ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В РАЗЛОЖЕНИИ ПОТЕНЦИАЛОВ ТЕЛА

УДК 510

ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В РАЗЛОЖЕНИИ ПОТЕНЦИАЛОВ ТЕЛА

Нҧрланқызы Лолла Студент, ВКГТУ им. Д. Серикбаева, Усть-Каменогорск

Научный руководитель - старший преподаватель Ж.Т. Рахметуллина

Часть пространства, в которой на материальную точку действует определѐнная по величине и направлению сила, зависящая от точки



x, y, z



пространства (или какой – либо

m

его части), называют силовым полем. Поле, определяемое формулой F G r ³ r ,называют

центральным полем ньютоновского тяготения.

В механике вводится понятие потенциала (или силовой функции) поля. Функция

U



^{x, y, z}



называется потенциалом данного силового поля

U (x, y, z)  U (P)  ^Gm ; (1)



где



- разделяющее две материальные точки М и P расстояние, G -коэффициент пропорциональности, называемый обычно постоянной притяжения. U называется силовой функцией массы m , или функцией сил, или еще потенциалом точечной массы m . Собственно говоря, потенциал массы (как следует из физического определения) есть силовая функция, взятая с обратным знаком [1].

Наибольшее распространение получило в настоящее время разложение потенциала в ряд по сферическим функциям. Для вычисления сферических функций необходимо пользоваться полиномами и функциями Лежандра, которые входят в аналитический вид сферической функции.

Полином Лежандра Pn



z



порядка n можно определить формулой P_n



^z



^{ 1}  d ⁿ



^{z 2 1}



ⁿ

, (2)

2ⁿ n! dz ⁿ

носящей название формулы Родрига. Для первых Pn



z



имеем [1]

P₀



z



1,

P

1



^z



 z,

P₂



z



 1



1  3z ²



^{, (3)}

2

P₃



z



 1



^{ 3z  5z 3}



, 2

То получаем график (рисунок 1):

38

Рисунок 1. График первых значений полинома Лежандра

Из формулы (2) легко получается следующее общее выражение для P_n



^z



^:

h



1



^r



2n  2r



!

P_n



z







_z ^n2r _, (4)

r 0 2 ⁿr!



n  r



!



n  2r



!

где h n или h n 1 , смотря по тому, которое из этих чисел целое.

2 2

Полиномы Лежандра высших порядков могут быть вычислены при помощи

рекуррентного соотношения



n 1



P_n1



z







2n 1



zP_n



z



 nP_n1



z



 0. (5) Отметим некоторые свойства полиномов Лежандра:

1) полином Лежандра является четной или нечетной функцией в зависимости от того, четна или нечетна его степень, так что

P_n



 z







1



ⁿ P_n



z



,

2) на границах интервала



1, 1



полином Лежандра принимает следующие значения:

P



1



1, P



1







1



ⁿ ,

n n

3) для любого

z

из промежутка



1, 1



P_n



z



1 (n  0).

4) справедливы формулы P_2n1



⁰



^{ 0, P}2n



⁰



^



^1



ⁿ



^{2n 1}



!!

, (6)

2n!!

5) при больших

n

имеется следующая оценка:

P_nz 



,

2n



^{1  z 2}



6) полином Лежандра можно представить формулой

 n

1



^{z   cos}



^d,

Pn



z



^



₀ z ² 1

7) многочлены Лежандра являются коэффициентами разложения некоторой функции

1

2

в ряд Тейлора, и по этой причине функция 1  2z   2 называется производящей функцией для P_n



^z



^:

1 

n

 ^{ P}nz,

(7)

1  2z  ² n0

39

Если рассмотреть напримере,

r -

расстояние от центра диска до материальной точки P



x, y, z



будет больше радиуса диска

R

и 0  t  R ,



- угол между осью Ох и проекцией точки P



x, y, z



на плоскости Оху,



- угол между радиус-вектором

r

и плоскостью диска,

r 

-расстояние между материальной точкой _P



x, y, z



и любой точкой диска.  - плотность диска. Рассмотрим притяжение плоским круглым диском внешнюю материальную точку P



x,y,z



на главной плоскости [2].

Элемент массы равен произведению плотности на элемент области интегрирования.

При этих предложениях

_{dU } Gdm G   t  dtd

(8)

r t ²

 2tr cos  r ²

выражение (8) интегрируя по параметрам диска, получим

G^{R 2} t  dtd . (9)

U 



r ⁰ 0 t  t²

1  2 cos  

r  r 

Используя формулы (7), а также теорему сложения для многочлена Лежандра и их выражения, известные при определенных значений (3) и (6), имеем:

R t ^n1

P_ncosP_n (0)dt ^R t ^n1

1

t ^{n2 R}

R ^{n2 1}

 G_     dt  n1     0

n1

n0 0  r  0 r  r n  2 r n  2

GR ^{2 } R ⁿ P_n (cos )  P_n0

  

r n0 r  n  2

Так как рассматривается, движение на плоскости диска   

имеет место формула

2 (6).



n



2n 1



!! P

2n



0



^R

2n1

U  2  1  ^t dt



²ⁿ



^!! r^2n1

n1 0

1 1 R ² 3 R ⁴

U0 Gm , U ₂ 

Gm , U ₄ 

Gm

r 8 r ³ 64 ^{r 5}

Gm  1 R² 3 R⁴ 

,

(10)

U (r, d )  1 

8 r ²

64 r ⁴

r  

 

(10) –потенциал гравитирующего диска для случая

r  R

. Аналогично можно вычислить потенциал кругового кольца с радиусами R₁ и R₂ , в случае rR₂:

 ^{2 2 4 4}

Gm 1 R2

 R1

3 R2  R1

U (r, d )  1   

r ²

r  8

6

4 r ⁴ 

 

Последние годы опубликовано достаточное количество монографий, трактующих теорию потенциала с чисто математических позиций. Однако далеко не все в этих монографиях представляет интерес для исследователей, а некоторые проблемы недоступны, неразрешимы из-за абстрактной формы изложения. При аналитических и численных расчетах использовать потенциал в виде интеграла часто бывает невозможно, главным образом из-за незнания реального распределения плотности вещества в теле. Поэтому для решения задачи о движении искусственного Спутника вокруг Земли, задачи о движении спутника вокруг планет и многих других задач небесной механики ньютоновский потенциал

данного гравитирующего тела представляется рядом по полиномам Лежандра. Так как 40

рассматриваемое гравитационное поле находится на большом удалении от материальной точки, то можно пренебречь членами второго порядка и выше в разложении потенциала по полиномам Лежандра [3]. Что подводит количественную основу под утверждение, о том, что благодаря большому расстоянию между материальной тоской и плоским круглым диском и позволяет дать оценку точности этого приближения.

Литература

1. Бордовицын Т. В., Авдюшев В. А., Теория движения Искуственных Спутников Земли, Томск, 2007, стр. 14-17.

2. Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, Москва: Изд. Иностр.

Литературы, 1952, стр. 43-45.

3. Чеботарев Г. А., Аналитические и численные методы небесной механики, М: Наука, 1965, стр. 200-205.