ОБРАТНАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ПОДЗЕМНОГО ТРУБОПРОВОДА С УЧЕТОМ ПОГОДНЫХ УСЛОВИЙ

«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция

327

УДК 519.62:624.131

РЫСБАЙУЛЫ Б., БЕКАРЫСТАНКЫЗЫ А.

АО «Казахстанско-Британский технический университет», Алматы, Казахстан

ОБРАТНАЯ ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА ПОДЗЕМНОГО ТРУБОПРОВОДА С УЧЕТОМ ПОГОДНЫХ УСЛОВИЙ

Следует отметить, что прокладка траншеи с последующей укладкой нефтепровода и засыпкой измельченным грунтом приводит к значительному изменению теплофизических свойств грунта. При этом на значительной протяженности трассы существенно нивелируются свойства грунтов, непосредственно окружающих уложенный нефтепровод, а также усиливается влияние влажности из-за облегчения распространения влаги атмосферных осадков в толще измельченных грунтов /1/.

Основной проблемой расчета и прогнозирования тепловых режимов подземных трубопроводов является точность прогноза теплофизических параметров грунта вдоль трассы трубопровода, особенно в зоне распространения промерзающих, оттаивающих и увлажненных грунтов /2/. Причем это не связано с недостаточной изученностью физических процессов.

Вопросам взаимодействия трубопровода с грунтом всегда уделялось много внимания и посвящено большое количество научных работ. Однако мерзлотные процессы и процессы влагопереноса относятся к неустойчивым физическим явлениям, на которые оказывают влияние многие случайные факторы /3/. Поэтому в настоящей работе изучается влияние погодных условий на подземный нефтепровод.

Математическая модель

Уравнение распространения тепла в промерзающей зоне грунта имеет вид /4/:



 











 





z z z z t

C   

) ( )

( , 0 zH, (1)

 



в



_{z H}

H z

t z _  T ^



  

 , _m

z_0 T

 , (2)

 

^z

t 0 0

 _  . (3)

Здесь C-коэффициент объемной теплоемкости,- коэффициент теплопроводности, а H- глубина укладки нефтепровода.

^Tg

 

^t , 0t T. (4)

Требуется определить температуры трубопровода и распределение температуры засыпного грунта. Температура на поверхности нефтепровода влияет на распределение тепла в засыпном грунте, поэтому  



z,t,Tm



.

Задача решается итерационным методом. Задается начальное приближение T_mⁿ, где n- номер итерации. Следующее приближение температуры грунта на поверхности трубопровода определяется из минимума функционала

«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция

328

   



^



T

g

m H t T t dt

T J

0

) 2

( ,

)

(  .

Записываем системы (1)-(3) дляnи n1. Составляем уравнение относительно

  

mⁿ



n

m z t T

T t

z, , ¹  , ,



  

 ^ :



 













 







z z z z t

C   

) ( )

( , 0z H, (5)

H z H

z z_   ^





   

 , _m

z

n T

 0 , (6)

0 0

 t

n . (7)

Умножая (5)-(7) на произвольную функцию (z,t)и интегрируя в области



H

  

T

Q 0,  0, , после нескольких преобразований получаем сопряженную задачу:

0



 











 





z z

C t  

, (8)

   



H t T t



z _{z H}   ^g



 



 







, 2

 

 , (9)

,

0 0



 z  _tT 0 (10)

и интегральное соотношение:

   

 

 

 

 







T T

z m

g dt

T z dt t T H t

0 0 0

,  



 .

Преобразуя функционал и используя интегральное соотношение, выводится равенство

      

_





  



 





H

H z T

z m

n m n

m dt dt

T z T

J T

J

0

2

0 0

1    .

Первое слагаемое в правой части знака равенства имеет первый порядок малости, а второе слагаемое имеет второй порядок малости. Если







 







 





T

z n

m dt

T z

0 0

 

 то

      

_





   









 





H

H z T

z n

n m n

m dt dt

T z J T

J

0

2 2

0 0

1     .

«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция

329

Поэтому знак

   

mⁿ n

m J T

T

J ^1  определяется знаком первой слагаемой, стоящей в правой части последнего равенства.

В работе доказаны:

Лемма 1. Если ^₀

 

^{z L}₂



^0,H



^{; T}в

 

^t ^L₂

 

0,^T , то для решения задачи (1)-(3) имеет место оценка

    





^_ ^{  }

 ^t dt ^t H t dt C ^tT_m t dt C z

0 2 1

0 2 0

2

2 , 2

2  



 

 ,

где

    



^

C^H z dz ^TT_в t dt C

0 2 0

2 0

1  2 .

Лемма 2.Если₀

 

z L₂



0,H



; T_в

   

t ,T_g t L₂

 

0,T тогда для решения задачи (8)-(10) имеет место оценка

  



^{ }_ ^{ }

 ^T

t

n T

t n

t n C

dt z t H

C ₂

2 2 2

,

max     

где

    



^





 

 C ^TT_m t dt ^TT_g d C

0 2 0

2 2 1

2

2 4

4  

 

 .

Теорема 1. Если ^₀

 

^{z L}₂



^0,H



; ^Tв

   

^t ,^Tg ^t ^L₂

 

0,^T тогда существует константы C₃, C4 зависящие непрерывным образом от начальных данных такие, что

4

3 T C

C  _m  .

Теорема 2. Если 0

 

^z ^L2



^0,H



,T_в

   

t ,T_g t L₂

 

0,T ;



^_ ^

 T

z

z dt

0 0

 0

 тогда управляя

параметром _n можно получить монотонность функционала.

Литература

1. Гухман А.А. Физические основы теплопередачи. ОНТИ, 1934.

2. Чудновский А.Ф. Теплобмен в дисперсных средах. – М. Гостехиздат, 1954, 444 с 3. Жумагулов Б.Т., Рысбайұлы Б., Адамов А.А. Сходимость разностной схемы для обобщенной задачи Стефана конвективного распространения влаги // Вестник НАН РК.

2007. - №5. - С. 30-41.

4. Рысбайулы Б., Исмайлов А.О. Определение коэффициента теплопроводности

однородного грунта в процессе промерзаний// Доклады НАН РК. -2008. -№2. - С. 26-28.

«Қоғамды ақпараттандыру» III Халықаралық ғылыми-практикалық конференция

330

5. Рысбайулы Б., Байманкулов А.Т., Исмайлов А.О. Разностный метод определение коэффициента теплопроводности грунта в процессе промерзаний// Вестник НАН РК.

2008. -№2. - С. 7-9.