О ТОЧНЫХ ПОСТОЯННЫХ В НЕРАВЕНСТВАХ ДЛЯ НОРМ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ

Трудщ Математического института АН СССР 1980, том 156

У Д К 517.518.23

В . И. Б У Р Е Н К О В

О ТОЧНЫХ ПОСТОЯННЫХ В НЕРАВЕНСТВАХ ДЛЯ НОРМ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ

В настоящей статье изучаются неравенства вида

\\^\\^ыв)<А\\Ц^{1р{в) +} ВиП\^1р{о^Г (!) где к и п — натуральные числа, k<ji, / (х) — функция одной переменной,

заданная на конечном интервале G=(a, b).

Если G — бесконечный интервал, то неравенство (1) эквивалентна неравенству

к к

i «

^ip(G

; < л

¹

' 01 / w

^h{G)

+1 /<•» w

^LpW

), (2)

а также мультипликативному неравенству

1 / ^, % « < с | / Ц | Г ^, | £ ^{в )} ' (3>

где

/ Л \ п / 7? \ п

<4>

В ряде случаев подсчитано точное (наименьшее возможное) значение постоянной С в неравенстве (3). Если6?=(—оо, оо), р=со, то при /с=1, п=2

C=\J2

(Ландау—Адамар) (см. книгу Харди, Литтлвуда, Полна [1, с. 388]), при любых пик точное значение постоянной С вычислено А . Н . Колмого­

ровым [2]. Если G=(—оо, оо), р=2, то, используя преобразование Фурье, нетрудно получить, что С = 1 при любых п и к. В случае б = ( 0 , оо), р = оэ при А = 1 , тг=2 6^Т= 2 (Ландау—Адамар), при любых пик Шёнберг [3] ука­

зал процесс построения соответствующей экстремальной функции. В случае G = ( 0 , о о ) , р = 2 , при A = l ,

п=2 C=\J2

(Харди—Литтлвуд, см. [1, с. 388]), при любых к и п точная постоянная подсчитана Н . П . Купцовым [4].

Еще ряд точных неравенств для норм промежуточных производных на всей оси или полуоси получен в работах С. Б . Стечкина [5 ], Л . В . Тайкова [6], Ю . Н . Субботина и Л . В . Тайкова [7 ], В . Н . Габушина [8 ], В . В . Арестова [9].

Ландау (см. [1, с. 388]) получил также следующее неравенство для функ­

ций, заданных на интервале (0, 1):

22

Обозначим через Q^m(x) = Q^mtP{x) многочлен, наименее уклоняющийся от нуля в метрике /,^я(0,1), т. е. Q^m (x) = х^т -f- а^т_^хх^т~^х -f- • . . - j - а⁰, причем

Ш^о, i) = , h i n f

, II ^

+ Ь ^ " " ¹ + • • • + ^Ьо IL(o, гу

Основной целью настоящей статьи является доказательство следующей теоремы.

Теорема. Пусть l ^ ^ ^ o o , п — 2, 3, . . . Для любой функции f(х), имеющей на (0,1) абсолютно непрерывную производную fⁱⁿ~^v (ж),

Постоянную ,,J:^N ~~ •— нельзя заменить на меньшую^щ

II V n - l 11хр(0, 1)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, что если /(x) = (#), то неравенство (6) обращается в равенство. Докажем теперь это неравенство. Пусть сначала 1 <dp<dco. Рассмотрим функцию (*)(!), имеющую на [0, 1] абсолютно непре­

рывную производную Ü)^{( w _ 1 )} (£), и такую, что

со (0) = со (1 ) = . . . = cü^{( w}-^{2 )} (0) = Ü)⁽*-^{2 )} (1 ) = 0, (7)

i

ja>(È)dE=l. (8)

Умножая равенство ср (#) = ср (?) -f- |j ср' (Y]) на <o(lj), интегрируя по I от 0 до 1 и переставляя порядок интегрирования, получим, что

i i

Т( я ! ) = JT(6)o.(6)Ä+ \<?'(ЩЛ(х, (9)

о о

где

J o)(«ïl)dîl, 0 < £ < ж Л (s, g) = ^о

1

⁽¹⁰⁾

— J со (TJ) dtj, # < £ < 1

Полагая в (9) 9 (x) = (ж) и интегрируя по частям, получим, что

i i

/«-^{1 )}(ж) = ( — j / ( E ) a >⁽-^{1 )}( E ) d E + $ /^{( й )}ф Л ( я , (И)

о о

Из (11) следует, что

II Г " ' »Мо , „ < A (со) I / | |^{V O j ц} + 5 (ш) I Г l^o. ^{1 }}, (12Ï где

Л(со) = 1 ш ^ ^ ( о . 1 ) . (13)

( / 1 / 1 \ 1/р / i / i y/p'i

£(co) = min|( Ц ( ( | A(rr,Q|^dg)P/P'drrJ , Щ j | А(я, Ê) |'dx J dSJ J (14)

(при р = 2 оба выражения в фигурных скобках совпадают, при р<^2 пер­

вое больше, при р^>2— второе).

В самом деле, применяя сначала неравенство Гельдера, а затем Минков- ского, получим исходя из (И), что

I / < « > (x) I < А И 1 / | |^{V O j 1 }} + 1 Л (x, É) ||^v > 6 ( 0,⁰ 1 Г \ \ ^{lp { 0} , ( 1 5 )

И

I / 11,р(о, х, < ^ И I / И^{Ь р (}о, x, +1IIА (х, I) \\^Lpfi ^ ^{1 }} |Ыж(о> ц А/»> | |i p ( 0, г ).

Если же сначала применить неравенство Минковского, обобщенное нера­

венство Минковского, а затем неравенство Гельдера, то мы получим нера­

венство, аналогичное (15), с тем же множителем при норме функции / и с множителем

\\\\

^A

(^M

^LpiM

i)\\

^Lpf ç ( 0 > 1 ) ПР^{И Н 0}Р^{м е}

f

^W

-

Естественно выбрать функцию to(Éj), удовлетворяющую перечисленным выше условиям, так, чтобы коэффициент А (со) в (12) был минимален. В связи с этим рассмотрим уравнение Эйлера для задачи на условный экстремум

i i

J K ^ ^ ' d ^ m m , ja>(È)dÊ = l,.

о о

имеющее (в предположении существования написанных производных) вид (I с о ^ "1 3 (g) sign а)⁽"-^1} (Е))^(и~¹⁾ = а

(а — постоянная).

Решая это уравнение, получим

(g) = I ^ (с) I*"¹ sign i > ^^x

где (Е) — многочлен степени — 1.

Так как со (0) = . . . = ш"-²' (0) = 0, то

0

У С Л О В И Я ü ) ( l ) = . . . = : 0 )( й~2 ) (1) = 0 П р и м у т В И Д

1

S Г ¹s i g n = 0, Z = 0, 1 , . . . , п - 2 . (16)

о

Этим условиям удовлетворяет многочлен Qⁿ_i(l), наименее уклоняющийся от нуля в метрике L (0,1). Положим

со (6) = a j (Е - гГ² I (Tl) Г "¹ sign С^п_^г fo) du, о

a постоянную а выберем так, чтобы выполнялось условие (8), которое с уче­

том (16) принимает в и д

J

i i ^{СО (È)} d%

J

(1 - T])""! I (?^и_¹ (7J) Г Sigll (7)) dl] = о о

'^Ьг \ ^ I (Ч) l ^¹ sign (ч) А, = 1.

о 24

Отметим еще, что согласно (16)

i

\ -С¹1 Qn-i (ч)

Г

^{1 «ig" Qn-i}

(ч) *i =

О

1

= J О Т1 + « , > - 2 * Г2 + • . . + а0) I Qn-i ( l ) I " "1 s i g n <?„-! (ч) ^ ==

о

1 1

= \ Qn-i (ч) I <?„-i (ч) Г ¹ sign (?„.! (ч) ^ = \ I (ц) I ' (17)

о о

Итак, выберем в (12) в качестве функции ш(£) функцию J (5 -1)""²1 <?„-i (1) P "¹ sign<?„-i (т)) drj

« , ( | ) = ( - i r

¹

( n - l ) ° ; . (18)

Jl<?»-x(l)l^pdTj

.Для нее

„<-« (g) — (-i)"'¹ (я - 1) 11 <?и-1 (S) I " '¹ sign ( j ) ⁽¹⁹⁾

JI ^{( i )} I" *ч

^ » ) = | | . ' - ' г , .

⁽

„ . „ = ^

^{Г Е}

^ . (20)

Согласно (19) функция (£) имеет на [0,1] не более п — 1 нулей.

Отсюда в силу (7) следует, что с о ф ^ О на (0,1) (так как в противном слу­

чае согласно теореме Ролля у со^{( и}~^{1 3} (£) существовало бы не менее п различных нулей на (0,1)). Поэтому согласно (10)

| A ( s , l ) | < l (21)

И

Я (<•>)< 1. (22) Тем самым теорема доказана при 1<^/?<оо. Крайние случаи р = 1 и

р = оо охватываются с помощью предельного перехода. Здесь надо учесть, что многочлен Qn_i(x) и его норма непрерывно зависят от р при 1<^/?<^оо (см. книгу С. М. Никольского [10, с. 128]).

Ч а с т н ы е с л у ч а и , с л е д с т в и я , о б о б щ е н и я . 1°. Обозначим

|/1и^(а,о)⁼1Л1^(^а, Ъ) + ll/^(WJ|li;^p(a,6)-

Из доказанной теоремы следует неравенство с точной постоянной

1 /С М ) ILp(0, 1 ) < l l ^ - l k ^ ! ) 1 f Н{0' 1Г

2°. При /г = 2 для любого 1^/?^оо Q¹(x) = x —¹/², и неравенство (6) принимает вид

l /

^/

l

^w

. . x , < 2 0 + i )

¹

" l / L

^>

c

¹

, + i n v v , -

3°. При/> = оо <?,„ (ж) = 2-^{г а}Д^т (2ж — 1), где Н^т (х) = Г™*¹ cos {m arc cos x) — многочлен Чебышева 1-го рода; \ Q^m\L ( 0 > 1 ) = 2 "^{я ,}| Д^т|^{£ 1 }} = 2^{_ 2 m + 1}. В этом случае

I I / ' " "1' L ( o , „ < 4" "1("2~1)! I / k,(o. i) + 11/< Я ) I L c o , xr

25

/ о тт л r\ / \ о - т п о /о /i\ с л \ sin ((ттг + 1) arc cos я)

4°. При р=1 Ç^m(ж) = 2 ^mS^m(2x-l), где S^w(s) = ²^ Г = " ^ многочлен Чебышева 2-го рода; | | Ç^w| lZ i ( 0 > 1 ) = 2"^{7 n}"¹||5^m|J².⁽_^{1 > 1 )}==2"^{2 m}. В этом случае

\\f-^V 1к(о, « < ( « - ! ) ' ll/lk(o, i, + И/"" U t,-

5°. При р = 2 Q^m(x) — {—i)^m^l-^x{x^m(i —х)^ту^т) — многочлен Лежандра;

il л i — (^{т а !}>²

lV«k,(o,i)— ( 2 m ) , J2^r+1 '

В этом случае

И Г "¹' I U х) <

%БТ$Т ^

^2П -1II /

к». « + l / ' - ' U «•

6°. Заметим, что

Il ^{Ç m , 1} llj^o, ⁱ⁾ ^ Il ^Qm,p llz^o, ⁱ⁾ ^ Il ^{Qm, р \\ьр(0,}

1)

^ I @»», «> ^lzp(0,

1)

^{^ 1 , со}

1^(0,

^i)>

поэтому для наименьшей возможной постоянной А = А(п, р) в неравенстве

l / "

^{r t ,}

l v « . t )

^{< i l}

l 4 ( o . «

+ ^B^^,"^,k ( o . i )

справедлива оценка

4

" "

¹

V

^{1 )}

' < ^ < ^

¹

( » - 1 ) !

7°. Для любого е^>0 справедливо неравенство

| /^{п и 1}\^{№ 1}, < с ( . ) | / |£ р ( в 1 1 )+ . | / « « ^( в > 1 ). Из доказанного следует, что

i n f C

w=ig

^{( n 1}

T

^{1 ) !}

-

8°. Рассуждая так же, как при доказательстве теоремы, можно получить следующее неравенство:

il f(n-i) и (* — 1) 1 ~^W ^ '⁺ 4 1 / II 4 - s ^{+ ?} II i^{n) II

Здесь I ^ J P , g ^oo, 0 < e ^ o \ При e = 8 для любых 1 < C / ? , q ^ o o для f (х) = Ъ~^пС^п_^г(х/Ъ) оно обращается в равенство.

В этом случае нужно вместо со (|) рассмотреть функцию, равную при 0 <^ I ^ е и равную нулю при e ^ S ^ В.

9°, При п=2 функция соопределяемая равенством (18), имеет вид

» © =

^{2 ,}

' (

¹

+ 7 ) ( ( т ) Ч

⁵

- т П - <2 3>

При = 2 и любых п ^ 2 она имеет вид

10°. Что касается второй постоянной В в неравенстве (1), то при дока­

зательстве теоремы установлено, что можно взять В=В (со), где В (со) опре­

деляется равенством (14), а со — равенством (18), при этом В ^ 1. При п=2^г р=1, 2, используя явное выражение для со ( g), можно подсчитать В (со) и получить следующие неравенства:

26

l /^,L^{l (}e .¹, <⁴l / L^I( . . i , ⁺ yl/'L,(e.i)' ^{<2 4>}

| / ' I U¹, < 2 V 3 | / | |^{M 0 ; 1 )} + | / l « f | L2 ( 0 ) 1 ). (25)

При p= œ записывая неравенство (12), принимающее для этого случая вид

! /' IU,

„ < J К © I ^{« • I}

/

^{L(o, «} + m « ( | А ( х , ï ) \ d î -

И f |

^{£œ(0( n}

о o ^ * ^ i 0

для функций (23), и переходя к пределу при р ~> оо, получим неравенство (5).

Вопрос о точности постоянных при норме /" в неравенствах (24) и (25) ос­

тается открытым. В неравенстве (5) постоянная

1/2

при | | / " ^{11^(0,1)} точная (так как из него следует неравенство в метрике L^œ (0, оо) с теми же постоян­

ными, эквивалентное мультипликативному неравенству (3) с точной по­

стоянной С=2).

11°. В случае 0 <^ к < п справедливо неравенство

I 1 Ы i) < ^{е к} • « * Kio, i) + J^kfT I Г* KLO. ! , , (26)

где с — абсолютная постоянная (можно взять с=48). Если 4 — точная постоянная при норме / в этом неравенстве, то

4*-¹&! < 4 < с " Л !

Левое неравенство легко получить, если положить / (х) = Q^k (х). Для по­

лучения (26) будем вместо (9) исходить из равенства

i i

ср (х) = 5 ^v ( 5 ) 2 (x, I) ей + j (?) (x - 5)-*-i Л (x, I) dS,

0

^о

где

il—Тс—1

Это одномерное интегральное представление С. Л . Соболева. Запись ядра Ü (я, È) в виде (27) приведена в работах Ю. Г. Решетника [11] и автора [12].

Полагая ср (x) = f^ik) (х) и интегрируя по частям, получим, что

i i

/<*> ^{{ х )} = (_1)* ^J / (I) Q<*> (^ж, I) dE -f- ^ „ f c 1, ^ , J /"» (?) (s - îr"-¹ Л (x, I) dl,

о о

откуда, как и при доказательстве теоремы,

1 / Ш \К (о, i) < Ä («о) I / [t p ( 0 ; 1 } + I /<">

1

^{р ( 0 ; х),}

где Л (со) = |] (x, £)[|z^p, (о, i), a 2? (со) имеет вид (14), если заменить Л (x, I) на (ж —E)""*-¹ Л (ж, I).

Будем считать, что функция со(£) выбрана так же, как при доказательстве теоремы по формуле (18). Тогда |Л(ж, 5)|<^1,

В

f ¹ f ¹ y'lp yip'

H < [\[\ I

^x

-

¹

1'""*"

¹

' '®)

^dx

J < • (28)

27

Дифференцируя и переставляя порядок суммирования, получим, что (6) (£ — х)

s\

8=0 1=8

Учитывая, что

»««(E)

= ( _ i r 7 r ^ U r -

S ( 5 - 1 )^{B _ /}"2 I Qn-l h) l"-1 S i g n (1)) A ,

(» — l — 2) !

имеем

_{/ 1 / 5} \ P ' / P

il (0/t\B ^ (и — 1 ) ! \o \o ⁷ / ^

i-' ©U,.,...,<

^{( B}

- f _

²

) i Ig^L.,.,!)

-1 lllp (0, 1) ^<

( л - l ) !

( n - J - l ) l 1 ^ - 1 ^ ( 0 , ! ) '

Тогда

n—k—1 M—/:—1

11У»-1Ц(о,1) ^ j6J

< w - r —

²

"

^{_ 1}

2

^c

» - *

²

'

⁺

* < ï ë r i r — <

^{2 4}

"

A ! ( 2 9 ) Il vw- i |IL^P (0, i) £d II V n - l (0, 1 )

Из (28) и (29) следует (26) с с = 24 и 2/(п — к) ! вместо ^{( п}^ ^{к ) [} . Рас­

суждая аналогично п. 8°, получим неравенство с постоянными 24^WA ! е"*

i

и 2е^п~^к1(п — А)!, где 0 < е < ^ 1 . Взяв е = 2 ^п~^к, получим неравенство (26) с постоянными 48^ИА ! и 1 j(n — к) !

Вновь рассуждая, как в п. 8°, получим неравенство

\\i^mU, (о,«) < с"к ! s - * f /\\^{L p ( 0},а) + - ^ щ \\Г <о, » с любым 0 < е ^ о \

12°. Из (26) следует, что

i/¹*' ||,^Р (о, », < с"к ! I / ^{( 0} , ^{ш )} + ^{7 Г}4 * ) Т 1 ^⁾ 1^ »>•

откуда на основании неравенств (2) и (3) вытекает, что

| /⁽*^,к , ( о . » ) < с - | 1 / Г Т . „

"inf.

^o

^ (Ü, оо) Z-^ (о, œ )

где с^х — абсолютная постоянная.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Харди Г. Г., Литтлвуд Д . Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Иностр. лит., 1948.

2. Колмогоров Л . Я . О неравенствах между верхними гранями последовательных про­

изводных произвольной функции на бесконечном интервале. — Учен. зап. МГУ.

Математика, 1939, 30, кн. 3, с. 3—16.

3. Schoenberg I. / . Norm inequalities for a certain class of C^{0 0} functions. — Israel J . Math.^r 1971, 10, N 3, p. 364-372.

28

4. Купцов H. П. Колмогоровские оценки для производных в L² (О, с о ) . — Тр. МИАН СССР, 1975, 138, с. 94-117.

5. Стечкин СБ. Неравенства между нормами производных произвольной функции. — Acta Sei. Math., 1965, 26, p. 225—240.

6. Тайков Л. В. Неравенства типа Колмогорова и наилучшие формулы численного дифференцирования. — Мат. заметки, 1968, 4, № 2, с. 233—238.

7. Субботин Ю . Н., Тайков Л. В. Наилучшие приближения оператора дифференциро­

вания в пространстве L2. — Мат. заметки, 1968, 3, № 2, с. 157—164.

8. Габушин В, Н. О наилучшем приближении оператора дифференцирования на полу­

прямой. — Мат. заметки, 1969, 6, № 5, с. 573—582.

9. Арестов В. В. О точных неравенствах между нормами функций и их производных. — Acta sei. Math., 1972, 33, N 3—4, p. 243—267.

10. Никольский С. M. Квадратурные формулы. M.: Наука, 1974, с. 1—223.

11. Решетняк Ю . Г. Некоторые интегральные представления дифференцируемых функ­

ций. — Сиб. мат. журн., 1971, 12, № 2, с. 420—432. .

12. Буренков В. И. Интегральное представление Соболева и формула Тейлора. — Тр.

МИАН СССР, 1974, 131, с. 33—38.

Примечание при корректуре. Если В (п, р) — точная постоянная при | | /^{с я )} II ^£pro, i>

в (6), то 1/12 < Я (и, р) < 1/2 (в тексте Я ( и , р ) < 1 ) , 7/16 < Я (л,со) < 1/2, lim В (п, р) > 1/4, lim В (и, со) = 1/2.

П->-СЮ п->со