Продолжение нулем функций из пространств с обобщенной гладкостью для вырождающихся областей

УДК517

Продолжение нулем функций

из пространств с обобщенной гладкостью для вырождающихся областей

¹

c 1999 г . В . И . Буренков , Т . В . Вердиев

Поступило в декабре1998г.

1. ВВЕДЕНИЕ

В работах Буренкова и Эванса [4, 7] был рассмотрен пример области со сколь угодно сильным вырождением вида

Ω ={(x₁, x₂)∈R²: |x₁|< a, ω(|x₁|)< x₂ < ω(a)},

где функция ω неотрицательна, возрастает и такова, что ω(0) = 0, ω ∈ C[0, a], ω(a) > 0 при a < ∞ и ω ∈ C[0,∞), lim_x→∞ω(x) =∞ при a= ∞. Для областей подобного вида было доказано,что при выполнении условий²

ν(x) := max

λ(ω(x)) ω(x)

xω(x) 1/p

, λ(x)

, x >0, lim sup

h→+0

λ^∗(2h)

λ^∗(h) <2^1/p, lim sup

h→+0

ν^∗(2h)

ν^∗(h) <2^1/p оператор продолжения нулем

T₀:W_p^λ(·)(Ω)→W_p^ν(·)(R²), 0< p <∞,

для пространств с обобщенной гладкостью (см.определение 4) ограничен.

Этот пример был рассмотрен в [4, 7] для того, чтобы продемонстрировать применение одномерного неравенства Харди для разностей вида

⎛

⎝ a 0

|f(x)|^pv(x)dx

⎞

⎠

1/p

≤c₁

⎛

⎜⎝

⎛

⎝v(a) a 0

|f(x)|^pdx

⎞

⎠

1/p

+

⎛

⎝ a 0

a 0

|f(x)−f(y)|^pw(|x−y|)dx dy

⎞

⎠

1/p⎞

⎟⎠, (1) где 0 < a≤ ∞, 0< p <∞,c₁ не зависит от aи f ∈L_p(0, a), функцияw неотрицательна,не возрастает и

v(x) = ∞ x

w(h)dh <∞, x >0.

1Работа выполнена при финансовой поддержкеINTAS (грант94-881)иEPSRC (GR/M02057).

2Здесь функцииλиν удовлетворяют определению4,функцииλ^∗ иν^∗определяются равенством(5).

Для случая w(x) = x^−l−1/p, 1 ≤ p < ∞, 0 < l < 1/p, неравенство (1) было установлено Яковлевым [6]. Этот результат был обобщен в работах Куфнера и Трибеля[11], Куфнера и Перссона [10],Куфнера,Перссона и Хейнига[9]. (Подробнее см.также [12].)

Более точные достаточные условия были получены в [4, 7], а именно было показано,что для выполнения неравенства (1) достаточно, чтобы для некоторого γ ∈ (1,2) функция v удовлетворяла условию

v(x)≤γv(2x), x >0.

В дальнейшем более слабое достаточное условие было получено в работе Буренкова, Гольдмана и Эванса[8],а в работе Буренкова и Гольдмана[3]в случае,когда 1≤p <∞иw монотонно убывает,найдено необходимое и достаточное условие

x 0

v(h)dh≤c2xv(x), x >0,

где c₂ не зависит от x,которым мы и будем пользоваться в данной работе.

Целью настоящей работы является получение утверждения об ограниченности оператора продолжения нулем для широкого класса вырожденных областей.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Определение 1. Пусть 1 ≤ p ≤ ∞. Будем говорить, что функция λ ∈ Λ_p, если она положительна,не убывает на(0,∞) и удовлетворяет следующим условиям:

1^◦) lim_h→+0λ(h) = 0;

2^◦) h^1/p(λ(h))⁻¹ ∈L_p(0,1);

3^◦) (h^1/pλ(h))⁻¹∈Lp(1,∞). ³

Для x = (x1, . . . , xn) ∈ Rⁿ и j = 1, n положим x¯j := (x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xn), (¯xj, ξ) :=

:= (x1, . . . , xj−1, ξ, xj+1, . . . , xn),в частности, (¯xj, xj) =x.

Определение 2. Пусть ω ∈ Λ_∞. Будем говорить, что область Ω ⊂ Rⁿ является элементарной областью с границей классаH^ω с параметромd, 0< d <∞,если выполняются следующие условия:

1^◦) Ω = {x ∈Rⁿ : an < xn < ϕ(¯xn), x¯n ∈Wn}, где Wn := {x¯n ∈ Rⁿ⁻¹ : a_k < x_k < b_k, bk−ak ≥d, k= 1, n−1} и −∞ ≤ak< bk≤ ∞,k= 1, n;

2^◦) ϕ(¯xn)≥an+d, ¯xn∈Wn;

3^◦) |ϕ(¯xn)−ϕ(¯yn)| ≤ω(|x¯n−y¯n|), ¯xn,y¯n∈Wn.

ПустьΩ⊂Rⁿ—открытое множество.Дляj= 1, nположимΩj :={x¯j∈Rⁿ⁻¹: (¯xj, xj)∈Ω} и для x¯_j ∈ Ω_j положим Ω_x¯j := {x_j ∈ R : (¯x_j, x_j) ∈ Ω}.Мы будем использовать представле- ниеΩ_x¯j в виде

Ωx¯j =

s(¯xj) i=1

(αij(¯xj), βij(¯xj)),

где s(¯xj)∈Nили s(¯xj) =∞,а(αij(¯xj), βij(¯xj)) —составляющие интервалы множества Ωx¯j.

3Приp=∞последнее условие можно опустить:оно следует из того,чтоλне убывает на(0,∞).

ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ.В.А.СТЕКЛОВА, 1999,т. 227

6

x₁ 0

x₂

Ω C(x1, x2)

D(x1, ϕ(x1))

p p p

Bi

Ai

x2

a2

a₁ αi1(x2) x₁ βi1(x2) b₁ x2=ϕ(x1)

-

q q q

q

Рисунок

Лемма 1. Пусть Ω — область, удовлетворяющая определению 2. Тогда для любых j = 1, n−1, x¯_j ∈ Ω_j, i = 1, s(¯x_j) таких, что Ω_x¯j = (a_j, b_j), β_ij(¯x_j)−α_ij(¯x_j) < ∞, и любых xj ∈(αij(¯xj), βij(¯xj)) выполняется неравенство

ϕ(¯x_n)−x_n≤ω(β_ij(¯x_j)−α_ij(¯x_j)). (2) Доказательство. Действительно, пусть x¯j ∈ Ωj, −∞ < αij(¯xj), βij(¯xj) < ∞, Ai =

= (¯xj, αij(¯xj)) = (x1, . . . , xj−1, αij(¯xj), xj+1, . . . , xn) и Bi = (¯xj, βij(¯xj)) = (x1, . . . , xj−1, βij(¯xj), x_j+1, . . . , x_n) (см.рисунок).Допустим,чтоα_1j =a_j.ПосколькуA_i∈∂Ω,тоx_n=ϕ(x₁, . . . , x_j−1, αij(¯xj), xj+1, . . . , xn−1).⁴

Пусть теперь xj ∈ (αij(¯xj), βij(¯xj)) и C = (¯xj, xj) = (x1, x2, . . . , xn). Тогда C ∈ (Ai, Bi).

Согласно условию 3^◦) определения2

ϕ(¯x_n)−x_n=ϕ(¯x_n)−ϕ(x₁, . . . , x_j−1, α_ij(¯x_j), x_j+1, . . . , x_n−1)≤

≤ω(|x_j −α_ij(¯x_j)|)≤ω(β_ij(¯x_j)−α_ij(¯x_j)), откуда и следует (2).

Определение 3. Пусть ω ∈ Λ_∞. Будем говорить, что открытое множество Ω ⊂ Rⁿ имеет границу класса H^ω,если существуют такие 0 < d <∞,κ ∈N и семейство открытых параллелепипедов V_j ={x ∈Rⁿ : a_ij < x_j < b_ij, i= 1, . . . , n},j = 1, s,где s∈ Nили s=∞,

−∞ ≤aij < bij ≤ ∞,таких,что⁵ 1^◦) (V_j)_d∩Ω=∅;

2^◦) Ω⊂^sj=1(V_j)_d;

3^◦) кратность покрытия{V_j}^s_j=1 не превышаетκ; 4^◦) для любогоj = 1, sи некоторого i=i(j)∈ {1, . . . , n}

Ω∩Vj ={x∈Rⁿ: aij < xi < ϕj(¯xi), x¯i∈Wij} и

aij+d≤ϕj(¯xi), x¯i∈Wij,

4В случаеα1j=ajдля доказательства используем то,чтоBi∈∂Ω,и те же аргументы с заменойα1jнаβ1j. 5(Ω)δ={x∈Ω : dist(x, ∂Ω)≥δ},δ >0.

или

Ω∩V_j ={x∈Rⁿ: ϕ_j(¯x_i)< x_i< b_ij, x¯_i∈W_ij} и

ϕ_j(¯x_i)≤b_ij −d, x¯_i ∈W_ij; 5^◦) |ϕj(¯xi)−ϕj(¯yi)| ≤ω(|x¯i−y¯i|), ¯xi,y¯i∈Wij.

Замечание 1. Очевидно,чтоΩ∩Vj есть элементарная область с границей классаH^ω с параметром dс точностью до перенумерации координат и отражения.

Определение 4. Пусть 1 ≤ p ≤ ∞, функция λ положительна, не убывает на (0,∞) и удовлетворяет условиям 1^◦), 2^◦) определения 1, Ω ⊂ Rⁿ — открытое множество. Будем говорить,что функцияf ∈Wp^λ(·)(Ω),если f измерима наΩи

f _Wλ(·)

p (Ω):= f Lp(Ω)+ n i=1

f _wλ(·)

p,i (Ω) <∞, (3)

где

f _wλ(·)

p,i (Ω) = f(¯xi,·) _wλ(·) p (Ωxi¯ )

Lp(Ωi)

:=

⎛

⎜⎝

Ωxi¯

Ω¯xi

|f(¯xi, xi)−f(¯xi, yi)|^p λ(|x_i−y_i|)^p

dxidyi

|x_i−y_i|

⎞

⎟⎠

1/p Lp(Ωi)

.

(4) Замечание 2. Норма · _W^λ(·)

p (Ω) эквивалентна⁶ норме f ⁽⁾

W_p^λ(·)(Ω):= f Lp(Ω)+ n i=1

f ⁽⁾

w^λ(_p,i^·)(Ω), где для произвольного фиксированного ∈(0,∞)

f ⁽⁾

w_p,i^λ(·)(Ω):=

⎛

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎝

Ωi

⎛

⎜⎜

⎜⎜

⎜⎝

Ωxi¯

Ωxi¯

|xi−yi|≤

|f(¯xi, xi)−f(¯xi, yi)|^p λ(|xi−yi|)^p

dxidyi

|xi−yi|

⎞

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎠ d¯x_i

⎞

⎟⎟

⎟⎟

⎟⎠

1/p

.

Поэтому без ограничения общности можно считать, что в определении 4 λ∈ Λp.Мы имеем в виду, что если λ удовлетворяет условиям определения 4, то существует такая функция λ₁ ∈ Λ_p, совпадающая с λ на (0,1), что Wp^λ(·)(Ω) = Wp^λ1(·)(Ω). Более того, для любой функции µ, удовлетворяющей условиям определения 4 (в частности, для µ ∈ Λp) и такой, что для некоторых A₁, A₂, > 0 на (0, ) выполняется неравенство A₁λ(x) ≤ µ(x) ≤ A₂λ(x), имеем Wp^λ(·)(Ω) =Wp^µ(·)(Ω).

Как показывает следующая лемма,основное условие определения 1содержится в 2^◦).

Лемма 2. Пусть Ω ⊂ Rⁿ — открытое множество, функция λ положительна, не убывает на (0,∞) и такова, что для 1≤p <∞

h^1/p(λ(h))⁻¹ ∈/ L_p(0,1).

Тогда любая измеримая на Ω функция f, удовлетворяющая условию f

Wp^λ(·)(Ω) <∞,на каждой компоненте связности множества Ωпочти всюду равна константе.

6f⁽⁾

W_p^λ(·)(Ω)≤ f_Wλ(·)

p (Ω)≤[1 + 2nλ^∗()⁻¹]f⁽⁾

W_p^λ(·)(Ω).

6 ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ.В.А.СТЕКЛОВА, 1999,т. 227

Доказательство аналогично доказательству леммы3.5 из[7] для случаяR¹. Приведем теперь несколько утверждений,необходимых для получения основного резуль- тата.

Лемма 3 [3]. Пусть 1≤p <∞, λ∈Λ_p,

λ^∗(x) =

⎛

⎝ ∞ x

λ(h)^−p dh h

⎞

⎠

−1/p

, x >0. (5)

Для выполнения неравенства b

a

|f(x)|^pλ^∗(x−a)^−pdx≤c₃

⎡

⎣λ^∗(b−a)^−p b a

|f(x)|^pdx+ b a

b a

|f(x)−f(y)|^p λ(|x−y|)^p

dx dy

|x−y|

⎤

⎦, (6) где c₃ не зависит от a, bи f ∈L_p(a, b), необходимо и достаточно выполнение условия

x 0

λ^∗(h)^−pdh≤c2xλ^∗(x)^−p, x >0, (7) где c₂ не зависит от x.

Лемма 4. Пусть 1 ≤ p < ∞, λ ∈ Λ_p, Ω = ^s_i=1(α_i, β_i) ⊂ R, где s ∈ N или s = ∞, (α_i, β_i)∩(α_j, β_j) =∅, i=j, f ∈Wp^λ(·)(Ω)и условие (7)выполнено.

Тогда для функцииf⁰, определяемой равенством f⁰ :=

f(x), x∈Ω, 0, x∈^cΩ, справедлива оценка⁷

f^{0 p}

w^λ(p^·)(−∞,∞)≤c4

_s

i=1

λ^∗(βi−αi)^−p f ^p_L

p(αi,βi)+ f ^p

w^λ(p^·)(Ω)

, (8)

где c4 не зависит от αi, βi иf.

Доказательство. Согласно определению 4мы имеем

f^{0 p}

w^λ(p^·)(−∞,∞)= ∞

−∞

∞

−∞

|f⁰(x)−f⁰(y)|^p λ(|x−y|)^p

dx dy

|x−y| =

=

Ω

Ω

|f(x)−f(y)|^p λ(|x−y|)^p

dx dy

|x−y|+ 2

Ω

cΩ

|f(x)|^p λ(|x−y|)^p

dx dy

|x−y| = f ^p

wp^λ(·)(Ω)+ 2I, (9) где по лемме 3

I :=

s i=1

βi

αi

cΩ

|f(x)|^p λ(|x−y|)^p

dx dy

|x−y| ≤ s i=1

βi

αi

⎡

⎢⎣|f(x)|^p

⎛

⎜⎝

αi

−∞

+ ∞ βi

⎞

⎟⎠ dy

λ(|x−y|)^p|x−y|

⎤

⎥⎦dx=

7Еслиβi−αi=∞,то соответствующее слагаемое нужно опустить.

= s i=1

βi

αi

⎡

⎢⎣|f(x)|^p

⎛

⎜⎝ ∞ x−αi

+ ∞ βi−x

⎞

⎟⎠ dt λ(t)^pt

⎤

⎥⎦dx=

= s i=1

βi

αi

|f(x)|^p

1

λ^∗(x−αi)^p + 1 λ^∗(βi−x)^p

dx≤

≤2c₃ s i=1

⎡

⎢⎣λ^∗(β_i−α_i)^−p

βi

αi

|f(x)|^pdx+

βi

αi

βi

αi

|f(x)−f(y)|^p λ(|x−y|)^p

dx dy

|x−y|

⎤

⎥⎦≤

≤2c_{3 s}

i=1

λ^∗(β_i−α_i)^−p f ^p_L

p(αi,βi)

+ f ^p

w^λ(_p^·)(Ω)

, (10)

и (8)следует из (9)и(10) с константойc₄ = (4c₃+ 1).

Замечание 3. Если s < ∞, из того что f ∈ Wp^λ(·)(Ω), следует, что f⁰ ∈ Wp^λ(·)(R) и оператор продолжения нулем T0:Wp^λ(·)(Ω)→Wp^λ(·)(R) ограничен.

3. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

Теорема. Пусть 1 ≤ p < ∞, λ ∈ Λ_p, ω ∈ Λ_∞, Ω ⊂ Rⁿ — открытое множество с границей класса H^ω.Пусть, кроме того, ω имеет непрерывную производную ω и

hlim→+0λ(ω(h))^p ω(h)

h ω(h) = 0. (11)

Определим функцию ν равенством ν(x) := max

λ(ω(x)) ω(x)

xω(x) 1/p

, λ(x)

, x >0. (12)

Если функции λ^∗ и ν^∗ удовлетворяют условиям

xlim→+0

_x

0 λ^∗(h)^−pdh

xλ^∗(x)^−p <∞, lim

x→+0

_x

0 ν^∗(h)^−pdh

xν^∗(x)^−p <∞, (13) то ν∈Λ_p и оператор продолжения нулем

T0:W_p^λ(·)(Ω)→W_p^ν(·)(Rⁿ) (14) ограничен. При этом

T0 Wp^λ(·)(Ω)→Wp^ν(·)(Rⁿ)≤c, (15) где c зависит только от d, κ, p, n, λи ω.

Доказательство. 1. Прежде всего отметим, что ν ∈ Λp. Действительно, условие 1^◦) определения1 выполняется в силу (11):

hlim→+0ν(h)≤max

hlim→+0λ(ω(x)) ω(x)

xω(x) 1/p

, lim

h→+0λ(x)

= 0.

Справедливость условий 2^◦) и 3^◦) следует из очевидного неравенства ν(x) ≥ λ(x), x > 0.

Кроме того,

ν^∗(x)≥

⎛

⎝ ∞ x

λ(ω(y))^−pyω(y) ω(y)

dy y

⎞

⎠

−1/p

=λ^∗(ω(x)). (16)

ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ.В.А.СТЕКЛОВА, 1999,т. 227 6*

Из условия(13) следует,что функцииλ^∗ и ν^∗ удовлетворяют условию (7)для0< x≤x0. Определим функцииλ₁ и ν₁ следующим образом:

λ₁(x) :=

⎧⎪

⎨

⎪⎩

λ(x), 0< x≤x₀, λ(x₀)

x^α₀

x^α, x₀< x <∞, (17)

ν₁(x) :=

⎧⎪

⎨

⎪⎩

ν(x), 0< x≤x0, ν(x0)

x^α₀

x^α, x0 < x <∞. (18)

Согласно замечанию 2 достаточно доказать соотношение (14) с λ1 и ν1 вместо λ и ν соот- ветственно. Очевидно, что функции λ₁ и ν₁ также принадлежат Λ_p. Кроме того, λ^∗₁ и ν₁^∗ удовлетворяют условию (7)уже для всех x >0. Действительно,при x≤x₀

x 0

λ^∗₁(y)^−pdy = x 0

⎛

⎝ ∞ y

λ₁(h)^−p dh h

⎞

⎠dy = x 0

⎛

⎝

x0

y

λ(h)^−p dh h

⎞

⎠dy+c₅x≤

≤c₂x ∞ x

λ(h)^−p dh

h +c₅x≤c₆x ∞ x

λ₁(h)^−pdh

h =c₆xλ^∗₁(x)^−p, при x > x₀

x 0

λ^∗₁(y)^−pdy =

x0

0

⎛

⎝

x0

y

λ(h)^−p dh h

⎞

⎠dy+

x0

0

⎛

⎝ ∞ x0

λ₁(h)^−p dh h

⎞

⎠dy+ x x0

⎛

⎝ ∞ y

λ₁(h)^−p dh h

⎞

⎠dy ≤

≤c₂x₀ ∞ x0

λ(h)^−p dh

h +c₇+c₈ x x0

⎛

⎝ ∞ y

h^−αp−1dh

⎞

⎠dy ≤c₉ x x0

y^−αpdy+c₁₀ ≤c₁₁x^−αp+1 =

=c₁₂x ∞ x

h^−αp dh

h =c₁₃x ∞ x

λ₁(h)^−p dh

h =c₁₃xλ^∗₁(x)^−p. Для функцийλ^∗₁ и ν₁^∗ при 0< x≤min{x0, ω(x0)} имеет место неравенство

ν₁^∗(x)≥c₁₄λ^∗₁(ω(x)). (19)

Докажем это:

ν₁^∗(x)^−p = ∞ x

ν₁(h)^−p dh h =

x0

x

ν(h)^−p dh

h +c₁₅≤

≤ ∞ x

λ(ω(h))^−phω(h) ω(h)

dh

h +c15≤c16λ^∗(ω(x))^−p =c16λ^∗₁(ω(x))^−p, где c15=_x^∞₀ ν1(h)^{−p dh}_h,откуда и следует (19).

2. Пусть Ω является элементарной областью (определение 2), k ∈ {1, . . . , n−1}, ¯xk ∈ Ωk

и Ω_x¯k =^s(¯_i=1^xk)(α_i(¯x_k), β_i(¯x_k)), где s(¯x_k)∈ N или s(¯x_k) =∞. Тогда согласно определению1 и лемме4 мы имеем

f^{0 p}

w^ν_p,k^{1 (·)}(Rⁿ) =

⎛

⎝

Rⁿ⁻¹

⎛

⎝ ∞

−∞

∞

−∞

|f⁰(¯x_k, x_k)−f⁰(¯y_k, x_k)|^p ν1(|x_k−y_k|)^p

dx_kdy_k

|x_k−y_k|

⎞

⎠d¯xk

⎞

⎠≤