О нижней оценке нормы интегрального оператора свёртки

(1)

О нижней оценке нормы

интегрального оператора свёртки

Е. Д . Н У Р С У Л Т А Н О В , К . С. С А И Д А Х М Е Т О В Институт прикладной математики АН Республики Казахстан

УДК 517.5

Ключевые слова: оператор свёртки, гармонический отрезок.

Аннотация

В работе изучается вопрос о нижней оценке нормы оператора свёртки. До

казано, что если 1 < р <С q < +00, К(х) ^> 0 Ух £ Rn и оператор (Af)(x) = / К(х - y)f(y) dy = К * f

ограниченно действует из Lp в Lq, то существует константа C(p,q,n), такая что

С sup ——; —г- I К(х) dx <С \\А\\ г _i. г . eeQ(c) |e|i/P-i/<? J У ' ^ " " L " ^

е

Здесь Q(C) — множество всех измеримых по Лебегу множеств конечной меры, удовлетворяющих условию |е + е| <С С • |е|, |е| — мера Лебега множества е.

Если 1 < р < q < +00, оператор А ограниченно действует из Lp в Lq и £} — множество всех гармонических отрезков, то существует константа C(p,q,n), такая что

К(х) dx С sup

ебё |е|1/Р-1/<?

<\\А\\

A b s t r a c t

Е. D. Nursultanov, К. S. Saidahmetov, On lower bound of the norm of integral convolution operator, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 8 (2002), no. 1, pp. 141-150.

We study the lower bound problem for the norm of integral convolution operator.

We prove that if 1 < p <C q < +00, K(x) ^> 0 Ух £ Rn and the operator (Af)(x) = / K(x - y)f(y) dy = К * f

is a bounded operator from Lp to Lq, then there exists a constant C(p,q,n) such that

С sup ——; - 7 - / K(x) dx <C \\A\\ г _i. г . eeQ(C) |e|l/P-l/<? J У ' ^ " " L " ^

e

Here Q(C) is the set of all Lebesgue measurable sets of finite measure that satisfy the condition |e + e| <C С • |e|, |e| being the Lebesgue measure of the set e.

Фундаментальная и прикладная математика, 2002, том 8, № 1, с. 141—150.

(с) 2002 Центр новых информационных технологий МГУ, Издательский дом «Открытые системы»

(2)

142 Е. Д. НУРСУЛТАНОВ, К. С. САИДАХМЕТОВ

If 1 < р < q < +00, the operator A is a bounded operator from Lp to Lq, and

£} is the set of all harmonic segments, then there exists a constant C(p,q,n) such that

K(x) dx <C 11 A||

С sup

eea |e|i/p-i/9

Пусть Жп — n-мерное евклидово п р о с т р а н с т в о . Р а с с м о т р и м и н т е г р а л ь н ы й о п е р а т о р свёртки

(Af)(x) = J К(х - y)f(y) dy = К * /, (1)

ж-

действующий из Lp в Lq, где Lp = Lp(Mn) — п р о с т р а н с т в а Л е б е г а .

При 1 <С р <С q <С + 0 0 согласно неравенству Ю н г а имеем, ч т о \\A\\L ->L ^

^ ||А'||^г, где - = 1 — - + - . Но данное д о с т а т о ч н о е условие невозможно применить для операторов со степенным я д р о м К(х) = pW. Согласно нера

венству Х а р д и - Л и т т л в у д а о п е р а т о р Af = J i^_\y является ограниченным т о г д а и только т о г д а , когда - = 1 1—.

О'Нейлом [2] было доказано неравенство \\A\\L ->L ^ С • \\К\\гоо (1 <i p <i

<С q <С + о о , - = 1 — - + - , Lroo — п р о с т р а н с т в о Марцинкевича), к о т о р о е даёт более тонкое, чем неравенство Ю н г а , д о с т а т о ч н о е условие ограниченности ин

т е г р а л ь н ы х операторов свёртки и о х в а т ы в а е т неравенство Х а р д и - Л и т т л в у д а . Одной из т р а к т о в о к неравенства О'Нейла является следующая оценка:

\\M\bP^Lq ^ C(p, q) sup | e | 1 / p_1 / g К(х) dx (2)

где Е — множество всевозможных ограниченных измеримых по Лебегу под

множеств Жп, |е| — мера Л е б е г а множества е.

В данной р а б о т е изучается вопрос о нижней оценке нормы о п е р а т о р а свёртки. Показано, ч т о если вместо Е в з я т ь некоторое более узкое семей

ство, т о соотношение (2) о б р а щ а е т с я . Верны следующие р е з у л ь т а т ы .

Т е о р е м а 1. Пусть 1 < р <С q < + 0 0 , К(х) ^> 0 Уж £ Жп. Если оператор (1) ограниченно действует из Lp в Lq, то существует константа С(р, q, п), такая что

е

Здесь Q(C) — множество всех измеримых по Лебегу множеств конечной меры, удовлетворяющих условию \е + е\ <С С • \е\.

З а м е ч а н и е . З а м е т и м , ч т о при р = q т о ч н ы е верхние г р а н и в (2) и в последнем соотношении с о в п а д а ю т и получается необходимое и д о с т а т о ч н о е условие ограниченности о п е р а т о р а (1), действующего из Lp в Lp, ч т о было доказано В. Д. С т е п а н о в ы м (см. [3]).

(3)

О Н И Ж Н Е Й О Ц Е Н К Е Н О Р М Ы И Н Т Е Г Р А Л Ь Н О Г О О П Е Р А Т О Р А С В Ё Р Т К И 1 4 3

Пусть х = (xi, . . ., хп) £ Жп, у = (j/i, . . ., Уп) £ Жп. Т о г д а запись х <i у бу

дет о з н а ч а т ь хг <^ у{ \/г = 1, . . ., п. Для п а р ы х £ Жп и г/ £ Жп введём операцию х о у = (xi • yi, X2 • У2, • • •, хп • уп), сопоставляющую паре в е к т о р , полученный умножением к о о р д и н а т с одинаковыми номерами. Т а к ж е обозначим

Ж" = {х £ Жп | Xi ^ 0 \/г = 1, . . ., п), {га £ Zn | га8- ^ 0 \/г = 1, г}.

Е с л и ^ G l i d £ l n , T O ^ = ^ = ( £ db. . . , £ d „ ) .

Пусть d £ Ж " . Через Id{z) обозначим прямоугольный параллелепипед с центром в т о ч к е z £ Жп и со сторонами, параллельными к о о р д и н а т н ы м осям, имеющими длины d\, . . ., dn, т о есть

W)

х £ Ж " № - ^' <

О п р е д е л е н и е . Пусть h £ Ж", га £ Z " , AJ — н е к о т о р ы й параллелепипед.

Множество

Qd{x,m,h) = ( J Id(x + ioh)

назовём гармоническим отрезком, порождённым параллелепипедом /<г(ж).

Множество всех гармонических отрезков обозначим через Q.

Т е о р е м а 2. Пусть 1 < р < q < + о о . .Если оператор (1) ограниченно действует из _Lp в Ад, т о существует константа С(р, q, n), такая что

г 1

С S U p ——; —j-

еео l e ^ / P - i / ?

А'(ж) йж ^ №P- L9.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Пусть о п е р а т о р (1) ограниченно действует из Lp(Rn) в Lq(Rn).

Р а с с м о т р и м /(ж) = х _ (е+ е ) (ж) — х а р а к т е р и с т и ч е с к у ю функцию множе

с т в а - ( е + е). Ясно, ч т о | | / | |р = |е + е]1^ <С С*1^ • \е\^Р. Т о г д а

1ИЛ1,

ж» ж»

>

К{х -y)f{y)dy) dxj ^

А'(ж — г/) rfj/ ) йж

« л1 / д

К (у) dy dx

-(е + е) (е + е) —г

Если ж £ е, т о е + ж С е + е. О т н и м а я о т обеих частей ж, получим, ч т о если ж £ е , т о е С е + е — ж. Т о г д а в силу н е о т р и ц а т е л ь н о с т и А'(ж) из последнего в ы р а ж е н и я получаем

(4)

144 Е. Д. Н У Р С У Л Т А Н О В , К. С. С А И Д А Х М Е Т О В

\\Af\\

^q

^ П( J K(y)dy\ dx\ 2

е (е + е)-х

,1 / 9

K(y)dy\ dx\ =\е\1'ч I K(y)dy.

Но с другой стороны, в силу ограниченности о п е р а т о р а

ll^/IU ^ 11^11 " И/ИР ^ С

^{1 / Р}

" 11^11 " к|

^{1 / р}

-

Следовательно,

Н

¹

^ /ад<*

^!/

^с

¹

/'-И|.|е|

^1/р

.

В силу произвольности е э т о означает

е

В частности, при р = q м ы получаем CiHA'))^ <С ||А||. Теорема доказана.

Л е м м а 1. Если х £ /<г£(0), то для любой точки и> £ Жп

Id{u) С /d( i+ £) ( w -х).

Д о к а з а т е л ь с т в о . По определению п р я м о у г о л ь н и к а

x£lde{0) -<=>• \xi\ ^ -J— Vi = l , . . . , n ,

z £ /d( w ) -<=>• \zi-u>i\^-^ V i = l , . . . , n . Т о г д а для произвольно в з я т о й т о ч к и z из п р я м о у г о л ь н и к а /<г(ш) имеем

Z £ I^d(uj) = > • \zi - (0Ji - Xi)\ ^ \zi -Шг\~ \xi\ ^

di die di{\ + s)

< = — vi = 1 , . . . , n.

^ 2 2 2

Следовательно, z £ AJ(I_|_£)(W — Ж). Произвольность выбора т о ч к и z д о к а з ы в а е т лемму.

Л е м м а 2. Если Id(x) £ AJ(I_|_£)(J,), TO существуют прямоугольники Г, i = 1 , 2 , . . . , 2 г а , т а к и е ч т о |А П Р | = 0 п р и г ^ J, И ^ (1 + е)2"_ 1е|/<г(ж)1

2п

Hld(l+e)(y)\Id(x)= \JP.

8 = 1

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

Мж) = И А ] х . . . х [an,bn], Id(i+e)(y) = [a[,b[] x . . . x [a'n,b'n].

(5)

О НИЖНЕЙ ОЦЕНКЕ НОРМЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА СВЁРТКИ 145

По условию леммы

\b'i-a'i\ = {l + e)di = {l + e)-\bi-ai\.

Т о г д а в качестве искомых параллелепипедов можно в з я т ь , например, следую

щие множества:

I1 = К , ai] х [a'2, 6'2] x . . . х К , b'n], P = [b1,b[]x[a'2,b'2]x...x[a'n,b'n], 13 = [ ab 61] x [a'2, a2] x . . . x [a'n, b'n],

14 = [ab&i] x [b2,b'2] x . . . x [a'n,b'n],

[ab&i] x . . . x [a8-_i,68-_i] ...[а'ищ] . . . [a'i+1, b'i+1] x . . . x [a'n, b'n] I2l = [ai,b1 [a,-_b 6,-_i] . . . [6,-, b'i\ ... [a'i+1,b'i+1] x...x[a'n,b'n],

I2n = [a1,b1]x...x[bn,b'n].

По построению ясно, ч т о Id(i+e)(y) \ Id(%) = U /г и |/г П /J I = 0. Т а к ж е меру

8 = 1

п р я м о у г о л ь н о г о параллелепипеда Г можно оценить следующим образом:

1Л ^ П Ц -

^а

Ж ~<\- \bi - a,-|) ^ П(

¹

+

^е

К' • ((! +

^е

К' " *) =

2п ч

П <*,-)• a + е ) 2 п _ 1 е = (1 + е) 2 п _ 1 е • \id(*)\-

Л е м м а доказана.

Л е м м а 3 . Пусть 1 < р < q < 00, 1

"Е И

¹

/*"

¹

/*

^{К(х) dx}< + 0 0

и оператор (1) ограниченно действует из _Lp(Mn) в _Lg(Mn). Тогда существу

е т константа С, не зависящая от К, что для нормы оператора справедливо неравенство

' K(x)dx <С \\А\\

С • sup -——.——г- _{.Lr, У-Ьп}

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть о п е р а т о р конечен и

J =

!7*W^

^{К(х) dx}^{< 00.}

Т о г д а по определению точной верхней г р а н и существует гармонический от

резок Qd(x, га, К), т а к о й ч т о

(6)

\Qd{x,m,h)\yp-y^ К(х) dx > J. (3)

Qd(x,m,h)

Пусть е = (xtbOfrs-- Обозначим [гае] = ( [ r a i e ] , . . . , [гапе]).

Пусть к — число компонент в е к т о р о в [гае], для к о т о р ы х [гаге] > 0, т . е.

т

к = У sign [га j е].

8 = 1

Не о г р а н и ч и в а я общности, можем с ч и т а т ь , ч т о при г = 1,2, ... ,к [гаге] ^ 1- Обозначим через Q линейную сумму гармонических отрезков Qd(u>,m,h) и Qd£(0, [гае], К), т . е. Q = Qd(uj,m,h) + Qd£(0, [гае], К).

П о к а ж е м , ч т о Q т о ж е является гармоническим о т р е з к о м . По определению Q = U {Id{cu + ioh) + QdE{0,[me],h)) =

= U U {Id{u + ioh) + I

de

{joh)) =

= U U h(l

+

e)(u+(i+j)oh) =

= ( J Id(1+E}(u) + ioh) = Qd(i+E){u),m+ [гае],/г). (4) 0 ^ г ' ^ т + [тг]

Если х G Ide{j ° h), т о Qd(u>, га, h) + x С Q, следовательно, Qd(oj,m,h) с Q - х = Qd(i+£)(oj - x,m+ [гае], К).

Теперь покажем расщепление множества в правой ч а с т и последнего со

отношения на гармонические о т р е з к и . Пусть х £ Ide{§) С Qde(Q,[me\,h).

Т о г д а

Qd(i+e){u - х,т+ [гае], К) =

= Qd(i+e)(u ~ х, ( г аь га2 + [ г а2е ] , . . . , [mne]),h) U

UQd(li€)(oj-x + ((mi + l)hi,0,.. . , 0 ) , ( [ r a i e ] - l , ra2 + [ r a2e ] , . . . , [mne]),h) =

= Qd(i+e)(u - x,m,n)UQiUQ2]J ...UQk, где

Qi = Qd(i+£)(w ~ x + yi,k,h), г = 1,...,к.

Здесь

у,- = ( 0 , . . . , 0 , ( m , - + l ) A , - , 0 , . . . , 0 ) ,

U = (mi, • • -,mi-i, [mis] - l,mi+i + [mi+is], ...,mn + [rane]).

Ясно, ч т о \Qi П Qj\ = 0 и

(7)

О Н И Ж Н Е Й О Ц Е Н К Е Н О Р М Ы И Н Т Е Г Р А Л Ь Н О Г О О П Е Р А Т О Р А С В Ё Р Т К И 1 4 7

J - 1

iQ.-i ^ П

^d

«'(

¹

+

^е

) • ( П

^т

) • К '

^£

] • ( П (

^m

* + [

^m

»

^£

])) ^

8 = 1 М = 1 ' 4 ' = J + 1 '

ш, га, h)\ • е. (5)

8 = 1 Ч ? У '

Т а к к а к ж £ A J£( 0 ) , по лемме 1 /<г(ш) С A J ( I +£) ( W — ж) ; следовательно, Id(u + г о h) С A J ( I +£) ( W — х + i о h). Поэтому по лемме 2 существуют пря

моугольники, т а к и е ч т о

Id(1+e)(u-x) = Id(L0)Ul1U...Ul2n,

\ГПР\ = 0 при 1фз, i = l , . . . , 2 n , j = 1 , . . . , п , и | А | <С e( l + e) « - i | /d(W) | Vi = 1, . . ., п. Т о г д а через Q1, г = 1, . . ., 2п, обозначим гармонические о т р е з к и

Q*'= Д Г+joh, i=l,...,2n.

(6)

Qd(i+£)(w ~х,т+ [гае], /г) = Qd(w, т , /г) U Q1 U . . . U Q2 n U Q i U Q2 U . . . U Qfe, в случае, когда ж £ Ids(i ° h), 0 <С i <С [гае], берём ж = у + i о h, где 2/ £ Ids(O), и расщепляем <3<г(1+г)((ш — i о h) — у,т + [гае],/г), к о т о р ы й со

д е р ж и т <3<г(1+г)(ш — У, т, h), по вышеуказанной схеме.

Р а с с м о т р и м /(ж) = X-Q(X) — х а р а к т е р и с т и ч е с к у ю функцию множе

с т в а —Q. Тогда, у ч и т ы в а я приведённые соображения и с помощью замены переменных, имеем

я \ i / g

НА/11*

А'(ж - J/) f(y) dy

Ж " Ж "

йж >

>

А (ж - у) dy

-Q^ds(0,[me],h) -Q

Я \ 1/g

dx >

А'(г/) rfj/

Qde(0,[m£],ft) Q - a ;

9 \¹/я

dx I ^

Qde(0,[me],h) Q^d(w,m,h) 2n

E

^K(y)dy

2n

E

A'(j/) rfj/

A'(j/) dy

я \ i / g

йж (7)

(8)

Из (3) имеем, ч т о для любого гармонического о т р е з к а Q имеет место нера

венство 1

| Q | i / p - i / « К(х) dx Q

К(х) dx

£

\Qd(x,m,h)\^lv-^4

2| Q | i / p - i / g

К(х) dx

Q

\Qd(x,m,h)\^lv-^4

Qd(x,m,h)

K(x) dx

Qd(x,m,h)

В силу выбора s и согласно (5), (6) имеем, ч т о

2 | д Ч 1 / р - ^ _ j _

i / p - i / , ^ z \ z £> ^ 8п>

| Q d ( z , m , A ) | i / P - i / 9

2| Q i | l / p - l / g

£ ¹ Тогда, продолжая (7), получаем

11ЛЛ1 £

¹ ^{К (у) dy}

Qd»(0,[m£,ft]) Qd(w,m,h)

^|О&(0,М»Г

^/9 A'(j/) rfj/

С другой стороны, в силу ограниченности о п е р а т о р а

IIAfll, ^ 1И1 • 11/11 = 1И1 • \Q\

1/q

$ 2

2n

\Q

d

(x,m,h)\

1

f".

(8)

(9)

п к п ™ / - \ П

\Qde(0, [ms],h)\ = \\edi • Ц[т{е] ^ еп Ц d{ • Ц ( гще • - ) • Д т;Е

-к + 1

6 ^2п

1 е ^2п

2k\Qd(x,m,h)\ ^ — \Qd(x,m,h)\. (10) Из (8), (9), (10) получаем, ч т о существует С, зависящее только о т р, q, n, т а к о е ч т о

С- 1

\Qd{x,m,h)\Vf>-V<i К(х) dx

^ \ \ М \

^L^v^{У Ь}^Q

Qd(x,m,h)

Следовательно,

С\ sup ————- К(х) dx ^\\А\\ hv У LQ

Л е м м а доказана.

(9)

О НИЖНЕЙ ОЦЕНКЕ НОРМЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА СВЁРТКИ 149

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2. Предположим, ч т о о п е р а т о р (1), действу

ющий из Lp в Lq, ограничен, но

J = ZIW^ К(х) dx +оо.

Р а с с м о т р и м последовательность функций {Ki(x)}f^, где г • s i g n К ( х ) , если |А'(ж)| > г и х G /(j,...,j)(0), Ki(x) = < К(х), если |А'(ж)| <J г и ж £ /(^...^(О),

О, если х ф /(j,...,j)(0).

Т а к к а к lim Ki(x) = К(х), по теореме Л е б е г а о предельном переходе г—)- + оо

. lim / А'г(ж - г/)/(г/) dy = К(х - y)f(y) dy.

Ж " Ж "

Т о г д а A j / = J Ki(x — y)f(y) dy является ограниченным о п е р а т о р о м и

Ж "

ееЕ | e | V P - i /g

Ki(x) dx < +оо.

Согласно лемме 3 существует к о н с т а н т а С, не зависящая о т Ki(x), т а к а я ч т о С • sup ——.——г-

еео l e ^ / P - i / ? По теореме Б а н а х а - Ш т е й н г а у з а

Ki(x) dx ^\\Ai\\Lp^Lq.

. l i m | | A , - | |L p_L, = | | A | |L p_L 9.

г—>- + оо

fn)

(12) Т а к к а к J = + o o , т о для любого М существует н е к о т о р ы й гармонический о т р е з о к Q, т а к о й ч т о

1

l l / p - 1 / q К(х) dx Q

> 2 М .

Т о г д а для всех д о с т а т о ч н о больших i выполняется неравенство 1

\1/р-1/д К{ (х) dx Q

> М.

В силу произвольности М э т о означает, ч т о lim sup ——;——r-1

i ^ + o oe GQ \e\lIP-lll

Ki(x) dx +oo.

Согласно (11), (12) \\A\\L ->L = + 0 0 . Т а к и м образом, м ы пришли к противоре

чию с условием т е о р е м ы , согласно к о т о р о м у \\A\\L ->L < + 0 0 . Следовательно, J < + 0 0 . Т о г д а по лемме 3 получаем истинность у т в е р ж д е н и я т е о р е м ы .

(10)

150 Е. Д. Н У Р С У Л Т А Н О В , К. С. С А И Д А Х М Е Т О В

Л и т е р а т у р а

[1] Б е с о в О. В . , И л ь и н В . П., Н и к о л ь с к и й С. М. И н т е г р а л ь н ы е п р е д с т а в л е н и я ф у н к ц и и и т е о р е м ы вложения. — М.: Н а у к а , 1975.

[2] O'Neil R. Convolution o p e r a t o r s a n d L(p, q) spaces / / Duke M a t h . J. — 1963. — Vol. 30. — P. 129-142.

[3] К о р о т к о е В . Б . И н т е г р а л ь н ы е о п е р а т о р ы . — Н о в о с и б и р с к : Н а у к а , 1983.

Статья поступила в редакцию в апреле 1997 г.