О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ОДНОГО ФУНКЦИОНАЛА ОТ ВИНЕРОВСКОГО ПРОЦЕССА

(1)

УДК 519.21

О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ОДНОГО ФУНКЦИОНАЛА ОТ ВИНЕРОВСКОГО ПРОЦЕССА

Есимова Ж.Н., Коныркулжаева М.Н.

Казахский национальный университет имени аль-Фараби, Алматы.

Научный руководитель – к.ф.-м.н., доцент Аканбай Н.

Целью работы является нахождение распределения функционала = ,

где – винеровский процесс, для случая = .

Предварительно приведем некоторые вспомогательные утверждения. Следующее утверждение 1 является частным случаем известной теоремы из [1] (см. [1], с. 203).

Утверждение 1. Пусть , ≥ 0, − винеровский процесс, , ∈ − ограниченная равномерно непрерывная функция, Ф(х) – дважды непрерывно дифференцируемая ограниченная функция. Тогда функция

, = [ ^%^$ ^{!" #} Ф + ] = _"[ ^%^$ ^# Ф ] (1)

является единственным решением задачи

) ,

) = 1

2)^, ,

) ^, + , , 0, = Ф .

(В (1) знак _" означает взятие условного математического ожидания по всем, выходящим

в начальный момент из точки x, траекториям винеровского процесса) Введем теперь характеристическую функцию функционала I(t):

. , , / = _"0 ¹² ^%^$ ^# 3. (2) Утверждение 2. Функция . , , / является решением уравнения

45 ,",2

4 =⁶_,⁷⁸^{5 ,",2}_7"₈ + / . , , / , . 0, , / = 1. (3) Утверждение 3. Пусть .9 , , / − преобразование Лапласа(not) функции

. , , / :

.9 , , / = ⁼ ^;< . , , / . (4) Тогда .9 является решением обыкновенного дифференциального уравнения

⁶

,.>_"" ?, , / + / − ? .9 ?, , / = −1. (5) Утверждения 2 и 3 доказываются прямыми вычислениями. Заметим только, что

решение уравнения (5) должно быть ограниченным ( |.| ≤ 1, откуда H.9H ≤ ⁶_<).

Пусть теперь в (1) = . Тогда обозначив / = ?, для преобразования Лапласа .9 , , / = ⁼ ^;< . , , / получим уравнение (см.(5)).

.9_""^II + 2.9 ? − J = −2. (5`) Далее, учитывая ограниченность .9, решаем это уравнение для случаев > 0 и

< 0. Заметим также, что для определения распределения достаточно знать .9 J, , 0 .

Пусть M_< , 0 = exp QR? ST – характеристическая функция . Тогда .9 J, , 0 = ⁼ ^;\ M_< , 0 = M]_< , 0 - преобразование Лапласа от M_< , 0 , т.е характеристическая функция . Так как ⁼ ^{^ ;\} = ^{^!}

\^`ab, то .9 J, ?, 0 =^;6!c

daedfe

\!< + ⁶

\!<= ⁶_\R1 −^<_\⁸₈S^;

8b

= ∑⁼_^i ^{,^;6 ‼}_{,^ ‼} ^<_{,^ !}^8` ⁼ ^{,^} ^;\ =

(2)

= ⁼ ^;\ M_< , 0 . Так как l^l⁸ ^j = k ^{,^;6 ‼}_{,^ ‼}

8

при m = 2 , = 1,2, …, и равен нулю при k нечетном, можем писать

M_< , 0 = o1

k p q ^j ?^{,^ ,^}

2 !

r/,

;r/,

t = 1 k

=

^i

o p q < 1^"

r/,

;r/,

t

= ji

, при m = 2

Заменяя теперь ? на ?̅/t, для характеристической функции wwwww = / получим

< xywwwww = ⁶_r _;6⁶ _√6;"^z^{ex|₈ .

Отсюда уже можно получить плотность _y и функцию распределения ~_y :

y = •^r√ ⁶^8f^"⁸, | | >

0, | | > € ~_y = •

6

rR‚ƒ„ ^"_,+^r_,S , | | <

0, < − 1, >

€

Замечание. Пусть M^! = 1, > 0; M^! = 0, < 0. Тогда M^! =^{6! 1…^}_, . Пусть †^! = M^! . По смыслу †^! -время, проведенная за время t процессом

на положительной полупрямой. Можно показать, что функция распределения †^! определяется “законом арксинуса”

~_‡_$^a = ˆ‰†^! ≤ Š ‹

0, < 0 2

k ‚ƒ„ c , 0 ≤ ≤ 1, > .

€, Литература

Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. – М.: Наука, 1975. – 320 с.