МАТЕМАТИКА
Н.Ж. Наурызбаев, Н. Темиргалиев
Применение комбинированных теоретико-числовых сеток в задачах численного интегрирования
(Институт теоретической математики и научных вычислений ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан)
В данной статье дается алгоритм построения комбинированных теоретико-числовых сеток и показано, что построенная по данной сетке квадратурная формула является оптимальной в степенной шкале на классе Ers.
В математике многочисленные приложения имеет следующее представление характеристической функции решетки Z·N ={n·N :n∈Z}
χZ·N(m) = 1 N
N
X
k=1
e2πimNk(m∈Z).
Далеко идущим обобщением этого представления является равенство (см. [1]) χZs·d(m) = 1
|detd|
X
k modZsd
e2πi
m,k(d−1)0
, (1)
где Zs·d = {m · d : m ∈ Zs} есть полная решетка в Zs, заданная невырожденной целочисленной (s×s)-матрицей d, знак «0» означает «транспонирование», а обозначение k modZsd0 означает, что k пробегает полную систему представителей классов вычетов по модулю решетки.
Повторные применения (1) приводят к квадратурным формулам для периодических функций многих переменных с равными весами и сеткой, являющейся алгебраической суммой сеток из (1), при этом выписывается погрешность в виде:
Для 1-периодических по каждой из s переменных функций f, разлагающихся в абсолютно сходящиеся тригонометрические ряды Фурье, имеют места равенства
Z
[0,1]s
f(x)dx− 1
|detd1|... 1
|detdl| X
k1mod Zsd01
... X
klmod Zsd0l
f
k1 d−11 0
+...+kl d−1l 0
=
=− X
m∈Zs\{0}
fˆ(m)·χZsd1(m)... χZsdl(m), (2)
где fˆ(m) - тригонометрические коэффициенты Фурье - Лебега.
Полученные сетки при разных конкретизациях содержат ранее известные сетки (см., напр., [2]-[4]).
Рассмотрим комбинированную сетку, образованную с помощью равномерной и параллелепипедальной сеток:
Н.Ж. Наурызбаев, Н. Темиргалиев
ξk,k1,...ks(a1, ..., as) = k1
n +a1k p
, ...,
ks
n +ask p
(k= 1, ..., p; kν = 1, ..., n(1≤ν ≤s)) Справедлива
Теорема.Пусть даны l=s+ 1≥3- простое число, R >1 и
KR= Y
(m1,...,ms)∈Zs: max{1,|m1|}·...·max{1,|ms|}≤R
s
Y
k=1
m1+m2e2πikl +...+mse2πikl (s−1) .
Тогда существуют простое p,
p≡1(modl), p≤c(s)RlnsR≡T и целое положительное число a, (a, p) = 1, a
p−1
l 6≡ 1 (modp), для отыскания которых согласно алгоритму 1 – 3, состоящего в последовательном выполнении следующих действий
Шаг 1.Методом решета Эратосфена находятся все простые числа p из промежутка (1; 18slnKR),
Шаг 2.Непосредственной проверкой каждого простого p, p≡1(modl), p∈(1; 18slnKR) находится такое p, которое не делитKR,
Шаг 3.Находится целое a такое, что a
p−1
l 6≡1 ( modp)
достаточно выполнить TlnlnT элементарных арифметических операций, такие, что для сетки ξk,k1,...,ks(a)≡ξk,k1,...,ks
1, ap−1l , ..., ap−1l (s−1)
k= 1, ..., p;kν = 1, ..., n(1≤ν ≤s), (p, n) = 1, nlnp имеет место соотношение
sup
f∈Esr
Z
[0,1]s
f(x1, ..., xs)dx1...dxs− 1 nsp
p
X
k=1 n
X
k1,...,ks
f(ξk,k1,...,ks(a))
(lnT)r(2s−1)+s−1
Tr .
Доказательство. Для данного случая матрицы d1 и d2 записываются в виде
d1 =
n 0 ... 0 0 n ... 0 ... ... ... ...
0 0 ... n
, d2=
p 0 ... 0 0
−ap−1l 1 ... 0 0
−ap−1l 2 0 ... 0 0 ... ... ... ... ...
−ap−1l (s−2) 0 ... 1 0
−ap−1l (s−1) 0 ... 0 1
.
Тогда равенство (6) переписывается в виде Z
[0,1]s
f(x)dx− 1 nsp
n
X
k1,...,ks=1 p
X
k=1
f(ξk,k1,...,ks(a)) =
=− X
m∈Zs\{0}
fˆ(m)·χZsd1(m)χZsd2(m) =− X
m∈Zs\{0}
fˆ(md1d2) =: ∆T(f).
Если f ∈Esr, то
7
Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №2
|∆T(f)| ≤ X
m∈Zs\{0}
χZsd2(m1n, ..., msn)
s
Y
j=1
max{1,|mj·n|}
−r
.
Положим (ν = 1, ..., s)
Bν ={(0, ...,0, tj1,0, ...,0, ..., tjν,0, ...,0)∈Zs: 1≤j1 < ... < jν ≤s;tjα 6= 0, α= 1, ..., ν}. Для m= (m1, ..., ms)∈Bν величина Qs
j=1max{1,|mj ·n|} равна nνQs
j=1max{1,|mj|}. Если (m1n, ..., msn)∈Zsd2 т.е.
m1n+ap−1l m1n+...+ap−1l (s−1)msn=
m1+ap−1l m1+...+ap−1l (s−1)ms
n≡0(modp),
то это сравнение равносильно тому, что
m1+ap−1l m1+...+ap−1l (s−1)ms≡0(modp).
Действительно, уравнение y·n≡0(mod p) при (n, p) = 1 и простом p имеет единственное решение на поле Zp: y≡0(modp), что означает (m1, ..., ms)∈Zsd2.
Таким образом, X
m∈Zs\{0}
χZsd2(m1n, ..., msn)
s
Y
j=1
max{1,|mj ·n|}
−r
=
=
s
X
ν=1
n−rν X
m∈Tν
χZsd2(m1, ..., ms)
s
Y
j=1
max{1,|mj|}
−r
.
В силу неравенства (см. [5], теорема 4) X
m∈Tν
χZsd2(m1, ..., ms)
s
Y
j=1
max{1,|mj|}
−r
r,s
(lnp)rs+s−1 pr , учитывая nlnT, получим утверждение теоремы:
|δT| ≤
s
X
ν=1
n−rν X
m∈Tν
χZsd2(m1, ..., ms)
s
Y
j=1
max{1,|mj|}
−r
r,s s
X
ν=1
nr(s−ν) nsr
(lnT)rs+s−1
Tr
r,s
(lnT)r(2s−1)+s−1
Tr .
Теорема доказана.
Отметим, что в полученной оценке показатель логарифма хуже на величину r(2s−1)+s−1 лучшего из известных оценок, получающихся с помощью комбинированных сеток (см. напр.
[3], 2004, стр. 49). Однако, те работы имели характер теорем существования, в то же время как в данной работе указан алгоритм построения квадратурных формул.
8
Н.Ж. Наурызбаев, Н. Темиргалиев
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Темиргалиев Н. Применение теории дивизоров к численному интегрированию периодических функций многих переменных //Матем.сб.1990.Т. 181, №4.-С. 490-505
2. Коробов Н.М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками //Мат. заметки.
1994. Т.55. Вып. 2.- С. 83-90.
3. Коробов Н.М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963, (2-е изд., перераб. и доп.) М.: МЦНМО. 2004.
4. Sloan I. Mathematics of computation vol. 54. Number 184. January 1990. P. 281-302.
5. Темиргалиев Н., Баилов Е. А., Жубанышева А.Ж. Об общем алгоритме численного интегрирования периодических функций многих переменных //Докл. РАН, 2007, т. 416, №2, стр. 169-173.
Наурызбаев Н.Ж., Темиргалиев Н.
Теориялық сандық торлардың сандық интегралдауда қолданылуы
Жұмыста құрама теориялық-сантық торларды құру алгоритмi берiлген. Осы торлар арқылы құрылган квадратуралық формулалардың Esr кластарында дәрежелiк шкалада тиiмдi болатыны көрсетiлген
Nauryzbayev N.Zh., Temirgaliyev T.
Application of combined theoretical and numerical grids in numerical integration
In this paper we give an algorithm for constructing the combined number-theoretic nets and show that built on the grid quadrature formula is the best in power scale on the class of Esr.
Поступила в редакцию 15.01.11 Рекомендована к печати 29.01.11
9
