О спектре оператора, порожденного общим дифференциальным выражением

А.Ж. Монашова

О спектре оператора, порожденного общим дифференциальным выражением

(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан )

В работе рассматривается неотрицательный дифференциальный оператор общего вида

Ly=y⁽²ⁿ⁾+

n−1

X

k=1

(−1)^k

pk(x)y^(k) (k)

+q(x)y.

Даны условия при которых оператор L имеет дискретный спектр. Получены двусторонние оценки для асимптотики последовательности собственных чисел оператора L.

В монографии [1], посвященной исследованию спектральных свойств оператора Штурма- Лиувилля Ly ≡ −y⁰⁰ +q(x)y говорилось о необходимости исследования дифференциальных операторов высокого порядка, порождаемых общими дифференциальными выражениями вида

α(y) =

n

X

k=0

p_k(x)y^(k), n >2,

где p_k(x) - локально суммируемые и вообще говоря, комплекснозначные функции. В данной работе мы рассматриваем дифференциальное выражение

l(y) =y⁽²ⁿ⁾+

n−1

X

k=0

(−1)^k

p_k(x)y^(k)(k)

+q(x)y, (1)

где n ≥ 2, 1 ≤ k ≤ n−1, p_k(·) - неотрицательные функции, имеющие в I = (−∞,+∞) абсолютно непрерывные производные p^(k−1)_k . Относительно q(·) предполагаем, что q(x) ≥ 1 и локально суммируема в I.

На классе D₀ бесконечно дифференцируемых и финитных функций, дифференциальное выражение l(y) порождает квадратичную форму

l[y, y] =

+∞

Z

−∞

l(y)ydx=

+∞

Z

−∞

y⁽ⁿ⁾

2

dx+

n−1

X

k=0 +∞

Z

−∞

p_k(x) y^(k)

2

dx=a[y, y] +b[y, y], (2) где

a[y, y] =

+∞

Z

−∞

y⁽ⁿ⁾

2

dx+

+∞

Z

−∞

q(x)|y|²dx, (3)

b[y, y] =

n−1

X

k=0 +∞

Z

−∞

p_k(x) y^(k)

2

dx. (4)

Пусть v[y, y] - квадратичная форма с плотной в L₂ = L₂(I) областью определения D(v). Форма v[y, y] называется замыкаемой, если для последовательности {y_k}^∞_k=1 ⊂ C₀^∞(I) удовлетворяющей условиям

ky_kk_L2 →0,[y_n−y_m]_v =v[y_n−y_m, y_n−y_m]→0,

последовательность [y_k]_v →0. Известно, что невырожденная замыкаемая форма v[y, y] в L₂ порождает неотрицательный оператор V такой, что

(V y, y) = ¯v[y, y], y∈D(¯v), где ¯v[y, y] замыкание формы v[y, y] [1,гл.VI].

Взяв h >0, x∈I, 0≤δ <1 положим

M_(δ)ⁿ (x, h;q) =h⁽ⁿ⁻¹²⁾





inf

{e}

Z

∆h(x)\e

(q(t)dt)







1 2

,

где ∆_h(x) = x−^h₂, x+^h₂

, а инфимум берется по всем измеримым e ⊂ ∆_h(x) с мерой

|e| ≤ δ|∆_h(x)| = δh. Будем говорить, что q(·) - допустимая функция

q(·)∈π_(δ)^l

, если существуют такие δ ∈(0,1) и C >0, что

0< q_δ^∗(x) = sup

h>0

n

M_(δ)ⁿ (x, h;v)≤1o

≤C почти всюду в I. Всюду ниже ∆^∗(x) = ∆h(x) при h=q_δ^∗(x).

Обозначим через W замыкание пространства C₀^∞ по норме

kyk_W =





+∞

Z

−∞

y⁽ⁿ⁾

2

dx+

+∞

Z

−∞

q(x)|y|²dx





1 2

.

Пусть q(·) ∈ π_(δ)² , 0 < δ < 1. Tогда замыкание a[y, y]¯ формы a[y, y] порождает в пространстве L₂=L₂(R) неотрицательный оператор

Ay=y^(IV)+q(x)y, y∈D(A) =W. (5) Если при этом

|x|→∞lim q_δ^∗(x) = 0, (6) то оператор A в (5) имеет дискретный спектр [1,гл.VI]. Известно также, что при этом между собственными числами λ_k(A) оператора A и аппроксимативными числами a_k(E) оператора вложения E :W →L2 имеет место следующее равенство:

λ_k+1(A) =a⁻²_k (E), k ≥0. (7)

Пусть N(λ;A) - количество собственнvх чисел (с учетом кратности) λk(A) > λ, соответственно N_a(µ;E) - количество аппроксимативных чисел a_k(E) < µ. Для функции распределения N_a(µ;E) известна следующая слабая асимптотика:

C⁻¹µ⁻¹ⁿG

(Cµ)¹ⁿ

≤Na(µ;E)≤Cµⁿ¹G

C⁻¹µ¹_n

, (8)

где G(µ) ={x∈I :q_δ^∗ > µ}, постоянная C =C(δ, n)>0 не зависит от q(·) [2,3].

Обратимся теперь к форме b[y, y] в (4). Можно считать, что форма b[y, y] определена на множестве D(b) всех функций y(·), имеющих в I абсолютно непрерывную производную y⁽ⁿ⁻¹⁾ и таких, что

n−1

X

k=0 +∞

Z

−∞

p_k(x) y^(k)

2

dx <∞. (9)

Лемма 1Пусть q(·)∈πⁿ_(δ), 0< δ <1 и пусть выполнены условия:

(1)K(x) =K_(δ)(x) =

n−1

P

k=0

q^∗_δ(x)^n−k−12 R

∆^∗(x)

p_k(t)dt

!¹₂

∈L∞

(2) lim

|x|→0K_δ(x) = 0.

Tогда D(¯a) =W ⊂D(b), а форма b[y, y] компактна относительно формы a[y, y]¯ . Доказательство.Условия (1) и (2) обеспечивают компактность вложений





+∞

Z

−∞

p_k(x) y^(k)

2

dx





1 2

≤C_kkyk_W, y∈D₀, (k= 1. . . n−1),[1]. (10) Из (10) следует, что D(A) = W ⊂ D(b). Так как каждое из вложений (10) компактно, то легко показать, что существует подпоследовательность {y_jm}^∞_m=1 ⊂ {y_j}^∞_j=1, для которой [y_jm−y_js]_b =

n−1

P

k=1 +∞

R

−∞

p_k(x) y_j^(k)

m −y_j^(k)

s

2

dx → 0 при m, s → ∞. Тем самым форма b[y, y]

компактна относительно формы a[y, y]¯ .

Обозначим через L дифференциальный оператор Ly=l(y), y∈W, ассоциативный с формой

¯l[y, y] = ¯a[y, y] +b[y, y], y∈W.

Пусть

F(λ) =λ²ⁿ¹ G

λ⁻²ⁿ¹

,

где C - постоянная из оценки (8), M(·) - функция, обратная к F(·). Tеорема 1Пусть q(·)∈π_(δ)ⁿ , 0< δ <1 и выполнены условия:

(1) lim

|x|→∞q^∗(x) = 0 (2) sup

x

K(x) =K <∞ (3) lim

|x|→∞K(x) = 0

Tогда оператор L имеет дискретный спектр и справедливы оценки:

C⁻² ≤lim λ_k(L) M²ⁿ

C¹⁻ⁿ¹(k−1)

≤lim λ_k(L) M²ⁿ

C¹⁻ⁿ¹(k−1)

≤C² (11) Доказательство. Вывод оценок (11) будет опираться на следующее асимптотическое равенство:

n→∞lim λ_n(L)

λ_n(A) = 1 (12)

Равенство (12) следует из теоремы 6 работы [4]. Из соотношений (7) и (8) следует, что N(λ;A) =Na

1

√λ;E

≥C^−1+1l C⁻²λ_2l¹ G

C⁻²λ−_2l¹

=C^−1+1lF

C⁻²λ_2l¹ .

Взяв λ=λ_k, получим

C^1−1l(k−1)≥F

C⁻²λk

_2l¹

M

C^1−1l(k−1)

≥ C⁻²λ_k2l¹

C² h

M

C^1−1l(k−1) i2l

≥λk(A). (13)

С другой стороны N(λ;A)≤Cλ^2l1G

C²λ−_2l¹

=C^1−1l C²λ_2l¹ G

C²λ−_2l¹

=C^1−1lF

C²λ_2l¹ , k−1≤C^1−1lF

C²λ_k2l¹ , C⁻

(l−1)

l (k−1)≤F

C²λk

_2l¹ , M

k−1 C^1−1l

≤ C²λ_k2l¹ ,

C⁻²

M

k−1 C^1−1l

2l

≤λk. (14)

Tеперь имеем для оператора L

λk(L) =λk(A)λk(L) λ_k(A). В силу (13)

λ_k(L) M^2l

C^1+1l(k−1) ≤C²λ_k(L)

λ_k(A). (15)

Переходя в (15) к верхнему пределу, получим lim λk(L)

M^2l

C^1+1l(k−1)

≤C². Из (14) аналогичными рассуждениями получим оценку

lim λ_k(L) M^2l

k−1 C^1−1l

≥C⁻². СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Отелбаев М.О., Мынбаев К.T. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. – М: Наука, 1988.-220с.

2. Лизоркин П.И., Отелбаев М.О. Теоремы вложеия и компактность для пространств соболевского типа с весами//Мат.сб.-1979.-Т.108,№3.-С.358-377.(Ч.I)

3. Лизоркин П.И., Отелбаев М.О. Теоремы вложеия и компактность для пространств соболевского типа с весами//Мат.сб.-1980.-Т.112,№1.-С.56-85.(Ч.II)

4. Айтенова М.С., Кусаинова Л.К. Об асимптотике распределения аппроксимативных чисел вложения весовых классов Соболева//Мат.жур./Институт математики МОН РК-2002.-Т.2,№2.- С.7-14

Монашова А.Ж.

Дифференциалдық өрнектен пайда болған оператордың спектрi жиайында Жумыста терiс емес

Ly=y⁽²ⁿ⁾+

n−1

X

k=1

(−1)^k

pk(x)y^(k) (k)

+q(x)y.

жалпы дифференциалдық оператор қарастырылады.

L операторының спектрi дискреттi болатын жағайдың шарттары берiлген. L операторының меншiктi сандарының тiзбегiнiң асимптотикасы үшiн екi жақты бағалаулары табылды.

Mоnashova A.Z.

About a spectrum of the operator generated of differential expression In work the non-negative differential operator of a general view is considered

Ly=y⁽²ⁿ⁾+

n−1

X

k=1

(−1)^k

pk(x)y^(k) (k)

+q(x)y.

Conditions at which the operator L has a discrete spectrum are given. Bilateral estimations for asymptotic of sequences of own numbers of the operator L are received.

Поступила в редакцию 11.01.11 Рекомендована к печати 25.01.11