О численном интегрировании по области

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №2

Н. Ж. Наурызбаев

О численном интегрировании по области

(Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан)

Показано, что в некоторых случаях параллелелипедальные сетки, построенные по эффективному алгоритму, основанному на методах алгебраической теории чисел, можно применять и тогда, когда область интегрирования отлична от единичного куба.

Рассмотрим произвольную область Ω ⊂ [0,1]^s, ограниченную гиперплоскостями, параллельными координатным плоскостям (если s= 2, то Ω- любой многоугольник, стороны которого параллельны координатным осям).

Пусть r ≥ 1 целое. Будем говорить, что функция f(x1, ..., xs) ∈ H_r^s если в единичном s-мерном кубе [0,1]^s она имеет непрерывные производные вида

∂^n1+...+ns

∂xⁿ₁¹...∂xⁿs^s

f(x1, ..., xs) (0≤nν ≤r(ν = 1,2, ..., s)), такие, что max

(x1,...,xs)∈[0,1]^s

∂^n1+...+ns

∂xⁿ₁¹...∂x^nss f(x1, ..., xs)

≤1 (0≤nν ≤r(ν = 1,2, ..., s)). Справедлива

Теорема.Пусть даны l=s+ 1≥3 - простое число. Пусть дано R >1 и

KR= Y

(m1,...,ms)∈Z^s: max{1,|m₁|}·...·max{1,|m_s|}≤R

s

Y

k=1

m1+m2e^2πikl +...+mse^{2πikl (s−1)}

i²=−1 .

Тогда существуют простое p,

p≡1(modl), p≤c(s)Rln^sR≡T и целое положительное число a, (a, p) = 1, a

p−1

l 6≡ 1 (modp), для отыскания которых согласно алгоритму 1 – 3, состоящего в последовательном выполнении следующих действий Шаг 1. Методом решета Эратосфена находятся все простые числа p из промежутка(1; 18s lnKR),

Шаг 2.Непосредственной проверкой каждого простого p, p≡1(modl), p∈(1; 18s lnK_R) находится такое p, которое не делитK_R,

Шаг 3.Находится целое a такое, что a

p−1

l 6≡1 (modp)

достаточно выполнить TlnlnT элементарных арифметических операций, такие,что для сетки

ξk(a) = k

p, k

pa

p−1 l

, ...,

k pa

p−1 l (s−1)

(k= 1, ..., p) имеет место соотношение

sup

f∈H₁^s

Z

Ω

f(x1, ..., xs)dx1...dxs−1 p

p

X

k=1

f(ξ_k(a))χ_Ω(ξ_k(a))

≤c(r, s)(lnT)^4s−1

T .

Доказательство. Рассмотрим случай, когда область интегрирования определена условиями

0< x1 < γ1, . . . ,0< xs < γs. (1) Так как функция f определена и непрерывна вместе со всеми своими первыми частными производными на [0,1]^s, то справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

48

Н. Ж. Наурызбаев

f(x1, ..., xs) =f k₁

p , ...,k_s p

+1

p

s

X

j=1

∂f

∂xj

k₁ p , ...,k_s

p

+o 1

p

, где kj ∈Z,0≤kj ≤xj < kj+ 1≤p(j = 1, ..., s).

Определим целые n_j (j= 1, ..., s) с помощью равенств ([...]-часть) nj =

[γ_jp],еслиγ_j <1, p−1,еслиγj = 1.

Тогда γ_j = ⁿ_p^j +^θ_p^j , где 0< θ_j <1 (j = 1, ..., s), и

∆_T =

Z γ1

0

...

Z γs

0

f(x₁, ..., x_s)dx₁...dx_s− 1 p^s

p−1

X

k1=1

...

p−1

X

ks=1

f k₁

p , ...,k_s p

χ_Ω

k₁ p , ...,k_s

p

=

=

Z n1/p 0

...

Z ns/p 0

f(x1, ..., xs)dx1...dxs− 1 p^s

n1−1

X

k1=1

...

ns−1

X

ks=1

f k1

p , ...,ks

p

+I ,

где I =R

Ω\Qs

j=1[0,^nj_p]f(x1, ..., xs)dx1...dxs.

По теореме о среднем существует t= (t₁, ..., t_s)∈Ω\Q_s

j=1[0, n_j] такое, что

I =f(t₁, ..., t_s)





s

Y

j=1

γ_j−

s

Y

s=1

nj

p



=f(t₁, ..., t_s)

s−1

X

l=1 s

X

j1,j2,...,jl=1 j1<j2<...<jl

l

Y

k=1

γ_jk Y

j=1,...,s:j6=j_k k=1,...,l

γ_j−nj

p

,

откуда |I| ≤ ^(2s−1)|f(t_p^1,...,ts)|. Далее,

∆T ≤

n₁−1

X

k₁=0

...

n_s−1

X

k_s=0

Z (k₁+1)/p

k1/p

...

Z (k_s+1)/p

ks/p

f(x1, ..., xs)dx1...dxs− 1 p^sf

k1

p, ...,ks

p !

+(2^s−1)|f(t1, ..., ts)|

p

≤ 1 p^s

n₁−1

X

k1=0

...

n_s−1

X

ks=0

1 p

s

X

j=1

∂f

∂xj

k1

p, ...,ks

p

+o 1

p

+(2^s−1)|f(t1, ..., ts)|

p =

= 1 p

s

X

j=1

∂f

∂xj

k1

p, ...,ks

p

+o 1

p

+(2^s−1)|f(t1, ..., ts)|

p .

Пользуясь ограниченностью самой функции f и её частных производных, получим

Z γ1

0

...

Z γs

0

f(x1, ..., xs)dx1...dxs− 1 p^s

n1−1

X

k1=1

...

ns−1

X

ks=1

f k1

p , ...,ks

p

χΩ

k1

p , ...,ks

p

≤ A p, где константа A не зависит от p.

Заметим, что (см. [1], стр. 164) модуль конечных коэффициентов Фурье (mj ∈ Z ,|m_j| ≤

p−1

2 , j = 1,2, ..., s)

f χˆ

Ω

(m1, ..., ms) = 1 p^s

p−1

X

k1=1

...

p−1

X

ks=1

f k1

p, ...,ks

p

χΩ

k1

p , ...,ks

p

e^2πi

_k

1

pm1+...+^ks_pms

49

Л.Н. Гумилев атындағы ЕҰУ Хабаршысы - Вестник ЕНУ им. Л.Н. Гумилева, 2011, №2

функции f(x)χΩ(x) оценивается величиной Qs

j=1max{1,|m_j|}−r

и (см. [1], стр. 165)

1 p^s

p−1

X

k1=1

...

p−1

X

ks=1

f k1

p , ...,ks

p

χ_Ω k1

p , ...,ks

p

−1 p

p

X

k=1

f(ξ_k(a))χ_Ω(ξ_k(a))

≤

≤

p−1 2

X

m1,...,ms=−^p−1₂

C Qs

j=1max{1,|m_j|}.

Но числа a^{p−1l j}(j = 0, ..., s−1) являются оптимальными коэффициентами по модулю p индекса 4s−1, поэтому (см. [2])

1 p^s

p−1

X

k1=1

...

p−1

X

ks=1

f k1

p , ...,ks

p

χΩ

k1

p, ...,ks

p

−1 p

p

X

k=1

f(ξk(a))χΩ(ξk(a))

≤c(r, s)(lnT)^4s−1

T .

Утверждение теоремы доказано для области вида (1). Учитывая, что Ω представляется в виде конечной комбинации областей вида (1), получим утверждение теоремы для общего случая.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.- 224с.

2. Жубанышева А.Ж. Теория и практика реализации эффективных алгоритмов нахождения оптимальных коэффициентов в смысле Коробова // Дисс. на соис. ... доктора философии (Ph.D), Астана, 2010.

Наурызбаев Н.Ж.

Жиын бойынша сандық интегралдау

Тиiмдi алгоритм арқылы алынған параллелелипедалдык торларды бiрлiк кубтан өзге кейбiр жиындардарда сандық интегралдау есептерiнде қолдану мүмкiндiгi қарастырылады.

Nauryzbayev N.Zh.

On the numerical integration of the region domain

It is shown that in some cases parallelelipedal grid, obtained by the effective algorithm can also be applied when the domain of integration is different from the unit cube

Поступила в редакцию 11.01.11 Рекомендована к печати 29.01.11

50