Описание нормальных расширений

Математические заметки

Т О М 53 В Ы П У С К 5 МАЙ 1993

О П И С А Н И Е Н О Р М А Л Ь Н Ы Х Р А С Ш И Р Е Н И Й Б.Н. Бияров, М . Отел баев

Линейный ограниченный оператор А в г и л ь б е р т о в о м п р о с т р а н с т в е Я называется нормальным, если Л Л * = А* А. С п е к т р а л ь н ы е свойства т а к ц х операторов изучены д о с т а т о ч н о полно. Однако, проверить нормальность конкретных операторов очень т р у д н о . Е с л и ввести обозначения AR = {А + Л * ) / 2 , А J = (А - Л*)/2г', то А = A R i A j . Т о г д а А я в л я е т с я нормальным т о г д а и только т о г д а , к о г д а ARAJ — AJAR. Т а к и м образом, проверка нормальности ограниченного оператора равносильна проверке к о м м у т а т и в н о с т и д в у х самосопряженных операторов. Но д л я неограни­

ченных операторов понятие коммутативности ввести т я ж е л о . Э т о хорошо видно из примера Нельсона [1]. В связи с э т и м д л я неограниченных опе­

р а т о р о в понятие норхмальности надо вводить п о - д р у г о м у .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. З а м к н у т ы й оператор L в г и л ь б е р т о в о м п р о с т р а н с т ­ ве Я называется формально нормальным, если D{L) С и =

IILVII V / G ^ L ) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Формально нормальный оператор L называется нор­

мальным, если D{L) — D{L*).

Теперь легко проверить справедливость с л е д у ю ш е г о у т в е р ж д е н и я .

Л Е М М А . Замкнутый оператор L в гильбертовом пространстве Я является нормальным тогда и только тогда, когда D{L) — D{L*) и {LR/, Ljf) = [Ljf, LR!) V / G D{L), где LR = {L^ L * ) / 2 , LJ = ( L - L * ) / 2 i .

В г и л ь б е р т о в о м пространстве Я оператор LQ называется минималь­

ным, если уравнение LQU — f корректно разрешимо, т.е. Уг^ G D{LQ) справедливо ЦЬо'^Ц > С | | г / | | , г д е С > О не зависит от и и.Д(^о) / Н. З а м ­ к н у т ы й оператор L называется максимальным, если уравнение Ьи = / везде разрешимо, т.е. R{L) = Я . П у с т ь с у ш е с т в у е т д р у г о й минимальный

( с ) Б . Н . Б И Я Р О В , М . О т Е Л Б А Б В 1 9 9 3

22 Б . Н . Б И Л Р О В , М . О Т Е Л Б А Е В

оператор MQ С D{MQ) = D { L Q ) И связанный с LQ соотношением (LQU, V) =

(U^MQV) \fu,v £ D{LQ). Тогда максимальный оператор L = явля­

ется расширением Zo, а М = LQ является расширением оператора Мо.

Известно, что если сушествует нормальное расширение L минимально­

го оператора LQ , то он является также сужением максимального операто­

ра L , т.е. LQ С L С L, di L* - тоже нормальный и Мо С L* С М.

Заметим также, что для существования нормального расширения ми­

нимального оператора LQ необходима формально нормальность LQ.

Нормальные операторы изучены многими авторами с различной точ­

ки зрения. Описанию области определения нормальных расширений фор­

мально нормального минимального оператора посвящены работы [2]-[4].

Но результаты этих работ для проверки нормальности конкретных опе­

раторов оказались мало эффективными. Поэтому нашей целью является облегчение проверки нормальности расширения минимального оператора и описание всех корректных нормальных расширений с помощью одного известного корректного нормального расширения.

Пусть минимальный оператор LQ является формально нормальным.

Тогда замыкания операторов AQ = {LQ -\- М о ) / 2 и BQ = (LQ — Мо)/2г, определенных на D{Lo) = D{MQ) являются симметрическими, обозна­

чим их соответственно AQVLBQ. ЕСЛИ существует нормальное расширение

L минимального оператора LQ , то в представлении L — LR-\-iLj замыка­

ние L R является самосопряженным расширением AQ, а замыкание Lj яв­

ляется самосопряженным расширением Яо, и на D{L) = D{LR) П D{LJ) выполняется равенство

{LRU,LJU)^{LJU,LRU). (1)

Пусть нам даны два самосопряженных оператора Л и Я такие, что Л о С Л и Яо С В. Рассмотрим оператор L — А iB, определенный на D{L) — D { A ) П D{B), где А - сужение оператора Л на D{L), В - сужение В на

D{L). Ясно. 4 T o L o С L и MQ С L*. Пусть {Аи,Ви) = {Ви,Аи) Е D{L), тогда L* = А — iB и L является нормальным расширением LQ .

Тем самым доказана следующая

ТЕОРЕМА 1. а) Пусть L - нормальное расширение минимального оператора LQ, тогда замыкания операторов LR = {L-{- L*)/2 и Lj — [L — L * ) / 2 2 суть самосопряженные расширения минимальных опера­

торов Ло и Во соответственно, а на D{L) = D{L*) = D(LR)C\D(LJ) имеет место равенство (1);

б) обратно, пусть А и В - самосопряженные операторы такие, что Ло С Л и Во С В, а на D{A) П D{B) выполняется равенство (Аи,Ви) — {Ви.Аи), тогда оператор L — А Л- гВ с D{L) — D{A П

О П И С А Н И Е Н О Р М А Л Ь Н Ы Х Р А С Ш И Р Е Н И Й 23 D{B), где Л - суоюение Л на D{L), В - сужение В на D{L), является

нормальным расширением минимального оператора LQ.

Итак, мы получили полное описание нормальных расширений. Следует отметить, что для ограниченных операторов равенство (1) означает пере­

становочность самосопряженных операторов LRVL Lj.

П Р И М Е Р 1. В L2 (0,1) рассмотрим простое дифференциальное выраже­

ние

, d'^u du

Минимальный оператор LQ действует как /(г/), а область определения D{Lo) ={ие W,\0,1) : и{0) = и{1) - ^ ' ( 0 ) = и\1) = О}.

Тогда минимальный оператор Мо, действующий как

d'^u du

с областью определения D{Mo) = D{LQ) связан с LQ соотношением (Loif, v) = {и, Mov) \/и, V е D{Lo).

Максимальный оператор L = MQ действует как 1{и) и область опреде­

ления D(L) = ^2(0, 1), а М = LQ действует как 1*{и) и область опре­

деления D(M) — И^2^(0,1). Легко заметить, что Lo является формально нормальным. Тогда оператору Ло соответствует оператор с действием

d?u - ^

l'^(u) = -т-г- = f и областью определения D(Ao) = Wl(0.1), а операто- ру Во соответствует оператор с действием 1~ (и) — ~^~г — f ^ облас-

dx о

тью определения D(Bo) = И^2(0?1)- Всевозможным самосопряженным расширениям минимального оператора Ло соответствуют операторы Л с действием 1'^{и) и областью определения

(1 - а)и(О) + 6и'(0) + аи(1) - (а + 6)w'(l) = О, (1 + с)«(0) - аи'{0) - (1 + c)w(l) + (с + а)и'{1) = О}, где а - комплексный, 6, с - вещественные параметры. А самосопряженным расширениям минимального оператора So соответствуют операторы В с действиями 1~ (и) и областями определения

D{B) = {ие W^{0,1) : 7/(0) = аи(1), \а\ = l } .

24 Б.Н. Б И Я Р О В , М. О Т Е Л Б А Е В

На

D{A П D{B) = {и е W^{0,1) : и{0) = аи{1), п\0) = W( l ) , |а| 1}

сужения Ли В соответствующих операторов Ли В удовлетворяют соот­

ношению (1). Поэтому всевозможными нормальными расширениями ми­

нимального оператора LQ ЯВЛЯЮТСЯ операторы L с действием 1{и)и облас­

тью определения

П Р И М Е Р 2. В пространстве L2{Ct), где = {{х,у) : х

е

[0,1], у

е

[0,1]}, рассмотрим оператор Коши-Римана

Ifdu .ди\ , '''^2[Гх-'%)=^^^^У^-

Легко проверить, что минимальный оператор LQ С областью определения D(Lo) = {ti G H^2(fi) • ^ — о} является формально нормальным.

Находим все нормальные расширения по теореме 1. Оператору Ло соот­

ветствует оператор с действием Ьци ^ — и областью определения 2 оу

П{Ло) = {u,Uy е Ь2{П) : и{х,(}) = и{х, 1) = О } .

А оператору Во соответствует оператор с действием Lju — и об­

ластью определения ^

D{Bo) = {u,u:, е Ь2{П) : 1/(0, у) = и{1,у) = О } .

Всевозможными самосопряженными расширениями Л о являются опера­

торы с действием LRH областью определения

D{LR) - {u,uy

е

L2iQ) : и{х,0) = а{х)и{х, 1), |а| = l } . А самосопряженными расширениями Во являются операторы с действием

L J и с

D{Lj) = {и,и, е Ь2{П) : и{0,у) = ^{у)и{1,у), Щ = l } .

О П И С А Н И Е Н О Р М А Л Ь Н Ы Х Р А С Ш И Р Е Н И И 25

На D{LR)C\ D{LJ) рассмотрим равенство ( 1 ) для LR И LJ ,тт LR- суже­

ние LR на D{LR) П D{LJ), di LJ - сужение Lj на D{LR) П D{LJ). Тогда равенство ( 1 ) имеет следуюший вид:

L

^{г/^(ж,}

^{1) -}

a{x)ua^{x,{))]u{x,\)dx

= / К ( 1 , у ) - Щ % ( 0 , у ) ] г / ( 1 , у ) dy.

Jo /о

Отсюда в силу плотности в L 2 ( 0 , 1 ) множеств

М = {и{1,у) е ^ 2 ( 0 , 1 ) : и Е W^{Q), и{х,1) = и{х,0) = О}

и

N = {и{х, 1) Е L2(0, 1) : гу, Е (fi), ^(1,2/) = ^{0, у) = О}

получим, что Ux{x,

0) =

a(x)ua;{x,

1),

1/2^(0, у) = l3{y)uy{l,y). Сравнивая эти условия с D{LR) И D{LJ) соответственно, легко убедиться, что а и - постоянные. Поэтому всевозможные нормальные расширения минималь­

ного оператора LQ имеют вид:

1

(ди .ди\

D(L) = {уе Wl ( f i ) : i / ( x ,

0) -

аи[х,

1),

т/(0, у) = f3u{\,y), \а\ = \(3\ =

1 } .

Других нормальных расширений не сушествует.

З А М Е Ч А Н И Е . ЕСЛИ В примере 2 в качестве области fi брать единичный круг, то легко проверить, что нарушается формально нормальность ми­

нимального оператора LQ . Так как это необходимое условие сушествова- ния нормального расширения, то получается, что нормальных расшире­

ний оператора Коши-Римана в кругу нет. Этот результат более громозд­

ким способом был получен в работе [5].

Пусть Lo и L - операторы, определенные выше. Некоторое сужение (расширение) L максимального оператора L (минимального LQ) будем на­

зывать корректным сужением (расширением), если уравнение Lu = f в Н корректно и везде разрешимо. В случае, когда Lo С L С L, L назы­

вается регулярным расширением. Пусть известно одно нормальное регу­

лярное расширение LH минимального оператора LQ. Очевидно, что все нормальные корректные расширения минимального оператора Lo и суже­

ния максимального оператора L являются регулярными расширениями.

А всевозможные регулярные расширения LK оператора Lo имеют следу­

ющее описание обратных [6]:

u = L~'f=LJ,'f+Kf У / е Я , ( 2 )

26 Б.Н. Б И Я Р О В , М. О Т Е Л Б А Е В

где К - произвольный ограниченный оператор, действующий из Я в Кег L, причем Я(Ьо) С К е г / \ . Такими операторами исчерпываются всевозмож­

ные регулярные расширения Ьк оператора LQ. Описанию всех нормаль­

ных регулярных расширений с помощью одного известного посвящена сле­

дующая

ТЕОРЕМА 2. Пусть известно одно нормальное регулярное расши­

рение Ьн минимального оператора LQ. Тогда регулярное расшире­

ние Ьк минимального оператора LQ является нормальным тогда и только тогда, когда 0{Ьк) — D{b'^) и (МК)* — LK*, где К - ли­

нейный ограниченный оператор из представления (2), а М — LQ.

Л о К А З А Т Е Л Ь С Т Б О . Пусть L K - нормальное регулярное расширение.

Тогда L~^{L~^y — (L^y L'^. В силу представления (2) получим

Отсюда

L-^4Cf^ K(L^HY4 + A V i * / {L*H)~^Kf -f K*L],'f + K4<f. (3)

Из необходимого условия нормальности D{LK) ~ D(L^) следует, что

R{K) С D{M)HR{K*) С D{L),R{K*) С К е г М . Поэтому из замкнутос­

ти операторов L и М получим ограниченность операторов L/iT* и МК, А из (3), действуя максимальным оператором L, получим

K^f LH{LHV'Kf+ LirL^'f^LirKf.

Отсюда

Kf^K*L}jLJj'f-^iL*Hr\LK*yf + K*{LK*rf.

Действуя оператором М на обе части, имеем

MKf = {LK*yf У / Е Я . Это равносильно тому, что LK* = (МКу .

Теперь докажем обратное. Пусть D{LK) = D{L*j^) и LK* — [МКУ.

Тогда для л ю б о г о / и з Я найдется у из Я таксе, что ti — Lj}f = (L|^)~^y, где д пробегает все Я . Это равенство перепишется в виде:

LJi'f+Kf = {L%r'g+K*g. (4)

О П И С А Н И Е Н О Р М А Л Ь Н Ы Х Р А С Ш И Р Е Н И И 27

Действуя на обе части р авеества оператором М, получим д = + МК f. Подставляя у в (4), имеем

Kf = {L}jr'MKf Ч- К*Ь*нЬ-'/-}- K*MKf V / G Я .

Тогда

к*/ = {мкгь-'/^Ьн{ь},Г'к/-{-{мкгк/.

в силу того, что (МК)* = LA^*, имеем

/ Г / LK4jj'f^LH{L},)-'Kf + LK4{f. (5)

К обеим частям равенства (5) добавим (L*j^)~^ f, тогда

K*f +

{Ь*нГ'/ =

( L ^ ) -V

+

LK*Lj/f+ L„{L*H)-'Kf + LiCKf.

Это равносильно следующему равенству:

Отсюда легко получить, что

Это равносильно следующему равенству: = LK{L'K)~^f-

Таким образом, получили

Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из условия (МК)* = LK* видно, что количество нор­

мальных расщирений минимального оператора прямо пропорционально зависит от моишостимножества Кег L O Кег М . Например, для дифферен- циального выражения 1(у) = -— = / в ^ 2 ( 0 , 1) всевозможные нормаль- ные расширения Ьк минимального оператора LQ, порожденного диффе­

ренциальным выражением /(у), исчерпываются расширениями, у которых П{Ьк) = D{b*j^) потому, что условие (МК)* — ЬК* выполняется авто­

матически в силу равенства Кег Ь — Кег М . А в примере 1 Кег Ь П Кег М - одномерное множество, натянутое на единицу. Поэтому класс нормаль­

ных расширений оказался узким, т.е. он описывается с помощью гранич­

ных условий, зависящих от одного параметра а, \(У\ — 1.

Казахский государственный . П о с т у п и л о

университет им. Аль-Фараби 09.04.92

Институт математики и механики АН Республики Казахстан

28 Б.Н. Б И Я Р О В , М. О Т Е Л Б А Е В

С П И С О К Ц И Т И Р О В А Н Н О Й Л И Т Е Р А Т У Р Ы

[1] Р и д М . , С а й м о н В . М е т о д ы современной математической физики, Функцио­

нальный анализ. М . : М и р , 1977.

[2] C o d d i n g t o n Е . А . N o r m a l extensions of formally normal o p e r a t o r s / / Pacific J. of M a t h . I 9 6 0 . V . 10. JV?4. P. 1 2 0 3 - 1 2 0 9 .

[3] C o d d i n g t o n E . A . Formally n o r m a l o p e r a t o r s having no n o r m a l e x t e n s i o n s / / C a n a d i a n J. of M a t h . 1965. V . 17. Хзб. P. 1 0 3 0 - 1 0 4 0 .

[4] Б и р и у к Д . , К о д д и н г т о н Е . A . Нормальные расширения без выхода из дан­

н о г о г и л ь б е р т о в а п р о с т р а н с т в а / / М а т е м а т и к а - переводы. Т . 10, N 2. 1966.

[5] Б р о й т м а н Р . П . Нормальные корректные сужения для н е к о т о р ы х дифферен­

циальных о п е р а т о р о в : Л и с . . . . канд. физ.-мат. наук. А л м а - А т а , 1 9 9 1 .

[6] К о к е б а е в Б . К . , О т е л б а е в М . , Ш ы н ы б е к о в А . Н . К в о п р о с а м расши­

рения и сужения о п е р а т о р о в / / Д А Н С С С Р 1983. Т . 2 7 1 . К^б. С . 2 4 - 2 6 .