому значению vj ∈T(V) для некоторогоj. В дальнейшем, мы не будем различать лингвистические значения {v₁, ..., v_m} и их смысл {µ₁, ..., µ_m}.

Пример 1. Пусть требуется оценить противопожарную безопасность зданий по шкале:

{очень безопасное, безопасное, среднее, небезопасное, опасное}, по признакам: {ширина лестничных пролетов, количество лестничных пролетов на этаже, среднее количество людей на 1 кв.м.}. Тогда, значениями лингвистической переменной V с названием

"безопасность"являются множество лингвистических значений vj, j = 1,...,5 – { очень безопасное, безопасное, среднее, небезопасное, опасное}, здание S оценивается по признакам U_i i=1,2,3 : { ширина лестничных пролетов, количество лестничных пролетов и среднее количество людей на 1 кв.м.}. Ui ⊆ R, безопасность зданий оценивается одним из значений

"очень безопасное", "безопасное"и т.д.

Таким образом, после оценки мы будем иметь нечеткую классификацию множества оцениваемых объектов на m классов. В примере 1 это 5 классов, соответствующие значениям лингвистической переменной безопасность:очень безопасное, безопасное, среднее, небезопасное, опасное.

Приступим к описанию самого метода. На начальном этапе относительно каждого признака объект принадлежит одному из m классов. Принадлежность объекта одному из классов по каждому признаку определяется следующим образом.

Для каждого признака Ui определим нечеткие множества µv

j (xi), j=1,...,m, которые будем обозначать - µ_ij, следующим образом. Пусть U_i = [y_i1, y_i,m+1] ⊆ R – универсальные множества для µij, [yi1, yi,m+1] разбивается на m интервалов [yi1,yi2),[yi2,yi3),...,[yim,yi,m + 1] . (Интервалы соответствуют лингвистическим значениям vj

и определяются экспертами, т.е. если для объекта S = (x₁, ..., x_n), x_i ∈ [y_ij, y_i,j+1), то S по признаку i соответствует значению v_j.) Тогда, если y_ijмонотонно возрастают, то функция принадлежности µv

j (xi) =µij(xi) определяется следующим образом:

µ_i1(x_i) =







1, x_i ≤y_i1;

yi2−xi

yi2−yi1, yi1 ≤xi < yi2; 0, xi ≥yi2.

(1)

µij(xi) =







yi,j+1−xi

yi,j+1−y_ij, y_ij ≤x_i < y_i,j+1, j = 2,3,· · ·, m−1;

0, xi ≥yi,j+1.

(2)

µ_im(x_i) =







xi−y_im

yi,m+1−x_im, y_im≤x_i < y_i,m+1;

1, xi ≥yi,m+1;

0, y_im> x_i

(3) Аналогично, если y_ij монотонно убывают, то функции принадлежности определяются формулами:

µi1(xi) =







xi−yi2

yi1−yi2, yi1≥xi ≥yi2; 1, x_i > y_i1; 0, x_i< y_i2.

(4)

µij(xi) =







xi−yi,j+1

yij−y_i,j+1, y_ij > x_i≥y_i,j+1; j= 2,3,· · · , m−1;

0, xi < yi,j+1.

(5)

µ_im(x_i) =







yim−xi

yim−yi,m+1, yim> xi ≥yi,m+1

1, x_i < y_i,m+1 0, y_im≤x_i.

(6) Замечание. Значения µij(xi), выражают степень принадлежности объекта S нечеткому множеству соответствующему j-му классу и обращают разнородные значения признаков x_i, i=1,...,n объекта S в однородные, принадлежащие отрезку [0,1].

Пусть S = (x1, ..., xn). Рассмотрим матрицу R = (rij)n×m , где rij = µij(xi). Первый уровень модели нечеткой синтетической оценки описывается уравнением

wR=b

где w= (w1, ..., wn), 0≤wi ≤1 - весовой вектор, b= (b1, ..., bm), bj =

n

P

i=1

wirij, j= 1, ....m. Теперь опишем второй уровень модели нечеткой синтетической оценки. Предполагается, что на первом уровне мы оценили объект S по одному фактору, пусть имеется c факторов Φ¹, ...,Φ по которым производится оценка S и

b^t=w^tR^t ,

t= 1, ..., c – уравнения описанные на первом уровень модели для факторов Φ^t, w^t = (w₁^t, ..., w_n^t_t) – весовой вектор t-го фактора, R^t – матрица, составленная из значений функций принадлежности нечетких множеств µ^t_ij для t-го фактора, R^t= (r^t_ij)n×m, b^t= (b^t₁, ..., b^t_m) – результирующий вектор первого уровня модели для t - го фактора. Пусть B= (btj)c×m,

btj =b^t_j =

nt

X

k=1

w^t_kr^t_kj

t=1,...,c, j=1,...,m. Тогда, второй уровень модели нечеткой синтетической оценки определяется уравнением

p=WB, (7)

где W = (W₁, ..., W_c) – весовой вектор второго уровня модели нечеткой синтетической оценки, p= (p₁, ..., p_m), p_j =

Pc t=1

W_tb_tj – результирующий вектор второго уровня. Аналогично определяются 3-й, 4-й и т.д. уровни модели.

Пусть l = (l1, ..., l_m) – результирующий вектор последнего уровня модели нечеткой синтетической оценки, l_k = max{l_s|s= 1, ..., m}. Тогда полагаем, что объект S оценивается

лингвистическим значением vk, или другими словами принадлежит k-му классу нечеткой классификации.

2. Одно применение метода нечеткой синтетической оценки

В данной работе предлагается одно применение метода нечеткой синтетической оценки для решения задачи определения стоимости объектов недвижимости – жилья. Приводится двухуровневая модель, позволяющая дать оценку определенного типа жилья например, двухкомнатных квартир города Астана, в некотором диапазоне цен.

Описание модели дадим на примере двухуровневой трехфакторной модели.

Рассматривается вторичный рынок жилья.

На стоимость жилья оказывают влияние многие факторы и атрибуты, количественные, имеющие числовые характеристики и определяемые в некоторых единицах измерения, например высота потолка, и качественные, которым нельзя дать количественную характеристику, например, месторасположение. Пусть оценка производится по следующим 3 факторам: характеристики объекта, характеристики здания и месторасположение.

Предположим, что фактор характеристики объекта определяется следующими атрибутами:

общая площадь, высота потолка, площадь кухни, количество лоджий и балконов. Фактор характеристики здания атрибутами: тип конструкции, год постройки, этаж, материал постройки. Пусть тип конструкции определяется принадлежностью к одному из следующих множеств квартир: малосемейные, хрущовки, эконом класса, улучшенные, новостройки, элитные. Фактор месторасположение характеризуется атрибутами: удаленность от автодороги, расстояние до делового центра, наличие рядом магазинов, школы, рынка, остановок общественного транспорта.

Предлагаемый метод даст нам оценку квартиры, выражаемую значением лингвистической переменной “качество квартиры”, т.е. определит принадлежность некоторому классу нечеткой классификации, где каждый класс является нечетким множеством, соответствующим некоторому лингвистическому значению переменной “качество квартиры”.

На первом уровне модели следует определить матрицы R^t = (r^t_ij)n×m. r_ij^t - выражает степень принадлежности объекта классу j относительно признака i, для фактора с номером t. Например, если m = 5, то классы будут соответствовать нечетким множествам: очень хорошая квартира, хорошая, средняя, плохая и очень плохая. Покажем на примерах, как будут определяться rij в случае, когда атрибут с номером i измеряется некоторым числом и когда ему нельзя придать численное значение.

Пусть признак t является количественным, например высота потолка, площадь кухни или удаленность от автодороги. Тогда r_ij вычисляются согласно правилам (1) - (6). При этом разнородные значения обращаются в однородные, принадлежащие [0,1].

Пример 2. Высота потолка может варьироваться от 2,2 м. до 3 м. Предположим, что число классов классификации mравно пяти. Пусть очень плохая квартира имеет высоту потолка в диапазоне [2,2 -2,3) м., у плохой потолок принадлежит интервалу [2,3 -2,45) м., . . . , очень хорошая квартира имеет высоту потолка [2,8 -3] м. Тогда, если высота потолка равна, например, 2,35 м, то r_t2= (x_t−y_t,2)/(y_t,3−y_t,2) = (2,35−2,3)/(2,45−2,3) = 0,33, r_tj = 0, j 6= 2

Предположим, что t - й признак не может быть охарактеризован числовым выражением, например тип конструкции, который может принимать шесть различных значений:

малосемейные, хрущовки, эконом класса, улучшенные, новостройки, элитные. Тогда полагаем, что если квартира элитная то r_t1 = 1, r_tj = 0, j 6= 1, . . . , если квартира малосемейная или хрущовка, то r_t5= 1, r_tj = 0, j 6= 5.

Второй уровень модели определяется стандартным образом согласно уравнению (7).

Основной недостаток метода нечеткой синтетической оценки заключается в том, что принцип максимума, использующийся при принятии заключительного решения, не всегда приводит к адекватному результату.

Пример 3. Предположим результирующий вектор p = (0.3,0,0,0,0.7), тогда согласно правилу определяемому методом нечеткой синтетической оценки квартира будет определена как очень хорошая, поскольку max{p_j|i = 1, ...,5} = 0.7 соответствует пятому классу.

Очевидно, что в реальной ситуации она не будет оценена таким образом покупателем.

Для разрешения этого противоречия предлагается следующая процедура принятия решения о принадлежности объекта классу. Пусть p= (p₁, ..., p_m) - вектор получившийся на втором уровне модели, величинаpj выражает степень принадлежности объекта j-му классу.

Через ˜p обозначим целое число ближайшее к

m

P

j=1

jp_j. Тогда объект, оценим лингвистическим значением v_˜p, или другими словами будем полагать что он принадлежит ˜p-му классу.

Рассмотрим предыдущий пример, p = (0.3,0,0,0,0.7), тогда p˜ = 3,8, объект будет принадлежать четвертому классу, и квартира будет оценена просто как хорошая.

Таким образом, мы получим оценку квартиры соответствующую некоторому лингвистическому значению vi, i = 1, ..., m, для m = 5, vi будут соответствовать значения: очень хорошая квартира, хорошая, средняя, плохая, очень плохая. Определив для каждого v_i ценовой диапазон, например, очень хорошая квартира стоит от 65-80 тыс. у.е.

получим оценку стоимости квартиры.

3. Определение весов

Определение весов является важной задачей при использовании метода нечеткой синтетической оценки. Обычно, веса определяются экспертами, различным образом определенные веса приводят к разным результатам оценивания. Существуют различные способы определения весов. Приведем краткое описание некоторых методов.

Автоматическое определение весов [5] . Пусть S = (x₁, ..., x_n), s_ih = ^y_y^ih−yi,m+1

i1−y_i,m+1 и a_i = _y^xi−yi,m+1

i1−y_i,m+1, i = 1, ..., n, h = 1, ..., m. Если значение ai попадает в промежуток между sih и si,h+1, то ненормализованный вес w_i⁰ может быть получен по формуле:

w⁰_i= 0.5 + 0.1

h+ s_ih−a_i s_ih−s_i,h+1

(8) где s_ih≤ai ≤s_i,h+1,h= 1, ..., m;i= 1, ..., n.

Далее нормализуем веса: wi =w_i⁰/

n

P

i=1

w⁰_i.

Метод парных сравнений [6]. Пусть имеется n атрибутов некоторого фактора. Строится матрица (g_ij)n×n, в клетки которой заносятся некоторые числа выражающие степень предпочтения одного атрибута другому. Для выполнения условия согласованности полагаем

gij =







1, если атрибут i предпочтительнее атрибута j;

0.5, если атрибут j эквивалентен атрибуту i;

0, если атрибут j предпочтительнее атрибута i.

Тогда вес i-го атрибута определяется по формуле (

m

P

j=1

gij)/(P

i,j

gij).

В работе [7] предложен один подход к определению весов с использованием нейронных сетей.

Заключение

В работе представлено одно применение метода нечеткой синтетической оценки для оценки объектов недвижимости – жилья. Предлагается двухуровневая, многофакторная модель, модифицированная для решения предлагаемой задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. B.Q. Hu, S.M. Lo, M. Liu, C.M. Zhao On the use of fuzzy synthetic evaluation and optimal classification for fire risk ranking of buildings// Neural computing and application, N 2, 2009.

2. Ni-Bin Chang, H. W. Chen and S. K. Ning Identification of river water quality using the fuzzy synthetic evaluation approach// Journal of enviromental management, V.63, I. 3, pp. 293-305.

3. Заде Л.А. Размытые множества и их применение в распознавании образов и кластер анализе // В кн.: Классификация и кластер. М.: Мир, 1980, с.208-247.

4. Аверкин, А.H., Батыршин, И.З., Блишун, А.Ф., Силов, В.Б., Тарасов,В.Б. Hечеткие множества в моделях управления и искусственногоинтеллекта.- М.: Hаука. Гл. ред. физ.-мат.

лит., 1986. – 312 с.,– Библиогр.:с.279-306. – 6900 экз. – ISBN 1504000000

5. Zimmermann H.J.Fuzzy set theory and its application, 2^nd ed., Kluwer Academic Publisher, London, 1991

6. Т. Саати Принятие решений. Метод анализа иерархий. М. Радио и связь, 1993

7. Л.Л. Ла Об одной модификации метода нечеткой синтетической оценки. Вестник КазНУ им. аль-Фараби Серия “Математика, механика, информатика”, №1(64), 2010, с. 124-129.

Тусупов Д.А., Ла Л.Л., Муханова А.А.

Көптеген параметрлерден тұратын синтетикалык бұлдыр бағалау

Жылжымайтын мүлiк нысанының құнын бағалау есебiн шешуге арналған модификацияланған, синтетикалық бұлдыр бағалаудың көп факторлы, екi деңгейлi моделi ұсынылады.

Tusupov D.A., Lа L.L., Mukhanova A.A.

Fuzzy synthetic evaluation on many parameters

The two-level, multi-factor fuzzy synthetic evaluation model, modified for the task of assessing the value of real estate.

Поступила в редакцию 24.09.12 Рекомендована к печати 26.10.12